第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器

1、中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory中南大學(xué)中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)2022年年6月月26日日中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器第六章第六章 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.1 狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)6.2 極點配置極點配置*6.3 應(yīng)用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制應(yīng)用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制6.4 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器6.5 帶狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)*6.6 線

2、性不確定系統(tǒng)的魯棒控制線性不確定系統(tǒng)的魯棒控制小小 結(jié)結(jié)中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.1 狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì) xAxBuyCxDu ：uLvKx v為為p維控制輸入向量，維控制輸入向量，K為為pn的的狀態(tài)反饋增益矩狀態(tài)反饋增益矩陣陣，L為為pp維非奇異實常數(shù)矩陣，稱為維非奇異實常數(shù)矩陣，稱為輸入變換輸入變換矩陣矩陣。給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式在系統(tǒng)中引入反饋控制律在系統(tǒng)中引入反饋控制律中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng)K的結(jié)構(gòu)如圖的

3、結(jié)構(gòu)如圖6.1.1所示。所示。LBDAKCyxuv+圖圖6.1.1 狀態(tài)反饋示意圖狀態(tài)反饋示意圖中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器K的狀態(tài)空間表達式為：的狀態(tài)空間表達式為：()()KxABK xBLvyCDK xDLv ：若若 D0，則，則()KxABK xBLvyCx ：中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器*(2) D0 時，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)時，可以求得閉環(huán)系統(tǒng) K 的傳遞函數(shù)陣的傳遞函數(shù)陣狀態(tài)反饋的性質(zhì)狀態(tài)反饋的性質(zhì)(1) LI 時，即對輸入不作變換時，為單純的狀時，即對輸入不作變換時，為單純的狀態(tài)變量反

4、饋。若態(tài)變量反饋。若KHC，則，則KxHy，狀態(tài)反饋，狀態(tài)反饋就等價于輸出反饋就等價于輸出反饋H。因此，。因此，輸出反饋是狀態(tài)反輸出反饋是狀態(tài)反饋的特殊情況饋的特殊情況。1()()G sK LC sIABKBL ； , ,中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器利用矩陣運算直接可推出利用矩陣運算直接可推出11()( )()G sK LG s IK sIABL ； , ,1( )()G sC sIAB 為狀態(tài)反饋前原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。為狀態(tài)反饋前原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。表示了原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示了原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)與經(jīng)過狀態(tài)反饋與經(jīng)過狀態(tài)反饋K,L后的閉環(huán)

5、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣后的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣G(s;K,L)之間的之間的關(guān)系。關(guān)系。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器從傳遞特性來看，狀態(tài)反饋從傳遞特性來看，狀態(tài)反饋K, L所造成的影所造成的影響，相當于在原系統(tǒng)的前面串聯(lián)一個系統(tǒng)，如圖響，相當于在原系統(tǒng)的前面串聯(lián)一個系統(tǒng)，如圖所示。所示。圖圖6.1.2 閉環(huán)系統(tǒng)圖示說明閉環(huán)系統(tǒng)圖示說明1 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器圖圖6.1.1中，令中，令D0，改用圖，改用圖6.1.3表示表示圖圖6.1.3 閉環(huán)系統(tǒng)圖示說明閉環(huán)系統(tǒng)圖示說明2abLBAKCyxuv+I

6、中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器xAxBuyIx 和輸出反和輸出反饋饋uvKy 圖中圖中a 和和 b 之間的部分，可以看成是由系統(tǒng)之間的部分，可以看成是由系統(tǒng)所組成。從所組成。從 a 到到 b 的傳遞函數(shù)矩陣的傳遞函數(shù)矩陣Gab(s)不難用輸不難用輸出反饋傳遞函數(shù)陣的公式求出。出反饋傳遞函數(shù)陣的公式求出。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器111( )()()abGssIAB IK sIAB 于是，從于是，從v 到到 y 的傳遞函數(shù)矩陣的傳遞函數(shù)矩陣11111 ()()()( )()G sKLC sIAB

7、IK sIABLG s IK sIABL ； ，定理定理 6.1.1 對于任何實常量矩陣對于任何實常量矩陣K ，系統(tǒng)，系統(tǒng) K 完全完全能控的充要條件是系統(tǒng)能控的充要條件是系統(tǒng) 完全能控。完全能控。P193即引入狀態(tài)反饋控制律即引入狀態(tài)反饋控制律(K,I) 不影響系統(tǒng)的能控性，不影響系統(tǒng)的能控性，但可能影響系統(tǒng)的能觀測性。但可能影響系統(tǒng)的能觀測性。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器說明：說明：輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控能觀性。輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控能觀性。狀態(tài)反饋不能改變單輸入單輸出系統(tǒng)的零點。狀態(tài)反饋不能改變單輸入單輸出系統(tǒng)的零點。中南大學(xué)信息科學(xué)

8、與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器證證 注意到系統(tǒng)注意到系統(tǒng) 和和 K 的能控性矩陣分別為的能控性矩陣分別為21 ncuB AB A BAB 21 () ()()ncuBABK BABKBABKB 由由 ()()ABK BABB KB ，可知，可知 ()ABK B 的列向量可以由的列向量可以由 ( )B AB的列向量的線性組合表示。的列向量的線性組合表示。 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器依此類推，不難看出依此類推，不難看出 rankrankccuu 21 () ()()nBABK BABKBABKB 的列向量可以由的列

9、向量可以由 的列向量的列向量的線性組合表示。這意味著的線性組合表示。這意味著 1 nB ABAB 2()ABKB 的列向量可以由的列向量可以由 的的 列向量列向量的線性組合表示。的線性組合表示。2( )B AB A B中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器系統(tǒng)系統(tǒng) 也可看成是由系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng) K 經(jīng)過狀態(tài)反饋經(jīng)過狀態(tài)反饋（K, I）而獲得的，因此，同理有）而獲得的，因此，同理有 所以系統(tǒng)所以系統(tǒng) K 的能控性等價于系統(tǒng)的能控性等價于系統(tǒng) 的能控性，的能控性，于是定理得證。于是定理得證。 rankrankccuu 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)

10、現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器 12031112xxuyx ：無零極相消，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控能觀，引入反饋無零極相消，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控能觀，引入反饋 31uxv 例例 6.1.1 系統(tǒng)系統(tǒng) 12( )()32sG sC sIABss 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器12000112Kxxvyx ：不難判斷，系統(tǒng)不難判斷，系統(tǒng) K 仍然是能控的，但已不再能仍然是能控的，但已不再能觀測。觀測。狀態(tài)反饋使得閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生了零極點的對消。狀態(tài)反饋使得閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生了零極點的對消。則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng) K 的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為返返 回回

11、122( )()(1)1KsGsC sIABKBs ss 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.2 極點配置極點配置返回返回6.2.1 極點配置定理極點配置定理6.2.2 單輸入系統(tǒng)極點配置的算法單輸入系統(tǒng)極點配置的算法6.2.3 討論討論*6.2.4 多輸入系統(tǒng)的極點配置多輸入系統(tǒng)的極點配置*6.2.5 利用利用MATLAB實現(xiàn)極點配置實現(xiàn)極點配置中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器系統(tǒng)性能：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能系統(tǒng)性能：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能：靜態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)性能：靜態(tài)誤差動態(tài)性能：調(diào)節(jié)時間

12、、超調(diào)量、上升時間動態(tài)性能：調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量、上升時間.影響動態(tài)性能的因素：二階系統(tǒng)（極點位置）影響動態(tài)性能的因素：二階系統(tǒng)（極點位置） 高階系統(tǒng)（一對主導(dǎo)極點）高階系統(tǒng)（一對主導(dǎo)極點）結(jié)論：極點影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能結(jié)論：極點影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器問題求解問題求解1、根據(jù)系統(tǒng)性能要求確定閉環(huán)極點、根據(jù)系統(tǒng)性能要求確定閉環(huán)極點2、確定矩陣、確定矩陣K，使得，使得即將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在希即將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在希望的位置上，即極點配置望的位置上，即極點配置解決兩個問題：解決兩個問題：在什么條件下，極點配置問題

13、可解？即存在使得在什么條件下，極點配置問題可解？即存在使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點的控制器閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點的控制器u=vKx如何設(shè)計具有給定閉環(huán)極點的控制器如何設(shè)計具有給定閉環(huán)極點的控制器u=vKx ？返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.2.1 極點配置定理極點配置定理定理定理 6.2.1 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為:xAxBuyCxDu uvKx 通過狀態(tài)反饋通過狀態(tài)反饋能使其閉環(huán)極點位于預(yù)先任意指定位置上的充能使其閉環(huán)極點位于預(yù)先任意指定位置上的充要條件是系統(tǒng)要條件是系統(tǒng) 完全能控完全能控。中南大學(xué)信息科學(xué)與

14、工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器證明證明: 只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理 充分性：因為給定系統(tǒng)充分性：因為給定系統(tǒng) 能控，故通過等價變換能控，故通過等價變換 xPx 必能將它變?yōu)槟芸貥藴市伪啬軐⑺優(yōu)槟芸貥藴市?:xAxbuycxdu 這里，這里，P為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有111010001nnAPAPaaa ， 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器1110 01nnbPbccPdd 對式對式(6.2.2)引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋12 nuvKxKk

15、kk 則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為 K ():()KxAbK xbvycdK xdv 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器 其中，顯然有其中，顯然有112101()001nnnAbKakakak 系統(tǒng)系統(tǒng) 的閉環(huán)特征方程為的閉環(huán)特征方程為K 121211()()()0nnnnnnsaksaksak 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器同時，由指定的任意同時，由指定的任意 n個期望閉環(huán)極點個期望閉環(huán)極點 *12,n可求得期望的閉環(huán)特征方程可求得期望的閉環(huán)特征方程*1*1211()()

16、()0nnnnnssssa sasa 通過比較系數(shù)，可知通過比較系數(shù)，可知 *11*212*1 nnnnakaakaaka 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器由此即有由此即有*1*211*11 nnnnnkaakaakaa 又因為又因為1uvKxvKPxvKx KKP 所以所以 選擇反饋增益矩陣選擇反饋增益矩陣K，就能任意配置系統(tǒng)的極點。，就能任意配置系統(tǒng)的極點。 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器必要性：采用反證法，設(shè)必要性：采用反證法，設(shè)不完全能控，則必存不完全能控，則必存在在非奇異變換陣非奇異變換陣T

17、 使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解12122 00ccAAbATATbTbA 且對任意且對任意 有有12,Kk k 1122det()det() det() =det()det()ccsIAbKsIAbKTsIAbKsIAb ksIA 式中式中112KKTkk 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器上式表明上式表明狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)不能控部分的特狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)不能控部分的特征值征值，即此時不可能任意配置全部極點。與已知，即此時不可能任意配置全部極點。與已知矛盾，故反設(shè)不成立，于是系統(tǒng)是完全能控的。矛盾，故反設(shè)不成立，于是系統(tǒng)是完全能控的。返回返回中南

18、大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.2.2 單輸入系統(tǒng)極點配置的算法單輸入系統(tǒng)極點配置的算法算法算法1：間接法。適用：間接法。適用系統(tǒng)維數(shù)較高，控制矩陣中系統(tǒng)維數(shù)較高，控制矩陣中非零元素較多非零元素較多的情況。步驟如下：的情況。步驟如下：1) 求求A 的特征多項式的特征多項式111( )det()nnnnssIAsa sasa 2) 求閉環(huán)系統(tǒng)的求閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項式期望特征多項式*1*1211( )()()()nnnnnsssssa sasa 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器4) 計算計算3) 計算計

19、算*1111nnnnKaaaaaa 1111111nnaaQbAbAba 5) 令令1PQ 6) 求求KKP 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器說明說明1）11111npp APQp A 121100001npbAbA bAb 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器 ),(cbA ),(ccccbA1cAPAP ),(cccKcbAK ),(cbAKPKKP 2）中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器2100rankrank 0113001bAbA b 解：判斷系統(tǒng)狀態(tài)的

20、能控性。因為解：判斷系統(tǒng)狀態(tài)的能控性。因為例例6.2.1 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 00011100 0110110 xxuyx 求狀態(tài)反饋增益陣求狀態(tài)反饋增益陣K，使反饋后閉環(huán)特征值為，使反饋后閉環(huán)特征值為 *12,32, 13j 系統(tǒng)是系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋控制律能任意，通過狀態(tài)反饋控制律能任意配置閉環(huán)特征值。配置閉環(huán)特征值。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器1) 由由2) 由由3200det()det1102011ssIAsssss得得1232, 1, 0aaa *12332()()() (2)

21、(13)(13) 488sssssjsjsss 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器得得*1234, 8, 8aaa3) 332211872Kaaaaaa 4)2121110100100121121 011210110001100100aaQbAbA ba中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器5)11121001110011100121PQ 6) 001872011233121KKP 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器或者或者1100100011011001001ccU

22、U 1121001011121pPp Ap A 233KKP 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器此時閉環(huán)系統(tǒng)此時閉環(huán)系統(tǒng) K 的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為 ()00011 11002330011002331 11000110011xAbK xbvxvxvyx 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為 1122(, )(, )()2331 0111100011021 =22424jjG sK LG sK IC sIAbKbsssssssss 閉環(huán)特征值為閉環(huán)特征值為 *1

23、2,32, 13j 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為 1322( )()2 =22 1G sC sIAbssssss s 開環(huán)極點為開環(huán)極點為 12,30, 1ss 開環(huán)不穩(wěn)定，狀態(tài)反饋實現(xiàn)了對其穩(wěn)定性的改開環(huán)不穩(wěn)定，狀態(tài)反饋實現(xiàn)了對其穩(wěn)定性的改造。注意開環(huán)零點和閉環(huán)零點相同。造。注意開環(huán)零點和閉環(huán)零點相同。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示問題：分析閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的能控性、能觀測性問題：分析閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的能控性、能觀測性中

24、南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器算法算法2：直接法：直接法) ( k ai1) 將將 代入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)代入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)實際的特征多項式實際的特征多項式uKx 111( )()()()nnnnssa K saK saK 其中其中 是反饋矩陣是反饋矩陣K 的函數(shù)，的函數(shù)，()ia K1,in 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器2) 計算理想特征多項式計算理想特征多項式*1*1211( )()()()nnnnnsssssa sasa 1nKkk 即為所求。即為所求。說明：適合系統(tǒng)維數(shù)比

25、較低，控制矩陣中只有一說明：適合系統(tǒng)維數(shù)比較低，控制矩陣中只有一個非零元素的情況。個非零元素的情況。*() 1,iia Kain 同階項系數(shù)相等。列方程組同階項系數(shù)相等。列方程組 并求解并求解 ，可得，可得 3) 令令*( )( )ss 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器例例6.2.2 同例同例6.2.1解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣K為為后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為123Kkkk 因為經(jīng)過狀態(tài)反饋因為經(jīng)過狀態(tài)反饋uvKx 12332112123det000001 det001100000110 22

26、1ssIAbKsskkksskskkskkk 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點，可求得閉環(huán)期望特征根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點，可求得閉環(huán)期望特征多項式為多項式為 3221313488sssjsjsss 比較兩多項式同次冪的系數(shù)，有比較兩多項式同次冪的系數(shù)，有112123242188kkkkkk1232,3,3kkk 即得狀態(tài)反饋增益矩陣為即得狀態(tài)反饋增益矩陣為 233K 與例與例6.2.1的結(jié)果相同的結(jié)果相同返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.2.3 討論討論(1) 狀態(tài)反饋狀

27、態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)不改變系統(tǒng)的維數(shù)，即經(jīng)狀態(tài)反饋，即經(jīng)狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)后的閉環(huán)系統(tǒng)K 的維數(shù)等于原系統(tǒng)的維數(shù)等于原系統(tǒng)的維數(shù)。的維數(shù)。但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會降低，這是由但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會降低，這是由分子分母的公因子被對消所致。分子分母的公因子被對消所致。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器(2) 對于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會移動狀態(tài)反饋不會移動(改變改變)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點?？捎脕斫忉尀槭裁礌羁捎脕斫忉尀槭裁礌顟B(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測性。若出現(xiàn)零極相態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測性。

28、若出現(xiàn)零極相消，此時系統(tǒng)完全能控，則一定不完全能觀測。消，此時系統(tǒng)完全能控，則一定不完全能觀測。(3) 若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式成如下形式1111121222200 xxAAbuxAx 其中，其中， 的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。22A 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器(4) 系統(tǒng)綜合中，往往需要將不穩(wěn)定的極點，即具系統(tǒng)綜合中，往往需要將不穩(wěn)定的極點，即具有非負實部的極點，移到有非負實部的極點，移到s平面的左半部，這一過平面的左半部，這一過程稱為程稱為系統(tǒng)鎮(zhèn)定系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

29、 返回返回若系統(tǒng)不能控，則只有若系統(tǒng)不能控，則只有 (不能控子系統(tǒng)不能控子系統(tǒng)) 的全的全部特征值都具有負實部時部特征值都具有負實部時，系統(tǒng)才是能鎮(zhèn)定的。，系統(tǒng)才是能鎮(zhèn)定的。22A 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器*6.2.4 多輸入系統(tǒng)的極點配置多輸入系統(tǒng)的極點配置返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器*6.2.5 利用利用MATLAB實現(xiàn)極點配置實現(xiàn)極點配置1、直接計算、直接計算 根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程利根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程利用狀態(tài)反饋控制規(guī)律來計算得到狀態(tài)反饋矩陣用狀態(tài)反饋控制規(guī)律

30、來計算得到狀態(tài)反饋矩陣K。例例6.2.4 受控系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為受控系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為010 341AB 求狀態(tài)反饋增益陣求狀態(tài)反饋增益陣K，使閉環(huán)極點為，使閉環(huán)極點為 4和和5。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器程序如下：程序如下：A=0 1;-3 -4;B=0;1;P=-4 -5; syms k1 k2 s; syms k1 k2 s K=k1 k2; eg=Simple(det(s*diag(diag(ones(size(A)-A+B*K)eg = s2+(4+k2)*s+3+k1中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和

31、狀態(tài)觀測器 f=1; for i=1:2 f=Simple(f*(s-P(i); end f=f-egf = 9*s+17-(4+k2)*s-k1 k1 k2=solve(jacobian(f,s),subs(f,s,0)k1 = 17 k2 = 5中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器2、采用、采用Ackermann公式計算公式計算例例6.2.5 已知倒立擺桿的線性模型如下，設(shè)計狀態(tài)已知倒立擺桿的線性模型如下，設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣反饋矩陣K使閉環(huán)極點為使閉環(huán)極點為并計算閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣。并計算閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣。1, 2, 1j 0100000101

32、, 00010001101Ab 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器解：程序如下解：程序如下 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; b=0 1 0 -1; P=-1 -2 -1-j -1+j; K=acker(A,b,P)K = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000 A-b*Kans = 0 1.0000 0 0 0.4000 1.0000 20.4000 6.0000 0 0 0 1.0000 -0.4000 -1.0000 -10.4000 -6.0000中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動

33、化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器例例6.2.6 已知控制系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為已知控制系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為設(shè)理想閉環(huán)系統(tǒng)的極點為設(shè)理想閉環(huán)系統(tǒng)的極點為1, 2, 3s 2.02.50.51100, 00100AB 試對其進行極點配置。試對其進行極點配置。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器解：程序如下解：程序如下 A=-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0; B=1 0 0; P=-1 -2 -3; K=acker(A,B,P) Ac=A-B*K eig(Ac)K = 4.0000 8.5000 5.5000Ac= -6 -11 -6

34、1 0 0 0 1 0ans = -3.0000 -2.0000 -1.0000中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器3、調(diào)用、調(diào)用place函數(shù)進行極點配置函數(shù)進行極點配置調(diào)用格式為調(diào)用格式為K=place(A,B,P)。A,B為系統(tǒng)系數(shù)矩為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，陣，P為配置極點，為配置極點，K為反饋增益矩陣。為反饋增益矩陣。例例6.2.7 考慮給定的狀態(tài)方程模型考慮給定的狀態(tài)方程模型0100000101, 00010001101Ab 1234yx 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器若想把閉環(huán)極點配置在若想把閉環(huán)極點

35、配置在1, 2, 1sj 則可使用下面的則可使用下面的Matlab程序。程序。 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0 1 0 -1; eig(A) P=-1 -2 -1-j -1+j; K=place(A,B,P) eig(A-B*K)ans = 0 0 3.3166 -3.3166K = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000ans = -2.0000 -1.0000 - 1.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測

36、器*6.3 應(yīng)用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制應(yīng)用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制返回返回6.3.1 問題的提出問題的提出6.3.2 實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論6.3.3 算法和推論算法和推論6.3.4 利用利用MATLAB實現(xiàn)解耦控制實現(xiàn)解耦控制中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.3.1 問題的提出問題的提出考慮考慮MIMO系統(tǒng)系統(tǒng) (6.3.1) xAxBuyCx ：中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器式式(6.3.2)可寫為可寫為在在 (0)0 x 的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，的條件下，輸

37、出與輸入之間的關(guān)系，可用傳遞函數(shù)可用傳遞函數(shù) ( )G s描述：描述： 1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s (6.3.2)1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s 11111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )ppppqqqqppy sgs u sgs u sgs usy sgs u sgs u sgs usysgs u sgs u sgs us 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)

38、反饋和狀態(tài)觀測器每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們稱這種交互作用的現(xiàn)象為耦合。個輸入所控制我們稱這種交互作用的現(xiàn)象為耦合。一般說來，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困難的。一般說來，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困難的。例如例如, 要找到一組輸入要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入的控制，這必將大大的簡化控制實現(xiàn)這樣的?？刂频目刂疲@必將大大的簡化控制實現(xiàn)這樣的?？刂品Q為解耦控制，或者簡稱為解耦。稱為解耦控制，或者簡稱為解耦。三個基本假定：三個基本假定：1) p=q，

39、即系統(tǒng)的輸出個數(shù)等于輸入個數(shù)；即系統(tǒng)的輸出個數(shù)等于輸入個數(shù)；12( ),( ),( )pu s u sus中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器uLvKx 2) 狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3) 輸入變換矩陣輸入變換矩陣L為非奇異的為非奇異的 圖圖6.3.1vLuB AKxCy-+中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器解耦控制問題解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋尋找一個輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋增益矩陣對增益矩陣對K,L，使得系統(tǒng)，使得系統(tǒng)K的傳遞函數(shù)陣的傳遞函數(shù)陣顯然，經(jīng)過解耦

40、的系統(tǒng)可以看成是由顯然，經(jīng)過解耦的系統(tǒng)可以看成是由p個獨立單變個獨立單變量子系統(tǒng)所組成。量子系統(tǒng)所組成。1122()( ),( ),( )ppG sKLdiag gsgsgs ； ，中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器圖圖 6.3.2返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.3.2 實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質(zhì)。定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質(zhì)。1) 已知傳遞函數(shù)陣已知傳遞函數(shù)陣其中其中g(shù)ij(s)都是嚴格真的有理分式都是嚴格真的有理

41、分式(或者為零或者為零)。令。令dij是是gij(s)的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差111212122212( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )ppppppgsgsgsgsgsgsG sgsgsgs 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器此處的此處的gi(s)表示表示G(s)的第的第i行。不難看出行。不難看出Ei是由是由G(s)所唯一確定的。所唯一確定的。(2) 若若A,B,C 已知，則已知，則狀態(tài)反饋不改變狀態(tài)反饋不改變di12min1iiiipdddd ，1lim( ) 1 2 idiiiEs

42、g sip ， 00,1 210 1 00,1 21 kiiikic A Bkc A Bdnc A Bkn ，= =，diiiEc A B 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器例例6.3.1 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng)其中其中 xAxBuyCx ：00010110101 00 00112301ABC 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器其傳遞函數(shù)矩陣為其傳遞函數(shù)矩陣為得到得到21311(1)(2)(1)(2)( )()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss 1111222122min 1m

43、in1 210min 1min2 110dddddd ，中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器同樣，由兩種方法求得的同樣，由兩種方法求得的Ei也相同。也相同。因因 也可求得也可求得121 00 0 10c Bc B1200dd，12111222311lim( )lim1 0(1)(2)(1)(2) 1 1 01 01lim( )lim0 1(1)(2)(1)(2) iidiissEsg sss ssssc A BA BsEsg ssssssc 20 0 10 1dA BA B 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器

44、下實現(xiàn)解耦控制的充要條件是下實現(xiàn)解耦控制的充要條件是E為非奇異。其中為非奇異。其中定理定理 6.3.1 前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋uLvKx 11,KE F LE 121111122211 pdddpppc AEFc AEFEFLEEFc A 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器證：對等式證：對等式兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)di 和和Ei 的定義可知的定義可知 1,iiyc xiq ()(1)1 1,iiiiiiddidddiycAxycA xycAxcA Buiq 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋

45、和狀態(tài)觀測器當且僅當矩陣當且僅當矩陣E為非奇異時，由方程組為非奇異時，由方程組1 1,iiiddiiiidiic A BKxE Kxc AxF xc A LvE Lvviq 可唯一確定出可唯一確定出 和和 在狀態(tài)反饋在狀態(tài)反饋1KE F 1LE uLvKx 下有下有()(1) 1,iiiiddidiiycAxycA xyviq 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器輸出輸出yi 僅與輸入僅與輸入vi 有關(guān)，且有關(guān)，且vi 僅能控制僅能控制yi，定理得證，定理得證11(): KxABE F xBE vyCx 在狀態(tài)反饋在狀態(tài)反饋下，系統(tǒng)下，系統(tǒng) K 的狀態(tài)

46、空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為uLvKx 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器 其傳遞函數(shù)矩陣為其傳遞函數(shù)矩陣為返回返回1 12 11111110( ;, )()0 1pdddssG s K LC sIABE FBEs 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.3.3 算法和推論算法和推論算法：算法： 1) 求出系統(tǒng)求出系統(tǒng)的的2) 構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣E，若，若E非奇異，則可實現(xiàn)狀態(tài)非奇異，則可實現(xiàn)狀態(tài)反饋解反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。3) 求取矩陣求取矩陣K和和L，則，則 就是所

47、需的就是所需的狀態(tài)狀態(tài)反饋控制律。反饋控制律。1 2 iidEip 、 ，uLvKx 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器例例6.3.2 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng)試求使其實現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解試求使其實現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解耦后的傳遞函數(shù)矩陣。耦后的傳遞函數(shù)矩陣。0001011000100 00112301xxuyx 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器解：解：1) 在例在例6.3.1中已求得中已求得 2) 因為因為 為非奇異的，所以可狀態(tài)為非奇異的，所以可狀態(tài)反饋解耦。反饋解耦。3) 因為因為所以有

48、所以有12120 1 0 0 1ddEE 12EEIE 1211111222001123ddFc Ac AFc Ac A 11001 123KE FLEI中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器于是于是4) 反饋后，對于閉環(huán)系統(tǒng)反饋后，對于閉環(huán)系統(tǒng) K 有有001123uvx00110()0010000001110001xABK xBVxuyx 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器3) 系統(tǒng)解耦后，每個系統(tǒng)解耦后，每個SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為di+1重積分形式。須對它進一步施以極點配置。重積分形

49、式。須對它進一步施以極點配置。2) 求得求得 ，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣即可確定。矩陣即可確定。1) 能否態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制取決于能否態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制取決于di 和和Ei 。推論推論：110()()10sG sKLC sIABKBLs ； ， 1,2,idip 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器4) 要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。保要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.3.4 利用利用MA

50、TLAB實現(xiàn)解耦控制實現(xiàn)解耦控制返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.4 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器返回返回6.4.1 狀態(tài)觀測器的存在條件狀態(tài)觀測器的存在條件6.4.2 全維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器*6.4.3 降維狀態(tài)觀測器降維狀態(tài)觀測器*6.4.4 利用利用MATLAB設(shè)計狀態(tài)觀測器設(shè)計狀態(tài)觀測器中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器 利用狀態(tài)反饋能夠任意配置一個能控系統(tǒng)的利用狀態(tài)反饋能夠任意配置一個能控系統(tǒng)的閉環(huán)極點，從而有效改善控制系統(tǒng)的性能。閉環(huán)極點，從而有效改善控制系統(tǒng)的性能。 實際中，常常無法

51、直接獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)實際中，常常無法直接獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從而使得狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)遇到困難。變量，從而使得狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)遇到困難。 克服這種困難的途徑之一是克服這種困難的途徑之一是重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)，并利用重構(gòu)的狀態(tài)代替系統(tǒng)的真實狀態(tài)實現(xiàn)所，并利用重構(gòu)的狀態(tài)代替系統(tǒng)的真實狀態(tài)實現(xiàn)所需的狀態(tài)反饋。需的狀態(tài)反饋。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器狀態(tài)重構(gòu)問題的實質(zhì)是構(gòu)造一個新的系統(tǒng)狀態(tài)重構(gòu)問題的實質(zhì)是構(gòu)造一個新的系統(tǒng) ( 或者或者說裝置說裝置) ，利用原系統(tǒng)中可直接測量的，利用原系統(tǒng)中可直接測量的輸入量輸入量u和輸出量和輸出量y作

52、為它的輸入信號作為它的輸入信號，并使其輸出信號，并使其輸出信號滿足滿足lim ( )lim ( )ttx tx t ( )x t通常稱通常稱 為為x(t)的的重構(gòu)狀態(tài)或狀態(tài)估計值重構(gòu)狀態(tài)或狀態(tài)估計值，而，而稱這個用以實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)為稱這個用以實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)為狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器。問題：問題： 如何重構(gòu)狀態(tài)？（觀測器的條件、設(shè)計）如何重構(gòu)狀態(tài)？（觀測器的條件、設(shè)計） 利用重構(gòu)的狀態(tài)形成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)特性利用重構(gòu)的狀態(tài)形成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)特性如何？如何？中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器對線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)觀測器通常與是一個線性對線性定常系

53、統(tǒng)，狀態(tài)觀測器通常與是一個線性定常系統(tǒng)，按其結(jié)構(gòu)可分為定常系統(tǒng)，按其結(jié)構(gòu)可分為全維狀態(tài)觀測器和降全維狀態(tài)觀測器和降維狀態(tài)觀測器維狀態(tài)觀測器。維數(shù)等于原系統(tǒng)維數(shù)的觀測器為全維觀測器。維數(shù)等于原系統(tǒng)維數(shù)的觀測器為全維觀測器。維數(shù)小于原系統(tǒng)維數(shù)的觀測器為降維觀測器。維數(shù)小于原系統(tǒng)維數(shù)的觀測器為降維觀測器。返回返回中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.4.1 狀態(tài)觀測器的存在條件狀態(tài)觀測器的存在條件定理定理 6.4.1 給定線性定常系統(tǒng)給定線性定常系統(tǒng) xAxBuyCx ：若此若此系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測，則狀態(tài)向量，則狀態(tài)向量x(t)可由輸可由

54、輸入入u和輸出和輸出y的相應(yīng)信息構(gòu)造出來。的相應(yīng)信息構(gòu)造出來。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器證證: 因為因為 xAxBuyCx ：yCx yCxCAxCBu 2(1)12(2) nnnnyCAxCBuCA xCABuCBuyCAxCABuCBu 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器所以，只有當所以，只有當rankN=n時，上式中的時，上式中的x才能有唯才能有唯一解。即只有當系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測時，狀態(tài)一解。即只有當系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測時，狀態(tài)向量向量x才能由才能由u,y以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合以及它們

55、的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合構(gòu)造出來。構(gòu)造出來。即即返回返回2(1)(2)21 nnnnCyCAyCBuyCBuCABuCAx NxyCBuCABuCA 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器6.4.2 全維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器1、開環(huán)狀態(tài)估計器開環(huán)狀態(tài)估計器：構(gòu)造一個與原系統(tǒng)完全相：構(gòu)造一個與原系統(tǒng)完全相同的模擬裝置，輸入信號相同同的模擬裝置，輸入信號相同( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx t 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器圖圖 6.4.1開環(huán)狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖開環(huán)狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖中

56、南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器 每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并對每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并對估計器實施設(shè)置，極不方便也極不現(xiàn)實；估計器實施設(shè)置，極不方便也極不現(xiàn)實；從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測量從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測量 。這種開。這種開環(huán)狀態(tài)估計器存在如下缺點：環(huán)狀態(tài)估計器存在如下缺點：( )x t 在在A有正實部特征值時，有正實部特征值時， 最終總要趨向無最終總要趨向無窮大。令窮大。令( )x t ( )( )( )x tx tx t 表示表示狀態(tài)估計值與真實值之差（估計誤差）狀態(tài)估計值與真實值之差（估計誤差）。則。則有

57、有0()0( )( )A t tx tex t 最終將趨于無窮大。最終將趨于無窮大。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器圖圖 6.4.2全維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖全維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖 2、閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器、閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程可寫為狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程可寫為 xAxBuE yyAxBuE CxyAEC xBuEy 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器因為因為() ()()xxAEC xBuEyAxBuAECxx 其解其解

58、估計誤差估計誤差為為00()()00()()0() ( )( ) ( )A ECt tA ECt txxxex tx tex t 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器由于由于觀測器中觀測器中(AEC)的特征值配置問題等價與對偶的特征值配置問題等價與對偶系統(tǒng)中極點配置問題。系統(tǒng)中極點配置問題。若若 ，則有，則有Re ()0AEC 0()()0limlim0A ECt tttxex t ()()TTTAECAC E 中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器定理定理 6.4.2 若若n維線性定常系統(tǒng)維線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完能

59、觀測狀態(tài)完能觀測，則，則存在存在n維（全維）維（全維）狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器()xAEC xBuEy 其估計誤差其估計誤差滿足滿足()xAECx ( )( )xx tx t 在復(fù)共軛特征值成對出現(xiàn)的條件下，可在復(fù)共軛特征值成對出現(xiàn)的條件下，可選擇矩陣選擇矩陣E來任意配置來任意配置(AEC)的特征值的特征值。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器例例6.4.1 為例為例6.2.1的系統(tǒng)設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測的系統(tǒng)設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點為器，并使觀測器的極點為*12,35,44j 00011100 0110110 xxuyx 中南大學(xué)信息科學(xué)與

60、工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器解解:1) 由由32det()2TsIAsss 得得123210aaa ，0111013011ooUrankU 系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，因此可以構(gòu)造能任系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，因此可以構(gòu)造能任意配置特征值的全維狀態(tài)觀測器。意配置特征值的全維狀態(tài)觀測器。中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化專業(yè)現(xiàn)代控制理論講義第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器2) 觀測器的期望特征多項式為觀測器的期望特征多項式為3)*12332()()()(5)(44)(44) 1372160sssssjsjsss *1231372160aaa ，123*332211 160 71