第5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、1第第5 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)定律 2 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體發(fā)生變化的物體( (任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組) )剛體的運(yùn)動(dòng)形式：剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的說(shuō)明：說(shuō)明：3 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)：平動(dòng)：剛體中所剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同持完全相同 特點(diǎn)：特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)各點(diǎn)運(yùn)

2、動(dòng)狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、v4轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：分分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的剛體的平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) 5一般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng) = ( (平動(dòng)平動(dòng)) )+( (轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)) )原則原則: 隨某點(diǎn)隨某點(diǎn)( (基點(diǎn)基點(diǎn)) )的平動(dòng)的平動(dòng) + 過(guò)該點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)該點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 基點(diǎn)任選?；c(diǎn)任選。ABDABD實(shí)際實(shí)際: 因?yàn)閷?duì)質(zhì)心因?yàn)閷?duì)質(zhì)心存存在在“質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理”所以：所以： 基點(diǎn)基點(diǎn)就選就選質(zhì)心質(zhì)心圖示基點(diǎn)任選圖示基點(diǎn)任選6沿沿逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)椒较蜣D(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng)一一 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐

3、標(biāo)沿沿順時(shí)針順時(shí)針?lè)椒较蜣D(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng)tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.d7角加速度角加速度t dd 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)( (一維轉(zhuǎn)動(dòng)一維轉(zhuǎn)動(dòng)) )的的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)方向方向可以用可以用角速度角速度的正、負(fù)的正、負(fù)來(lái)表示來(lái)表示. .000 01 0 在在沖擊沖擊等問(wèn)題中等問(wèn)題中 L常量常量61演示演示(一一)茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳花樣滑冰花樣滑冰 跳水跳水(二二)自行車轉(zhuǎn)盤自行車轉(zhuǎn)盤mm1r2r角動(dòng)量例角動(dòng)量例陀螺陀螺62積分形式積分形式 （有限時(shí)間過(guò)程）（有限時(shí)間過(guò)程）微分形式微分形式 (瞬時(shí)效應(yīng)瞬時(shí)效應(yīng))質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)

4、系質(zhì)點(diǎn)系定軸剛體定軸剛體LLtMLLtt2121ddLLtMLLtt2121dd外tLMddtLMdd外tJJMdd軸2121ddttJJtM軸63如圖所示桌面上有一均勻細(xì)桿，質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l，它與桌面之間的摩擦因數(shù)為細(xì)桿以初始角速度0繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)細(xì)桿經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？例xdxxO解重力及桌面的支持力的力矩和為零細(xì)桿的質(zhì)量密度為：/m lxmdd距O為x處的質(zhì)量元：質(zhì)元受的摩擦力矩為：ddMgx m細(xì)桿受的摩擦力矩為：/2/2/201d2d4lllMMg x xmgl 00 LJ0L 001d04tmgl tJ03ltg64如圖所示的兩個(gè)共軸飛輪，對(duì)公共軸OO的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別

5、為J1、J2，角速度分別為 1 、2，求兩飛輪嚙合后共同的角速度例OO1J2J12112212()JJJJ解嚙合前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒112212JJJJ65 例例4一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一，并把蹺板另一端的演員端的演員N彈了起來(lái)問(wèn)演員彈了起來(lái)問(wèn)演員N可彈起多高可彈起多高? ?ll/2CABMNh66設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板

6、上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu 67M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒22M21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh68lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員N以以u(píng)起跳，達(dá)到的高度：起跳，達(dá)到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlmv69 例例3 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿，可的均

7、勻細(xì)桿，可繞過(guò)其中心繞過(guò)其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲(chóng)以速率小蟲(chóng)以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背處，并背離點(diǎn)離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿爬行設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0vl/4O70220)4(1214lmmllmvl0712 v解解蟲(chóng)與桿的蟲(chóng)與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒71l0712

8、 v由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg72M/4，RMM/23-4題圖5一輕繩繞過(guò)一半徑R，質(zhì)量為M/4的滑輪。質(zhì)量為M的人抓住繩子的一端，而繩子另一端系一質(zhì)量為M/2的重物，如圖。求當(dāng)人相對(duì)于繩勻速上爬時(shí)，重物上升的加速度是多少？4解：選人、滑輪、與重物為系統(tǒng)，系統(tǒng)所受對(duì)滑輪的外力矩為MgR21設(shè)u為人相對(duì)繩的勻速度，v為重物上升的速度。則該系統(tǒng)對(duì)滑輪軸的角動(dòng)量為 MRuMRRMRuMRML813)421()(22根據(jù)角動(dòng)量定理 tLdd)813(

9、21MRuMRdtdmgRgdtdadtdu134073練習(xí)：練習(xí)：已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，繩秒，繩不可伸長(zhǎng)。求不可伸長(zhǎng)。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v =?哪些物理量守恒？請(qǐng)列方程。哪些物理量守恒？請(qǐng)列方程。解解：m、M系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒（系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒（F x =0)豎直方向動(dòng)量不守恒（繩沖力不能忽略）豎直方向動(dòng)量不守恒（繩沖力不能忽略）對(duì)對(duì)o 點(diǎn)軸角動(dòng)量守恒（外力矩和為零）點(diǎn)軸角動(dòng)量守恒（外力矩和為零）omMv300vvMmmv0030sin或：或：00090sin30sinlMmvlmvv = 4 ms-1得：

10、得：74例例. . 一半徑為一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為 M 的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過(guò)其中心的的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過(guò)其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng), , 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣，最初人和的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣，最初人和臺(tái)都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周臺(tái)都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周 ( (不計(jì)阻力不計(jì)阻力) )，相對(duì)，相對(duì)于地面，人和臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角度？于地面，人和臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角度？RMm選地面為參考系，設(shè)對(duì)轉(zhuǎn)軸選地面為參考系，設(shè)對(duì)轉(zhuǎn)軸人：人：J J , , ; ; 臺(tái)：臺(tái)：J J , , 解：解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。以向上為正：角動(dòng)量守恒。以向上為正：2212MRJmR

11、J0JJMm275設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周的時(shí)間為設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周的時(shí)間為 t t：2dd00tttt2d2d00tttMmt人相對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度：人相對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度：MmMt22dt0臺(tái)相對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度：臺(tái)相對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度：Mmmtt22d076ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一力矩作功一力矩作功 orvFxtFrdd77MtMtWPdddd二力矩的功率二力矩的功率rFWd比較比較v FP三轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能三轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221iiikmEv22221)(21Jrmiii7821222121d21JJMW四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理21dMW21

12、11ddddJtJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理比較比較 21222121dvvmmrFW792） 用用角量角量表示的表示的力作功的形式力作功的形式dddMsFA3） 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理形式動(dòng)能定理形式 2022121JJA0內(nèi)A2.重力場(chǎng)中重力場(chǎng)中,機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律系統(tǒng)系統(tǒng)- 剛體剛體 + 地球地球EmghJc122自證自證KEAA內(nèi)外質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理80vo以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì)81子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；82voompTR圓圓錐錐擺擺圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒83 例例2 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)一自由轉(zhuǎn)動(dòng)一質(zhì)量為質(zhì)量為m、速率為、速率為v 的子彈射的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處，使竿的處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為偏轉(zhuǎn)角為30o . 問(wèn)子彈的初速