第6章靜定結(jié)構(gòu)位移計算

1、1 第六章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算2A第六章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算61 結(jié)構(gòu)位移的概念62 變形體系的虛功原理63 計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理64 圖乘法65 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算66 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算67 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 31.結(jié)構(gòu)位移產(chǎn)生的原因 結(jié)構(gòu)是由可變形的材料做成的，在外部因素作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。變形：是指結(jié)構(gòu)形狀的改變。位移：是指結(jié)構(gòu)各處位置的移動。61 結(jié)構(gòu)位移的概念引起結(jié)構(gòu)位移的原因（1）荷載；（2）溫度改變；（3）支座位移；（4）制造誤差； （5）材料收縮42. 結(jié)構(gòu)位移的種類（1）某點的線位移（2）某截面的角位移（3）兩點間的相對線位移（4）兩截面

2、間的相對角位移線位移：角位移：絕對位移相對位移61 結(jié)構(gòu)位移的概念PABCBCB（CBCBC線位移：角位移： 一般來說，結(jié)構(gòu)的位移與結(jié)構(gòu)的幾何尺寸相比都是極其微小的。第6章 結(jié)構(gòu)位移的計算結(jié)構(gòu)的位移1、線位移 結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，將產(chǎn)生尺寸形狀的改變，這種改變稱為變形；由于變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各結(jié)點位置的移動，于是產(chǎn)生位移。（1）水平線位移： H（2）鉛直線位移： V2、角位移：cCCH CV C 3、“相對位移”與“絕對位移” BAAB BAAB AppAB A B BA BppcC第6章63. 計算位移的目的 （1）為了校核結(jié)構(gòu)的剛度。 （2）結(jié)構(gòu)制造和施工的需要。 （3）為分析超靜定結(jié)構(gòu)打下

3、基礎(chǔ)。另外，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定和動力計算也以位移為基礎(chǔ)。 結(jié)構(gòu)力學(xué)中計算位移的一般方法是以虛功原理為基礎(chǔ)的。本章先介紹變形體系的虛功原理，然后討論 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算。起拱高度61 結(jié)構(gòu)位移的概念7復(fù)習(xí)功的概念62 變形體的虛功原理PABP常力作的功COSPT 力偶作的功PPdMPdTPP PT21 P當(dāng)靜力加載時，即： P由0增加至P 由0增加至實功計算公式的建立位移荷載oABpypdydpy （A） dypdTT0y0 (B) ypfy 21 :A)(C)(000 pdypydypdTTBy）再入（再入（入入代代)( : CPfyppy 可可確確定定時時，由由第6章962 變形體的虛功原理1. 外

4、力虛功、廣義力及廣義位移（1）位移的雙腳標(biāo)符號ABP11211P22212k j位移發(fā)生的位置位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因產(chǎn)生位移的原因位移的大小位移的大小AB122P2122AB112P11211062 變形體的虛功原理1. 外力虛功、廣義力及廣義位移（2）外力的虛功ABP11211P22212AB122P2122AB112P1121實功實功：力在本身引起的位移上作的功。：力在本身引起的位移上作的功。 實功是力實功是力（位移）的二次函數(shù)。（位移）的二次函數(shù)。虛功虛功：力在其它因素引起的位移上作：力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無關(guān)的量，分的功。力與位移是彼此無關(guān)的量，分別屬于同

5、一體系的兩種彼此無關(guān)的狀別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)。態(tài)。虛功是力虛功是力（位移）的一次函數(shù)。（位移）的一次函數(shù)。Tkj=Pkkj考察力作功的過程 靜力加載：0P虛位移與虛力虛位移與虛力虛功并不是不存在的功，只是強(qiáng)調(diào)作功過程中位移與力無關(guān)的特點。虛功是代數(shù)量，有正有負(fù)。虛功是代數(shù)量，有正有負(fù)。1162 變形體的虛功原理1. 外力虛功、廣義力及廣義位移（3）廣義力及廣義位移作作功功的的兩兩因因素素力：力： 集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、一個力系集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、一個力系 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為廣義力廣義力位移：線位移位移：線位移、角位移、相對線位移、相對角位移、一組位移角位移

6、、相對線位移、相對角位移、一組位移 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為廣義位移廣義位移（4）虛功的兩種狀態(tài) 力狀態(tài) 位移狀態(tài)AB122P2122AB112P1121122. 變形體的虛功原理： 設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小的連續(xù)變形，則外力在相應(yīng)位移上所做的外力虛功T 恒等于整個變形體各個微段內(nèi)力在變形上所做的內(nèi)力虛功W。T=W （31）式(31）稱為虛功方程，式中 TW外力虛功 內(nèi)力虛功32 變形體的虛功原理13AB力狀態(tài)PqMds3.內(nèi)力虛功的計算RARB位移狀態(tài)位移狀態(tài)qN NN N+d+dN NQ QQ Q+d+dQQMMMM+d+dMMdsdsdsduds

7、 dvd dsAB62 變形體的虛功原理微段ds上的內(nèi)力虛功為dW=Ndu+Qdv+Md整個結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功為sMsQsNWddds, sv, suddddddsMsQsNddd1462 變形體的虛功原理3. 虛功原理的兩種應(yīng)用平面桿件結(jié)構(gòu)的虛功方程為2)-(3 dddsMsQsNWT虛位移原理虛力原理151. 位移計算的一般公式 設(shè)平面桿系結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化及支座移動等因素引起位移如圖。P2P1KkkKKjKj利用虛功原理c1c2c3kkPK=1實際狀態(tài)位移狀態(tài)ds虛擬狀態(tài)力狀態(tài)dsKkkkM、Q、Njjj、v、uddd外力虛功332211jCRCRCRPKKT=CRKj內(nèi)力虛功W=jkj

8、kjkdMdvQduN可得jkjjkKjdMdvQduNCR 求任一指定截面K K沿任一指定方向 kk上的位移Kj 。t1t2cRdMdvQduNjkjkjkKj(33) 這便是平面桿系結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，若計算結(jié)果為正，所求位移Kj與假設(shè)的 PK=1同向，反之反向。這種方法又稱為單位荷載法單位荷載法。63計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理1663計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理適用范圍與特點：適用范圍與特點：2） 形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形

9、。（2）變形原因：各種廣義荷載。）變形原因：各種廣義荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。）材料種類：各種變形固體材料。1） 適于小變形，可用疊加原理。適于小變形，可用疊加原理。2. 位移計算公式的普遍性普遍性表現(xiàn) 4、當(dāng)桿件同時承受軸力與橫向力作用時， 不考慮由于桿彎曲所引起的桿端軸力對彎矩及彎曲變形的影響。 滿足以上要求的體系為“線變形體系”。因位移與荷載為線形關(guān)系，故求位移時可用疊加原理。PPBA計算位移的有關(guān)假定3、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計摩擦阻力。 2、小變形假設(shè)。變形前后荷載作用位置不變。1、結(jié)構(gòu)材料服從“虎克定律”，

10、即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系。第6章183. 虛擬狀態(tài)的設(shè)置 在應(yīng)用單位荷載法計算時，應(yīng)據(jù)所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。例如:A求求AHAH實際狀態(tài)虛擬狀態(tài)A1A求求 A A1虛擬狀態(tài)AA虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)B求求ABAB11B求求 ABAB1163計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理 求哪個方向的位移就在要求位移的方向上施加相應(yīng)的單位力。第6章(g) 求AB1/lB1/lABACP=1（a）求BHACP=1B（b）求CVBACM=1（c）求CAP=1B（d）求ABP=1AP=1B（e）求ABP=1(f) 求CM=1C施加單位荷載，求角位移、相對角位移第6章求B求C求C求AB-AC求AB 求哪個方向的位移就在要

11、求位移的方向上施加相應(yīng)的單位力。214、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算 當(dāng)結(jié)構(gòu)只受到荷載作用時，求K點沿指定方向的位移KP，此時沒有支座位移，故式（33）為PkpkPkkpdMdvQduN式中：kkkM、Q、N 為虛擬狀態(tài)中微段上的內(nèi)力；dP、duP、dvP為實際狀態(tài)中微段上的變形。由材料力學(xué)知 （a）dP=EIdsMPduP=EAdsNPdvP =GAdskQP將以上諸式代入式（a a）得GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp（34）63計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理2263計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp注：注： （1）符號說明）符號說明

12、 （2）正負(fù)號）正負(fù)號k-為截面形狀系數(shù)為截面形狀系數(shù)1.29101AA（34）231. 梁和剛架梁和剛架2.桁架桁架EAlNNdsEANNEAdsNNPKPkPkkp3. 組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)KP=EIdsMMPkEAlNNPk在實際計算時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況,式（34）可以簡化：63計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理EIdsMMpkkp4. 拱結(jié)構(gòu)拱結(jié)構(gòu)KP=EAdsNNEIdsMMPkpk24例 6-1 求圖示剛架A點 的 豎 向位移Ay。E A、 E I為常數(shù)。ABCqL LLAABC1解：1. 選擇虛擬狀態(tài)xx選取坐標(biāo)如圖。則各桿彎矩方程為:AB段：xMBC段：LM2. 實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為AB

13、段：BC段：MP=MP=xx22qx22qL3. 代入公式（34）得Ay=EIqL854，()EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx63計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理2563計算結(jié)構(gòu)位移的虛力原理例 3 求圖示桁架C點的豎向位移CP。圖中桿旁數(shù)值為桿件的截面積，并設(shè)各桿E=2.1104kN/cm2。10kN5kN10kN2m1m2m1m8cm28cm28cm28cm24cm24cm24cm2ACBDEPk=1ACBDE桿件l(cm)A(cm2)Nk(kN)NP(kN)NkNPl(kN.cm)NkNPl/A(kN.cm-1)CDCEADBEABDEAE 2

14、002242002242001002248888444-2.002.24-2.002.24-1.000.000.00-30.0022.36-30.0027.95-12.500.00-5.5912000112191200014024 2500 0.00 0.001500140215001735 625 0.00 0.00)32cm(01.AlNNEEAlNNdsPKPKCP 例題3 試求圖示半徑為R的圓弧形曲梁B點的豎向位移BV。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。 sinPRMP sinRMK 第6章解： （1）在B點加一單位力（右圖） ，寫出單位力作用下的彎矩表達(dá)式（2）寫出單位力作用下的彎矩表達(dá)式（左

15、圖）（3）將MK、MP代入求位移公式dsEIMMPKBP)(4EIPRdsinEIPR3202320)(Rd)(PRsin(RsinEI1第6章 練習(xí)題：試求圖示連續(xù)梁C點的豎向位移CV和A截面的轉(zhuǎn)角A ,截面抗彎模量為EI。PCBAl/2l/2答案：3( )48cvplEI2( )16AplEICBAl/2l/2M答案：2( )16cvMlEI( )3AMlEI(1)(2)第6章2964 圖 乘 法當(dāng)結(jié)構(gòu)符合下述條件時：（1）桿軸為直線；（2）EI=常數(shù)；（3）兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形。 上述 積分可以得到簡化。MP圖圖xy面積面積 設(shè)兩個彎矩圖中，M圖為一段直線，MP圖為任意形狀：

16、ABOABMPxMtgdxEIsMMPdd =MPdxx圖M1. 圖乘公式: 計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，要計算積分EIsMMpkkpdEIxMxPdtgxxMEIPdtgdtgxEIxEIctgEIyc形心形心CxCyCyC=xCtg 如果結(jié)構(gòu)上各桿段均可圖乘，則：EIycEIsMMpkkpd30圖乘法的注意事項 （1）必須符合上述三個前提條件； （2）豎標(biāo)yC只能取自直線圖形； （3）與yC在桿件同側(cè)乘積取正號，異側(cè)取負(fù)號。2. 簡單圖形的面積公式和形心位置Lh2L/3L/32hLLhab（L+a)/3(L+b)/32hL形心形心64 圖 乘 法31Lh二次拋物線頂點L/232hL二

17、次拋物線Lh3L/4L/43L/85L/8 1 21=2/3(hL)2=1/3(hL)頂點64 圖 乘 法三、使用乘法時應(yīng)注意的問題 1、yo必須取自直線圖形MK圖MP圖Pyo01yEIP 第6章MK圖MP圖1y1)(12211yyEI 2、當(dāng)MK為折線圖形時，必須分段計算；2y2第6章MK圖MP圖1y122211111yEIyEI 3、當(dāng)桿件為變截面時亦應(yīng)分段計算；2y21EI1EI2EI2EI第6章4、圖乘有正負(fù)之分：彎矩圖在桿軸線同側(cè)時，取正號；異側(cè)時，取負(fù)號。MK圖MP圖Pyo01yEIP Pyo01yEIP 第6章MK圖MP圖1y1221111yEIyEI 2y25、若兩個圖形均為直

18、線圖形時，則面積、縱標(biāo)可任意分別取自兩圖形；第6章MK圖MP圖 )()(1432211yyyyEI 6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘。y1y21y3y42abcdl)22(61)323(2)332(21bcadcdaclEIdcbldcalEI 第6章MK圖MP圖6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘。acdl )2()832()332()2(1dcqlldcalEI82qla82qll第6章393 .把復(fù)雜圖形化為簡單圖形 當(dāng)圖形的面積和形心位置不便確定時，將它分解成簡單圖形，之后分別與另一圖形相乘，然后把所得結(jié)果疊加。例如：圖MMP圖abcd dLdx

19、MMP )22(1baybLyaLEIya=2/3c+1/3dyb=1/3c+2/3d圖MMP圖abcdyayb此時ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybya64 圖 乘 法dxMMMPbPa)(bbaayyabdxMMEIP1 dxMMdxMMPbPa40 當(dāng)yC所屬圖形是由若干段直線組成時，或各桿段的截面不相等時，均應(yīng)分段相乘，然后疊加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1(1y1+ 2y2+ 3y3)EI1EI2EI3=333222111EIyEIyEIy64 圖 乘 法41 例 62 求下圖所示剛架C、D兩點間距離的改變。設(shè)EI=常數(shù)。ABCDLhq解：1. 作實際狀

20、態(tài)的MP圖。MP圖圖M2. 設(shè)置虛擬狀態(tài)并作圖M。11hhyC=h3. 圖乘計算（）CD=EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2形心8qL264 圖 乘 法42 例 63 求圖示剛架A點的豎向位移Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解： 1. 作MP圖、圖MP2PL2PLPLMP圖圖M1L；2. 圖乘計算。Ay=（）2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=16EIPL3)-2EI123L)PL64 圖 乘 法43 例 64 求圖示外伸梁C點的豎向位移Cy。 EI=常數(shù)。qABCL2L8qL2M圖11y2y3解：1. 作MP圖2. 作M圖3. 圖乘計算y1=8

21、L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy18qL2MP圖232L64 圖 乘 法解1（1）繪出荷載作用下的彎矩圖（Mp圖）（2）為求C點的豎向位移，在C處加一單位力，繪出（Mk1圖）（Mp圖）（Mk1圖）)(0924. 013860 mEI lPKCVEIdsEIMM)300()66()26()45632()33002()266(1 例題 試求左圖所示剛架C點的豎向位移AV和轉(zhuǎn)角C。各桿材料相同，截面抗彎模量為:25105 . 1mKNEI 第6章解2： （1）繪出荷載作用下的彎矩圖（Mp圖）（2）為求C點的轉(zhuǎn)角，在C處加一單位力偶，繪出（Mk2圖）（Mp圖）（Mk2圖）)

22、.(0168. 02520)1()6300()1()45632()1()26300(1 radEIEIC 例題 試求左圖所示剛架C點的豎向位移AV和轉(zhuǎn)角C。各桿材料相同，截面抗彎模量為:25105 . 1mKNEI 第6章46ABCDMP（kN.m）64 圖 乘 法例3 求圖示剛架C截面的角位移 c ；點B的水平線位移BH ;點D的豎向線位移DV 。ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI305560解：1、作MP圖2、求 c ;圖作1MABC圖1MM1=119EI140)43412)(532()214)(6021()314)(3021(3EI1c（ ）47EIEIEI319

23、0 )323)(33021(1 )413432)(3532()214)(6021()324)(3021(-31HB64 圖 乘 法ABCDMP（kN.m）3055603、求BH;圖作2MABC圖2MP2=133（ ）ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI4864 圖 乘 法ABCDMP（kN.m）3055604、求DV;圖作3MABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EIABC圖3MP2=11EIEI9170 2)212)(532(2)322)(6021()214)(121(-31VD（ ）4965 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算1、靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生溫度變化時的反應(yīng)

24、特點 靜定結(jié)構(gòu)沒有多余約束，在溫度變化時不產(chǎn)生反力和內(nèi)力； 由于材料熱脹冷縮，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。2、溫度變化作用下靜定結(jié)構(gòu)位移計算公式 設(shè)圖示結(jié)構(gòu)外側(cè)溫度升高 t1，內(nèi)側(cè)溫度升高 t2 ,求K點的豎向位移Kt 。t t1 1t t2 2KKKtKPK=1實虛（1）溫度變化規(guī)律的假定沿截面高度線性變化； 材料的線脹系數(shù)為單位長度在溫度改變1時伸長（或縮短）值。50dxt1t2t2dxt1dxdtt t1 1t t2 2KKKtKPK=1實虛（2）微段的變形dxdx 溫度改變只引起材料纖維的伸長或者縮短，因此：微段桿軸線處的伸長，桿件截面無剪應(yīng)變,0;dd0 xtut22;2102121121

25、2210ttthhhthhthhhhthhtt時，微段兩端截面的相對角位移，;ddddd1212xhtxhtthxtxtthh1h2dxkMkNkMkNkQkQ65 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算t051Kt此時由式（33）可得：t t1 1t t2 2KKKtdsdxht1t2t2dxt1dxdtKdsPK=1dx實虛MMNNKtdxhtMdxtNk0k)()(65 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算（3）位移計算公式0;, xtutdd00 ddC, xhttcRdMdvQduNjkjkjkKj(33) 當(dāng)t0、t和截面高度h沿桿長方向為常量：dxMhtdxNtkk0)()(MNhtt)()(05

26、265 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算KtMNhtt)()(0正負(fù)號確定：當(dāng)溫度改變狀態(tài)的變形與虛力狀態(tài)的變形方向一致 時取正號，相反時取負(fù)號。計算溫度改變引起的結(jié)構(gòu)位移時，不能忽略軸向變形對結(jié)構(gòu)位移的影響！桁架在溫度變化時的位移計算公式為Kt= lNtk桁架因制造誤差引起的位移計算與上式類似式中l(wèi)為制造誤差。Ke= lNk（312）53 例：35 圖示剛架施工時溫度為20，求冬季外側(cè)溫度為10，內(nèi)側(cè)溫度為0時A點的豎向位移 Ay。已知L=4m，=105，各桿均為矩形截面，高度h=0.4m。LLt1t2實實解： 外側(cè)溫度變化繪MN、圖，AA1虛虛1代入式（312），并注意正負(fù)號(判斷)，L圖M圖

27、NAyMNhtt0)L2L(h10L) 1()25(22)(mm5m005. 0hL15L252可得 t1= 1020=30, 內(nèi)側(cè)溫度變 化 t2=020=20 。 t0=(t1+t2)/2=25 , t=t2t1=1065 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算5466 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 對于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動并不引起內(nèi)力，結(jié)構(gòu)材料也不產(chǎn)生應(yīng)變。此時，靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移是剛體位移。計算公式化簡為Kc=cR 例：圖示三鉸剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A 。hL/2L/2BxBxByBy實ABC解： 虛擬狀態(tài)如圖。ABC1

28、BVLVB1BHhHB21 由式得AhLBxBy2h.204012060=0.0075rad 虛例題1 圖示簡支剛架內(nèi)側(cè)溫度升高25C，外側(cè)溫度升高5C，各截面為 矩形，h=0.5m,線膨脹系數(shù)=1.010-5 ,試求梁中點的豎向位移 DV。+25C+5C解：作出MK、NK圖后，依求位移公式計算位移： KKMNthtt )()(0)0.001275m(236210.520101.072115101.055第6章MK圖3/2NK圖1/2例題2 三鉸剛架，支座B發(fā)生如圖所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角A。解：在要求位移方向上加單位力（圖2

29、），求出支座反力后依求位移公式計算位移：（圖1）（圖2） aKACR )05. 0101()03. 061( ).(01. 0 rad第6章5767 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理（1）功的互等定理 第一狀態(tài)N1、Q1、 M1、 P1、2112P12112P212 第二狀態(tài)N2、Q2、 M2、 P2、12據(jù)虛功原理有 T21=W21 :GAdsQQEAdsNNEIdsMMP212121121或T12=T21故（315） 第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。GAdsQQEAdsNNEIdsMMP121212212T12=W12 :證明如下：122121PP58（2）位移互等定理12P1=1 2112P2=1 12據(jù)功的互等定理 P112=P221（影響系數(shù)）即12= 21（316）P1=1AABBCCAM=1fCA= fc又如： 第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，等于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移。有67 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理59（3）反力互等定理1=12=1據(jù)功的互等定理r121= r212即r12= r21（4）反力位移互等定理 支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于支座2發(fā)生單位位移所引起的支座1的反力。12r2112r12 單位力所引起的某支座反力，等于