第10章非正弦周期電流電路

1、第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析第十章第十章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析電路分析一、特點：按周期規(guī)律變化，但不是正弦量。一、特點：按周期規(guī)律變化，但不是正弦量。工程實際中，非正弦周期波形較為常見，如：脈沖波形、三工程實際中，非正弦周期波形較為常見，如：脈沖波形、三角波、方波、鋸齒波、半波整流波形等等；角波、方波、鋸齒波、半波整流波形等等；tu方波電壓方波電壓tu鋸齒波鋸齒波tu脈沖波形脈沖波形tu半波整流波形半波整流波形第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析(3). 若電路中存在非線性元件。若電路中存在非線性元件。 二、非正弦周期信號的產生：二、非正弦周期信號的產生：(1).電源提

2、供的電壓或電流是非正弦周期變化的；電源提供的電壓或電流是非正弦周期變化的；(2).電路中有不同頻率的電源共同作用；電路中有不同頻率的電源共同作用；如：全波整流電路如：全波整流電路tt+_R+_第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析8-1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解傅里葉傅里葉 (1768 1830)：法國數學家。法國數學家。 以傅里葉著作為基礎發(fā)展起來的傅里葉分析對近代數學以傅里葉著作為基礎發(fā)展起來的傅里葉分析對近代數學以及物理和工程技術的發(fā)展都產生了深遠的影響。以及物理和工程技術的發(fā)展都產生了深遠的影響。 他的著作他的著作熱的解析理論熱的解析理論(1822)是數是數學史上一部經典性文獻

3、，書中系統(tǒng)的運用了學史上一部經典性文獻，書中系統(tǒng)的運用了三角級數和三角積分，他的學生將它們命名三角級數和三角積分，他的學生將它們命名為傅里葉級數和傅里葉積分。他深信數學是為傅里葉級數和傅里葉積分。他深信數學是解決實際問題最卓越的工具。解決實際問題最卓越的工具。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析1TT00( )d( )Af tt 0mm11( )sincoskkkkf tABktCktm02( )sindTkBf tkttTm02( )cosdTkCftk ttT2120( ) ()f t dt210( )sin() ()f tkt dt210( )cos() ()f tkt dt一、周期函數展

4、開成傅里葉級數一、周期函數展開成傅里葉級數在一周期內有有限個極大、極小值。在一周期內有有限個極大、極小值。有限個第一間斷點。有限個第一間斷點。條件：條件：第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析傅里葉級數另一種形式：傅里葉級數另一種形式：0kmk1sin()KfAAk t( )t t0kmk1sin()KAAktf(t)22mCmmkkkA=B01122ksin()sin(2)sin()mmkmAAAAkt +t +t +arctgmmkkkCB基波（或基波（或一次諧波）一次諧波）二次諧波二次諧波（2倍頻）倍頻）直流分量直流分量高次諧波高次諧波第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 在電力系統(tǒng)中在電力系

5、統(tǒng)中，高次諧波會給整個系統(tǒng)帶來極大的，高次諧波會給整個系統(tǒng)帶來極大的危害，如使電能質量降低，損壞電力電容器、電纜、電危害，如使電能質量降低，損壞電力電容器、電纜、電動機等，增加線路損耗。動機等，增加線路損耗。 因此，因此，要想辦法消除高次諧波分量。要想辦法消除高次諧波分量。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：求圖示周期性矩形信號的傅里葉級數展開式。例：求圖示周期性矩形信號的傅里葉級數展開式。f(t)在第一個周期內的表達式為：在第一個周期內的表達式為：2mUt f(t)t2T/2TUm-Um0mUt解：解：01( )Tf t dtT0A201sin() ( )sin() ( )mmUk t d

6、tUk t dt201( )sin() ()f tk t dt21 cos()mUkk0m02( )sindTkBf tkt tT02sin() ()mUkt dt021cos()mUktk當當k為偶數時：為偶數時：Bkm=0當當k為奇數時：為奇數時：Bkm=4Um/k第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析02cos() ()mUk t dt201cos() ()cos() ()mmUk t dtUk t dt201( )cos() ()f tk t dt0根據函數為奇函數，也可得到：根據函數為奇函數，也可得到：Ckm=0m02( )cosdTkCftk ttT由此求得：由此求得：411( )si

7、n()sin(3)sin(5)35mUf tttt例：求圖示周期性矩形信號的傅里葉級數展開式。例：求圖示周期性矩形信號的傅里葉級數展開式。f(t)t2T/2TUm-Um解：解：第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析周期函數的傅里葉展開周期函數的傅里葉展開基波分量基波分量三次諧波三次諧波f(t)t基波基波+三次諧波三次諧波五次諧波五次諧波f(t)t基波基波+三次諧波三次諧波4111( )(sinsin3sin5sin7.)357f ttttt基波基波+三次三次+五次五次諧波諧波第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析xy0 2 2 例：例：將函數將函數展開為展開為傅里葉級數。傅里葉級數。f(x)= -x,

8、 x0 x, 0 0 x 解：解： nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx01( )af x dx0011()x dxxdx12)1(cos22 nxn), 2 , 1(1)1(22 nnn 周期函數的傅里葉展開周期函數的傅里葉展開第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函數的傅氏展開式為：所求函數的傅氏展開式為：周期函數的傅里葉展開周期函數的傅里

9、葉展開第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析求級數的和求級數的和2141( )cos(21) ,2(21)nf xnxn, 0)0(,0 fx時時當當 222513118xy0 2 2 傅氏展開式的應用傅氏展開式的應用已知：已知：22111?35計算：計算：解：解：第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析,44212 ,243212 212,6231212,4131211222 設設),8(513112221 ,6141212222 ,41312112223 求級數的和求級數的和傅氏展開式的應用傅氏展開式的應用試計算級數試計算級數、2、3解：解：第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析二、常用周期信號的傅里葉

10、展開二、常用周期信號的傅里葉展開4111( )(sinsin3sin5sin7)357Af ttttt28111( )(sinsin3sin5sin7)92549Af ttttt2T2TTT/2Af(t)tTAf(t)t-A第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析41 1111( )(cos2cos4cos6cos8)2 3153563Af ttttt111( )(sinsin2sin3sin4)2234AAf ttttt2T2TTT/2Af(t)tTAf(t)t2T第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析8-2 非正弦周期量的有效值與功率非正弦周期量的有效值與功率相關數學知識相關數學知識(三角函數系的正

11、交性三角函數系的正交性)：,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx, 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數系：三角函數系：), 3 , 2 , 1( n正交性：任意兩個不同函數在正交性：任意兩個不同函數在-p, p上的積分等于零。上的積分等于零。20sin()0ktdt20cos()0ktdt 1.正弦、余弦信號一個周期內的積分為正弦、余弦信號一個周期內的積分為0(k為整數為整數)。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析0,sinsin,mnmxnxdxmn0,coscos,mnmxnxdxmnsincos0mxnxdx), 2 , 1,( nm其其中

12、中正交性：任意兩個不同函數在正交性：任意兩個不同函數在-p, p上的積分等于零。上的積分等于零。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析22011sin()22ktdt 3.正弦、余弦的平方在一個周期內的平均值為正弦、余弦的平方在一個周期內的平均值為1/2 。22011cos()22ktdt2.三角函數的正交性三角函數的正交性0(kp)20sinsin()0 ktp tdt20cossin()0ktp tdt20coscos()0 ktp tdt第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析一、非正弦周期量一、非正弦周期量的有效值的有效值201TIi dtT01sin()kmkkiIIk t20011sin()

13、TkmkkIIIk tdtT根據有效值定義：根據有效值定義：設非正弦周期電流為：設非正弦周期電流為：220m112kkII 2201kkII如如(a+b+c+)2根展開后得：根展開后得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+結論：周期函數的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值結論：周期函數的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。平方和的方根。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析二、非正弦周期量二、非正弦周期量的平均值的平均值若若)(sin)(10kkkmtkUUtu020)(21UtdtuUAV則其平均值為：則其平均值為：(直流分量直流分量)正弦量的正弦量的平均值為平均值為0則有

14、效值：則有效值：設非正弦周期電壓傅立葉級數展開式為：設非正弦周期電壓傅立葉級數展開式為：01( )sin()kmkku tUUkwt22212022mmUUUU22220120kkUUUU第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析不同的儀器讀數涵義不同不同的儀器讀數涵義不同:(對于同一非正弦周期電流）當用不對于同一非正弦周期電流）當用不同類型的儀表進行測量時，會得到不同的結果。同類型的儀表進行測量時，會得到不同的結果。(2).用電磁系或電動系儀表用電磁系或電動系儀表測得的結果為非正弦量的測得的結果為非正弦量的有效值有效值；(3).用用全波整流儀表全波整流儀表測量時，所得結果為非正弦量的測量時，所得結果

15、為非正弦量的絕對平絕對平均值均值。在測量非正弦周期性電流和電壓時，要注意選取合適的儀表，在測量非正弦周期性電流和電壓時，要注意選取合適的儀表，并注意不同類型儀表讀數表示的含義。并注意不同類型儀表讀數表示的含義。例如：例如：(1).用用磁電系儀表磁電系儀表（直流儀表）測量，所得結果將是非正弦量（直流儀表）測量，所得結果將是非正弦量的的恒定分量恒定分量(即平均值即平均值)；第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析01sin()kmukkuUUk t01sin()kmikkiIIk t平均功率（平均功率（The average power）：）：01TPuidtT不同頻率的正弦電壓和電流不產生平均功率（正

16、弦函數的正不同頻率的正弦電壓和電流不產生平均功率（正弦函數的正交性）。交性）。二、非正弦周期交流電路平均功率二、非正弦周期交流電路平均功率01kkPP0 01cos()k kukikkU IU I 結論：結論： 平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率 N+ui_0 011cos()2km kmukikkU IUI第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：已知電路中某支路電壓和電流分別為：例：已知電路中某支路電壓和電流分別為：( )20100sin31450sin(62830 )10sin(125620 ) V( )0.1sin(31460 )0.2sin(

17、94245 )2sin(125640 ) Au tttti tttt計算該支路的平均功率。計算該支路的平均功率。直流功率：直流功率：020 0.12WP 基波功率：基波功率：11100 1 cos(60 )25(W)2P 2次諧波和次諧波和3次諧波功率為：次諧波功率為：20P 30P 4次諧波功率：次諧波功率：4110 2 cos( 60 )5(W)2P 總功率：總功率：0123432(W)PPPPPP解：解：N+ui_第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析N+ui_5sin()2sin(245 )ittA10sin(90 ) 10sin(245 ) 10sin(360 )utttV例：已知某無源

18、單口網絡例：已知某無源單口網絡N端口的電壓、電流為：端口的電壓、電流為：試求：（試求：（1）各頻率網絡）各頻率網絡N的輸入阻抗。的輸入阻抗。 （2）網絡消耗的平均功率。）網絡消耗的平均功率。02 90 此時網絡此時網絡N呈純電感性。呈純電感性。解：解：(1)2( )j111/ZUI15 2 /2I15 2 90U5( )j 222/ZUI22 45I25 245U30I333/ZUI 35 260U此時網絡此時網絡N呈純電容性。呈純電容性。此時網絡此時網絡N對三次諧波發(fā)生并聯諧振。對三次諧波發(fā)生并聯諧振。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析5sin()2sin(245 )ittA10sin(90

19、 ) 10sin(245 ) 10sin(360 )utttVN+ui_例：已知某無源單口網絡例：已知某無源單口網絡N端口的電壓、電流為：端口的電壓、電流為：試求：（試求：（1）各頻率網絡）各頻率網絡N的輸入阻抗。的輸入阻抗。 （2）網絡消耗的平均功率。）網絡消耗的平均功率。解：解：(2)01 112223 33coscoscosU IU IU I網絡對各次諧波的阻抗都沒有顯示出電阻性質，說明該網絡網絡對各次諧波的阻抗都沒有顯示出電阻性質，說明該網絡是由動態(tài)元件是由動態(tài)元件L、C組成的。組成的。123PPPP其消耗的有功功率應為零。其消耗的有功功率應為零。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析N+

20、ui_三、非正弦周期交流電路視在功率和功率因數三、非正弦周期交流電路視在功率和功率因數222222012012UUUIIISUIcosPS視在功率為：視在功率為：功率因數：功率因數：01sin()kmukkuUUk t01s()kmikkiIIin k t第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析8-3 非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算諧波分析法步驟：諧波分析法步驟：(1). 將給定的非正弦周期電壓或電流將給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅立葉級數分解為傅立葉級數； (3). 應用應用疊加疊加定理，在定理，在時域時域中將中將各個響應分量相加各個響應分量相加（注意：（注意：相量直接相加沒

21、有意義）。相量直接相加沒有意義）。(2). 分別求出傅立葉級數中分別求出傅立葉級數中各個分量單獨作用下電路的響應各個分量單獨作用下電路的響應（對正弦穩(wěn)態(tài)電路，采用相量法分析，并注意：感抗、容（對正弦穩(wěn)態(tài)電路，采用相量法分析，并注意：感抗、容抗會隨頻率變化）；抗會隨頻率變化）；諧波分析法：諧波分析法：將非正弦周期電流電路的計算轉化為一系列正將非正弦周期電流電路的計算轉化為一系列正弦電流電路的計算。弦電流電路的計算。諧波分析法實質上是把諧波分析法實質上是把非正弦周期電流電路的計算化為一系非正弦周期電流電路的計算化為一系列正弦電流電路的計算列正弦電流電路的計算。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 I

22、Rj L+_Cj1 Uu 的直流分量單獨作用時：的直流分量單獨作用時：解：解：10060sin40sin2utt V30 ,40 , 1/()80RLC例：如圖，電壓例：如圖，電壓求：電流求：電流I 。C相當于開路，相當于開路，L相當于短路相當于短路電流的直流分量電流的直流分量I0=0 當基波分量單獨作用時：當基波分量單獨作用時：11()ZRjLC111UIZ30 2 01.253.13 ( )5053.132A30405053.13 ( )j11.2sin(53.13 ) ( )itA第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 IRj L+_Cj1 U解：解：10060sin40sin2utt V3

23、0 ,40 , 1/()80RLC例：如圖，電壓例：如圖，電壓求：電流求：電流I 。二次諧波分量單獨作用時：二次諧波分量單獨作用時：50 53.13 ( )30(8040)j21(2)2ZRjLC 根據疊加定理：根據疊加定理：20.8sin(253.13 )( )itA20 2 00.853.13 ( )50 53.132A1.2sin(53.13 )0.8sin(253.13 )( )ttA222UIZ012iIii第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析直流分量作用，電路模型如圖直流分量作用，電路模型如圖02 2 10U 1210V,20 2sin10 V,(22 2sin10 )ASSSuut

24、it例：例：求：求：(1) 端電壓端電壓u及其有效值；及其有效值；(2) 電流源發(fā)出的平均功率。電流源發(fā)出的平均功率。+_+_uS12 10-2F+_uS2u0.4HiS+_U02 10V+_2A解：解：14(V)014(V)U 第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析1210V,20 2sin10 V,(22 2sin10 )ASSSuutit例：例：求：求：(1) 端電壓端電壓u及其有效值；及其有效值；(2) 電流源發(fā)出的平均功率。電流源發(fā)出的平均功率。+_+_uS12 10-2F+_uS2u0.4HiS解：解：+_2 +_200j4 -j10 200AU111120()2(2j4)j10j10

25、U120 90 (V)U交流分量作用相量模型如圖交流分量作用相量模型如圖采用節(jié)點法計算：采用節(jié)點法計算：120 90 (V)U014(V)U 第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析1210V,20 2sin10 V,(22 2sin10 )ASSSuutit例：例：求：求：(1) 端電壓端電壓u及其有效值；及其有效值；(2) 電流源發(fā)出的平均功率。電流源發(fā)出的平均功率。+_+_uS12 10-2F+_uS2u0.4HiS解：解：120 90 (V)U014(V)U 電流源的電流源的端電壓端電壓u為：為：01uUu2201UUU電流源發(fā)出的平均功率：電流源發(fā)出的平均功率：001 1cos90PU I

26、U I22142024.4(V)28(W)(14 220 2cos90 ) 端電壓有效值為：端電壓有效值為：1420 2sin(90 )Vt第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析交、直流共存的電路。交、直流共存的電路。解題要點：解題要點： 交、直流分別計算；瞬時值結果迭加。交、直流分別計算；瞬時值結果迭加。例：如圖電路中例：如圖電路中us(t)=10sin(2t)v，求電流求電流i的有效值及電阻功的有效值及電阻功率。率。+_uS1.2Hi2H1 4 0.5F4 2A直流直流I01 4 4 2A直流直流01IA2004PI RW(1)直流電直流電源作用源作用第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：如圖

27、電路中例：如圖電路中us(t)=10sin(2t)v，求電流求電流i的有效值及電阻功的有效值及電阻功率。率。+_uS1.2Hi2H1 4 0.5F4 2A直流直流10I 10P (1)交流電交流電源作用源作用+_uSj2.4 I11 4 4 j4 -j1 平衡電轎平衡電轎疊加：疊加：22101()404 ()IAPW第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析計算非正弦周期交流電路應注意的問題計算非正弦周期交流電路應注意的問題(1). 最后結果只能是瞬時值疊加，最后結果只能是瞬時值疊加，不同頻率正弦量不能用相不同頻率正弦量不能用相量相加量相加。(2). 不同頻率對應的不同頻率對應的 XL、XC不同。不同

28、。5310UUUUU.感抗和容抗在不同諧波時值不同。感抗和容抗在不同諧波時值不同。(3). 若支路阻抗為零，則發(fā)生了串聯諧振；若支路阻抗為無若支路阻抗為零，則發(fā)生了串聯諧振；若支路阻抗為無窮，則發(fā)生了并聯諧振。窮，則發(fā)生了并聯諧振。第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：如圖所示電路，例：如圖所示電路，R1=5， L1=0.4H， C=0.025F， L2=0.05H， R2=5 ，求電壓，求電壓u(t) 5 10sin 1015sin 30,sutttV采用疊加原理采用疊加原理 5V單獨作用時：單獨作用時：sradCL10025. 04 . 0111L1L2CR2+_uS(t)R1+_u(t)

29、解：解：u1(t)=0基波基波10sin(10t)單獨作用時：單獨作用時：由于：由于：L1與與C發(fā)生并聯諧振發(fā)生并聯諧振 20.5 10sin 105sin 10uttt Vu1(t)=0 25sin 10u tt V第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：如圖所示電路，例：如圖所示電路，R1=5， L1=0.4H， C=0.025F， L2=0.05H， R2=5 ，求電壓，求電壓u(t) 5 10sin 1015sin 30,sutttV采用疊加原理采用疊加原理 L1L2CR2+_uS(t)R1+_u(t)解：解：u1(t)=0 25sin 10u tt V15sin(30t)單獨作用時：單

30、獨作用時：11/j Lj C5 . 105. 0302jjLj發(fā)生串聯諧振發(fā)生串聯諧振u3(t)=0u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)=5sin(10t) V1.5( )j 130 0.4 /30 0.025jju3(t)=0第10章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：電路如圖所示，已知例：電路如圖所示，已知=1000rad/s，C=1F，R=1，在穩(wěn)態(tài)時，在穩(wěn)態(tài)時，uR(t)中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波電壓相同，求：電壓相同，求：(1)us(t)的有效值的有效值 ；(2)電感電感L1和和L2 ；(3)電源發(fā)出的平均功率。電源發(fā)出的平均功率。( )12152 sin()162 sin(2)Suttt V222121516sU211/()LCL2L1C+_+_RuS(t)uR(t)解：解：(1)1()H25()V261/(100