馬爾科夫分析

1、9.5 馬爾柯夫分析馬爾柯夫過程（Markov process）的基本概念是俄國數(shù)學(xué)家AA馬爾柯夫在1907年提出的，最初馬爾柯夫用這種概念來描述物理學(xué)中的布朗運(yùn)動(dòng)。 基本思想是：事物的第n步狀態(tài)僅取決于第n-1步所處的狀態(tài)，在這種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程中存在一轉(zhuǎn)移概率，這一轉(zhuǎn)移概率可依據(jù)其相鄰接的前步狀態(tài)和概率推算出來。這種無后效性的轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾柯夫過程，一連串這種轉(zhuǎn)移過程的集合，稱為馬爾柯夫鏈。 馬爾柯夫分析已經(jīng)成為市場(chǎng)預(yù)測(cè)的有效工具，用來預(yù)測(cè)顧客的購買行為和商品的市場(chǎng)占有率，還可以用來確定企業(yè)勞動(dòng)力的需求、引進(jìn)新產(chǎn)品、選擇廣告計(jì)劃等。第一節(jié)第一節(jié) 基本原理基本原理 一、基本概念 1.隨機(jī)變量

2、 、 隨機(jī)函數(shù)與隨機(jī)過程 一變量x，能隨機(jī)地取數(shù)據(jù)（但不能準(zhǔn)確地預(yù)言它取何值），而對(duì)于每一個(gè)數(shù)值或某一個(gè)范圍內(nèi)的值有一定的概率，那么稱x為隨機(jī)變量。 假定隨機(jī)變量的可能值xi發(fā)生概率為Pi 即P(x = xi) = Pi 對(duì)于xi的所有n個(gè)可能值，有離散型隨機(jī)變量分布 列： Pi = 1 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，有 P(x)dx = 1 在試驗(yàn)過程中，隨機(jī)變量可能隨某一參數(shù)（不一定是時(shí)間）的變化而變化. 如測(cè)量大氣中空氣溫度變化x = x(h),隨高度變化。這種隨參變量而變化的隨機(jī)變量稱為隨機(jī)函數(shù)。而以時(shí)間t作參變量的隨機(jī)函數(shù)稱為隨機(jī)過程。 也就是說：隨機(jī)過程是這樣一個(gè)函數(shù)，在每次試驗(yàn)結(jié)果中，它以

3、一定的概率取某一個(gè)確定的，但預(yù)先未知的時(shí)間函數(shù)。 2、馬爾科夫過程 隨機(jī)過程中，有一類具有“無后效性性質(zhì)”，即當(dāng)隨機(jī)過程在某一時(shí)刻to所處的狀態(tài)已知的條件下，過程在時(shí)刻tto時(shí)所處的狀態(tài)只和to時(shí)刻有關(guān)，而與to以前的狀態(tài)無關(guān)，則這種隨機(jī)過程稱為馬爾科夫過程。 即是：ito為確知,it(tto)只與ito有關(guān)，這種性質(zhì)為無后效性，又叫馬爾科夫假設(shè)。 3、馬爾科夫鏈 時(shí)間和狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈。例：蛙跳問題 假定池中有N張荷葉，編號(hào)為1，2，3,N，即蛙跳可能有N個(gè)狀態(tài)（狀態(tài)確知且離散）。青蛙所屬荷葉，為它目前所處的狀態(tài)；因此它未來的狀態(tài)，只與現(xiàn)在所處狀態(tài)有關(guān)，而與以前的狀態(tài)

4、無關(guān)（無后效性成立） 寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式為： P( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it1,x1 = i1) =P( xt+1 = j | xt = it ) 定義：Pij = P( xt+1 = j | xt = i) 即在xt = i的條件下，使 xt+1 = j的條件概率，是從 i狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到j(luò)狀態(tài)的概率，因此它又稱一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，由于共有N個(gè)狀態(tài)，所以有 1234P33P22P44P41P42P31P32 二狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 1.一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 系統(tǒng)有N個(gè)狀態(tài)，描述各種狀態(tài)下向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率矩陣 P11 P12 P1N 定義為 P21 P22

5、P2N : : : PN1 PN2 PNN 這是一個(gè)N階方陣，滿足概率矩陣性質(zhì) 1） Pij 0,i,j = 1,2, , N 非負(fù)性性質(zhì) 2） Pij = 1 行元素和為1 ,i=1,2,NNN P = 如： W1 = 1/4, 1/4, 1/2, 0 W2 = 1/3, 0, 2/3 W3 = 1/4, 1/4, 1/4, 1/2 W4 = 1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3 3）若A和B分別為概率矩陣時(shí)，則AB為概率矩陣。 概率向量非概率向量 2.穩(wěn)定性假設(shè) 若系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不隨時(shí)間變化，即轉(zhuǎn)移矩陣在各個(gè)時(shí)刻都相同，稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 這個(gè)假設(shè)稱為穩(wěn)定性假設(shè)。蛙跳問題屬于

6、此類，后面的討論均假定滿足穩(wěn)定性條件。 3.k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率記為 P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k) i,j = 1,2, , N 定義：k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為： P11(k) P12(k) P1N(k) P = : : : PN1(k) PN2(k) PNN (k) 當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時(shí) P = P = P P P 其中P為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 即當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時(shí)，k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的k次方.kk k 例：例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)為N = 3，求從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的 二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率. 解：作狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 解法一：由狀態(tài)轉(zhuǎn)

7、移圖： 1 1 2: P11 P12 1 2 2: P12 P22 1 3 2: P13 P32 P12 = P11 P12 + P12 P22 +P13 P32 = P1i Pi2 132P13P32 P11P12P12P22 解法二： k = 2, N = 3 P11(2) P12 (2) P13(2) P = P21(2) P22 (2) P23(2) P31(2) P32(2) P33(2) P11 P12 P13 P11 P12 P13 = PP = P21 P22 P23 P21 P22 P23 P31 P32 P33 P31 P32 P33 得： P12(2) = P11 P12

8、 + P12 P22 +P13 P32 = P1i Pi2 例：例：味精銷售問題 已連續(xù)統(tǒng)計(jì)六年共24個(gè)季度，確定暢銷，滯銷界限，即只允許出現(xiàn)兩種狀態(tài)，且具備無后效性。 設(shè)狀態(tài)1為暢銷，狀態(tài)2為滯銷,作出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖: 圖中: P11為當(dāng)前暢銷，連續(xù)暢銷概率； P12為當(dāng)前暢銷，轉(zhuǎn)滯銷概率； P22為當(dāng)前滯銷，連續(xù)滯銷概率； P21為當(dāng)前滯銷，轉(zhuǎn)暢銷概率。 12P22P11P12P21數(shù)據(jù)在確定盈虧量化界限后的統(tǒng)計(jì)表如下： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13狀態(tài) t 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24狀態(tài) 進(jìn)行概率計(jì)算時(shí)，第二十四個(gè)季度為

9、暢銷，但后續(xù)是什么狀態(tài)不知，故計(jì)算時(shí)不能采用，只用于第二十三季度統(tǒng)計(jì)。有： P11 = 7/(7 + 7) = 0.5; P12 = 7/(7 + 7) = 0.5; P21 = 7/(7 + 2) = 0.78; P22 = 2/(7 + 2) = 0.22則 0.5 0.5 0.78 0.22此式說明了：若本季度暢銷，則下季度暢銷和滯銷的可能性各占一半 若本季度滯銷，則下季度滯銷有78%的把握，滯銷風(fēng)險(xiǎn)22% P = 二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為： 0.5 0.5 0.5 0.5 0.78 0.22 0.78 0.22 0.64 0.36 0.5616 0.4384 P11(2) P11(2) P1

10、1(2) P11(2) =P = P =22 三.穩(wěn)態(tài)概率： 用于解決長(zhǎng)期趨勢(shì)預(yù)測(cè)問題。 即：當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù)的不斷增加時(shí)，轉(zhuǎn)移概率矩陣 P 的變化趨勢(shì)。 1.正規(guī)概率矩陣。 定義：若一個(gè)概率矩陣P，存在著某一個(gè)正整數(shù)m,使P 的所有元素均為正數(shù)（Pij o），則該矩陣稱為正規(guī)概率矩陣 k例： 1/2 1/4 1/4 P = 1/3 1/3 1/3 為正規(guī)概率矩陣 2/5 1/5 2/5 0 1 P11 = 0 1/2 1/2 但當(dāng) m = 2， 有 有Pij 0它也是正規(guī)概率矩陣。（P 每個(gè)元素均為正數(shù)） 但 1 0 0 1 就找不到一個(gè)正數(shù)m,使P 的每一個(gè)元素均大于0，所以它不是正規(guī)概率矩陣。

11、 P =22 P =m P =2 2.固定概率向量（特征概率向量） 設(shè) P為NN概率矩陣,若U = U1, U2, UN為概率向量,且滿足UP = U,稱U為P的固定概率向量 例 0 1 1/2 1/2 為概率矩陣 P的固定概率向量 U = 1/3 , 2/3 檢驗(yàn) UP = 1/3 2/3 0 1 1/2 1/2 =1/3 2/3P = 3.正規(guī)概率矩陣的性質(zhì) 定理一 設(shè)P為NXN正規(guī)概率矩陣，則 A .P有且只有一個(gè)固定概率向量 U = U1,U2, UN 且U的所有元素均為正數(shù) Ui 0 B.NXN方陣P的各次方組成序列 P, P, P, ,P 趨于方陣T，且T的每一個(gè)行向量都是固定概率

12、向量U。 即 U1 U2 UN U lim Pk = T = : : : = : U1 U2 UN U 這個(gè)方陣T稱穩(wěn)態(tài)概率矩陣。23k 這個(gè)定理說明：無論系統(tǒng)現(xiàn)在處于何種狀態(tài)，在經(jīng)過足夠多的狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，均達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)。 因此，欲求長(zhǎng)期轉(zhuǎn)移概率矩陣，即進(jìn)行長(zhǎng)期狀態(tài)預(yù)測(cè)，只要求出穩(wěn)態(tài)概率矩陣T； 而T的每個(gè)行向量都是固定概率向量，所以只須求出固定概率向量U就行了 ! 定理二：設(shè)X為任意概率向量，則XT = U 即任意概率向量與穩(wěn)態(tài)概率矩陣之點(diǎn)積為固定概率向量。 事實(shí)上： U1 U2 UN XT = X : : : = U1Xi U1Xi U1Xi U1 U2 UN = U1 U2 UN = U

13、例：若 0.4 0.3 0.3 P = 0.6 0.3 0.1 求T 0.6 0.1 0.3 解：設(shè) U = U1 U2 U3 = U1 U2 1U1U2 由 UP = U 有 0.4 0.3 0.3U1 U2 1U1U2 0.6 0.3 0.1 = U1 U2 U3 0.6 0.1 0.3 即 -0.2U1 + 0.6 = U1 U1 = 0.5 0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2 U2 = 0.25 -0.2U2 + 0.3 = U3 U3 = 0.25 U = 0.5 0.25 0.25 則 0.5 0.25 0.25 T = 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0

14、.25 說明： 不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，轉(zhuǎn)移到各個(gè)狀態(tài)的概率都相等。（列向量各元素相等）即 各狀態(tài)轉(zhuǎn)移到1狀態(tài)都為0.5; 2狀態(tài)都為0.25 ; 3狀態(tài)都為0.25第二節(jié)第二節(jié) 市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè) 商品在市場(chǎng)上參與競(jìng)爭(zhēng)，都擁有顧客，并由此而產(chǎn)生銷售，事實(shí)上，同一商品在某一地區(qū)所有的N個(gè)商家（或不同品牌的N個(gè)同類產(chǎn)品）都擁有各自的顧客，產(chǎn)生各自銷售額，于是產(chǎn)生了市場(chǎng)占有率定義：設(shè)某一確定市場(chǎng)某商品有N個(gè)不同品牌（或N個(gè)商家）投入銷售，第i個(gè)商家在第j期的市場(chǎng)占有率 Si(j) = xi(j)/x i =1,2, N 其中 xi(j)為第i個(gè)商家在第j期的銷售額（

15、或擁有顧客數(shù)） x為同類產(chǎn)品在市場(chǎng)上總銷售額（或顧客數(shù)）市場(chǎng)占有率所需數(shù)據(jù)可通過顧客抽樣調(diào)查得到。 一般地,首先考慮初始條件,設(shè)當(dāng)前狀態(tài)（即j = 0 ） 為 S(0) = S1(0) S2(0) SN(0)第i個(gè)商家Si(0) = xi(0)/x xi(0) = Si(0) x即當(dāng)前第i個(gè)商家市場(chǎng)占有率與初始市場(chǎng)占有率及市場(chǎng)總量有關(guān).同時(shí)假定滿足無后效性及穩(wěn)定性假設(shè).由于銷售商品的流通性質(zhì),有第i個(gè)商家第j期銷售狀況為 xi(k) = x1(0)P1i(k) + x2(0)P2i(k)+ + xN(0)PNi(k) = xS1(0)P1i(k) +xS2(0)P2i(k) + + xSN(0

16、)PNi(k) P1i(k) = xS1(0) S2(0) P2i(k) : PNi(k) 有：Si(k) = xi(k)/x P1i(k) = S1(0) S2(0) ) P2i(k) : PNi(k)故可用矩陣式表達(dá)所有狀態(tài): S1(k),S2(k), ,SN(k)= S1(0),S2(0), ,SN(0) P即 S(k) = S(0) P 當(dāng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時(shí),有 S(k) = S(0) P 這個(gè)公式稱為已知初始狀態(tài)條件下的市場(chǎng)占有率k步預(yù)測(cè)模型. kkk 例:東南亞各國味精市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè), 初期工作: a)行銷上海,日本,香港味精,確定狀態(tài)1,2,3. b)市場(chǎng)調(diào)查,求得目前狀況,即初始

17、分布 c)調(diào)查流動(dòng)狀況;上月轉(zhuǎn)本月情況,求出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率. 1)初始向量: 設(shè) 上海味精狀況為1; 日本味精狀況為2; 香港味精狀況為3;有 S(0) = S1(0) S2(0) S3(0) = 0.4 0.3 0.32)確定一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P11 P12 P13 0.4 0.3 0.3 P = P21 P22 P23 = 0.6 0.3 0.1 P31 P32 P33 0.6 0.1 0.33),3 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(假定要預(yù)測(cè)3個(gè)月后) P11(3) P12(3) P13(3) 0.496 0.252 0.252 P3= P21(3) P22(3) P23(3) = P = 0.504

18、 0.252 0.244 P31(3) P32(3) P33(3) 0.504 0.244 0.252 34)預(yù)測(cè)三個(gè)月后市場(chǎng) 0.496 0.252 0.252 S(3) = S(0)P3 =0.4 0.3 0.3 0.504 0.252 0.244 0.504 0.244 0.252S1(3) = 0.40.496 +0.30.504 + 0.30.504 = 0.5008S2(3) = 0.2496S3(3) = 0.2496 二.長(zhǎng)期市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè) 這是求當(dāng) k 時(shí) S(k) ? 我們知道: S(k) = S(0) P lim S(k) = S(0) lim P = S(0)T = U

19、 因此,在已知初始條件下求長(zhǎng)期市場(chǎng)占有率就是求穩(wěn)態(tài)概率矩陣,也是求固定概率向量. 求固定概率向量的方法,我們?cè)谇耙还?jié)已有例子,只不過說明了長(zhǎng)期市場(chǎng)占有率也是只與穩(wěn)態(tài)矩陣有關(guān),與初始條件無關(guān). kk 上面味精例子, 0.4 0.3 0.3 已知 P = 0.6 0.3 0.1 0.6 0.1 0.4 0.5 0.25 0.25 求出 T = 0.5 0.25 0.25 = lim Pk 0.5 0.25 0.25 lim S(k) = 0.5 0.25 0.25 即中國味精可擁有50%的長(zhǎng)期市場(chǎng). 案例一案例一: :假設(shè)有N個(gè)相互獨(dú)立的房間，編號(hào)為1，2，N。假設(shè)有一個(gè)人隨機(jī)地從這個(gè)房間走到那個(gè)

20、房間，在時(shí)刻 時(shí)，它所在的那個(gè)房間，我們稱 為其所處的狀態(tài)。那么這個(gè)人未來將處于什么樣的狀態(tài)只與他現(xiàn)在所處的狀態(tài) （i=1,2,N）有關(guān)，與他之前所處在哪個(gè)房間無關(guān)（即無后效性）。記 為時(shí)刻 時(shí)人所處的狀態(tài)， 就是一個(gè)均勻的馬爾柯夫鏈，則:表示在時(shí)刻 人在第i個(gè)房間，在下一時(shí)刻 走到第j個(gè)房間的可能性，又稱為從狀態(tài) 經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到 的概率，簡(jiǎn)稱為一步轉(zhuǎn)移概率，將所有的 依次排列起來，就構(gòu)成了一個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣。nt12 ,nx xx1(|), ,1,2,njniijP xSxSP i jnnt1ntiSjSijP案例二案例二: :設(shè)某種商品的銷售情況分為“暢銷”和“滯銷”兩種，“1”表示暢銷，“2

21、”表示滯銷。以 表示第n年的銷售狀態(tài)，則 可取值為1或2。若未來的商品銷售狀態(tài)只與現(xiàn)在的市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān)，而與以前的市場(chǎng)狀態(tài)無關(guān)，則該商品的市場(chǎng)狀態(tài) ,n=1就構(gòu)成了一個(gè)馬爾柯夫鏈。設(shè)：則其中 （連續(xù)暢銷的可能性） （由暢銷轉(zhuǎn)入滯銷的可能性） （由滯銷轉(zhuǎn)入暢銷的可能性） （連續(xù)滯銷的可能性）則轉(zhuǎn)移概率矩陣為 nxnxnx1(|)( ,1,2, )njnjijP xSxSP i jn110.5P 120.5P 210.4P 220.5P 2.2.帶利潤的馬爾柯夫帶利潤的馬爾柯夫鏈鏈在案例二中，商品的銷售狀態(tài)有暢銷和滯銷兩種，多數(shù)情況下暢銷就意味著盈利，而滯銷就意味著虧本，因此隨著商品銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，

22、伴隨著利潤的產(chǎn)生，這種隨著馬爾柯夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移，賦予一定的利潤，稱為帶利潤的馬爾柯夫鏈。 對(duì)于有N個(gè)狀態(tài)的馬爾柯夫過程，當(dāng)系統(tǒng)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j時(shí)，假定獲得相應(yīng)的 “利潤”為 ，則稱 為系統(tǒng)的利潤矩陣，表示了對(duì)應(yīng)于全部可能狀態(tài)轉(zhuǎn)移的利潤和效益聯(lián)系。ijr由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，因此一系列利潤是隨機(jī)變量，其概率關(guān)系由馬爾柯夫鏈的轉(zhuǎn)移概率決定。我們假設(shè)對(duì)于馬爾柯夫鏈，如果系統(tǒng)現(xiàn)在處于狀態(tài)i，在經(jīng)過n次狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后的期望利潤是多少？設(shè)對(duì)于每個(gè)概率轉(zhuǎn)移矩陣 ，有一個(gè)利潤矩陣 與之相對(duì)應(yīng)。我們定義 為系統(tǒng)現(xiàn)在處于狀態(tài)i ，經(jīng)過n次轉(zhuǎn)移之后所獲利潤的期望總值，則有： i=1,2,N； n=1,2,。 9-1

23、5） 重新整理得到： 記： i=1,2,N 這里 可以解釋為由狀態(tài)i作出一次轉(zhuǎn)移的期望利潤，稱為狀態(tài)i的期望直接利潤。定義 為期望值向量，令 ，則式9-15可以記為： ()ijPP( )ijRr( )iv n1( )(1)Niijijjjv nP rv n11( )(1)NNiij ijijjjjv nP rP v n1Niij ijjqP riq12( )( ( ),( ),( )TNv nv n v nvn12(,)TNqq qq( )(1)v nqPv n 案例三：案例三：某商品的暢銷（狀態(tài)1）滯銷（狀態(tài)2）情況如案例二中所描述，其過程的概率轉(zhuǎn)移矩陣為： 其利潤關(guān)系如下：如果某年處于狀態(tài)

24、1，下一年仍然處于狀態(tài)1，則其利潤為9單位；若下一年處于狀態(tài)2，則利潤為3單位。若某年處于狀態(tài)2，下一年仍處于狀態(tài)2，則其損失為7單位；若下一年轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1，則利潤為3單位。得到報(bào)酬矩陣為 則由得到 若設(shè) ，則由 得依次可以計(jì)算出v(4)、v(5)，如下表所示從上表可以看出不同周期銷售商的獲益情況，并可以得知：v1(n)與v2(n)的差值約為10。這表明，由狀態(tài)1開始與從狀態(tài)2開始其經(jīng)營過程的利潤期望值之差為10個(gè)單位。3.3.馬爾柯夫分析馬爾柯夫分析實(shí)例實(shí)例馬爾柯夫預(yù)測(cè)法在市場(chǎng)分析預(yù)測(cè)特別是對(duì)客戶流動(dòng)性強(qiáng)的商品市場(chǎng)情況預(yù)測(cè)中有重要的作用。案例案例四：四：隨著人們生活水平的提高，咖啡越來越受到人們的喜好，現(xiàn)在某種速溶咖啡的銷售商委托信息分析人員作一次預(yù)測(cè)。市場(chǎng)上流行有三種速溶咖啡：雀巢、麥斯威爾和摩卡咖啡，需要預(yù)測(cè)在未來若干個(gè)月以后的市場(chǎng)占有情況。進(jìn)行此次預(yù)測(cè)需要若干個(gè)步驟，具體如下：步驟一：進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查，包括以下兩方面： 當(dāng)前的市場(chǎng)占有情況，我們假設(shè)調(diào)查的結(jié)果是：雀巢咖啡的市場(chǎng)占有率40%，麥斯威爾和摩卡的占有率各為30%。 調(diào)查顧客的流動(dòng)情況，假設(shè)調(diào)查結(jié)果為： 上一月份購買雀巢咖啡的顧客本月仍有40%買雀巢咖啡，各有30%轉(zhuǎn)向購買麥斯威爾和摩卡。 上一月份購買麥斯威爾咖啡的顧客本月仍有30%買麥斯