第14章電磁感應-修

1、第第1414章章 電磁感應電磁感應14.1 14.1 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律14.2 14.2 動生電動勢動生電動勢14.3 14.3 感生電動勢和感生電場感生電動勢和感生電場 14.5 14.5 自感自感14.6 14.6 磁場能量磁場能量 * *15.1 15.1 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 * *14.4 14.4 互感互感電電 流流磁磁 場場產產 生生?1820年丹麥物理學家奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應年丹麥物理學家奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應電磁感應電磁感應變化的磁場產生電場的現(xiàn)象變化的磁場產生電場的現(xiàn)象1830s,1830s,英國物理學家法拉第做了一系英國物理學家法拉第做了

2、一系列的實驗（列的實驗（&independently by&independently by美國美國物理學家亨利）物理學家亨利）一一. . 現(xiàn)象現(xiàn)象 變化變化 本質是電動勢本質是電動勢BvvRG均可使電流計均可使電流計指針擺動指針擺動第一類第一類第二類第二類 14.1 14.1 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律 線圈面積不變線圈面積不變,所所在處磁場發(fā)生變化在處磁場發(fā)生變化線圈所在處磁場不線圈所在處磁場不變變,面積發(fā)生變化面積發(fā)生變化二、法拉第電磁感應定律二、法拉第電磁感應定律 閉合回路內閉合回路內感應電動勢感應電動勢dtd 1、dtd感應電動勢是由感應電動勢是由磁通量的變化引起的磁通量的

3、變化引起的SSdBdtddtdB的變化的變化感生感生S的變化的變化動生動生,0 感應電動勢的方向感應電動勢的方向與與回路繞向回路繞向相同相同,0 感應電動勢的方向感應電動勢的方向與與回路繞向回路繞向相反相反2 2、感應電動勢的方向由、感應電動勢的方向由 的正負決定的正負決定 首先任定回路的繞行方向首先任定回路的繞行方向, ,回路所圍平面法向量的方向回路所圍平面法向量的方向與回路繞向滿足右手螺旋法則與回路繞向滿足右手螺旋法則. .當當0,若磁通量增加若磁通量增加,則則 ,若磁通量減小若磁通量減小, 0dt/d 0dt/d 當當0, 磁通量增加磁通量增加 0dtd則則0dtd即即與與L的的繞行方向

4、相反繞行方向相反若取若取繞行方向繞行方向，如圖所示如圖所示0, 電流電流BA,電勢電勢:B低低A高高0,電流電流AB,電勢電勢:A低低B高高dtd 適用于一切產生電動勢的回路適用于一切產生電動勢的回路Note：思考：洛侖茲力作功嗎？思考：洛侖茲力作功嗎？Bvefm ve電子隨導電子隨導線的運動線的運動速度速度mf方向如圖方向如圖,evBfm u電子電子漂移漂移速度速度Buefm 方向如圖方向如圖,euBfm mf vu mmff 功率：功率： vuffmm )()(vufvufmm vfufmm 0 euBvevBu洛侖茲力不作功洛侖茲力不作功它是功的轉移者它是功的轉移者Continue：動生

5、電動勢作功能量從哪里來？：動生電動勢作功能量從哪里來？動生電動勢做功功率：動生電動勢做功功率：P=I =IBlvab受磁力：受磁力：Fm=IBl 方向向左方向向左若使若使ab保持勻速運動，則需要外力保持勻速運動，則需要外力Fext與與Fm平衡：平衡：B均勻磁場均勻磁場IextFabmFv mextFF 所以外力功率：所以外力功率：Pext=Fextv=IBlv結論：電能由外力做功所消耗的機械能轉化而來。結論：電能由外力做功所消耗的機械能轉化而來。例例1 1：有一半圓形金屬導線在勻強磁場中作切割磁有一半圓形金屬導線在勻強磁場中作切割磁 力線運動。已知：力線運動。已知：求：動生電動勢？求：動生電動

6、勢？.R,B,v+Bv l d)Bv(d cosdlsinvB090 22dcosvBRRvB2 Rddl解：方法一解：方法一+RvBabl d d方向：方向：ba 0 i 作輔助線，形成閉合回路作輔助線，形成閉合回路RBvab2 半半圓圓方向：方向：ba 方法二方法二+RvBababzBLldvBvBvBrBlBsin cosvBdl ldlB 2sin L02)b()a(ldlsinBd 22sin2LB 解：解：dl在導線在導線 上取上取L該段導線運動速度垂直紙面向內該段導線運動速度垂直紙面向內運動半徑為運動半徑為r 2l dBvd )( r例例2. 2. 在空間均勻的磁場中在空間均勻的

7、磁場中 ，導線，導線ab 繞繞Z 軸以軸以 勻速旋轉，勻速旋轉，導線導線ab與與Z軸夾角為軸夾角為 BBzabL設設求：導線求：導線ab 中的電動勢中的電動勢方向方向 a babzBL作輔助線法：作輔助線法：添加輔助導線添加輔助導線bca，連接導線，連接導線ab使之成為一個回路。使之成為一個回路。c則此回路在磁場中旋轉時，則此回路在磁場中旋轉時，任意時刻的磁通量均為零，任意時刻的磁通量均為零，故此回路總電動勢為零，所故此回路總電動勢為零，所以以 ab= cb。2sin22sin0sin00 LBdllBdlvBl dBvLLcbcb 而而例例3. 一半徑為一半徑為R 的銅盤在均勻磁場的銅盤在均

8、勻磁場B 中以角速度中以角速度 轉動，轉動， 求盤上沿半徑方向產生的感應電動勢。求盤上沿半徑方向產生的感應電動勢。B均勻磁場均勻磁場解：解：圓盤可視為由無數(shù)沿導線半圓盤可視為由無數(shù)沿導線半徑的銅桿并聯(lián)而成。徑的銅桿并聯(lián)而成。圓盤的感應電動勢圓盤的感應電動勢每個半徑上銅桿的動生電動勢每個半徑上銅桿的動生電動勢rdr任取長為任取長為L的銅條，在的銅條，在r 處取線元處取線元rdrdBvd )( Bv rBdr RrBdr0 22BR 方向：沿半徑由方向：沿半徑由盤心指向盤邊盤心指向盤邊例題：例題：一直導線一直導線ABAB在一無限長直電流磁場中作在一無限長直電流磁場中作 切割磁力線運動。求：動生電動

9、勢？切割磁力線運動。求：動生電動勢？例例4：非均勻磁場：非均勻磁場bBv l d)Bv(d 000sin90cos1802Ivdxx02vIdxx 02a bavIdxx abalnvI 20解：解：方法一方法一方向：方向：BABA方法二方法二abICD)O(EFX SSdB 作輔助線，形成閉合回路作輔助線，形成閉合回路CDEFCDEFabaIx ln20 dtdi dtdxabaI)ln2(0 abalnIv 20方向方向CD v baaxdrrI 20rdr1 1、感生電動勢、感生電動勢由于磁場發(fā)生變化而激發(fā)的由于磁場發(fā)生變化而激發(fā)的電動勢電動勢電磁感應非靜電力非靜電力洛侖茲力洛侖茲力感生

10、電動勢感生電動勢動生電動勢動生電動勢非靜電力非靜電力?GNS14.3 14.3 感生電動勢和感生電場感生電動勢和感生電場 2 2、麥克斯韋假設：、麥克斯韋假設：變化的磁場變化的磁場在其周圍空間會激發(fā)一種渦旋狀的電場，在其周圍空間會激發(fā)一種渦旋狀的電場，稱為稱為渦旋電場渦旋電場或或感生電場感生電場。記作。記作 或或感感E渦渦E非靜電力非靜電力感生電動勢感生電動勢感生電場力感生電場力 Lil dE渦渦 由法拉第電磁感應定律由法拉第電磁感應定律)Sd(dtdS SSdtBiddt Lil dE渦渦 在一個導體回路在一個導體回路L中中,產生的感生電動勢產生的感生電動勢討論：討論： 2 2） S S 是

11、以是以 L L 為邊界的任一曲面。為邊界的任一曲面。SLSS 的法線方向應選得與曲線的法線方向應選得與曲線 L L 的積分方的積分方向成右手螺旋關系向成右手螺旋關系是曲面上的任一面元上磁感應強度的變化率是曲面上的任一面元上磁感應強度的變化率tB SLSdtBl dE渦1 1） 此式反映變化磁場和感生電場的相互關系，即感此式反映變化磁場和感生電場的相互關系，即感生電場是由變化的磁場產生的。生電場是由變化的磁場產生的。 不是積分回路線元上的磁感應強度的變化率不是積分回路線元上的磁感應強度的變化率渦渦EtB 與與構成構成左旋關系左旋關系。渦渦EtB 3） SLSdtBl dE渦渦tB 渦渦E Btd

12、Bd感生電場電力線感生電場電力線 渦渦E渦渦E由靜止電荷產生由靜止電荷產生由變化磁場產生由變化磁場產生線是線是“有頭有尾有頭有尾”的，的，靜E是一組閉合曲線是一組閉合曲線起于正電荷而終于負電荷起于正電荷而終于負電荷感感E線是線是“無頭無尾無頭無尾”的的感生電場（渦旋電場）感生電場（渦旋電場）靜電場（庫侖場）靜電場（庫侖場）具有電能、對電荷有作用力具有電能、對電荷有作用力具有電能、對電荷有作用力具有電能、對電荷有作用力0 SSdE渦渦iSqSdE01靜 SLSdtBl dE渦渦0l dEL靜動生電動勢動生電動勢感生電動勢感生電動勢特特點點磁場不變，閉合電路磁場不變，閉合電路的整體或局部在磁場的整

13、體或局部在磁場中運動導致回路中磁中運動導致回路中磁通量的變化通量的變化閉合回路的任何部分閉合回路的任何部分都不動，空間磁場發(fā)都不動，空間磁場發(fā)生變化導致回路中磁生變化導致回路中磁通量變化通量變化原原因因由于由于S的變化引起的變化引起回路中回路中 m變化變化非靜非靜電力電力來源來源感生電場力感生電場力 l dBvi SiSdtBl dE渦渦 洛侖茲力洛侖茲力由于由于 的變化引起的變化引起回路中回路中 m變化變化B3 3、感生電場的計算、感生電場的計算 SLSdtBldE渦渦 具有對稱分布時可計算具有對稱分布時可計算渦E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LBSS是以是以L為邊界的面積為邊界的面積S與與L 的方向為右螺關系的方向為右螺關系是曲面上的任一面元上磁感應強度的變化率是曲面上的任一面元上磁感應強度的變化率tB 如長直螺線管內部的場：空間均勻的磁場被限制在圓柱體內如長直螺線管內部的場：空間均勻的磁場被限制在圓柱體內，磁感強度方向平行柱軸。，磁感強度方向平行柱軸。當磁場隨時間變化當磁場隨時間變化 則感生電場具有柱對稱分布則感生電場具有柱對稱分布BtB R例例1 1 局限于半徑局限于半徑 R R 的圓柱形空

15、間內分布有均勻磁場，的圓柱形空間內分布有均勻磁場， 方向如圖。磁場的變化率方向如圖。磁場的變化率0 tB求：求： 圓柱內、外的圓柱內、外的 分布。分布。渦渦Er lSSdtBldE渦渦lSdStBdlE000cos0cos渦22rtddBrE渦tddBrE2渦Rr 解：解：L方向：方向：逆時針方向逆時針方向討論討論負號表示負號表示渦EdtdB與與反號反號 B)(10 tddB則則0渦E渦渦E與與 L 積分方向切向同向積分方向切向同向 B)(20 tddB則則0渦EtddBrE2渦與與 L 積分方向切向反向積分方向切向反向渦渦EBtB RrL在圓柱體外，由于在圓柱體外，由于B=0 Ll dE0渦

16、渦上上于是于是L 0 感感E LSSdtBl dE渦渦雖然雖然tB L 上每點為上每點為0 0，在在但在但在S 上則并非如此。上則并非如此。由圖可知，這個圓面積包括柱體內部分的面積，而由圖可知，這個圓面積包括柱體內部分的面積，而柱體內柱體內 tB L rBR0 tBRr L 0 tB上上故故?SS RB22RtddBrE渦tddBrRE22渦 SSdtB2RtddB Ll dE渦渦2RtddB方向：逆時針方向方向：逆時針方向 tB L rBRSS RBtddBr2Rr tddBrR22Rr 渦渦E渦渦EORr tB L rBRSS RB總結：總結：b B t )a()o(i0l dE l dE

17、i 可利用可利用這一特點這一特點較方便地求較方便地求其他線段內的感生電動勢其他線段內的感生電動勢 例例3. 3. 求上圖中長為求上圖中長為L的線段的線段ab上的感生電動勢上的感生電動勢 解：解：補上兩個半徑補上兩個半徑oa和和bo與與ab構成回路構成回路obaodtdaobaobi 00 obao dtdB4/LR2LdtdBS22ba oa例例2.2.圓柱形均勻磁場內，圓柱形均勻磁場內， 求半徑求半徑oa 上的感生電動勢上的感生電動勢0cdtdB 解：解：方向方向:baadtdBSdtdsBddtsdBddtdSS 法法2: tB boa感生電場感生電場sdtBl dESLi dtdB2rE

18、i 2/L2/LrhdldtdB2rdtdB4/LR2L22 abil dE abiabicosdlEl dE LdtdB2h dlrEi以以r為半徑的圓周為閉合回路為半徑的圓周為閉合回路L,設設L逆逆時針繞向時針繞向L2rdtdBr2E 逆時針逆時針方向方向:baaab B t 求求: :ba 解：解：補上半徑補上半徑 ob ao設回路方向如圖設回路方向如圖dtdaobaobobao 00aoob dtdBSba扇扇形形 o odtdba 扇扇形形BS 方向方向:baa 0 tBBoabcRRRddtdBSoabdo obdoaboabdoSSS 62123212 RRR dtdB)RR(2

19、21243 ca 方方向向求求: :ac14.5 14.5 自感自感self-inductionself-induction實際線路中的感生電動勢問題實際線路中的感生電動勢問題一一. .自感現(xiàn)象自感現(xiàn)象 自感系數(shù)自感系數(shù)I線線圈圈由于自身線路中電流的變化，而在由于自身線路中電流的變化，而在自身線路中產生感應電流的現(xiàn)象自身線路中產生感應電流的現(xiàn)象自感現(xiàn)象自感現(xiàn)象自感系數(shù)自感系數(shù)的定義的定義LI dtdILdtdi IL 定義定義演示演示AKBI 通過線圈通過線圈所圍面積所圍面積的總磁通的總磁通量量例例1010：求長直螺線管的自感系數(shù)：求長直螺線管的自感系數(shù) 幾何條件如圖幾何條件如圖解：解：設通電

20、流設通電流 IIlNB NBSN lSNIL2 ISl總長總長N總匝數(shù)總匝數(shù)幾何條件幾何條件介質介質單位：亨利單位：亨利HVnL2 或或同軸電纜由半徑分別為同軸電纜由半徑分別為 R1 和和R2 的兩個無限長同軸的兩個無限長同軸圓筒狀導體組成。圓筒狀導體組成。例例求無限長同軸電纜單位長度上的自感求無限長同軸電纜單位長度上的自感II解解 由安培環(huán)路定理可知由安培環(huán)路定理可知21RrRrIBr2021Rr ,Rr0BSdSBmddrlrIrd20 21d20RRrmrlrI 120ln2RRIlr 120ln2RRIlLrm小結：小結： 設設IBmL（與電流無關）（與電流無關）rl1R2Rr1 14

21、.6 4.6 磁場能量磁場能量 一、現(xiàn)象一、現(xiàn)象二、定量分析二、定量分析能量儲存在自感線圈的磁場中能量儲存在自感線圈的磁場中能量從自感線圈的磁場中釋放能量從自感線圈的磁場中釋放K1接通接通iRdtdiL RI)e1(IitLR 1KR2K 解方程解方程從從t=0時刻開始時刻開始,經過足夠長時間經過足夠長時間t,回路中電流從零增加到回路中電流從零增加到穩(wěn)定值穩(wěn)定值I,在這段時間內在這段時間內,電源電動勢做功電源電動勢做功dtiRLI21dtiRidtdtdiLdti2t022t0t0t0 K1接通，燈泡亮；接通，燈泡亮； K1斷開，斷開， K2接通，燈泡接通，燈泡延遲熄滅延遲熄滅 (t=0時，時

22、，i=0) t022t0RdtiLI21idt 電源提供電源提供的總能量的總能量電源克服自感電電源克服自感電動勢作的功動勢作的功電阻上消耗電阻上消耗的焦耳熱的焦耳熱一個自感系數(shù)為一個自感系數(shù)為L的線的線圈圈,當電流為當電流為I時時,所具有所具有的磁場能量的磁場能量2mLI21W K1斷開，斷開， K2接通接通iRdtdiL tLRIei 解方程解方程此電流通過此電流通過R時時,放出的焦耳熱為放出的焦耳熱為2200221)(LIRdtIedtRitLR(t=0時，時，i=I)1KR2K 自感線圈也是一個儲能元件，自感自感線圈也是一個儲能元件，自感系數(shù)也反映線圈儲能的本領系數(shù)也反映線圈儲能的本領三

23、、磁場能量與磁場能量密度三、磁場能量與磁場能量密度221LIWm VnL2 2221VInWm VnInI21BHV21 VVmmBHdVdVwW21磁場能量密度磁場能量密度mw對非均勻磁場，對非均勻磁場，空間磁場總能量空間磁場總能量能量存在能量存在器件中器件中CL221CUWeWLIm122存在存在場中場中通過平板電容器得通過平板電容器得出下述結論出下述結論DE21we 通過長直螺線管得通過長直螺線管得出下述結論出下述結論BH21wm 在電磁場中在電磁場中w wwemBH21DE21w 普遍適用普遍適用各種電場各種電場 磁場磁場靜電場靜電場 穩(wěn)恒磁場穩(wěn)恒磁場 類比類比IR1R2l 例例11.

24、 無限長同軸電纜，由半徑分別為無限長同軸電纜，由半徑分別為R1、R2的兩個同的兩個同軸圓筒組成，電流由內圓筒出去，經外圓筒返回形成軸圓筒組成，電流由內圓筒出去，經外圓筒返回形成閉合回路。兩圓筒之間充滿磁導率為閉合回路。兩圓筒之間充滿磁導率為 的介質。的介質。求：求：1）長度為）長度為l 的一段電纜中的磁場能量；的一段電纜中的磁場能量； 2）長度為）長度為l 的一段電纜的自感系數(shù)的一段電纜的自感系數(shù)L 。 由安培環(huán)路定理求磁場分布由安培環(huán)路定理求磁場分布21RrR 0, 0 BHrIBrIH 2,2 rldrdV 2 rdr取半徑取半徑r，寬，寬dr的同軸圓柱面的同軸圓柱面解：解：磁場能量磁場能

25、量 VmBHdV21W21,RrRr 2128222RRmrldrrIW 221ln4RI lR求自感系數(shù)求自感系數(shù)L根據(jù)定義：根據(jù)定義：21ln2RIlRIL 212RmRIldrr根據(jù)能量：根據(jù)能量：22211ln42mRI lWLIRIR1R2l Srdr21ln2RlR一一 位移電流位移電流11.7 11.7 與變化電場相聯(lián)系的磁場與變化電場相聯(lián)系的磁場IIL在串有電容器的電路中，給電容器充電時在串有電容器的電路中，給電容器充電時在某時刻回路中傳導電流強度為在某時刻回路中傳導電流強度為I ILl dHS1取取S1II ii內S2取取S20內 iiI取回路取回路L L計算計算H H 的環(huán)

26、流的環(huán)流1 1、場客觀存在、場客觀存在 環(huán)流值必須唯一環(huán)流值必須唯一2 2、定理應該具有普適性、定理應該具有普適性 SSDqdSSqSdD 0Idtdq SddtDddtdSD 麥克斯韋認為一切電磁現(xiàn)象及其規(guī)律都是電場與磁場麥克斯韋認為一切電磁現(xiàn)象及其規(guī)律都是電場與磁場性質、變化以及相互聯(lián)系（作用）在不同場合下的表性質、變化以及相互聯(lián)系（作用）在不同場合下的表現(xiàn)?，F(xiàn)。因此假設因此假設位移電流位移電流 的存在，把安培環(huán)路定理推的存在，把安培環(huán)路定理推廣到非恒定情況下也適用廣到非恒定情況下也適用電容器充電過程中，極板間存電容器充電過程中，極板間存在變化的電場在變化的電場I0I0ES設極板帶電量設極板帶電量q ,在電場中取一在電場中取一與極板等大的平行截面與極板等大的平行截面SIIES IdtdD說明二者量綱相同說明二者量綱相同MaxwellMaxwell定義定義：位移電流位移電流displacement currentdisplacement currentdtdIDd方向也相同方向也相同全電流：通過某截面的全電流是通過該截面的全電流：通過某截面的全電流是