【課件】9.2.3總體集中趨勢的估計

1、宮春雨制作宮春雨制作宮春雨制作 在初中的學習中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢.新課導語(2)(2)中位數(shù)：中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)( (或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)) )叫叫 做做這組數(shù)據(jù)的這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)中位數(shù)( (第第5050百分位數(shù)）百分位數(shù)） (1)(1)眾數(shù)：眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)在一組數(shù)據(jù)中，出

2、現(xiàn)次數(shù)最多次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 眾數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應用最為廣泛的應用最為廣泛. . 121()3nxxxxn一一組組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的算算術術平平均均數(shù)數(shù)，即即：平平均均數(shù)數(shù)：u 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)解：解：把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為，則可知其眾數(shù)為14， 中位數(shù)中位數(shù)為為14.例例2.一一組樣本數(shù)

3、據(jù)組樣本數(shù)據(jù)為為:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,則則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為() A14,14B12,14 C14,15.5 D12,15.56A例例1、已知一組數(shù)據(jù)已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_46587666解：u 由樣本數(shù)據(jù)求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例例3.利用利用9.2.1節(jié)中節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)平均數(shù) 和和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)中位數(shù)，并據(jù)此估

4、計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).中位數(shù)：中位數(shù)：從小從小到大到大排列第排列第5050個數(shù)個數(shù)和和 第第5151個數(shù)均為個數(shù)均為6.8t.6.8t.1231008.79100yyyyy均均解解：平平數(shù)數(shù)：注意注意單位（單位（t t）u 由樣本數(shù)據(jù)求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【思考思考】小小明用統(tǒng)計軟件計算了明用統(tǒng)計軟件計算了100100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)但在錄入數(shù)據(jù)時戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)但在錄入數(shù)據(jù)時， 不不小心把一個數(shù)據(jù)小心把一個數(shù)據(jù)7.77.7錄成了錄成了7777請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真真 實實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作的樣

5、本平均數(shù)和中位數(shù)作比較比較, ,哪個哪個量的值變化更大量的值變化更大? ?你能解釋其中的原因嗎你能解釋其中的原因嗎? ?平均數(shù)： 8.79t 9.483t中位數(shù)： 沒有變化，還是6.8tu平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特點 樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，樣本中的任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變.因此，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢集中趨勢, ,它們它們

6、的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關有關( (如下如下圖）圖）(1)(1)平均數(shù)和平均數(shù)和中位數(shù)中位數(shù) 應該應該大體上差不多大體上差不多; ;(2(2) )平均數(shù)大于中位數(shù)平均數(shù)大于中位數(shù); ; （右邊右邊”拖尾拖尾”) )(3)(3)平均數(shù)小于中位數(shù)平均數(shù)小于中位數(shù). . （左邊左邊”拖尾拖尾”) )在直方圖中，平在直方圖中，平均數(shù)總在均數(shù)總在“長尾長尾巴巴”那邊那邊u平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特點校服規(guī)格155160165170175合計頻 數(shù)39641679026386例例4：某學校要定制高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格某學校要

7、定制高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格. 據(jù)據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表.如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適?分析分析: :雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是幾種不同的類別幾種不同的類別. . 對于對于這樣的這樣的分類數(shù)據(jù)分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適. .u平均

8、數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特點 眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息.眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值也不敏感. 一般一般地，對地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用可以用平均數(shù)、中位數(shù)平均數(shù)、中位數(shù); ;而對而對分類型數(shù)據(jù)分類型數(shù)據(jù)( (如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用中趨勢的描述，可以用眾數(shù)眾數(shù). .u平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)

9、的集中趨勢的特點例例5：某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲單位：歲)： 甲甲群群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙乙群群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. (1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？ 其中其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？ (2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？ 其中其中哪個統(tǒng)

10、計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？解解（1 1）甲群市民年齡的甲群市民年齡的平均平均 數(shù)數(shù)為為1515歲，歲，中位數(shù)為中位數(shù)為1515歲歲， 眾數(shù)眾數(shù)為為1515歲歲. .平均數(shù)、中平均數(shù)、中位位 數(shù)數(shù)和眾數(shù)相等，因此和眾數(shù)相等，因此它們它們 都都能較好地反映甲群能較好地反映甲群市民市民 的的年齡特征年齡特征. .解解（2 2）乙群市民年齡的平均數(shù)為乙群市民年齡的平均數(shù)為1515歲，歲，中位數(shù)為中位數(shù)為5.55.5歲，眾數(shù)為歲，眾數(shù)為6 6歲歲. .由于乙群市民大多數(shù)是兒童，由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以所以 中位數(shù)中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的

11、年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差. .u平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特點【結(jié)結(jié) 論論】：(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾 數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù) 中的少量信息，平均數(shù)平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影影 響響，越越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.(2)當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題，當當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題

12、，當一一 組組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.u平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特點頻圖們無個組內(nèi)數(shù)時設們組內(nèi)勻 這樣獲樣數(shù)數(shù)眾數(shù)計進計總數(shù)數(shù)眾數(shù)在率分布直方中，我法知道每的據(jù)是如何分配的，此，通常假他在均分布，就可以得本的平均、中位和的近似估，而估體的平均、中位和。 樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下，我們無法獲取原始的樣本數(shù)據(jù).例如，我們在報紙、網(wǎng)絡上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？下面我們以前面例子中的直方圖提供的信息

13、為例，給出由頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的方法。u由頻率分布直方圖求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)8.96平均數(shù)是頻率分布直方圖的平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心重心”等于等于頻率分布直頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和標之和。(1)平均數(shù)的估計 1.2+4.24.2+7.225.2+28.20.077 3 ()+0.107 3 ()+0.007 3 ()=222月均用水量月均用水量/t頻率頻率/組距組距0.021.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.200.040.060.

14、080.10.120.0770.1070.0430.030 0.0300.0170.0100.0130.007u由頻率分布直方圖求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)(2)中位數(shù)的估計在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積各為直方圖的面積各為0.5， 即在即在直方圖中位數(shù)左直方圖中位數(shù)左右的面積相等右的面積相等.0.077 30.231,(0.0770.107) 30.552 4.2,7.2).中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi),0.07730.107( -4.2)0.5xx 設中位數(shù)為 由,6.71.x 解得月均用水量/t頻率/組距0.021.2 4.2 7.2 10.2 1

15、3.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.007u由頻率分布直方圖求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)(3)眾數(shù)的估計眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是中，就是最高矩形的中點的橫坐標最高矩形的中點的橫坐標.4.27.25.72月均用水量/t頻率/組距0.021.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300

16、.0170.0100.0130.007u由頻率分布直方圖求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)1.在一次體育測試中，某班的6名同學的成績(單位：分)分別為66,83,87,83,77,96. 關于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是 ( ) A.眾數(shù)是83 B.中位數(shù)是83 C.極差是30 D.平均數(shù)是83解由于83出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是83，故A說法正確；u鞏固練習把數(shù)據(jù)66,83,87,83,77,96按從小到大排列為66,77,83,83,87,96，中間兩個數(shù)為83,83，所以中位數(shù)是83，故B說法正確；極差是966630，故C說法正確；由于平均數(shù)為(668387837796)682，故D說法錯誤，故選D.

17、2.(多選)下列關于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說法中錯誤的是A.中位數(shù)可以準確地反映出總體的情況B.平均數(shù)可以準確地反映出總體的情況C.眾數(shù)可以準確地反映出總體的情況D.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準確地反映出總體的情況u鞏固練習3.一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19，x,23,27,28,31，其中位數(shù)為22，則x等于( ) A.21 B.22 C.20 D.23u鞏固練習4.已知一組數(shù)據(jù)0,2，x,4,5的眾數(shù)是4，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是_.3解數(shù)據(jù)0,2，x,4,5的眾數(shù)是4，x4，5.某班全體學生參加物理測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該班物理測試的 平均

18、成績是_分.68解解 平均平均成績就是頻率分布直方圖中每個小矩形成績就是頻率分布直方圖中每個小矩形的的面積面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標再求和乘以小矩形底邊中點的橫坐標再求和，即，即0.0050.005202030300.0100.010202050500.0200.020202070700.0150.0152020909068(68(分分). ).u鞏固練習6、已知已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖，如圖所示輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖，如圖所示，求該圖眾數(shù)、，求該圖眾數(shù)、 平均數(shù)和中位數(shù)，且時速在平均數(shù)和中位數(shù)，且時速在 60,70)的汽車大約有的汽車大

19、約有_輛輛該圖的眾數(shù)該圖的眾數(shù)_平均數(shù)為平均數(shù)為_中位數(shù)中位數(shù)_ 656262.5解：解：眾數(shù)眾數(shù)：最高矩形的中點最高矩形的中點中位數(shù)：中位數(shù)：左右兩邊面積相等左右兩邊面積相等平均數(shù)：平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的頻率分布直方圖中每個小矩形的面積面積 乘乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和以小矩形底邊中點的橫坐標之和8060,700.041020080時速在）的汽車大約有：u鞏固練習7、某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該城市人就該城市共享共享 單車單車的推行情況進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這的推行情況進行問卷調(diào)

20、查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值人根據(jù)其滿意度評分值(百分制百分制) 按照按照50,60)，60,70)，90,100分成分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖組，制成如圖所示頻率分布直方圖 (1)求圖中求圖中x的值的值； (2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)中位數(shù)解：解：(1)由由(0.005+0.010+0.035+0.030+x)10=1，解得，解得x=0.02.(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為為： 550.05+650.2+750.35+850.3+950.1=77.中位數(shù)中位數(shù)設為設為m，則，則0.05+0.2+(m70)0.035=0.5，解得解得

21、：5407m u鞏固練習8.隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關的手機app軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商 家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下.(1)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間” 的眾數(shù)及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和 B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？解解 (1) (1)依題意依題意, ,可可得使用得使用A A款訂餐軟件的商家中款訂餐軟件的商家中“平均送達時間平均送達時間” 的的眾數(shù)為眾數(shù)為5555，平均數(shù)平均數(shù)為為15150.060.0625250.340.3435350.120.1245450.040.0455550.40.465650.040.0440.40.(2)(2)使用使用B B款訂餐軟件的