最新數(shù)學(xué)建模-傳染病模型精品課件復(fù)習(xí)進(jìn)程

1、數(shù)學(xué)建模-傳染病模型 設(shè)某地區(qū)共有設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有人，最初時(shí)刻共有i人得病，人得病，t時(shí)刻已時(shí)刻已感染（感染（infective）的病人數(shù)為）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（個(gè)人（k稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的

2、參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。 已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。 ( )odikidti oi則可導(dǎo)出：則可導(dǎo)出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.15） 綜上所述，模型綜上所述，模型3 3指出了傳染病的以下特征：指出了傳染病的以下特征： （1 1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定

3、流）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)椋┘膊〔⒎且蛉鄙僖赘腥菊叨Ｖ箓鞑?，相反，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ?，否則將導(dǎo)致所有人得病。缺少傳播者才停止傳播的，否則將導(dǎo)致所有人得病。 （3 3）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。 模型檢驗(yàn)：模型檢驗(yàn)： 醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù) ，從廣義上，從廣義上理解，理解，r(t)為為t時(shí)刻已就醫(yī)而被

4、隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。模型并無(wú)影響。(1)drlinrsdt rloSS e及：及：注意到：注意到：可得可得：(1)rodrl nrs edt （3.20） 通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有：一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有： r211()2rrre 代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：2112oooSSdrrl nSrdt 積分得：積分得：21( )1tanh()2ooSr tmml

5、tS 其中：其中：1222(1)1oooSS nSm 11tanh1oSm這里雙曲正切函數(shù)這里雙曲正切函數(shù) ：tanhuuuueeuee2222()()4tanh()()uuuuuuuudeeeeudueeee而：而：對(duì)對(duì)r(t)求導(dǎo)求導(dǎo) ：2221sec22odrlmhmltdtS（3.21）曲線曲線 2221sec22odrlmhmltdtS在醫(yī)學(xué)上被稱為疾病傳染曲線。在醫(yī)學(xué)上被稱為疾病傳染曲線。圖圖3-14（a）給出了（）給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)曲線。每天實(shí)際登錄數(shù)進(jìn)行比較擬合得最優(yōu)曲線。 圖3-14（a）圖圖3-14（b）記錄了）記錄了1905年下半年至年下半年至1906年