高考數(shù)學(xué)(理)二輪專(zhuān)題練習(xí)【專(zhuān)題2】(2)函數(shù)的應(yīng)用(含答案)

1、第2講函數(shù)的應(yīng)用考情解讀1.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見(jiàn)題型，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根(1)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在

2、c(a，b)使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根注意以下兩點(diǎn)：滿(mǎn)足條件的零點(diǎn)可能不唯一；不滿(mǎn)足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)(4)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法求方程的近似解2函數(shù)模型解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實(shí)際問(wèn)題作答：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題作出解答.熱點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)例1(1)函數(shù)f(x)ln(x1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A(，1

3、) B(1，e1)C(e1,2) D(2，e)(2)(2014遼寧)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)則不等式f(x1)的解集為()A，B，C，D，思維升華(1)根據(jù)二分法原理，逐個(gè)判斷；(2)畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解決答案(1)C(2)A解析(1)因?yàn)閒()ln40，f(1)ln 220，f(e1)10，故零點(diǎn)在區(qū)間(e1,2)內(nèi)(2)先畫(huà)出y軸右邊的圖象，如圖所示f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可畫(huà)出y軸左邊的圖象，再畫(huà)直線y.設(shè)與曲線交于點(diǎn)A，B，C，D，先分別求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)令cos x，x0，x，x.令2x1，x，xA，xB.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知直線y與曲線另外兩個(gè)

4、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xC，xD.f(x1)，則在直線y上及其下方的圖象滿(mǎn)足，x1或x1，x或x.思維升華函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問(wèn)題，常見(jiàn)的有函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解(1)已知函數(shù)f(x)()xcos x，則f(x)在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4(2)已知a是函數(shù)f(x)2xlogx的零點(diǎn)，若0x00Cf(x0)0 Df(x0)的符號(hào)不確定答案(1)C(2)C解析(1)f(x)在0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是

5、函數(shù)y()x和ycos x的圖象在0,2上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，而函數(shù)y()x和ycos x的圖象在0,2上的交點(diǎn)有3個(gè)，故選C.(2)f(x)2xlogx在(0，)上是增函數(shù)，又a是函數(shù)f(x)2xlogx的零點(diǎn)，即f(a)0，當(dāng)0x0a時(shí)，f(x0)0.熱點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)與參數(shù)的范圍例2對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“”：ab設(shè)f(x)(x21)(4x)，若函數(shù)yf(x)k的圖象與x軸恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，則k的取值范圍是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)思維啟迪先確定函數(shù)f(x)的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合思想求k的范圍答案D解析解不等式：x21(4x)1，得：x2或x3，所以，f(x)函數(shù)yf(x

6、)k的圖象與x軸恰有三個(gè)不同交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)的圖象和直線yk恰有三個(gè)不同交點(diǎn)如圖，所以1k2，故2k1.思維升華已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；也可以利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進(jìn)行求解定義在R上的函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)的單調(diào)增區(qū)間為(1,1)，若方程3a(f(x)22bf(x)c0恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a解析函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)的單調(diào)增區(qū)間為(1,1)，1和1是f(x)0的根，f(x)3ax22bxc，b0，c3a，f(x)ax33ax，3a(f(x)22bf(x)c0，3

7、a(f(x)23a0，f2(x)1，f(x)1，即，a.熱點(diǎn)三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例3省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)|a|2a，x0,24，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a0，若用每天f(x)的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范圍；(2)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？思維啟迪(1)分x0和x0兩種情況，當(dāng)x0時(shí)變形使用基本不等式求解(2)利用換元法把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化成g(t)|ta|2a，再

8、把函數(shù)g(t)寫(xiě)成分段函數(shù)后求M(a)解(1)當(dāng)x0時(shí)，t0；當(dāng)0x24時(shí)，x2(當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))，t(0，即t的取值范圍是0，(2)當(dāng)a0，時(shí)，記g(t)|ta|2a，則g(t)g(t)在0，a上單調(diào)遞減，在(a，上單調(diào)遞增，且g(0)3a，g()a，g(0)g()2(a)故M(a)即M(a)當(dāng)0a時(shí)，M(a)a2顯然成立；由得a，當(dāng)且僅當(dāng)0a時(shí)，M(a)2.故當(dāng)0a時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)a時(shí)超標(biāo)思維升華(1)關(guān)于解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要耐心、細(xì)心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識(shí)求解，解答后再回到實(shí)際問(wèn)題中去(2)對(duì)函數(shù)模型求最值的常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法、基本不等

9、式法及導(dǎo)數(shù)法已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷(xiāo)售完，每千件的銷(xiāo)售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大？(注：年利潤(rùn)年銷(xiāo)售收入年總成本)解(1)當(dāng)010時(shí)，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)當(dāng)00；當(dāng)x(9,10)時(shí)，W10時(shí)，W9898238，當(dāng)且僅當(dāng)2.7x，即x時(shí)，W38，故當(dāng)x時(shí)，W取最大值38.綜合知：當(dāng)x9時(shí)，W取最大值38.6萬(wàn)元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，

10、該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大1函數(shù)與方程(1)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)方程f(x)0有根函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)(2)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使f(c)0.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)f(a)f(b)0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)不一定沒(méi)有零點(diǎn)2函數(shù)綜合題的求解往往應(yīng)用多種知識(shí)和技能因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件

11、，尤其要挖掘題目中的隱含條件要認(rèn)真分析，處理好各種關(guān)系，把握問(wèn)題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決3應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般程序與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.真題感悟1(2014重慶)已知函數(shù)f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.答案A解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中A(1,1)，B(0，2)因?yàn)橹本€ymxmm(x1)

12、恒過(guò)定點(diǎn)C(1,0)，故當(dāng)直線ym(x1)在AC位置時(shí)，m，可知當(dāng)直線ym(x1)在x軸和AC之間運(yùn)動(dòng)時(shí)兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(直線ym(x1)可與AC重合但不能與x軸重合)，此時(shí)0m，g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)直線ym(x1)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，m2；當(dāng)直線ym(x1)與曲線f(x)相切時(shí)，聯(lián)立得mx2(2m3)xm20，由(2m3)24m(m2)0，解得m，可知當(dāng)ym(x1)在切線和BC之間運(yùn)動(dòng)時(shí)兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(直線ym(x1)可與BC重合但不能與切線重合)，此時(shí)m2，g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)綜上，m的取值范圍為(，2(0，故選A.2(2014北京)加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)

13、的百分比稱(chēng)為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()A3.50分鐘 B3.75分鐘C4.00分鐘 D4.25分鐘答案B解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡(jiǎn)得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以當(dāng)t3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘押題精練1已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yff(x)1的零點(diǎn)有_個(gè)答案4解析當(dāng)f(x)0時(shí)，x1或

14、x1，故ff(x)10時(shí)，f(x)11或1.當(dāng)f(x)11，即f(x)2時(shí)，解得x3或x；當(dāng)f(x)11，即f(x)0時(shí)，解得x1或x1.故函數(shù)yff(x)1有四個(gè)不同的零點(diǎn)2函數(shù)f(x)xexa有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，0)解析令f(x)(x1)ex0，得x1，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則極小值f(1)0，即e1a，又x時(shí)，f(x)0，則a0，故1828，當(dāng)且僅當(dāng)x5時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1函數(shù)f(x)log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A(0，) B(，1

15、)C(1,2) D(2,3)答案C解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)f()log21230，f(1)log21010，f(3)log2310，即f(1)f(2)0，函數(shù)f(x)log2x的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)2函數(shù)f(x)ln，下列區(qū)間中，可能存在零點(diǎn)的是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(1,2)與(2,3)答案B解析f(x)lnln(x1)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，)，且為遞減函數(shù)，當(dāng)1x2時(shí)，ln(x1)0，所以f(x)0，故函數(shù)在(1,2)上沒(méi)有零點(diǎn)；f(2)ln 110，f(3)ln 2，因?yàn)?2.828，所以e，故ln eln

16、，即1ln 8，所以2ln 8，即f(3)0，f(4)ln 3ln 30時(shí)，f(x)x2x(x)2，所以要使函數(shù)f(x)m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則m0，即m的取值范圍為(，0)5(2013江西)如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，ll1，l與半圓相交于F、G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于E、D兩點(diǎn)設(shè)弧的長(zhǎng)為x(0x)，yEBBCCD，若l從l1平行移動(dòng)到l2，則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()答案D解析如圖所示，連接OF，OG，過(guò)點(diǎn)O作OMFG，過(guò)點(diǎn)A作AHBC，交DE于點(diǎn)N.因?yàn)榛〉拈L(zhǎng)度為x，所以FOGx，則ANOMcos ，所以cos ，則AEcos ，EBcos

17、 .yEBBCCDcos cos 2(0x)6已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，則方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實(shí)根之和為()A5 B6C7 D8答案C解析由題意知g(x)2，函數(shù)f(x)的周期為2，則函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間5,1上的圖象如圖所示：由圖形可知函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間5,1上的交點(diǎn)為A，B，C，易知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，若設(shè)C的橫坐標(biāo)為t(0t0時(shí)，由f(x)ln x0，得x1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)2xa有一個(gè)零點(diǎn)，令f(x)0得a2x，因?yàn)?2x201，所以0a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍

18、是0a1.8(2014課標(biāo)全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)2成立的x的取值范圍是_答案(，8解析當(dāng)x1時(shí)，x10，ex1e012，當(dāng)x1解析函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程m|x|有且僅有三個(gè)實(shí)根m|x|x|(x2)，作函數(shù)y|x|(x2)的圖象，如圖所示，由圖象可知m應(yīng)滿(mǎn)足：01.10我們把形如y(a0，b0)的函數(shù)因其圖象類(lèi)似于漢字中的“囧”字，故生動(dòng)地稱(chēng)為“囧函數(shù)”，若當(dāng)a1，b1時(shí)的“囧函數(shù)”與函數(shù)ylg|x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則n_.答案4解析由題意知，當(dāng)a1，b1時(shí)，y在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出“囧函數(shù)”與函數(shù)ylg|x|的圖象如圖所示，易知它們有4個(gè)交點(diǎn)三、解答題11設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxb1(a0)(1)當(dāng)a1，b2時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；(2)若對(duì)任意bR，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1，b2時(shí)，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為3和1.(2)依題意，f(x)ax2bxb10有兩個(gè)不同實(shí)根b24a(b1)0恒成立