第一章二體問題

1、第一章 航天器運(yùn)動(dòng)主講教師：杏建軍2022年6月26日2授課內(nèi)容v 緒論v 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程v 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的求解31.1 課程的主要研究?jī)?nèi)容課程的主要研究?jī)?nèi)容主要研究?jī)?nèi)容主要研究?jī)?nèi)容：人造物體（航天器）在空間（距離地面100 km以上）自然力和人為控制力作用下運(yùn)動(dòng)的一門學(xué)科。課程名稱：航天器動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用課程名稱：航天器動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用主要包括天體引力和大氣阻力航天器的運(yùn)動(dòng)航天器的運(yùn)動(dòng)：包括質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的課程為航天器質(zhì)心動(dòng)力學(xué)和航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)。航天器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)是解耦的，因此可以分開研航天器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)是解耦的，因此可以分開研究和控制究和控制。為什么？41.1

2、 課程的主要研究?jī)?nèi)容課程的主要研究?jī)?nèi)容課程主要研究?jī)?nèi)容：課程主要研究?jī)?nèi)容：1、航天器運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)建模（、航天器運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)建模（物理規(guī)律的研究物理規(guī)律的研究）2、數(shù)學(xué)模型的求解（、數(shù)學(xué)模型的求解（微分方程的求解微分方程的求解）3、數(shù)學(xué)模型解算條件的提供（、數(shù)學(xué)模型解算條件的提供（微分方程解算條件的提供微分方程解算條件的提供）4、航天器運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用（、航天器運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用（具體的工程實(shí)踐具體的工程實(shí)踐）物理規(guī)律的研究：物理規(guī)律的研究：牛頓定理和萬(wàn)有引力定理牛頓定理和萬(wàn)有引力定理非線性微分方程的求解非線性微分方程的求解：數(shù)學(xué)模型解算條件的提供數(shù)學(xué)模型解算條件的提供：初始軌道的測(cè)量和最優(yōu)控制：初始軌道的測(cè)

3、量和最優(yōu)控制航天器運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用航天器運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用：各種航天任務(wù)的軌道設(shè)計(jì)：各種航天任務(wù)的軌道設(shè)計(jì)( , , , )ftrr r u51.2 課程的作用課程的作用航天器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究是一切航天任務(wù)的開始的基礎(chǔ)航天器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究是一切航天任務(wù)的開始的基礎(chǔ)任何航天任務(wù)的設(shè)計(jì)都要滿足其基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（例如：任何航天任務(wù)的設(shè)計(jì)都要滿足其基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（例如：在萬(wàn)有引力作用下，航天器作圓錐曲線運(yùn)動(dòng)在萬(wàn)有引力作用下，航天器作圓錐曲線運(yùn)動(dòng)）討論問題：有沒有可能設(shè)計(jì)任意飛行的航天器？討論問題：有沒有可能設(shè)計(jì)任意飛行的航天器？61.2 課程的作用課程的作用航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)實(shí)例航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)實(shí)例71.2

4、 課程的作用課程的作用對(duì)于人造地球衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，航天器軌道高度是任務(wù)設(shè)計(jì)的對(duì)于人造地球衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，航天器軌道高度是任務(wù)設(shè)計(jì)的關(guān)關(guān)鍵參數(shù)鍵參數(shù)。為什么？軌道高度決定了：軌道高度決定了：發(fā)射成本發(fā)射成本效載荷規(guī)模。如雷達(dá)、光學(xué)相機(jī)、通信衛(wèi)星發(fā)射機(jī)效載荷規(guī)模。如雷達(dá)、光學(xué)相機(jī)、通信衛(wèi)星發(fā)射機(jī)對(duì)地球的覆蓋范圍。對(duì)地球的覆蓋范圍。對(duì)熱點(diǎn)地區(qū)的覆蓋特性對(duì)熱點(diǎn)地區(qū)的覆蓋特性決定了一些有特殊用途的軌道決定了一些有特殊用途的軌道81.2 課程的作用課程的作用對(duì)于深空探測(cè)器，航天器軌道設(shè)計(jì)決定了整個(gè)任務(wù)過(guò)程對(duì)于深空探測(cè)器，航天器軌道設(shè)計(jì)決定了整個(gè)任務(wù)過(guò)程卡西尼號(hào)是17國(guó)參與的土星探測(cè)任務(wù)，歷時(shí)過(guò)6年8個(gè)月、32億千米。

5、卡西尼號(hào)的詭異飛行軌跡卡西尼號(hào)的詭異飛行軌跡為什么這樣設(shè)計(jì)？直接飛行只需12.5億千米行星助力飛行，節(jié)省燃料。如果直接飛往土星，需要70噸推進(jìn)劑，卡西尼號(hào)總重6.4噸91.2 課程的作用課程的作用亞星三號(hào)衛(wèi)星亞星三號(hào)衛(wèi)星 亞星三號(hào)是美國(guó)休斯公司為香港亞洲衛(wèi)星公司制作的通信衛(wèi)星，于1997年12月由質(zhì)子火箭發(fā)射進(jìn)入地球靜止軌道，但由于火箭故障，進(jìn)入了軌道傾角為51的無(wú)用軌道，發(fā)射失敗，香港衛(wèi)星公司向保險(xiǎn)公司索賠2億美金。一個(gè)航天史上的故事由此開始一個(gè)航天史上的故事由此開始101.3 學(xué)科發(fā)展史學(xué)科發(fā)展史從嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，航天器動(dòng)力學(xué)開始于上世紀(jì)從嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，航天器動(dòng)力學(xué)開始于上世紀(jì)50年代前

6、蘇年代前蘇聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星，但它的起源非常久遠(yuǎn)。聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星，但它的起源非常久遠(yuǎn)。古典天文學(xué)古典天文學(xué)中國(guó)是世界上天文學(xué)起步最早，發(fā)展最快的國(guó)家之一。中國(guó)是世界上天文學(xué)起步最早，發(fā)展最快的國(guó)家之一。早在堯舜時(shí)代就設(shè)置了天文官。早在堯舜時(shí)代就設(shè)置了天文官。1. 古希臘也是古典天文學(xué)什么發(fā)達(dá)的國(guó)家，取得了輝煌的古希臘也是古典天文學(xué)什么發(fā)達(dá)的國(guó)家，取得了輝煌的成就，并對(duì)歐洲各國(guó)的文化影響很大。主要成果包括：成就，并對(duì)歐洲各國(guó)的文化影響很大。主要成果包括：確定地球的形狀和大??；日月的遠(yuǎn)近和大?。蝗招恼f(shuō)等。確定地球的形狀和大小；日月的遠(yuǎn)近和大小；日心說(shuō)等。111.3 學(xué)科發(fā)展史學(xué)科發(fā)

7、展史古典天文學(xué)的社會(huì)需求古典天文學(xué)的社會(huì)需求制定歷法的需要，知道農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。如我們常說(shuō)的制定歷法的需要，知道農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。如我們常說(shuō)的24節(jié)氣節(jié)氣預(yù)測(cè)天災(zāi)人禍，旦夕禍福。（在古代，占星術(shù)和天文學(xué)預(yù)測(cè)天災(zāi)人禍，旦夕禍福。（在古代，占星術(shù)和天文學(xué)是沒有明顯的區(qū)別的）是沒有明顯的區(qū)別的）古典天文學(xué)研究方法古典天文學(xué)研究方法沒有理論指導(dǎo)，沒有先進(jìn)的觀測(cè)手段沒有理論指導(dǎo)，沒有先進(jìn)的觀測(cè)手段興趣，長(zhǎng)期不懈的觀測(cè)，積極思考興趣，長(zhǎng)期不懈的觀測(cè)，積極思考121.3 學(xué)科發(fā)展史學(xué)科發(fā)展史天體力學(xué)：應(yīng)用天體力學(xué)：應(yīng)用力學(xué)規(guī)律力學(xué)規(guī)律研究天體的運(yùn)動(dòng)和形狀研究天體的運(yùn)動(dòng)和形狀 天體力學(xué)以天體力學(xué)以數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)為主要研究手段（微

8、積分），以牛頓為主要研究手段（微積分），以牛頓萬(wàn)萬(wàn)有引力定律有引力定律為基礎(chǔ)。為基礎(chǔ)。天體力學(xué)的發(fā)展天體力學(xué)的發(fā)展奠基期奠基期（從古典天文學(xué)到十九世紀(jì)后期），標(biāo)志性成果：（從古典天文學(xué)到十九世紀(jì)后期），標(biāo)志性成果：開普勒提出三大定理；牛頓創(chuàng)立微積分，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力開普勒提出三大定理；牛頓創(chuàng)立微積分，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定理；歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯創(chuàng)立分析定理；歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯創(chuàng)立分析力學(xué)，建立了天體力學(xué)的力學(xué)基礎(chǔ)，提出了攝動(dòng)理論的力學(xué)，建立了天體力學(xué)的力學(xué)基礎(chǔ)，提出了攝動(dòng)理論的分析方法；海王星的發(fā)現(xiàn)（理論的實(shí)際應(yīng)用）。分析方法；海王星的發(fā)現(xiàn)（理論的實(shí)際應(yīng)用）。131.3 學(xué)

9、科發(fā)展史學(xué)科發(fā)展史天體力學(xué)的發(fā)展天體力學(xué)的發(fā)展發(fā)展期發(fā)展期（從十九世紀(jì)后期到二十世紀(jì)（從十九世紀(jì)后期到二十世紀(jì)50年代）。研究對(duì)年代）。研究對(duì)象新增加了太陽(yáng)系的小天體。研究方法新增了定性方法象新增加了太陽(yáng)系的小天體。研究方法新增了定性方法和數(shù)值方法，定性方法由龐加萊和李雅普洛夫創(chuàng)建，數(shù)和數(shù)值方法，定性方法由龐加萊和李雅普洛夫創(chuàng)建，數(shù)值方法最早追溯到高斯（最小二乘定軌）。值方法最早追溯到高斯（最小二乘定軌）。新時(shí)期新時(shí)期（二十世紀(jì)（二十世紀(jì)50年代以后，航天器動(dòng)力學(xué)出現(xiàn)）。年代以后，航天器動(dòng)力學(xué)出現(xiàn)）。研究對(duì)象新增了人造物體，物體運(yùn)動(dòng)的預(yù)報(bào)精度與觀測(cè)研究對(duì)象新增了人造物體，物體運(yùn)動(dòng)的預(yù)報(bào)精度與觀

10、測(cè)精度大大提高，相應(yīng)的攝動(dòng)分析方法、定性方法和數(shù)值精度大大提高，相應(yīng)的攝動(dòng)分析方法、定性方法和數(shù)值方法也有了相應(yīng)的發(fā)展。方法也有了相應(yīng)的發(fā)展。141.3 學(xué)科發(fā)展史學(xué)科發(fā)展史航天器動(dòng)力學(xué)航天器動(dòng)力學(xué)二十世紀(jì)二十世紀(jì)50年代以后，隨著人造天體的發(fā)射，航天器動(dòng)年代以后，隨著人造天體的發(fā)射，航天器動(dòng)力學(xué)出現(xiàn)。力學(xué)出現(xiàn)。與天體力學(xué)相比，研究對(duì)象發(fā)生了變化（人造物體）。與天體力學(xué)相比，研究對(duì)象發(fā)生了變化（人造物體）。與自然天體相比，人造物體的受力物體增加了人為控制力，與自然天體相比，人造物體的受力物體增加了人為控制力，運(yùn)動(dòng)形式更為復(fù)雜；物體的預(yù)報(bào)精度與觀測(cè)精度大大提高。運(yùn)動(dòng)形式更為復(fù)雜；物體的預(yù)報(bào)精度與

11、觀測(cè)精度大大提高。研究的基本方法沒有變化：以微積分為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以攝研究的基本方法沒有變化：以微積分為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以攝動(dòng)分析方法、定性分析方法和數(shù)值方法為手段。動(dòng)分析方法、定性分析方法和數(shù)值方法為手段。151.4 教程和參考書教程和參考書1、航天器軌道動(dòng)力學(xué)，、航天器軌道動(dòng)力學(xué)，趙鈞趙鈞編著，哈工大出版社，編著，哈工大出版社，20112、航天器軌道動(dòng)力學(xué)與控制，、航天器軌道動(dòng)力學(xué)與控制，楊嘉摨楊嘉摨主編，宇航出版社，主編，宇航出版社，1995（注：國(guó)內(nèi)航天器領(lǐng)域經(jīng)典專著）（注：國(guó)內(nèi)航天器領(lǐng)域經(jīng)典專著）3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(

12、Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：國(guó)外（注：國(guó)外經(jīng)典教材）經(jīng)典教材）4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：（注：MIT教材）教材）161.5 考核方式和成績(jī)?cè)u(píng)定考核方式和成績(jī)?cè)u(píng)定考核方式考核方式考核內(nèi)容考核內(nèi)容成績(jī)比例（成績(jī)比例（%）平時(shí)到課率、課堂回平時(shí)到課率、課堂回答問題及研討答問題及研討基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)習(xí)主動(dòng)性基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)習(xí)主動(dòng)性2020課后作業(yè)課后作業(yè)綜合應(yīng)用知識(shí)解決

13、具體綜合應(yīng)用知識(shí)解決具體工程問題的能力工程問題的能力1010文獻(xiàn)閱讀與專題報(bào)告文獻(xiàn)閱讀與專題報(bào)告自主學(xué)習(xí)，分析問題和自主學(xué)習(xí)，分析問題和主動(dòng)交流的能力主動(dòng)交流的能力2020期末閉卷理論考試期末閉卷理論考試學(xué)生掌握基本概念及基學(xué)生掌握基本概念及基本理論的程度本理論的程度505017授課內(nèi)容v 緒論v 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程v 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的求解18牛頓第二定理牛頓第二定理：Force = Mass Acceleration 21211122Gm mdmrrdt2rrr2.1 萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律21212222Gm mdmrrdt2rrr萬(wàn)有引力定理萬(wàn)有引力定理：任

14、意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)有通過(guò)連線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比。m1m2r1r21921211122Gm mdmrrdt2rrr2.2 二體系統(tǒng)線動(dòng)量守恒定理二體系統(tǒng)線動(dòng)量守恒定理21212222Gm mdmrrdt2rrr21 12 220dmmdtrr1 12 212mmmmcmrrr220ddtcmr內(nèi)力不改變系統(tǒng)的質(zhì)心內(nèi)力不改變系統(tǒng)的質(zhì)心2021211122Gm mdmrrdt2rrr2.3 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程21212222Gm mdmrrdt2rrr2121222() ()()G mmdrrdt21rrrr212223()=G mmd

15、dtrrr rrr212.3 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程121 1221220Gmmmam ammr12aa另一種推導(dǎo)思路另一種推導(dǎo)思路質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m1與質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)m2所受的相互引力大小相等，方向相反所受的相互引力大小相等，方向相反212231()mG mmmrrr 2122raaaar2222222ddddtdtdt121rrraa222.4 討論討論1：m1相對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程相對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)m1相對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的相對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程212223()=G mmddtrrr rrr質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m2相對(duì)相對(duì)m1的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程m1m2r1

16、r2rcmcm32222312()Gmddtmmr rr231.4 討論問題討論問題2如果在地球附近發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，其相對(duì)地心的如果在地球附近發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，其相對(duì)地心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程是什么？相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程是什么？如果向月球發(fā)射一個(gè)月球探測(cè)器，其相對(duì)地月質(zhì)心的相如果向月球發(fā)射一個(gè)月球探測(cè)器，其相對(duì)地月質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程是什么？對(duì)運(yùn)動(dòng)方程是什么？如果向月球發(fā)射一個(gè)月球探測(cè)器，其相對(duì)地球質(zhì)心的相如果向月球發(fā)射一個(gè)月球探測(cè)器，其相對(duì)地球質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程是什么？對(duì)運(yùn)動(dòng)方程是什么？242.5 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的標(biāo)量表示二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的標(biāo)量表示矢量形式的非線性微分方程矢量形式的非線性微分方程2

17、12223()=G mmddtrrr rrr為了在實(shí)際中應(yīng)用，需要轉(zhuǎn)換為標(biāo)量形式為了在實(shí)際中應(yīng)用，需要轉(zhuǎn)換為標(biāo)量形式y(tǒng)zxyzxriii223223223=d xxdtrd yydtrd zzdtr 直角坐標(biāo)的基矢量不直角坐標(biāo)的基矢量不隨時(shí)間變化隨時(shí)間變化252.6 討論討論3： 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的極坐標(biāo)形式二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)的基矢量是隨時(shí)間變化極坐標(biāo)的基矢量是隨時(shí)間變化xiyirii222220drrdtrddrrdtdt 262.7 課后作業(yè)課后作業(yè)通過(guò)復(fù)習(xí)或者自學(xué)理論力學(xué)中拉格朗日方程的有關(guān)內(nèi)容，通過(guò)復(fù)習(xí)或者自學(xué)理論力學(xué)中拉格朗日方程的有關(guān)內(nèi)容，應(yīng)用拉格朗日方程推導(dǎo)討論問

18、題應(yīng)用拉格朗日方程推導(dǎo)討論問題1、3。下節(jié)課隨機(jī)抽點(diǎn)。下節(jié)課隨機(jī)抽點(diǎn)學(xué)生上臺(tái)上述，并請(qǐng)所有學(xué)生提交推導(dǎo)過(guò)程作業(yè)。學(xué)生上臺(tái)上述，并請(qǐng)所有學(xué)生提交推導(dǎo)過(guò)程作業(yè)。作業(yè)關(guān)鍵點(diǎn)：作業(yè)關(guān)鍵點(diǎn)：拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) = 系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)動(dòng)能-系統(tǒng)的勢(shì)能；系統(tǒng)的勢(shì)能；拉格朗日方程；拉格朗日方程；1. 廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)。閱讀：閱讀：An introduction to the mathematics and methods of astrodynamicsp97-p99；p110。27授課內(nèi)容v 緒論v 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程v 二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的求解283.1 近似方法近似方法非線性微分方程非線性微分方程223=

19、ddtrrr微分方程解決的基本方法：解析法和數(shù)值法微分方程解決的基本方法：解析法和數(shù)值法解析法：求出非線性微分方程的解析解。解析法：求出非線性微分方程的解析解。hg 算例：自由落體運(yùn)動(dòng)算例：自由落體運(yùn)動(dòng)293.1 近似的方法近似的方法基本原理：泰勒級(jí)數(shù)展開基本原理：泰勒級(jí)數(shù)展開數(shù)值積分法：通過(guò)數(shù)值積分的方法求解數(shù)值積分法：通過(guò)數(shù)值積分的方法求解(,)yfxy1(1)( )y iy iKhh步長(zhǎng)步長(zhǎng)1( ),( )(,)xiyiKfxy經(jīng)典方法：龍格庫(kù)塔方法經(jīng)典方法：龍格庫(kù)塔方法303.1 近似的方法近似的方法龍哥庫(kù)塔方法龍哥庫(kù)塔方法Matlab函數(shù)：函數(shù)：ode45t,y=ode45(orbi

20、t,tspan,y0,options)function dy = orbit(t,y,flag,mu)%函數(shù)說(shuō)明輸入輸出函數(shù)說(shuō)明輸入輸出dy =zeros(6,1);r = sqrt(y(1)2 + y(3)2 + y(5)2);dy(1) = y(2);dy(2) = -mu/r3*y(1);dy(3) = y(4);dy(4) = -mu/r3*y(3);dy(5) = y(6);dy(6) = -mu/r3*y(5);end223223223=d xxdtrd yydtrd zzdtr 313.1 近似的方法近似的方法function robit_computermu = 3.98600

21、4418e+14; %地球引力常數(shù)tspan = 0:60:86400;options = odeset(AbsTol,1e-15,RelTol,1e-12,NormControl,on);x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008;T,Y = ode45(orbit,tspan,x0,options,mu);plot3(Y(:,1),Y(:,3),Y(:,5)32-1-0.500.51x 107-505x 106-505x 106333.1 近似的方法近似的方法近似級(jí)數(shù)展

22、開方法近似級(jí)數(shù)展開方法220002()( )( )( )()()2 !ttd r tdr tr tr tttd td t An introduction to the mathematics and methods of astrodynamicsp110-p114有二體問題的近似級(jí)數(shù)展開詳細(xì)推導(dǎo)和高效迭代算法，請(qǐng)大家自學(xué)并完成問題3-5。343.2 二體問題的解析解二體問題的解析解二體運(yùn)動(dòng)方程二體運(yùn)動(dòng)方程223=ddtrrr角動(dòng)量矢量常數(shù)角動(dòng)量矢量常數(shù)223=ddtr rrrr()=0dddtdtvrvrconst hrv353.2 二體問題的解析解二體問題的解析解開普勒第二定理開普勒第二定

23、理二體問題角動(dòng)量是常數(shù)二體問題角動(dòng)量是常數(shù)角動(dòng)量在極坐標(biāo)下的表示角動(dòng)量在極坐標(biāo)下的表示dddrrrrdtdtdtrrrirviii2drdt zhrvi面積化率面積化率212dAdrdtdt363.2 二體問題的解析解二體問題的解析解偏心率矢量常數(shù)偏心率矢量常數(shù)223=ddtrrhrh2zhr riidddtdt rii拉格朗日矢量拉格朗日矢量()dddtdtrivhconstrvhree偏心率矢量偏心率矢量e373.2 二體問題的解析解二體問題的解析解開普勒第一定理開普勒第一定理re rvh rr r()abc矢量運(yùn)算公式矢量運(yùn)算公式2hrre rvh rrv hr rcosrefe r其中

24、其中f是是e與與r兩個(gè)矢量的夾角，定義為兩個(gè)矢量的夾角，定義為真近點(diǎn)角真近點(diǎn)角383.2 二體問題的解析解二體問題的解析解2cosrefhr2/1cos1coshprefef圓錐曲線方程，當(dāng)圓錐曲線方程，當(dāng)e在（在（0，1）之間時(shí)為橢圓，即開）之間時(shí)為橢圓，即開普勒第一定理普勒第一定理 f= 0為近地點(diǎn)，為近地點(diǎn)，f = 180為遠(yuǎn)地點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)11papprree22(1)parrapae393.2 二體問題的解析解二體問題的解析解開普勒第三定理開普勒第三定理2(1)1cos1cospaerefef橢圓的面積橢圓的面積22201122dAr dAr d403.2 二體問題的解析解二體問題的解析

25、解行星（人造地球衛(wèi)星）掃過(guò)一圈的時(shí)間定義為行星行星（人造地球衛(wèi)星）掃過(guò)一圈的時(shí)間定義為行星的運(yùn)動(dòng)周期的運(yùn)動(dòng)周期T222(1)1222paeaehT行星的運(yùn)動(dòng)周期行星的運(yùn)動(dòng)周期32aT定義橢圓上的平均運(yùn)動(dòng)定義橢圓上的平均運(yùn)動(dòng)n32nTa開普勒第三定理開普勒第三定理32aconstT這個(gè)定理是正確的嗎？413.2 二體問題的解析解二體問題的解析解能力積分常數(shù)能力積分常數(shù)11revhr 222222121121121rrh vhre evhvhrvhhvhvrv h12222221hvvearr423.2 二體問題的解析解二體問題的解析解能量積分常數(shù)能量積分常數(shù)122222vvarra 動(dòng)能勢(shì)能動(dòng)能動(dòng)能+勢(shì)能勢(shì)能=常數(shù)常數(shù) 在中心引力作用系統(tǒng)能力守恒在中心引力作用系統(tǒng)能力守恒此公式又成為此公式又成為活力公式活力公式（vis-viva equations）,是航天是航天動(dòng)力學(xué)里面非常重要的一個(gè)恒等式。動(dòng)力學(xué)里面非常重要的一個(gè)恒等式。433.2 二體問題的解析解二體問題的解析解活力公式的應(yīng)用，航天器速度的計(jì)算活力公式的應(yīng)用，航天器速度的計(jì)算222vra討論討論