北航水力學(xué) 第四章理想流體動(dòng)力學(xué)和恒定平面勢(shì)流

1、理想流體理想流體-力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系通常的流體粘性不為零，在所考慮的問題中，通常的流體粘性不為零，在所考慮的問題中，若粘性的作用很小可忽略時(shí)，可近似看為理想流體。若粘性的作用很小可忽略時(shí)，可近似看為理想流體。這意味著粘性帶來的能量損失或阻力可忽略。這意味著粘性帶來的能量損失或阻力可忽略。理想流體理想流體：粘性為零的流體。理想流體也稱為：粘性為零的流體。理想流體也稱為無粘流體無粘流體。本章：1、推導(dǎo)理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程 2、伯努利方程的推導(dǎo)，以及它的意義和應(yīng)用 3、理想流體中的平面勢(shì)流問題第四章第四章 理想流體動(dòng)力學(xué)理想流體動(dòng)力學(xué)理想流體的運(yùn)動(dòng)方程-歐拉方程第一節(jié)第一節(jié) 歐拉運(yùn)動(dòng)

2、微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)在運(yùn)動(dòng)的理想流體中，分析一微小正交六面體在某一瞬間的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，如圖所示。六面體各邊分別與各坐標(biāo)軸平行，邊長分別為 。設(shè)六面體形心M的坐標(biāo)為x,y,z ,在所考慮的瞬間，M點(diǎn)上動(dòng)壓強(qiáng)為p,流速為u ，流體密度為 ，所受的單位質(zhì)量力為,xyz(,)xyzu u u由于理想流體沒有粘滯性，不存在切應(yīng)力，表面力只有動(dòng)壓強(qiáng)，動(dòng)壓強(qiáng)方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向，大小只是位置坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即(, ,)f X Y Z( , , , )pp x y z t()2pxpyzx在x軸向上所受的表面力和質(zhì)量力分別為流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，有加速度，根據(jù)牛頓第二定律，則有： ()2pxpy

3、 zx 和和Xx y z ()()22xdupxpxpyzpyzXxyzxyzxxdx 整理得，1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz同理可得，1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdttxyz1()duufPuudtt以上就是理想流體的運(yùn)動(dòng)方程，也稱為以上就是理想流體的運(yùn)動(dòng)方程，也稱為歐拉方程歐拉方程 ijkxyz 向量形式為向量形式為其中，其中， 為哈密頓算子為哈密頓算子 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榱黧w靜力學(xué)中的時(shí)，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榱黧w靜力學(xué)中的歐拉平衡微分方程式。也就是說歐拉平衡微分方程式是歐拉平衡微分

4、歐拉平衡微分方程式。也就是說歐拉平衡微分方程式是歐拉平衡微分方程式的特例。方程式的特例。0 xyzuuu4.2.1 4.2.1 沿流線的伯努利方程和在重力場(chǎng)中的伯努利方程沿流線的伯努利方程和在重力場(chǎng)中的伯努利方程第二節(jié)第二節(jié) 理想流體恒定元流的伯努利方程理想流體恒定元流的伯努利方程1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdttxyz由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程，由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程，第二節(jié)第二節(jié) 理想流體恒定元流的伯努利方程理想流體恒定元流的伯努利方程 流動(dòng)滿足以下條件流動(dòng)滿足以下條件: :理想流

5、體；流體不可壓縮，密度為常量；恒定理想流體；流體不可壓縮，密度為常量；恒定流動(dòng)；質(zhì)量力為有勢(shì)力。流動(dòng)；質(zhì)量力為有勢(shì)力。由上式得，由上式得，2()02pud U1()yxzxxyyzzpppXdxYdyZdzdxdydzxyzdudududxdydzdtdtdtu duu duu du 2()()02pudUdd沿流線積分沿流線積分22upUC這就是理想流體中，沿流線的這就是理想流體中，沿流線的伯努利積分伯努利積分沿不同的流線，積分常數(shù)可能不同沿不同的流線，積分常數(shù)可能不同若作用于流體上的質(zhì)量力只有重力，重力是有勢(shì)力，則若作用于流體上的質(zhì)量力只有重力，重力是有勢(shì)力，則因此：因此：0,0,XYZg

6、 22puzCgdUgdz 積分得：積分得：UgzC 22upUC代入代入得得對(duì)于同一條流線上的任意兩點(diǎn)應(yīng)用以上方程，則上式可以寫為對(duì)于同一條流線上的任意兩點(diǎn)應(yīng)用以上方程，則上式可以寫為2211221222pupuzzgg4.2.2 4.2.2 由動(dòng)能定理推導(dǎo)理想流體的伯努利方程由動(dòng)能定理推導(dǎo)理想流體的伯努利方程 推導(dǎo)過程同學(xué)們自學(xué)推導(dǎo)過程同學(xué)們自學(xué)2211221222pupuzzgg 本公式是由動(dòng)能定理推導(dǎo)而得，它使伯努利方程有更加明確的本公式是由動(dòng)能定理推導(dǎo)而得，它使伯努利方程有更加明確的物理意義，說明伯努利方程是一能量方程。物理意義，說明伯努利方程是一能量方程。4.3.14.3.1 沿流

7、線的伯努利方程的水力學(xué)意義沿流線的伯努利方程的水力學(xué)意義22Ug速度水頭速度水頭/ /高度高度 P壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭/ /高度高度 z位置水頭位置水頭/ /高度高度 22UPzg總水頭總水頭/ /高度高度 動(dòng)能動(dòng)能 壓力勢(shì)能壓力勢(shì)能 重力勢(shì)能重力勢(shì)能 機(jī)械能機(jī)械能 測(cè)壓管測(cè)壓管水頭水頭/ /高度高度 22PuzCg第三節(jié)第三節(jié) 元流伯努利方程的意義和應(yīng)用元流伯努利方程的意義和應(yīng)用水力學(xué)意義：沿流線機(jī)械能等于常數(shù)水力學(xué)意義：沿流線機(jī)械能等于常數(shù)沿流線總水頭不變沿流線總水頭不變理想流體恒定元流伯努利方程的物理意義：理想流體恒定元流伯努利方程的物理意義： 元流各過流斷面上單位重力流體所具有的機(jī)械能（位

8、能、壓能、動(dòng)能之和）沿流程保持不變，同時(shí)，伯努利方程也表明了元流在不同過流斷面上單位重力流體所具有的位能、壓能、動(dòng)能之間可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。 伯努利方程是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)中普遍的能量既可以轉(zhuǎn)化又要守伯努利方程是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)中普遍的能量既可以轉(zhuǎn)化又要守恒的原理在流體力學(xué)中的特殊表示形式。恒的原理在流體力學(xué)中的特殊表示形式。 設(shè)設(shè)H 不變，流動(dòng)定常，不考慮粘性，假設(shè)管道截面流速分布均勻不變，流動(dòng)定常，不考慮粘性，假設(shè)管道截面流速分布均勻4.3.24.3.2 元流伯努利方程的幾何意義元流伯努利方程的幾何意義理想流體恒定元流伯努利方程的幾何意義：理想流體恒定元流伯努利方程的幾何意義： 元流各過流斷面上總水頭元流各

9、過流斷面上總水頭H H（位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭之和）（位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭之和）沿流程保持不變（守恒），同時(shí)，亦表明了元流在不同過流斷面上位置沿流程保持不變（守恒），同時(shí)，亦表明了元流在不同過流斷面上位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化。水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭之間可以相互轉(zhuǎn)化。 流動(dòng)流體中的測(cè)壓管（也稱為流動(dòng)流體中的測(cè)壓管（也稱為靜壓管靜壓管）靜靜壓（壓（static pressure）相對(duì)流體相對(duì)流體靜止靜止P管口段垂直流動(dòng)方向放置管口段垂直流動(dòng)方向放置測(cè)壓管或靜壓管靜壓孔測(cè)壓管得到的壓強(qiáng)水頭測(cè)壓管得到的壓強(qiáng)水頭4.3.34.3.3 如何測(cè)量能量如何測(cè)量能量-測(cè)壓管和

10、皮托管測(cè)壓管和皮托管也稱為也稱為靜壓靜壓畢托管畢托管 距距A點(diǎn)足夠遠(yuǎn)點(diǎn)足夠遠(yuǎn)(3d)B B處：處：有一個(gè)或多個(gè)小孔有一個(gè)或多個(gè)小孔，可不計(jì)速度失真，可不計(jì)速度失真位于測(cè)速管前緣點(diǎn)位于測(cè)速管前緣點(diǎn)A A處：處：開個(gè)小孔開個(gè)小孔頭部球形的細(xì)長柱狀物體，微弱地改變?cè)瓉砹魉俜植肌ｎ^部球形的細(xì)長柱狀物體，微弱地改變?cè)瓉砹魉俜植肌、B兩點(diǎn)：兩點(diǎn)：分別連接到壓力計(jì)兩端分別連接到壓力計(jì)兩端22 22AABBABpVpVzzggQQA、B位于同一流線上，由伯努利方程：位于同一流線上，由伯努利方程：ABzzA A：VA=B B：VB= 0，駐點(diǎn)，駐點(diǎn)V2 22ABABppVgppV由由A與與C點(diǎn)，點(diǎn)，B與與C點(diǎn)

11、的靜壓強(qiáng)分布規(guī)律：點(diǎn)的靜壓強(qiáng)分布規(guī)律：AoCBopg hhppghghABppgh 2Vgh 2Vgh若， 2 Vgh實(shí)際應(yīng)用時(shí) 經(jīng)實(shí)驗(yàn)校正的流速系數(shù) 實(shí)際應(yīng)用中，由于流體具有粘性，能量轉(zhuǎn)換時(shí)有損失；探頭端點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用中，由于流體具有粘性，能量轉(zhuǎn)換時(shí)有損失；探頭端點(diǎn)處小孔有一定面積，反應(yīng)的實(shí)際上是平均壓強(qiáng)；以及畢托管放入流體處小孔有一定面積，反應(yīng)的實(shí)際上是平均壓強(qiáng)；以及畢托管放入流體時(shí)會(huì)引起流場(chǎng)的擾動(dòng)，等等因素時(shí)會(huì)引起流場(chǎng)的擾動(dòng)，等等因素【例題例題】 book 4-1 物體繞流如圖所示，上游無窮遠(yuǎn)處流速為物體繞流如圖所示，上游無窮遠(yuǎn)處流速為壓強(qiáng)為壓強(qiáng)為 的水流受到迎面物體的障礙后，在物體的水流受

12、到迎面物體的障礙后，在物體表面上的頂沖點(diǎn)表面上的頂沖點(diǎn)S處的流速減至零，壓強(qiáng)升高，稱處的流速減至零，壓強(qiáng)升高，稱S點(diǎn)為滯流點(diǎn)為滯流點(diǎn)或駐點(diǎn)。求滯流點(diǎn)點(diǎn)或駐點(diǎn)。求滯流點(diǎn)S處的壓強(qiáng)。處的壓強(qiáng)。 0p1.2/um s物體繞流物體繞流解：解：222221.2002 9.80.073sspuupggm 設(shè)滯流點(diǎn)設(shè)滯流點(diǎn)S處的壓強(qiáng)為處的壓強(qiáng)為 ，粘性作用可以忽略。根，粘性作用可以忽略。根據(jù)通過據(jù)通過S點(diǎn)的流線上伯努利方程式，有點(diǎn)的流線上伯努利方程式，有22 22ssspupuzzgg將將 代入上式并整理，得代入上式并整理，得 spszz故滯流點(diǎn)故滯流點(diǎn)S處的壓強(qiáng)處的壓強(qiáng)20.073spmH O 無旋流動(dòng)無

13、旋流動(dòng)與與有勢(shì)流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng)- -流速存在勢(shì)函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。流速存在勢(shì)函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。引入勢(shì)流的意義：使問題簡(jiǎn)化。引入勢(shì)流的意義：使問題簡(jiǎn)化。 波浪運(yùn)動(dòng)，無分離的波浪運(yùn)動(dòng)，無分離的邊界層邊界層外部的流動(dòng)，多孔介質(zhì)的流動(dòng)（滲流）外部的流動(dòng)，多孔介質(zhì)的流動(dòng)（滲流）等等可以看為勢(shì)流。等等可以看為勢(shì)流。第四節(jié)第四節(jié) 恒定平面勢(shì)流的流速勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)恒定平面勢(shì)流的流速勢(shì)函數(shù)和流函數(shù) 理想流體中才可能存在有勢(shì)流動(dòng)，具有粘性的實(shí)際流體不會(huì)是有勢(shì)理想流體中才可能存在有勢(shì)流動(dòng)，具有粘性的實(shí)際流體不會(huì)是有勢(shì)流動(dòng)。但粘滯性對(duì)流動(dòng)流動(dòng)。但粘滯性對(duì)流動(dòng) 的影響很微小時(shí)，影響可以忽略。的影響很微小時(shí)，影響可

14、以忽略。 - -機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒以二維流動(dòng)為例，根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)，它與無旋流動(dòng)等價(jià)以二維流動(dòng)為例，根據(jù)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)，它與無旋流動(dòng)等價(jià) 由由 無旋流的條件無旋流的條件渦量渦量 0z 或轉(zhuǎn)動(dòng)角速度或轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 0z即即 0yxuuxy 4.4.14.4.1 流速勢(shì)函數(shù)流速勢(shì)函數(shù)yxuuxy也即也即 0 xu 稱為勢(shì)函數(shù)，稱為勢(shì)函數(shù)，也也稱為稱為速度勢(shì)函數(shù)速度勢(shì)函數(shù) 因?yàn)?，則可引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)因?yàn)?，則可引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，滿足滿足 ,xuxyuy即即 xyu dxu dyddxdyxy物理意義：物理意義：無旋無旋任意回路做功為零任意回路做功為零yxSSdl考慮平面流場(chǎng)中的連續(xù)方程，即考慮平面流場(chǎng)中的

15、連續(xù)方程，即0 ,yxuuxy上式化為：上式化為：22220 xy即即20或或02222,xy 叫拉普拉斯算子叫拉普拉斯算子25在平面勢(shì)流中，除流速勢(shì)以外，還有一個(gè)標(biāo)量函數(shù)在平面勢(shì)流中，除流速勢(shì)以外，還有一個(gè)標(biāo)量函數(shù)-流函數(shù)流函數(shù)二元流動(dòng)的流線方程為： yxuudxdy4.4.24.4.2 流函數(shù)流函數(shù)即不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程為： 0 xyu dyu dx0yxuuxy上式為使 能成為某函數(shù) 的全微分的充分和必要條件xyu dyu dx26xydu dyu dx函數(shù) 的全微分為積分為( , )()xyx yu dyu dx函數(shù) 稱為流函數(shù)。它的全微分可寫成 ( , )x yddxdy

16、xy所以，,xyuuyx 流函數(shù)的重要性質(zhì)流函數(shù)的重要性質(zhì)1 1、等流函數(shù)線為流線、等流函數(shù)線為流線0 xydu dyu dx即即( , )x yc可見，在同一流線上各點(diǎn)的流函數(shù)為一常數(shù)，故可見，在同一流線上各點(diǎn)的流函數(shù)為一常數(shù)，故等流函數(shù)線就是流線。等流函數(shù)線就是流線。2 2、平面內(nèi)任意兩點(diǎn)流函數(shù)值的差等于通過這兩點(diǎn)連線的流量。、平面內(nèi)任意兩點(diǎn)流函數(shù)值的差等于通過這兩點(diǎn)連線的流量。cossindrdxidy jdydxnijijdrdrVuiv j dydxdqV ndruvdrdrdrudyvdxdydxdyx dqdBBAAdqd ABAByxndr3 3、平面勢(shì)流中，流函數(shù)與流速勢(shì)函數(shù)

17、一樣，也滿足拉普拉斯方程、平面勢(shì)流中，流函數(shù)與流速勢(shì)函數(shù)一樣，也滿足拉普拉斯方程1()02yyzuuxy得，得，22220 xy滿足滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程可以得到可以得到xuxyxuxy流流 網(wǎng)網(wǎng)4.4.34.4.3 流網(wǎng)及其特性流網(wǎng)及其特性 二維不可壓縮勢(shì)流中存在兩族曲線，即二維不可壓縮勢(shì)流中存在兩族曲線，即等等 線和等線和等線，這兩族曲線互相垂直，構(gòu)線，這兩族曲線互相垂直，構(gòu)成成流網(wǎng)流網(wǎng)。兩族曲線所構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為兩族曲線所構(gòu)成的正交網(wǎng)絡(luò)，稱為流網(wǎng)流網(wǎng)等等 線和速度矢量垂直，或者說，線和速度矢量垂直，或者說， 等等 線與等線與等線（流線）垂直，線（流線）垂直，流網(wǎng)的特征：流網(wǎng)的特征：xy【例題例題】 (0,0,0)xyukxkxyuky 求求：（：（1 1）判斷該流場(chǎng)是否存在速度勢(shì)函數(shù)，）判斷該流場(chǎng)是否存在速度勢(shì)函數(shù)， 若存在請(qǐng)給出并畫出等勢(shì)線；若存在請(qǐng)給出并畫出等勢(shì)線； （2 2）判斷該流場(chǎng)是否存在流函數(shù)，）判斷該流場(chǎng)是否存在流函數(shù)， 若存在請(qǐng)給出并畫出流線圖。若存在請(qǐng)給出并畫出流線圖。 已知已知9090度角域內(nèi)無粘流動(dòng)，速度分布度角域內(nèi)無粘流動(dòng)，速度分布 均勻流均勻流00U xU y uxyuxy1221