材料力學(xué)第10章

1、第十章第十章 動(dòng)載荷動(dòng)載荷10、1 概概 述述10、2 簡單慣性力問題簡單慣性力問題10、3 構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算10、4 提高構(gòu)件抗沖擊能力的措施提高構(gòu)件抗沖擊能力的措施10.1 概概 述述 載荷不隨時(shí)間變化（或變化極其平穩(wěn)緩慢）且使構(gòu)件各部件加速度保持為零（或可忽略不計(jì)），此類載荷為靜載荷靜載荷。 載荷隨時(shí)間急劇變化且使構(gòu)件的速度有顯著變化（系統(tǒng)產(chǎn)生慣性力），此類載荷為動(dòng)載荷動(dòng)載荷。 構(gòu)件中由構(gòu)件中由動(dòng)載荷動(dòng)載荷引起的應(yīng)力稱引起的應(yīng)力稱動(dòng)應(yīng)力動(dòng)應(yīng)力。 實(shí)驗(yàn)表明：在靜載荷下服從虎克定律的材料，只要應(yīng)力不超過比例極限 ,在動(dòng)載荷下虎克定律仍成立且E靜=E動(dòng)。

2、本章僅討論以下兩類問題：（1）構(gòu)件作勻加速運(yùn)動(dòng)或勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算（2）沖擊時(shí)應(yīng)力和變形計(jì)算10.2 簡單慣性力問題一、構(gòu)件作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算jqA 現(xiàn)以起重機(jī)勻加速吊起一桿件為例 設(shè)以距下端為x的截面mn將桿件分為兩部分，研究下面一部分重力沿軸線均勻分布，其集度為作用于橫截面mn上的軸力為dNam nxnmxadNJq l 按照靜動(dòng)法（達(dá)朗貝爾原理），對(duì)這部分作勻加速直線運(yùn)動(dòng)的桿件加入慣性力，作靜力平衡處理則慣性力也沿軸線均勻分布，集度是 其方向與加速度方向相反。 由平衡條件， 得 (a)dAqag0X ()0djdNqqx()(1)djdaNqqxA xgnmxadN(b

3、)J dq q (b)當(dāng)a=0時(shí)，桿件在靜載荷作用下，桿件上的唯一載荷是重力，相應(yīng)的靜力為 代入（b）式,有 (c) 引用記號(hào) (d) 這樣（c）式化為 (10-1)(1)ddNaxAgjx(1)djag(1)daKgdjdKd 因?yàn)闂U件是軸向拉伸的,橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的,故動(dòng)應(yīng)力 為 由(b)式表示的動(dòng)應(yīng)力 沿軸線按線性規(guī)律分布（圖1c）。當(dāng) 時(shí)，得最大動(dòng)應(yīng)力為 式中 為最大靜應(yīng)力。所以動(dòng)載荷下的強(qiáng)度條件為 式中 是材料在靜載荷 作用下的許用應(yīng)力。dxlmaxmax(1)ddjalKgmaxmax ddjKmaxjl xodmaxd( )c例例 1 一長為 的28b工字鋼，有橫截面積為

4、 的鋼索AB,AC吊起，并以等加速度 上升(圖a)，求吊索和工字鋼中的最大動(dòng)應(yīng)力。12lm21.08Acm25am saA2m2mB( ) a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字鋼中的最大動(dòng)應(yīng)力。47.9jqkg m12lm21.08Acm25am saA2m2mB( )a8mC45。45。解解 (1) 由型鋼表查得28b工字鋼單位長度的重量，即載荷集度 慣性集度469.42N m469.425239.509.8jqqaN mg 由于工字鋼的自重和慣性力同向且同量級(jí)，所以，計(jì)算動(dòng)應(yīng)力時(shí)應(yīng)考慮自重的影響，工字鋼上總的動(dòng)載荷集度例例 1 求吊索和工字鋼中的最大動(dòng)應(yīng)力。47.9jqkg m12l

5、m21.08Acm25am s解解 469.42N m469.425239.509.8jqqaN mg工字鋼上總的動(dòng)載荷集度469.42 239.50 708.92djqqqN m （2） 繪出工字鋼的受力圖（圖b），由于對(duì)稱，兩吊索的拉力相同，即 dBdCNN dBN dByN dCN dCyNBC dBxN dCxNq( )baA2m2mB( )a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字鋼中的最大動(dòng)應(yīng)力。12lm21.08Acm25am s解解 dBN dByN dCN dCyNBC dBxN dCxNq( )b有平衡條件0Y 2sin45dBdNq l12 sin45ddBq lN708

6、.92 1212sin456015.4N 吊索中的動(dòng)應(yīng)力46015.455.71.0810dBdNMPaAaA2m2mB( )a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字鋼中的最大動(dòng)應(yīng)力。cos454253.5ddBNNN12lm21.08Acm25am s解解 dBN dByN dCN dCyNBC dBxN dCxNq( )b dBxN( )c( )( )N （3）繪出工字梁的內(nèi)力圖（圖c），系壓縮與彎曲的組合。軸向壓力 最大彎矩 2maxsin 4548ddBq lMN 2268dddq lq lq aA2m2mB( )a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字鋼中的最大動(dòng)應(yīng)力。261.0

7、5Acm12lm21.08Acm25am s解解 dBN dByN dCN dCyNBC dBxNdCxNq( )b dBxN( )c( )( )N( )d( )M( )maxM6d q 工字鋼橫截面面積 ，按圖示放置時(shí) ，最大動(dòng)應(yīng)力發(fā)生在截面的上表面，應(yīng)力為負(fù)，其值為361.209zWcmmaxmaxddzNMAW464253.56 708.9270.261.05 1061.209 10MPaaA2m2mB( )a8mC45。45。二、勻速旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)的應(yīng)力和變形二、勻速旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)的應(yīng)力和變形 圖a為一平均直徑為D的圓環(huán)。已知圓環(huán)橫截面面積為A，壁厚t，材料比重，旋轉(zhuǎn)角速度。Dowt( )a

8、等角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，環(huán)內(nèi)各點(diǎn)有向心加速度，且薄壁圓環(huán)Dt,可近似的認(rèn)為環(huán)內(nèi)各點(diǎn)向心加速度相同22nDaw 沿圓環(huán)均勻分布的慣性力集度為方向與 相反（圖b）.取上半部為研究對(duì)象，由平衡條件 得圓環(huán)橫截面上內(nèi)力 為0Y 02sin2dddDNqdq D224dA DNgwdNna22dnAAqaggwnaDowt( )aodoqdxdNdN 圓環(huán)橫截面上的應(yīng)力為 式中的 是圓環(huán)軸線上各點(diǎn)的線速度。強(qiáng)度條件為2224ddNDvAggw2Dvw222 4dvDggwnaDowt( )ao( )boydqdxdNdN再考慮圓環(huán)的直徑改變，在慣性力集度作用下，圓環(huán)將脹大，令變形后的直徑為 ，則其直徑改變?yōu)?，

9、徑向應(yīng)變 這里 是周向應(yīng)變。由此得 DDDD()drDDDDDEr2dv DDDEgEnaDowt( )ao( )boydqdxdNdN 這里 是周向應(yīng)變。由此得 r2dv DDDEgE2(1)vDDD DgE 22(1)4DDgEwnaDowt( )ao( )boydqdxdNdN例例 2. 在AB軸的B端有一個(gè)質(zhì)量很大的飛輪，與飛輪相比，軸的質(zhì)量可以忽略不計(jì)。軸的另一端A裝有剎車離合器。飛輪的轉(zhuǎn)速 ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣為 ，軸的直徑 。剎車時(shí)使軸在10s內(nèi)按勻減速停止轉(zhuǎn)動(dòng)。求軸內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力。100minnr20.5xIkN m s100dmmAyMxBdM0w剎剎車車離離合合器器f例 2. 求軸內(nèi)最大

10、動(dòng)應(yīng)力。010010(1 )30303nsw100 minnr20.5xIkN m s100dmm解 飛輪與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 當(dāng)飛輪與軸同時(shí)作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其角加速度為偶矩 ，且2121003(1)103stww等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)表示與方向相反（如圖所示）。按動(dòng)靜法，在飛輪上加上方向與相反的慣性力dM0.50.5()()33dxMIkN m AyMxBdM0w剎剎 車車 離離 合合 器器f例例 2.求軸內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力。100 minnr20.5xIkN m s100dmm解解設(shè)軸上作用的磨擦力矩為 ，由平衡條件, 求出 AB軸由于磨擦力矩 和慣性力偶矩 引起扭轉(zhuǎn)變形，橫截面上的扭矩為橫截面上的最大扭

11、轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為 0 xM 0.5()3fdMMkN m0.5()3ndMMkN mm axndnMW330.51032.67(100 10 )16MPafMdMfMAyMxBdM0w剎剎 車車 離離 合合 器器f例例 3 如圖所示鋼軸AB的直徑為80mm，軸上有一直徑為80mm的鋼質(zhì)圓桿CD，CD垂直于AB。若AB以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。材料的許用應(yīng)力 ，密度為 。試校核AB軸及CD桿的強(qiáng)度。401 sw 70MPa37.8g cmABCwD600600600例 3 直徑為80mm，試校核AB軸及CD桿的強(qiáng)度。22( ) (0.087800) 40627004dq xxxN m401 sw70MPa37

12、.8g cmABCwD600600( )dq x解沿CD桿軸線單位長度上慣性力(圖b所示為) 當(dāng)x=0 當(dāng)x=0.04m 當(dāng)x=0.6m 0dq 2510dqN m37600dqN m600例例 3 直徑為80mm，試校核AB軸及CD桿的強(qiáng)度。401 sw70MPa37.8 gcmABCwD600600( )dq x解解CD桿危險(xiǎn)截面D上軸力和正應(yīng)力分別為 m ax21(37600 2510) (0.6 0.04)20.08(0.6 0.04) 7800 9.8411200 215 1141511.42dNNkN 600例例 3 直徑為80mm，試校核AB軸及CD桿的強(qiáng)度。36maxmax21

13、1.4210100.0842.2770ddNAMPaMPa401 sw70MPa37.8g cmABCwD600600( )dq x解解 AB軸中央截面上的最大彎曲正應(yīng)力為 所以AB軸和CD桿的強(qiáng)度均滿足。36m ax3111.42101.24100.083268.270dM PaM Pa60010.3 構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算一、計(jì)算假設(shè) 沖擊過程中，由于沖擊發(fā)生在一瞬間，用動(dòng)靜法 無法計(jì)算其應(yīng)力和變形，根據(jù)能量守恒原理進(jìn)行簡 化計(jì)算，并以下列假設(shè)為基礎(chǔ)。1、 沖擊物是有質(zhì)量的剛體，被沖擊物是不計(jì)質(zhì)量的 彈性體，忽略沖擊接觸表面可能產(chǎn)生的局部塑性變 形，認(rèn)為沖

14、擊過程中材料服從虎克定律，且彈性模 量與靜載條件下相同。2、 被沖擊物內(nèi)由沖擊力引起的應(yīng)力及變形，在沖擊 瞬間由沖擊點(diǎn)傳播到物體各部分，同時(shí)達(dá)到最大值并不計(jì)沖擊過程的能量損耗。 3. 不考慮沖擊物回跳和被沖擊物的振動(dòng)，即沖 擊物一旦與被沖擊物接觸后，就相互附著成 一體，當(dāng)被沖擊物的變形達(dá)到最大位置時(shí)， 沖擊物速度隨之減為零。 根據(jù)上述假設(shè)，由能量守恒原理，沖擊物 在沖擊過程中減少的動(dòng)能T和位能V，將全部 轉(zhuǎn)化成被沖擊物的彈性變形能U，即 T+V=U （a） 按此法計(jì)算所得的結(jié)果是偏安全的。二、自由落體沖擊 設(shè)重量為Q的重物從距彈簧頂端為h的高度自由落下，當(dāng)重物與彈簧一起運(yùn)動(dòng)的速度為零時(shí)，彈簧達(dá)

15、到受沖擊的最大變形位置。QdhhQdQhd 考慮T+V=U，現(xiàn)計(jì)算沖擊物的能量改變和被沖擊物的變形能。 在圖示的情況下，沖擊物所減少的位能是 （b） 沖擊物初速度和末速度都為零，無動(dòng)能變化 （c） 被沖擊構(gòu)件的變形能，則等于沖擊 載荷在沖擊過程中所做的功。 （d）()dVQ h0T 12dddUP 將 , , 代入式 （e） 設(shè)重物Q按靜載的方式作用于構(gòu)件上時(shí)，構(gòu)件的 靜變形為 ，靜應(yīng)力為 。在沖擊載荷 作用 下構(gòu)件相應(yīng)的變形和應(yīng)力則分別為 和 ，在線 彈性范圍內(nèi) 或者寫成 （f） （g）()dVQ h1()2dddQ hPdddjjPQddjPQddjj0T 12dddUPT+V=UjjdP

16、dd 將 代入 得 或者寫成 由此方程可以解出 為了求得 的最大值，式中根號(hào)前的符號(hào)應(yīng)取正號(hào)，故有 （h）21()2ddjQ hQ 2220djdjh 222(11)djjjjjhh 2(11)djjh ddjPQ1()2dddQ hP d引用記號(hào) （10-6）稱為沖擊動(dòng)載荷系數(shù)。因此 （i）突然作用于彈性體上的載荷，相當(dāng)于h=0的情況， 由（10-6）看出 ，即在突加載荷作用 下應(yīng)力和變形皆為靜載荷作用下的兩倍。211ddjjhK ddjddddjKPK QK 2dK a.若已知沖擊瞬間沖擊物的速度v， （10-7）b.若已知沖擊開始時(shí)沖擊物的動(dòng)能，因 所以 （10-8） 211djvKg

17、2012QTvg2201212jjjQvTvgQgUgg011djTKU 三、水平?jīng)_擊三、水平?jīng)_擊 圖示重量為Q的沖擊物以速度V水平方向運(yùn)動(dòng)，對(duì)被沖擊物做水平?jīng)_擊。 沖擊后沖擊物的速度變?yōu)榱?，?dòng)能變化為 受沖擊構(gòu)件的變形能為 212QTvg2122ddddP lUPEA QAlv根據(jù)能量守恒 （j）若桿件為等截面桿，桿內(nèi)的動(dòng)應(yīng)力是均勻的，故有代入（j） （k）當(dāng)Q以靜載荷水平作用于桿端時(shí)有22122dP lQvgEAddPA2dEQvgAljQAjQlEA 代入整理后得 （l）或 （10-9）這里 2djjvgddjK2djvKg2dEQvgAl例例 求其許可高度H。 10圈，D=10cm，d

18、=20mm， =160MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解 彈簧所受靜壓力為 彈簧靜變形為QP=10002NQ1.5 m1.5 mh348jPD nGd3948 10000.11080 100.02462.5 10 m例例 求其許可高度H。 10圈，D=10cm，d=20mm， =160MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解 由由 彈簧的靜應(yīng)力Q1.5 m1.5 mh100520Dcd410.6151.3144ckcc38jPDkd638 10000.11.31100.0241.7MPa例例 求其許可高度H。 10圈，D=10cm，d=20mm， =1

19、60MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解彈簧所允許的動(dòng)載荷系數(shù)可表示為梁的靜變形Q1.5 m1.5 mh 2004.841.7djK348jQlEI3962000 348 200 1011.3 10549.8 10 m例例 求其許可高度H。 10圈，D=10cm，d=20mm， =160MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解梁的靜應(yīng)力是梁所允許的動(dòng)荷系數(shù)為Q1.5 m1.5 mh4jMQlWW62000 34 141 1010.64 10MPa 1601510.64djK綜合考慮梁和彈簧應(yīng)取 ,梁中點(diǎn)靜變形為根據(jù)許可高度12jjj 21(1)12cjHK4.8dK 54149.8 1062.5 102436.23 10 m241(4.8 1)1 36.23 102324.3 10 m211ddjjhK 例例 在水平平面內(nèi)的AC桿繞通過A點(diǎn)的垂直軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的C端有一重為Q的集中質(zhì)量，因 發(fā)生在B點(diǎn)卡住而突然停止轉(zhuǎn)動(dòng)，試