簡單的超靜力問題

1、材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題1第第 6 章章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題6-1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法6-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題6-3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題6-4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題26-1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法. . 關(guān)于超靜定問題的概述關(guān)于超靜定問題的概述(b)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題3 圖圖a所示靜定桿系為減小桿所示靜定桿系為減小桿1 ,2中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)A的位移的位

2、移( (如圖如圖b) )而增加了桿而增加了桿3。此時(shí)有三個(gè)未知內(nèi)力。此時(shí)有三個(gè)未知內(nèi)力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，但只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程 一一次超靜定問題次超靜定問題。(b)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題4 圖圖a所示簡支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖所示簡支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增增加了中間支座加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時(shí)有四個(gè)未知成為連續(xù)梁。此時(shí)有四個(gè)未知約束約束力力FAx, , FA, , FB, , FC，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程方程 一次超靜定問題。一次超靜定問題。 超靜定問題超靜定問題(

3、 (statically indeterminate problem) )：單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構(gòu)件內(nèi)力的問單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構(gòu)件內(nèi)力的問題。題。FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題5. . 解超靜定問題的基本思路解超靜定問題的基本思路基本靜定系基本靜定系(primary statically determinate system)解除解除“多余多余”約束約束(例如桿例如桿3與與接點(diǎn)接點(diǎn)A的連接的連接)例例1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單

4、的超靜定問題6在基本靜定系上加在基本靜定系上加上原有荷載及上原有荷載及“多多余余”未知力未知力并使并使“多余多余”約束約束處滿足變形處滿足變形( (位移位移) )相容條件相容條件相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題7 331N32111N3coscos2AElFAElFF 于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容由位移相容條件條件 ，利用物理關(guān)系利用物理關(guān)系( (位位移或變形計(jì)算公移或變形計(jì)算公式式) )可得補(bǔ)充方程：可得補(bǔ)充方程：AA 12B

5、CAF AFN3AA FN3ADA 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題8基本靜定系統(tǒng)基本靜定系統(tǒng)ABl補(bǔ)充方程為補(bǔ)充方程為048384534 EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FC。FC位移相容條件位移相容條件Cq+CFc=0 相相當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)ABl/2ql例例2超靜定梁超靜定梁yxl/2l/2CABq材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題9. 注意事項(xiàng)注意事項(xiàng) (1) 超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)=“多余多余”約束數(shù)約束數(shù)=“多余多余”未知未知力力=位移相容條件數(shù)位移相容條件數(shù)=補(bǔ)充方程數(shù)，因而任何超靜補(bǔ)充方程數(shù)

6、，因而任何超靜定問題都是可以求解的。定問題都是可以求解的。 (2) 求出求出“多余多余”未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。 (3) 無論怎樣選擇無論怎樣選擇“多余多余”約束，只要相當(dāng)系約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實(shí)與原超靜定系統(tǒng)相統(tǒng)的受力情況和約束條件確實(shí)與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。同，則所得最終結(jié)果是一樣的。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題10 (4) “多余多余”約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計(jì)算方便為原則。計(jì)算

7、方便為原則。 如上所示連續(xù)梁若取如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為處鉸支座為“多余多余”約約束，則求解比較復(fù)雜。束，則求解比較復(fù)雜。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題116-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題. . 拉壓超靜定基本問題拉壓超靜定基本問題舉例說明拉壓超靜定問題的解法。舉例說明拉壓超靜定問題的解法。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題12 求圖求圖a所示等直桿所示等直桿AB的約束力，的約束力，并求并求C截面的位移。桿的拉壓剛截面的位移。桿的拉壓剛度為度為EA。例題例題 6-

8、1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題131. 有兩個(gè)未知約束力有兩個(gè)未知約束力FA , FB（圖（圖a），但只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程），但只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程 FAFBF=0故為一次靜不定問題。故為一次靜不定問題。例題例題 6-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題14 2. 取固定端取固定端B為為“多余多余”約束，約束，F(xiàn)B為多余未知力。為多余未知力。相當(dāng)系統(tǒng)如圖相當(dāng)系統(tǒng)如圖b所示，它應(yīng)所示，它應(yīng)滿足相容條件為滿足相容條件為D DB0，利，利用疊加法得用疊加法得D DBF+D DBB=0，參見圖參見圖c ， d 。例題例題 6

9、-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題15 3. 利用胡克定律后可利用胡克定律后可得補(bǔ)充方程為得補(bǔ)充方程為 0 EAlFEAFaBlFaFB 由此求得由此求得所得所得FB為正值，表示為正值，表示FB的的指向與假設(shè)的指向相符，指向與假設(shè)的指向相符，即向上。即向上。例題例題 6-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題16得得 FA=F- -Fa/l=Fb/l。4. 由平衡方程由平衡方程 FA+FB- -F=0例題例題 6-15. 利用相當(dāng)系統(tǒng)（圖利用相當(dāng)系統(tǒng)（圖b）求得）求得D DC。 lEAFabEAalFbEAaFAC材料力學(xué)材

10、料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題17 拉壓超靜定問題的相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足變形的相容拉壓超靜定問題的相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足變形的相容條件，本例的相容條件為條件，本例的相容條件為D DlAC+D DlBC0。因?yàn)樽儭Ｒ驗(yàn)樽冃魏臀灰圃跀?shù)值上密切相關(guān)，可用已知的位移形和位移在數(shù)值上密切相關(guān)，可用已知的位移條件條件D DB0代替相容條件。代替相容條件。 2.小變形的情況下，利用疊加法求位移時(shí)，均是小變形的情況下，利用疊加法求位移時(shí)，均是利用構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，所以利用構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，所以D DBBFBl/EA，而不用，而不用D DBBFB(l+D DBF)/EA ，A為在為

11、在F力作用下變形后橫截面的面積。力作用下變形后橫截面的面積。例題例題 6-1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題18 求圖求圖a所示結(jié)構(gòu)中所示結(jié)構(gòu)中1, 2, 3桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力FN1 , FN2 , FN3。AB桿為剛性桿，桿為剛性桿，1, 2 , 3桿的拉壓剛度均為桿的拉壓剛度均為EA。aaaACDB132EFF(a)a例題例題 6-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題191. 共有五個(gè)未知力，如圖共有五個(gè)未知力，如圖b所示，但只有三個(gè)獨(dú)立所示，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程，故為二次靜不定問題。的靜力平衡方程，故為二次靜不定

12、問題。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題例題 6-2解：解：材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題20 2. 取取1桿和桿和2桿為桿為AB桿的多余約束，桿的多余約束，F(xiàn)N1和和FN2為多余未知力。得基本靜定系如圖為多余未知力。得基本靜定系如圖c。CF3(c)AB例題例題 6-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題213. 由變形圖（圖由變形圖（圖d）可得變形相容條件為）可得變形相容條件為FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC112

13、3122llll (2)(1)例題例題 6-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題224. 利用胡克定律，由利用胡克定律，由(1)(2)式可得式可得補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程： EAaFEAaFEAaFEAaFN12NN31N2 22 ，解得解得 FN1=2FN3, (3) FN2=2FN1=4FN3 (4)例題例題 6-2FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC1材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題23 5. AB桿受力如圖桿受力如圖b所示，所示，MA=0得得)5

14、(0)3()2(212N3N1N aFaFaFaF聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得)(12. 121012124)(56. 02101262)(28. 02101233N2N3N1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題例題 6-2材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題24II. 裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力(1) 裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力 超靜定桿系超靜定桿系(結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu))由由于存在于存在“多余多余”約束，約束，因此如果各桿件在制造因此如果各桿件在制造時(shí)長度不相匹配，則組時(shí)長度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加裝

15、后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力內(nèi)力裝配內(nèi)力裝配內(nèi)力，以，以及相應(yīng)的及相應(yīng)的裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題25 圖圖a中所示桿系中所示桿系( (E1A1=E2A2) )中桿中桿3的長度較的長度較應(yīng)有長度短了應(yīng)有長度短了D De，裝配后各桿的位置將如圖中虛，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時(shí)，桿線所示。此時(shí)，桿3在結(jié)點(diǎn)在結(jié)點(diǎn) A 處受到裝配力處受到裝配力FN3作用作用( (圖圖b) )，而桿，而桿1, ,2在匯交點(diǎn)在匯交點(diǎn)A 處共同承受與處共同承受與桿桿3相同的裝配力相同的裝配力FN3作用作用( (圖圖b) )。(a)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案

16、電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題26求算求算FN3需利用位移需利用位移( (變形變形) )相容相容條件條件( (圖圖a) )列出補(bǔ)充方程列出補(bǔ)充方程由此可得裝配力由此可得裝配力FN3，亦即桿，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為中的裝配內(nèi)力為eAAAAD D eAElFAElFD D 21113N333N3cos2 D D21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力）拉力）(a)材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題27 至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力力( (軸力軸力) )除以桿的橫截面面積即得。除以桿的橫截面面

17、積即得。 由此可見，計(jì)算超靜定桿系由此可見，計(jì)算超靜定桿系( (結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)) )中的裝配中的裝配力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵, ,仍在于根據(jù)位移仍在于根據(jù)位移( (變形變形) )相容相容條件并利用物理關(guān)系列出補(bǔ)充方程。條件并利用物理關(guān)系列出補(bǔ)充方程。而桿而桿1和桿和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為中右側(cè)的圖可知為 壓壓力力 D D 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題28 兩根相同的鋼桿兩根相同的鋼桿1、 2，其其長度長度l =200 mm，直徑，直徑d =10

18、 mm。兩端用剛性塊連接在一。兩端用剛性塊連接在一起如圖起如圖a所示。將長度為所示。將長度為200.11 mm，亦即，亦即D De=0.11 mm的銅桿的銅桿3（圖圖b）裝配在與桿裝配在與桿1和桿和桿2對(duì)對(duì)稱的位置稱的位置( (圖圖c) )，求各桿橫截面，求各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿上的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫的橫截面為截面為20 mm30 mm的矩形，的矩形，鋼的彈性模量鋼的彈性模量E=210 GPa，銅，銅的彈性模量的彈性模量E3=100 GPa。例題例題 6-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題291. 裝配后有三個(gè)未知的裝配內(nèi)力裝配后有三個(gè)未知的裝配

19、內(nèi)力FN1, FN2 , FN3，如，如圖圖d所示。但平行力系只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，所示。但平行力系只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次靜不定問題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對(duì)稱關(guān)故為一次靜不定問題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可判明系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個(gè)，但要注，故未知內(nèi)力只有二個(gè)，但要注意此時(shí)就只能利用一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程：意此時(shí)就只能利用一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以這仍然是一次靜不定問題。所以這仍然是一次靜不定問題。例題例題 6-3解：解：材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題302. 變形相容條件變形相容條件(

20、 (圖圖c) )為為這里的這里的D Dl3是指桿是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號(hào)。在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號(hào)。)2(31ell 例題例題 6-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題313. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得補(bǔ)充方程式得補(bǔ)充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例題例題 6-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題324. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)和和(3)式得式得 所得結(jié)果為正，所得結(jié)果為正，說明原先假定桿說明原先假定桿1、2的裝配內(nèi)力為拉力和的裝配內(nèi)力為拉力和桿桿3的裝配內(nèi)力為壓的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。

21、力是正確的。 EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例題例題 6-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題335. 各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉應(yīng)力）（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）例題例題 6-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題34求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問題，其關(guān)鍵仍是求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問題，其關(guān)鍵仍是根據(jù)相容條件建立變形幾何方程。根據(jù)相容條件建立變形幾何方程。以上計(jì)算結(jié)果表明，很小的制造誤差，

22、卻產(chǎn)生以上計(jì)算結(jié)果表明，很小的制造誤差，卻產(chǎn)生較大的裝配應(yīng)力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。較大的裝配應(yīng)力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應(yīng)力的因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應(yīng)力的不利影響。不利影響。例題例題 6-3材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題35(2) 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力 也是由于超靜定桿系存在也是由于超靜定桿系存在“多余多余”約束，桿約束，桿件會(huì)因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度件會(huì)因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時(shí)由于不能

23、自由伸縮，其橫截面上會(huì)產(chǎn)生度變化時(shí)由于不能自由伸縮，其橫截面上會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題36 兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖a所示。所示。試求當(dāng)溫度升高試求當(dāng)溫度升高D Dt 時(shí)橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的時(shí)橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為橫截面面積為A，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為E，線膨脹系，線膨脹系數(shù)為數(shù)為 l。例題例題 6-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題371. 若若AB桿僅桿僅A端固定，端固定，B端無約束，當(dāng)溫度升高端

24、無約束，當(dāng)溫度升高時(shí)，只會(huì)產(chǎn)生縱向伸長時(shí)，只會(huì)產(chǎn)生縱向伸長D Dlt，而不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。當(dāng)，而不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。當(dāng)A、B均為固定端時(shí)，均為固定端時(shí)， D Dlt受到約束不能自由伸長，受到約束不能自由伸長，桿端產(chǎn)生約束力桿端產(chǎn)生約束力FA和和FB。兩個(gè)未知力，一個(gè)平衡。兩個(gè)未知力，一個(gè)平衡方程，為一次靜不定問題。方程，為一次靜不定問題。(b)例題例題 6-4解：解：材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題38 2. 以剛性支撐以剛性支撐B為為“多余多余”約束，約束，F(xiàn)B為多余約為多余約束未知力，設(shè)基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸束未知力，設(shè)基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長變形

25、長變形D Dlt，由，由“多余多余”未知力未知力FB產(chǎn)生的縮短變產(chǎn)生的縮短變形形D DlF分別如圖分別如圖c、d所示。所示。(c)(d)例題例題 6-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題393. 變形相容條件是桿的總長度保持不變，即變形相容條件是桿的總長度保持不變，即(1)0 Ftll(c)(d)例題例題 6-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題404. 將將(2)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN, (2)0N EAlFltl 補(bǔ)充方程為補(bǔ)充方程為(3)(c)(d)例題例題 6-4材料力學(xué)材料力學(xué)(

26、)電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題415. 由由(3)式解得式解得tEAFlN (c)(d)例題例題 6-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題426. 桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為tEAFlN (c)(d)例題例題 6-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題43 若該桿為鋼桿。若該桿為鋼桿。 l =1.210- -5/( (C)，E=210 109Pa，則當(dāng)溫度升高則當(dāng)溫度升高D Dt =40時(shí)有時(shí)有 MPa100 Pa10100C40Pa10210C/102 . 1695 tEl （壓應(yīng)力）

27、（壓應(yīng)力）例題例題 6-4材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題44 兩端固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C處受處受扭轉(zhuǎn)力偶矩扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖作用，如圖a所示。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛所示。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為度為GIp。試求桿兩端的反力偶矩以及。試求桿兩端的反力偶矩以及C截面的扭截面的扭轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。例題例題 6-56-3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題451. 有二個(gè)未知的反力偶矩有二個(gè)未知的反力偶矩MA， MB，但只有一，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故

28、為一次超靜定問題。故為一次超靜定問題。 0 0eBAxMMMM，(b)MAMB例題例題 6-5解：解：材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題46 2. 以固定端以固定端B為為“多余多余”約束，反力偶矩約束，反力偶矩MB為為“多余多余”未知力。在基本靜定系上加上荷載未知力。在基本靜定系上加上荷載Me和和“多余多余”未知力偶矩未知力偶矩MB(如圖如圖c)；它應(yīng)滿足的位移；它應(yīng)滿足的位移相容條件為相容條件為B截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角j jB=0，利用疊加法可，利用疊加法可得得BBMBMj jj j e(c)例題例題 6-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定

29、問題簡單的超靜定問題47可由平衡方程求得為可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件并利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程根據(jù)位移相容條件并利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程求得求得ppeGIlMGIaMB eeeelbMlaMMMMMBA elaMMB 例題例題 6-5材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題484. 桿的桿的AC段橫截面上的扭矩為段橫截面上的扭矩為lbMMMMTABACee (c)例題例題 6-5從而有從而有 peplGIabMGIaTACC j j材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題49 圖圖a所示組合桿，由半徑為所示組合桿，由半徑為ra的

30、實(shí)心銅桿和外的實(shí)心銅桿和外半徑為半徑為rb，內(nèi)半徑為，內(nèi)半徑為ra的空心鋼桿牢固地套在一的空心鋼桿牢固地套在一起，兩端固結(jié)在剛性塊上，受扭轉(zhuǎn)力偶矩起，兩端固結(jié)在剛性塊上，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用。作用。試求實(shí)心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩試求實(shí)心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩Ta和和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。例題例題 6-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題50實(shí)心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩分別為實(shí)心銅桿和空心鋼桿橫截面上的扭矩分別為Ta和和Tb(圖圖b)，但只有一個(gè)獨(dú)立平衡方程，但只有一個(gè)獨(dú)立平衡方

31、程 Ta+Tb= Me (1) 故為一次超靜定問題。故為一次超靜定問題。例題例題 6-6解：解：TbTaMe材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題512. 位移相容條件為實(shí)心桿和空心桿的位移相容條件為實(shí)心桿和空心桿的B截面相對(duì)截面相對(duì)于于A截面的扭轉(zhuǎn)角相等。在圖截面的扭轉(zhuǎn)角相等。在圖b中都用中都用j j表示（設(shè)表示（設(shè)A端固定）。端固定）。)2(BbBaj jj j 例題例題 6-6TbTaMe材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題523. 利用物理關(guān)系由利用物理關(guān)系由(2)式得補(bǔ)充方程為式得補(bǔ)充方程為)3( ppppbbbaaabb

32、baaaTIGIGTIGlTIGlT ，即即例題例題 6-6TbTaMe材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題534. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)式和式和(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa ，例題例題 6-6TbTaMe材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題545. 實(shí)心銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為實(shí)心銅桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心鋼桿橫截面上任意空心鋼桿橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力為點(diǎn)的切應(yīng)力為 bbbaabbbbraIGIG

33、MGIT ppep切應(yīng)力沿半徑的變化切應(yīng)力沿半徑的變化情況如圖情況如圖c所示。所示。ara arb rarb(c)例題例題 6-6材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題55 由圖由圖c可見，在可見，在 = ra處，處， a b，這是因?yàn)?，這是因?yàn)?Ga D DC D DA的情的情況進(jìn)行分析。此時(shí)，支座況進(jìn)行分析。此時(shí)，支座B相對(duì)于支座相對(duì)于支座A 、C 沉陷沉陷后的點(diǎn)后的點(diǎn)A1 、C1 的連線有位移的連線有位移材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題77于是，如以支座于是，如以支座B1作為作為“多余多余”約束，以約束力約束，以約束力FB

34、為為“多余多余”未知力，則作為基本靜定系的簡支未知力，則作為基本靜定系的簡支梁梁A1C1(參見圖參見圖b)在荷載在荷載 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是210CABBBBw 材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題78于是得補(bǔ)充方程于是得補(bǔ)充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按疊加原理有按疊加原理有( (參見圖參見圖c、d):):材

35、料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題79再由靜力平衡方程可得再由靜力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題80(2) 梁的上梁的上,下表面溫度差異的影響下表面溫度差異的影響 圖圖a所示兩端固定的梁所示兩端固定的梁AB在溫度為在溫度為 t0 時(shí)時(shí)安裝安裝就位，其后，由于梁的就位，其后，由于梁的頂頂面溫度升高至面溫度升高至 t1，底，底面面溫度升高至溫度升高至 t2，且，且 t2t1，從而產(chǎn)生，從而產(chǎn)生約束力約束力如圖如圖中所示。中所示。 由于未知的由于未知的約束力約束力有有6個(gè)，而獨(dú)立的平

36、衡方個(gè)，而獨(dú)立的平衡方程只有程只有3個(gè)，故為三次超靜定問題。個(gè)，故為三次超靜定問題。l材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題81 現(xiàn)將右邊的固定端現(xiàn)將右邊的固定端B處的處的3個(gè)約束作為個(gè)約束作為“多余多余”約束，則解除約束，則解除“多余多余”約束后的基本靜定系為左約束后的基本靜定系為左端固定的懸臂梁。端固定的懸臂梁。它在上它在上, ,下表面有溫差的情況下，右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角下表面有溫差的情況下，右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角 Bt和撓度和撓度wBt( (見圖見圖c) )以及軸向位移以及軸向位移D DBt。材料力學(xué)材料力學(xué)()電子教案電子教案簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題82 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力FBx對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角的對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角的影響，則由上影響，則由上,下表面溫差和下表面溫差和“多余多余”未知力共同未知力共同引起的位移符合下列相容條件時(shí)，圖引起的位移符合下列相容條件時(shí)，圖b所示的懸臂所示的懸臂梁就是原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：梁就是原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBM