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1、一、學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握二面角的概念,會利用向量和平面的法向量求解二面角的大小二、知識梳理(一)選擇題(每道題的四個選擇答案中有且只有一個答案是正確的1.已知二面角:-l-的大小為,直線a:v,a與:所成的角為v,則()A.B.的平面角的關(guān)系是()A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.既不相等也不互補(bǔ)3.如圖所示, 值是()PA=PB=PC,且它們所成的角均為60°,則二面角BPAC的余弦1A.2V3C.T4.在正三角形.3T1ABC中,AD,BC于D,沿AD折成二面角BADC后,BCAB,這時二面角B-ADC的大小為()A.60°C.90D.120(二)填空題5.ABC的邊BC在平面
2、內(nèi),A在內(nèi)的射影是A1,設(shè)ABC的面積為S,它和平面。交成的一個二面角的大小為日(日銳角),則aA1BC的面積是.6.若P是公ABC所在平面外一點,而PBC和公ABC都是邊長為2的正三角形,PA二46,則二面角PBC-A的大小是7.已知二面角:-AB-棱AB上一點,PE、PF分別在面,一:內(nèi),/EPB=/FPB=45°,那么&給出下列四個命題:(1)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面垂直;1:是直二面角,P是EPF的大小是.(2)過平面外一定直線有且只有一個平面與已知平面垂直;(3)垂直于同一平面的兩個平面可能相互平行,也可能相互垂直;(4)如果一個二面角的兩個半平面分別
3、垂直于另一個二面角的兩個半平面?那么這兩個二面角的平面角相等或互補(bǔ)?其中正確的命題的序號是9. 已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,RA=3,AB=2,BC=13,則二面角P-BDA的正切值為.(三)解答題10. 在長方體ABCDAiBCiDi中,AA1=1,AD=DC=,3,在線段AQI上有一點Q,口1且GQCiAi,求平面QDC與平面AiDC所成銳二面角的大小.3如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P ABCD 中11.AD/BC,ZABC=90°,PA,平面ABC,FA=4,AD=2,AB=23,BC=6,求二面角APC-D的余弦值.*12.如圖,在長方體ABCDAiBiCiDi中
4、,AD=AAi=1,AB=2,點E在棱AB上移動.AE等于何值時,二面角DiEC-D的大小為-.4三、自我評價完成時間成功率札記參考答案3.2.4二面角及其度量1.A2.C3.B4.A5.ScosJ6.90°7.60°10.解:建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C(0.?.3,0),A(._3,0,1),C,0,.3,1)一1323CCAQW.設(shè)平面AiCD,平面QCD的一個法向量分別為n二(%,%,乙),m=(x2,y2,Z2)r_LnDC=0,yi=0,由、-二廠nDA)=0卜/3為十乙=0令xi=1,.?Z"=-'3.y2 =0,n二(1,0,
5、f;3).±mDC=0,由*二mDQ=0,令x2=1,.Z1=-3.-.3m二(1,0,-g)'/3cos :n,m 一|n I '|m|n,m .2 6即平面QDC與平面A1DC所成銳二面角為11.解:如圖,建立坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2.3,0,0),C(2.3,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4),所以CD=(-23,-4,0),PD=(0,2,-4)PA=(0,0,4),AC=(2._3,6,0)設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,1),則CDn=0,PDn=0廠Mx-4y=0,解得-竽內(nèi)4=:一n=(一弩,2,1).同理可求得平面PAC的法向量為m=(-2、.3,2,0)39331所以cos :m, n393 ?面角A- PC D的余弦值為31|m|n|12.解:以D為坐標(biāo)原點,直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).CE=(1,x-2,0).DQ=(0,2,-1),DD廠(0,0,1).設(shè)平面DIEC的法向量n=(a,b,c),WQ2bc=0令b=1,?c=2,a=2x.nCE=0,ab(
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