基本不等式的證明

1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)(必修五必修五)多媒體課件多媒體課件【問題【問題1 1】 把一個物體放在天平的一個盤子上把一個物體放在天平的一個盤子上, ,在另一個盤子上放砝碼使天平平衡在另一個盤子上放砝碼使天平平衡, ,稱得稱得物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為a. a.如果天平制造得不準(zhǔn)確如果天平制造得不準(zhǔn)確, ,天天平的兩臂長略有不同平的兩臂長略有不同( (其它因素不計其它因素不計), ),那么那么并非實際質(zhì)量并非實際質(zhì)量. .不過不過, ,我們可作第二次測量：我們可作第二次測量：把物體調(diào)換到天平的另一盤上把物體調(diào)換到天平的另一盤上, ,此時稱得此時稱得物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為b b. .那么如何合理地表示物體那

2、么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？的質(zhì)量呢？1.猜測：2.討論：物體的實際質(zhì)量應(yīng)為2ba 3.提示： 應(yīng)用力學(xué)原理求解4.求解： 問題一：把一個物體放在天平的一個盤子上把一個物體放在天平的一個盤子上, ,在另一在另一個盤子上放砝碼使天平平衡個盤子上放砝碼使天平平衡, ,稱得物體的質(zhì)量為稱得物體的質(zhì)量為a. a.如果如果天平制造得不準(zhǔn)確天平制造得不準(zhǔn)確, ,天平的兩臂長略有不同天平的兩臂長略有不同( (其它因素其它因素不計不計), ),那么并非實際質(zhì)量那么并非實際質(zhì)量. .不過不過, ,我們可作第二次測量：我們可作第二次測量：把物體調(diào)換到天平的另一盤上把物體調(diào)換到天平的另一盤上, ,此時稱得物體的質(zhì)

3、量為此時稱得物體的質(zhì)量為b.b.那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？5.結(jié)論： 物體的實際質(zhì)量應(yīng)為ab(一)定義新概念1.算術(shù)平均數(shù)：2.幾何平均數(shù)：(二)提出新問題【問題【問題2 2】 兩個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？對于正數(shù)a,b,我們把叫做a,b的算術(shù)平均數(shù)2ba 對于正數(shù)a,b,我們把叫做a,b的算術(shù)平均數(shù)ab【問題【問題2 2】 兩個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？1.試驗：2.猜測：3.證明：).(2號時取當(dāng)且僅當(dāng)babaab證法一：).(2號時取當(dāng)且僅當(dāng)babaab 證明：如果a,b是正數(shù)，那么 證明

4、不等式的方法一：比較法00babababa2.比較法（作差法）的解題步驟： 作差變形判斷結(jié)論 1. 依據(jù)：證法二：).(2號時取當(dāng)且僅當(dāng)babaab 證明：如果a,b是正數(shù)，那么 證明不等式的方法二：分折法 筒單地說就是“執(zhí)果索因”. 證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法. 說明：分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法. 分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B真，

5、只需要證明命題B1為真，從而有只需要證明命題B2為真，從而又有 只需要證明命題A為真而已知A為真，故B必真證法三：).(2號時取當(dāng)且僅當(dāng)babaab 證明：如果a,b是正數(shù)，那么 證明不等式的方法三：綜合法 利用某些已經(jīng)證明過的不等式（如基本不等式）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法 。 筒單地說就是“由因?qū)Ч? 證明不等式的方法證明不等式的方法（一）比較法（一）比較法作差作差變形變形判號判號結(jié)論。結(jié)論。（二）綜合法（二）綜合法結(jié)合已知條件，再利用熟知的事結(jié)合已知條件，再利用熟知的事實或已經(jīng)證明過的不等式作為基實或已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)推導(dǎo)出所要求證的不

6、等式。礎(chǔ)推導(dǎo)出所要求證的不等式。（三）分析法（三）分析法- 從求證的不等式出發(fā)，尋求使從求證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的充分條件，直至這些它成立的充分條件，直至這些條件都已具備，那么就可以斷條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立。定原不等式成立。 (三)定理：如果a,b是正數(shù)，那么 ).(2號時取當(dāng)且僅當(dāng)babaab兩個兩個非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù)的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于不小于它們它們的的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù). 定理的變形公式：).(2)2(號時取當(dāng)且僅當(dāng)baabba).(2)4(22號時取當(dāng)且僅當(dāng)baabba).()2() 1 (2號時取當(dāng)且僅當(dāng)babaab).(2,0)3(號時取當(dāng)且僅當(dāng)時當(dāng)b

7、aabbaab“半徑不小于半弦半徑不小于半弦” (四)定理的幾何解釋).(33號時取當(dāng)且僅當(dāng)cbacbaabc三個三個非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù)的的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于不小于它們它們的的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù). (五)定理的拓廣： 1.如果a,b,c是非負(fù)數(shù)，那么 2.如果naaaaaannn 2121).(21號時取當(dāng)且僅當(dāng) aaanaaan,21 都是非負(fù)數(shù),那么(一)證明不等式例1.證明：).0( 11122號時取當(dāng)且僅當(dāng)aaa【變式1】已知a,b.c是不全相等的實數(shù),證明：acbcabcba222【變式2】已知a,b.c,d都是正數(shù),證明：4accdabbdbcad(一)證明不等式例2.證明：若0 x2,則3)36(3 xx【變式1】若0 x0,y0且2x+y=1,證明：81xy(一)證明不等式例3.已知a,b