理論力學(xué)教程周衍柏第三版課件.

1、理論力學(xué)教程（第三版）周衍柏 編高等教育出版社10.1 力學(xué)的研究對(duì)象力學(xué)（mechanics）的研究對(duì)象是機(jī)械運(yùn)動(dòng)（mechanical motion）經(jīng)典力學(xué)研究在弱引力場(chǎng)中宏觀物體的 低速運(yùn)動(dòng)力學(xué): 運(yùn)動(dòng)學(xué)、（靜力學(xué)）、動(dòng)力學(xué)Nature and natures law lay hid in night: God said:let Newton be! And all was light！2理論力學(xué)與普物力學(xué)的關(guān)系理論力學(xué)是力學(xué)的延續(xù)與提高主要的概念和定律一樣 理論力學(xué)用高等數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn) 題分析力學(xué)3理論力學(xué)的任務(wù)研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律理論力學(xué)的研究對(duì)象有限個(gè)自由度的力學(xué)體系質(zhì)

2、點(diǎn)剛體兩個(gè)模型4理論力學(xué)研究的條件宏觀低速下質(zhì)量不變絕對(duì)時(shí)間絕對(duì)空間5*v c* 物體的尺度原子,分子尺度理論力學(xué)的學(xué)習(xí)預(yù)備知識(shí): 普通力學(xué)+高等數(shù)學(xué)以公理、定律為依據(jù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)推演的 方法導(dǎo)出其他定理和結(jié)論 偏重于問(wèn)題的提出、求解嚴(yán)格基礎(chǔ)訓(xùn)練、強(qiáng)化現(xiàn)代技術(shù)應(yīng)用 注重問(wèn)題的延拓分析培養(yǎng)科學(xué)精神6科學(xué)是一種方法，它教導(dǎo)人們：一些事物是怎樣被了解的，什么事情是已知的，現(xiàn)在了解到什么程度（因?yàn)闆](méi)有事情是絕對(duì)已知的），如何對(duì)待疑問(wèn)和不確定性，證據(jù)服從什么法則，如何去思考事物，做出判斷，如何區(qū)別真?zhèn)魏捅砻胬聿榈? 費(fèi)曼現(xiàn)象。參考書(shū)梁昆淼.梁昆淼.趙凱華.盧德馨.力學(xué).力學(xué).力學(xué).(上冊(cè)) 第四版, 高等

3、教育出版社, 2009(下冊(cè)) 第四版 , 高等教育出版社, 2010第二版, 高等教育出版社, 2004大學(xué)物理學(xué).第二版, 高等教育出版社,200370.2理論力學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)矢量力學(xué)（即牛頓力學(xué)）分析力學(xué)矢量力學(xué)是以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)，從分析質(zhì)量和物體受力情況，由此探討物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 在矢量力學(xué)中，涉及的量多數(shù)是矢量，如力、動(dòng)量、動(dòng)量矩、力矩、沖量等. 力是分析力學(xué)中最關(guān)鍵的量.分析力學(xué)以達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ)，從分析質(zhì)量和質(zhì)量系能量情況，由此探討物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 分析力學(xué)中涉及的量多數(shù)是標(biāo)量，如動(dòng)能、勢(shì)能、拉格朗日函數(shù)、哈密頓函數(shù)等。動(dòng)能和 勢(shì)能是最關(guān)鍵的量.80.3力學(xué)簡(jiǎn)史牛頓力學(xué)

4、的建立：在哥白尼(日心說(shuō))推翻了托勒密的地心說(shuō)，和在第谷布拉赫積累的天文觀察資料基礎(chǔ)上,開(kāi)普勒發(fā) 現(xiàn)了行星三定律總結(jié)萬(wàn)有引力定律，牛頓總結(jié)了三定 律(自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理,1687).分析力學(xué):（1788）拉格朗日力學(xué)建立(至此認(rèn)為力學(xué)天衣無(wú) 縫). 近代力學(xué)：19世紀(jì)末、20世紀(jì)初出現(xiàn)了經(jīng)典力學(xué)無(wú)法解釋的矛盾. 1）高速（與c比）：相對(duì)論（愛(ài)因斯坦）；2）微 觀粒子： 量子力學(xué)（薛定諤）；3）納米技術(shù)：0.1100nm尺度起關(guān)鍵作用 (原子直徑10-10m; 人頭發(fā)10-4m；人100m).90.4力學(xué)單位制物理理論組成：概念、概念的數(shù)學(xué)表示假定、方程組（物理量的關(guān)系） 單位制通過(guò)以下步驟建立

5、：選出幾個(gè)相互獨(dú)立的物理量作為基本量；選取可以直接測(cè)量的物理量.通?；玖慷际?.由物理規(guī)律或定義推出用基本量表示的其他量（導(dǎo)出量）的關(guān)系式（稱為導(dǎo)出關(guān)系式）.確定出基本量的單位（基本單位）；力學(xué)常用基本量為 長(zhǎng)度： 米（m）、質(zhì)量：千克（kg） 、時(shí)間：秒（s）102.3.由導(dǎo)出關(guān)系式確定出導(dǎo)出量的單位（導(dǎo)出單位）；基本量的量綱為其本身，并規(guī)定用基本量的符號(hào)的正體大 寫(xiě)字母作為基本量的量綱的符號(hào). 導(dǎo)出量的量綱通過(guò)導(dǎo)出關(guān)系式用基本量的量綱表示.單位制：按照上述方法制定的一套單位.常用單位制: MKS、 CGS、自然單位制.單位制制訂要考慮不易變化以及測(cè)量的方便程度.4.5.6.1112時(shí)間(

6、time)的計(jì)量以前定義: 1秒為地球繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)一周(1天)的1/86400.目前時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)：1秒的長(zhǎng)度等于與銫133原子基態(tài)兩個(gè) 超精細(xì)能級(jí)之間躍遷相對(duì)應(yīng)的輻射周期的9 192 631 770 倍.未來(lái)定義: 原子氫微波激射器？因?yàn)樗蠕C原子鐘穩(wěn) 定度高100倍.13時(shí)鐘的改進(jìn)14長(zhǎng)度(length)的計(jì)量空間反映物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的廣延量, 在三維空間里位置可由三個(gè)相互獨(dú)立的坐標(biāo)來(lái)確定. 空間中兩點(diǎn)間的距離為長(zhǎng)度.1889年， 第一屆國(guó)際計(jì)量大會(huì): 法國(guó)國(guó)際計(jì)量局鉑銥合金 棒在0oC時(shí)兩條刻線間的距離定義為1米.1960年，第十一屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)：采用氪86原子橙黃光波 長(zhǎng)的1 650 763.73

7、倍定義為1米, 實(shí)現(xiàn)了自然基準(zhǔn).1983年，第十七屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)：1米定義為光在真空中傳 播(1/299 792 458)秒的時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)路程的長(zhǎng)度.15質(zhì)量(mass)的計(jì)量物體所含物質(zhì)的多少.慣性質(zhì)量 引力質(zhì)量1889年，第一屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)：1千克質(zhì)量的實(shí)物基準(zhǔn) 是保存在法國(guó)巴黎國(guó)際計(jì)量局中的一個(gè)特制的、直徑 和高均為39mm的鉑釔合金圓柱體，稱為國(guó)際千克原器.未來(lái)標(biāo)準(zhǔn): 是否采用自然基準(zhǔn)?16物質(zhì)世界的層次和數(shù)量級(jí)17物質(zhì)世界的層次和數(shù)量級(jí)micron second, usnano second, ns18目前已知質(zhì)量范圍已知宇宙銀河系 地球人 灰塵 煙草花葉病毒 質(zhì)子電子1053kg

8、2.21041kg6.0 1024kg6.0 101kg10-10kg10-13kg10-27kg10-31kg6.72.31.79.119力學(xué)量的單位20力學(xué)量MKS制CGS制工程制長(zhǎng)度 質(zhì)量 時(shí)間 速度 加速度 力動(dòng)量 沖量功,能m(米)kg(千克)s(秒)m/s (米/秒) m/s2(米/秒2) N(牛頓)kg m / sN sN mcm(厘米)g(克)s(秒)cm/s (厘米/秒)cm/s2(厘米/秒2)dyn(達(dá)因)dyn sdyn s erg(爾格)m(米)kgf/ (ms2)s(秒)m/s (米/秒) m/s2(米/秒2) kgf(千克力)kgf s kgf s kgf mg c

9、m / s0.5量綱(dimension)在不考慮數(shù)字因子時(shí)，表示一個(gè)物理量是由哪些基本量導(dǎo)出的以及如何導(dǎo)出的式子，稱為這個(gè)物理量的量 綱. 在力學(xué)中CGS和MKS單位制的基本量是長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間, 它們的量綱分別為L(zhǎng)、M和T.任何力學(xué)量Q的量綱為Q=LMT，式中,為量綱指數(shù).,21量綱分析定理設(shè)我們?cè)谶x定單位制中的基本量數(shù)目為m，它們的量綱為X1，X2，Xm. 用P代表導(dǎo)出量P的量綱,則 X amX a1 X a2P 12m上式取對(duì)數(shù)lnP a1lnX1 a 2lnX2 am lnXm把lnX1, lnX2, ,lnXm看做m維空間的“正交基矢”，則（a1,a2,am）相當(dāng)于“矢量”lnP在

10、基矢上的投影.22定理P1 , P2 , Pn設(shè)某物理問(wèn)題內(nèi)涉及n個(gè)物理量(包括物理常量),而我們所選的單位制中有m個(gè)基本量(nm),則由此可以組成n-m個(gè)無(wú)量綱的量函數(shù)關(guān)系式. 在物理量之間存在的P , P , P1 , 2 , n m1 2nf (P1 , P2 , Pn ) 0可表達(dá)成相應(yīng)的無(wú)量綱形式F(1 ,2 , ,nm ) 01 2 , ,n m 或者從上式把 1 解出來(lái)：n=m的情況下，有兩種可能. 若 P1 , P2 , , Pm 的量綱彼此獨(dú)立，則不 能由它們組成無(wú)量綱的量；如不獨(dú)立，則還可能組成無(wú)量綱的量.23例1 雖然單個(gè)微粒撞擊墻壁的力是局部而短暫的脈沖, 但大量粒子撞

11、擊的平均效果就是均勻而持久的壓力. 如設(shè)粒子流中每個(gè)粒子的速度都垂直于墻壁,并大小一樣, 皆為v. 粒子質(zhì)量為m, 單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為n. 試導(dǎo)出墻壁受到的壓強(qiáng)與上述三個(gè)物理量之間的關(guān)系.這是一個(gè)力學(xué)問(wèn)題,有三個(gè)基本量, 質(zhì)量、長(zhǎng)度和時(shí)間,即m=3.本題涉及的物理量: n, m ,v ,P (m=4)的量綱分別為:解:lnn 0 lnM (3) lnL 0 lnT0 lnTlnm 1 lnM lnv 0 lnM 0 lnL 1 lnL (1) lnT(1)lnP 1 lnM (1) lnL (2) lnT由于只有3個(gè)基本量, 相當(dāng)于3維基矢空間, 所以上述4個(gè)量只有3個(gè)是線性無(wú)關(guān)的. 設(shè)前3

12、個(gè)是無(wú)關(guān)量, 則有24lnP x1 lnn x2 lnm x3 lnv將(1)式代入,則有1 ln M (1) ln L (2) ln Tx10 ln M (3) ln L 0 ln T0 ln Tx2 1 ln M x30 ln M 0 ln L 1 ln L (1) ln T由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它們的系數(shù)應(yīng)分別相等,0 x1 1 x2 (3) x1 0 x2 0 x1 0 x2 0 1x3 1x3 1(1) x3 2x1 1, x2 1, x3 2求解上述方程組, 得到25于是我們得到lnP 1 lnn 1 lnm 2 lnv從而得到P knmv2k是一個(gè)無(wú)量綱的

13、數(shù)學(xué)常數(shù), 根據(jù)具體情況不同, k可能變化, 而壓強(qiáng)與這 三個(gè)物理量的關(guān)系是不變的.總結(jié):利用量綱分析,雖然不能完全定量的給出物理問(wèn)題的答案,但是能夠?qū)ξ锢韱?wèn)題提供一個(gè)簡(jiǎn)便的分析思 路,甚至不需要知道定律和物理機(jī)制的細(xì)節(jié).26例2解:用量綱分析法證明勾股定理直角三角形的面積A可由它的一邊(例如斜邊c)和一個(gè)銳角(如)所 決定. 是無(wú)量綱的, 所以A c 2( )如圖,作c邊的垂線將三角形分成兩個(gè)與原來(lái)相似的小直角三角形,它們各 有一個(gè)同樣的銳角, 故它們的面積應(yīng)分別為A a 2( ),A b2( )1由A=A1+A2得2cac 2( ) a 2( ) b2( )c 2a 2 b2消去(),即得

14、b這樣我們就利用量綱分析定量的得到了勾股定理.270.6微積分預(yù)備知識(shí)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1ndydxx ny nx n1y dxdydxdsinxy sin xy cos xdxdydxdcosxy cosxy sin xdxdxdlnxdxdydx1xy ln xy xdydee xy e xy dxdx28導(dǎo)數(shù)運(yùn)算定理2ddudvu( x) v( x) dxddxdxdudvu( x)v( x) v( x) u( x)dxdxdxdudv u( x)v( x) d u( x) dxdxv( x)2dx v( x) ddu dvuv( x) dxdv dx293 常見(jiàn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式函數(shù)展開(kāi)式

15、收斂范圍x)1/ 2x)3 / 2x)5 / 2 x)1/ 2 x)3 / 2x)5 / 2x)1x)2x 2x 2x 2x3x3x3x 4x 4x 4(1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 1 1 1 x 111131135 1 1 1 1 1 1 1 11xx xxx24312463112468311323xx252453246531246853112424613524682x 2x 2x 2x 2x3x3x3x 4x 4x 41 1 1 x 131357 124246246823xx353573579224246246857579579115x2424624682x3x 41 x

16、 xx1 2 x 3x 2 4 x3 5x 4 30 x31x51sin xcos xx 1x 4171 x 3!5!x 2x61 x3 1x2!4!6!x5x 2x7x9tan xx 1262 x 3153152835e xln(1 x3x 41 1x x 1111 x1!2!3!4!x 2x3x 411 1 x 1x)234 x x 2x3x 4ln(1 111 1 x 1x)234314 基本不定積分公式函數(shù)不定積分f (x)f ( x)dxn 1xxn (n 1) Cn 1 cos x Csin x Csin xcos1xln | x | Cxe xe x C325 積分運(yùn)算定理(i)

17、 如果f (x)(a是常量),則 a u( x)dx=a u(x)f ( x)dx(ii) 如果f (x) = u(x)v(x), 則f ( x)dx u( x)dx v( x)dxu(v) v(x), 則 u(v)v ( x)dx如果f (x) =(iii) u(v)dvf ( x)dx330.7矢量基本知識(shí) 標(biāo)量(scalar): 物理學(xué)中像質(zhì)量、密度、能量、溫度、壓強(qiáng)等，在選定單位后僅需用一個(gè)數(shù)字來(lái)表示其大小的 物理量. 矢量(vector): 像位移、速度、加速度、動(dòng)量、力等,除 數(shù)量大小外還有一定的方向,并遵從一定的合成法則與隨坐標(biāo)變換的法則的物理量.zA Ax i Ay j Az

18、kAx A cos ,cos2 cos2Ay A cos ,A cos AzA cos2k 1Axyy342222A Ax Ay AzjxiAzA1 矢量的加減法A1 , A2 , An B1 , B2 , Bn ，則考慮n維矢量A BA1 , A2 , An B1 , B2 , Bn A1 B1 , A2 B2 , An Bn BA(交換律)A B B AA B C A B C矢量的標(biāo)積(結(jié)合律)2A和B是兩個(gè)任意矢量,它們的標(biāo)積定義為 Ax Bx Ay By Az BzA B AB cos B AA B A B(交換律)(分配律)A B C A B A C35矢量的矢積3A 和 B 是兩個(gè)

19、任意矢量,它們的矢積定義為A B ( Ay Bz Az By )i ( Az BxAx Bz ) j ( Ax ByAy Bx )kiAxBxjAyBykAzBzC AB sin C A BBA B B A(反交換律)AA B C A B A C36矢量的三重積物理學(xué)中經(jīng)常遇到矢量的三重積,常見(jiàn)的兩種4A B C (i)三重標(biāo)積AxAyAzA B C B C A C A B A B C BBBxyzCxC yCzA B C (ii)三重矢積A B C A C B A BC顯然這個(gè)矢積還是在矢量B和C平面內(nèi).37第一章 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)1.1 運(yùn)動(dòng)的描述方式1.2速度、加速度的分量形式1.3平動(dòng)參考系1

20、.4質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律1.5質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程1.6 非慣性系動(dòng)力學(xué)（一）1.7 功與能1.8 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本定理與基本守恒定律1.9 有心力第一章部分作業(yè)解答第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)2運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要內(nèi)容研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1.建立物體的運(yùn)動(dòng)方程2.分析運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、角速度、角加 速度等3.研究運(yùn)動(dòng)的分解與合成規(guī)律3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)導(dǎo)讀參考系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道 位移、速度、加速度自然坐標(biāo)系，切向、法向加速度 相對(duì)運(yùn)動(dòng), 絕對(duì)(加)速度、相對(duì)(加)速度、牽連(加)速度41.1運(yùn)動(dòng)的描述本節(jié)導(dǎo)讀質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道 位移、

21、速度、加速度51 質(zhì)點(diǎn)具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn)自由質(zhì)點(diǎn)：可以在空間自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn).確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立變量.2 參考系 坐標(biāo)系參考系：為描述物體的運(yùn)動(dòng)而選取的參考物體坐標(biāo)系：用以標(biāo)定物體的空間位置而設(shè)置的坐標(biāo)系統(tǒng)63 位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程z位置矢量（位矢）從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，指向質(zhì) 點(diǎn)所在位置P的一有向線段位矢用坐標(biāo)值表示為P(x,y,z)rOyxr xi yj zk位矢的大小為x 2y 2z 2yr xzcos , cos, cos 位矢的方向rrr7運(yùn)動(dòng)方程rx(t )iy(t ) jz(t )k參數(shù)形式xy zx(t )y(t )z(t )軌道方程F ( x, y,z) 08

22、4 位移zABr設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)rArBt 時(shí)刻位于A點(diǎn)，位矢rAt+t時(shí)刻位于B點(diǎn)，位矢OrByx質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于某參考系運(yùn)動(dòng)時(shí)，位置連續(xù)變化.在給定時(shí)間內(nèi)，聯(lián)結(jié)質(zhì)點(diǎn)初位置A和末位置B的直線，并從A指向B加上箭頭，叫做質(zhì)點(diǎn)在給定時(shí)間內(nèi)的位移.9 r rB rA AB5 速度速度是反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢和方向的物理量定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的位移zA(1)平均速度BrrArB(2)瞬時(shí)速度Oyr limdrm s1 vtdtt 0 x速度的方向?yàn)檐壍郎腺|(zhì)點(diǎn)所在處的切線方向.10 rv m s tv vx i vyj vz ksB222v v v x v yv zArlim(3)速率tdt一般情況：因此

23、r s v則r dr dsv v當(dāng)t0時(shí)：11vv s dst 0v1z6 加速度加速度是反映速度變化的物理量v2O平均加速度y瞬時(shí)加速度xkij dvydvxdvdtdvzav1dtdtd 2 ydtvkijd 2 xd 2 zv2dt 2dt 2dt 2222ax a y aaz12ax i a y j az k vm s2 ta運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要內(nèi)容研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1、建立物體的運(yùn)動(dòng)方程2、分析運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、角速度、角 加速度等3、研究運(yùn)動(dòng)的分解與合成規(guī)律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)導(dǎo)讀參考系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道 位移、速度、加速度自然坐標(biāo)系，切向、法向加速

24、度 相對(duì)運(yùn)動(dòng), 絕對(duì)(加)速度、相對(duì)(加)速度、牽連(加)速度.1.2速度、加速度的分量表示式本節(jié)導(dǎo)讀直角坐標(biāo)系中位移、速度、加速度表示極坐標(biāo)系中位移、速度、加速度表示 切向加速度與法向加速度1 直角坐標(biāo)系位置矢量r xi yj zk速度表示d z kx iy jrv dt加速度表示d vxiyjzka dt運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問(wèn)題（1）已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、 速度以及加速度d d 2 drdvd rd r t v a r2dtdtdt（2）已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌道方程vtdvadt,vdvtadt00rtdrvdt,rdrtvdt00r

25、2ti 19 2t j2例1 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程求(1)軌道方程；(2)t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度以及加速度；(3)什么時(shí)候位矢恰好與速度矢垂直？y 19 2t 2解：（1）x 2t,1x 2y 19 消去時(shí)間參數(shù)22 2i 19 2 2 2 j（2） 4i 11 jm/srt 2d rv 2i 8 jv 2i 4tjt 2dt 8 82 arctan 75582 2 8.25vm/s22d 4 jdv 2i 4tjra v dtdta 4 m s -2方向沿y軸的負(fù)方向 r v 2ti 19 2t 2 j 2i 4tj （3）2 )2 4t 4t (19 2t 4t (2t 18) 8t (

26、t 3)(t 3) 0t1 0 (s)t2 3(s),兩矢量垂直例2路燈距地面高度為h，身高為l的人以速度v0在路上勻速行走.求(1)人影頭部的移動(dòng)速度；(2)影長(zhǎng)增長(zhǎng)的速率.解：(1)x2 x1x2l(h l ) x2h hx1兩邊求導(dǎo)：(h l )dx2dx1 hdtdtdx1dx2hv0其中： v,vv 0dtdth llOx1x2xhb x2x1(2)令為影長(zhǎng)ldbdt ldx2b x2vhh dtdxhv20以代入h ldtlv0v得h l設(shè)橢圓規(guī)尺AB的端點(diǎn)A和B沿直線導(dǎo)槽Ox及Oy滑例3動(dòng)，而B(niǎo)以勻速度c運(yùn)動(dòng).求尺規(guī)上M點(diǎn)的軌道方程，速M(fèi)Bb，角OBA為.度及加速度.其中MAa，

27、解：由圖知，M點(diǎn)的坐標(biāo)為yBx b sin ,a cosy 消去，得軌道方程bx 2y 2M 1ab2a 2yxAO速度分量為 b cos , a sin xyxy1 (a b) cosx1 0,因B點(diǎn)坐標(biāo)為b) sin y 1vB (a 1 c c sin a bbcacxcot , y 故M點(diǎn)速度分量a ba b故M點(diǎn)加速度分量24 2 bc bc b c 1 23xcsc bcsc - -a b2a b2x 3a y 0例4 當(dāng)猴子從最高點(diǎn)自由下落時(shí)，射手瞄準(zhǔn)射擊，問(wèn)能否擊中目標(biāo)？分析：猴子和子彈都有重力加速度.可以用二維空間描述位置.解: 取槍口作參照點(diǎn),猴子初始位置r0, 子彈初速度

28、為v0. 則 時(shí)刻t猴子和子彈的位置為r022rc r0 1gt ,rb v0t 1gth0v022dorc rb , r0 v0t擊中的條件r0rc rb , r0 v0th0v0這說(shuō)明只要開(kāi)始瞄準(zhǔn)就可以擊中猴子。 但是有沒(méi)有限制條件?do分析擊中需要的時(shí)間和擊中時(shí)的豎直位置d 2h2h2d 2) g (00t , h h 1 00 cv2v2h00 0g h0 d 22v 2顯然只有時(shí)才可能擊中02 h0極坐標(biāo)系2極坐標(biāo)系：空間P的位置（r，）當(dāng)P沿著曲線運(yùn)動(dòng)，速度沿軌道 的切線.vjiPcrr ri沿矢徑方向O極軸 drdri r i riv dtdti diidjj當(dāng)d 趨向0時(shí), i

29、, i, di 組成的等腰jddQ三角形兩個(gè)底角接近直角,所以jiPr2 i ,didj jcr1ddidjO d ,d極軸idjdi從而iQdidijjdi PdddtdtddjdjO iddtdt r ri vjrrij為徑向速度,為橫向速度d v dri drj a加速度dtdtdti rijdrdri dir r jdtdtdrdtd jjddrj j r rdtdtdtdt2 rrj r ia r r r2 i2r 1 dr jrr i j22r dt小結(jié)： rriv jrjri為徑向速度,為橫向速度d v dri drj adtdtdtr2r ar1 dr 2 2r rar dt3

30、 自然坐標(biāo)中的速度和加速度在質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上，任 取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)的原點(diǎn)。從原點(diǎn)O到軌跡曲線上任意一點(diǎn)P的弧長(zhǎng)定義為P點(diǎn)的坐標(biāo)。sPsOs sQ s P自然坐標(biāo)之差路程：坐標(biāo)軸的方向分別取切線和法線兩正交方向。enetPssQOenetet規(guī)定：切向坐標(biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向的切向?yàn)檎瑔挝皇噶繛閑n法向坐標(biāo)軸沿軌跡的法向凹側(cè)為正，單位矢量為 dsdr因?yàn)関drdtdsdsdt速度：v etsPQ速率：v vdtvt加速度：v vt vnv vvvvn lim limtna a ttv t 0 t 0v 2dv dv eaeattnndt全加速度：全加速度的大?。?atan全加速度的方向： arct

31、an anat22a an at例5一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程s隨時(shí)間s bt ct 2, 2式中b，c為大于零的常t的變化規(guī)律為數(shù)，且b2 Rc . 求(1)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度；(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，切向加速度等于法向加速度.ds解： （1）v bctdtdv22(b ct ) v caa tndtRR（2）bR anatt cc運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要內(nèi)容研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1、建立物體的運(yùn)動(dòng)方程2、分析運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、角速度、角 加速度等3、研究運(yùn)動(dòng)的分解與合成規(guī)律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)導(dǎo)讀質(zhì)點(diǎn)、參照系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道 位移、速度、加速度自然坐

32、標(biāo)系，切向、法向加速度 相對(duì)運(yùn)動(dòng), 絕對(duì)(加)速度、相對(duì)(加)速度、牽連(加)速度.1.3平動(dòng)參考系本節(jié)導(dǎo)讀相對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)(加)速度 相對(duì)(加)速度牽連(加)速度yvySPr SxOr0rxOr r0 rvvvv車做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)車上車做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，(a)(b)的人觀察到石子做直線運(yùn)動(dòng)地面上的人觀察到石子做拋物線運(yùn)動(dòng)ySrSr vxr0 xr rr0dr drdtdr0兩邊求導(dǎo)dtdty dr絕對(duì)速度：vS物體相對(duì)于系的速度dt dr0牽連速度：vS 系相對(duì)于S系的速度0dt dr v 相對(duì)速度：物體相對(duì)于 S 系的速度dt小結(jié)：yvySdr drdtdr0Pr SxdtdtOr0rxOdv d

33、vdtdudt0dtvxbvabvaxa a a v u v 例1某人騎自行車以速率v向東行駛.今有風(fēng)以同樣的速率由北偏西30方向吹來(lái).問(wèn)：人感到風(fēng)是從哪個(gè)方向吹來(lái)？解：v v v0v0北偏西30vv 例2 求拋體軌道頂點(diǎn)的曲率半徑v0 cos g解: 在拋物線的頂端處, 速度只有水平分v0量v0cos, 加速度 g沿法向的. 所以an g是v cos 2v cos 2x 2 00m曲率半徑為gan8 ym式中xm和ym分別是射程和射高.例3已知：小船M看成質(zhì)點(diǎn)，被水沖走，用繩拉回A點(diǎn)，設(shè)水流速度c1，拉回速度c2.求：小船的軌跡.分析：注意c1、 c2都是絕對(duì)速度.解：采用極坐標(biāo)c1Mcr1

34、c2dr徑向 cA2dtd c cos(900 )r橫向1dtdrc2cscd解微分方程：兩式相除rc1積分c2ln r ln tancc12c2k，令c12設(shè)初始條件：0，rr0，0t kk cot 0r r0 tan得軌道方程：uv例4當(dāng)人站在岸上以速度v勻速拉動(dòng)何種小船時(shí)，求小船的運(yùn)動(dòng)速度和加速度.x 2l 2h2解：l 2 h2x XX1ixdx i1dl h2 ) 2 (l 2xu 2ldt2dtvilu l 2 h2i 2 2 duv ha x3dtL lhhuv質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)小結(jié)質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道 位移、速度、加速度yj直角坐標(biāo)系1r xi zkd z k

35、x iy jrv dtd z k x i y jva dt極坐標(biāo)系2rriv j徑向速度,橫向速度d v dri drj adtdtdt1r drr2，a2rr2r adrrdtds3 自然坐標(biāo)系vetdtdtdv v 2dv evaa nenttdt相對(duì)運(yùn)動(dòng)4yvySdr drdtdr0Pr SxdtdtOr0rxOa aa0v u v 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問(wèn)題(1) 已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、速度以及加速度d d d 2 drdvrd r t v a r2dtdtdt(2) 已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌道方程vtdvadt,vdvtadt00rt

36、drvdt,rdrtvdt00動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系動(dòng)力學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1.動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，求作用在系統(tǒng)上的力.2.動(dòng)力學(xué)第二類問(wèn)題已知作用在系統(tǒng)上的力,求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).牛頓Issac Newton（16431727）杰出的英 國(guó)物理學(xué)家,經(jīng)典物理學(xué) 的奠基人.他的不朽巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 總結(jié)了前人和自己關(guān)于力 學(xué)以及微積分學(xué)方面的研究成果.他在光學(xué)、熱學(xué)和天文學(xué)等學(xué)科都有重大 發(fā)現(xiàn).1.4質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律本節(jié)導(dǎo)讀牛頓三定律、慣性、力慣性系、非慣性系、慣性力 力學(xué)相對(duì)性原理、伽利略變換1牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓第一定律任何物體如果沒(méi)有受到其他物體的作

37、用時(shí)，都將保 持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 慣性定律慣性： 物體保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的性質(zhì)力： 物體間相互作用它不僅說(shuō)明了物體具有慣性的性質(zhì)，還為整個(gè)力學(xué)體系選定了一類特殊的參考系慣性參考系慣性系與非慣性系TaxFmg牛頓定律成立的參考系慣性系非慣性系 相對(duì)于慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的參考系yd p牛頓第二定律Fd tp mvF Fi動(dòng)量：i注意:質(zhì)點(diǎn)慣性系 瞬時(shí)性矢量性牛頓第三定律 FbaFab注意:作用力和反作用力施加在兩個(gè)不同的物體上，它們屬同一性質(zhì)的力，并互以對(duì)方的存在為自己存在的前提.它們同時(shí)產(chǎn) 生，同時(shí)消滅，相互依存，形成對(duì)立的局面.例 鴕鳥(niǎo)是當(dāng)今世界上最大的鳥(niǎo)，有人說(shuō)它不會(huì)飛是翅膀的退化

38、. 但是如果它長(zhǎng)一副和身體成比例的翅膀,它 能飛起來(lái)嗎?解：飛翔的條件是空氣的上舉力至少等于體重.空氣 CSv 2上舉力(與空氣阻力一樣的公式)為:f式中C為比例常數(shù), S為翅膀的面積,飛翔的條件mg mgf,即v CS我們作簡(jiǎn)單的幾何相似性假設(shè),設(shè)鳥(niǎo)的幾何線度為l,質(zhì)量m l3, S l2,于是起飛的臨界速度v lc燕子最小滑翔速度大約20km/h,鴕鳥(niǎo)體長(zhǎng)是燕子的大約25倍,顯然它要飛翔的速度最少是燕子的5倍, 這是飛機(jī) 的起飛速度, 鴕鳥(niǎo)奔跑的速度實(shí)際上只有40km/h.思考問(wèn)題：拔河比賽勝負(fù)的關(guān)鍵是什么？摩擦力的大小，大者贏馬德堡半球是用兩隊(duì)各8匹馬向相反方向拉開(kāi)的，如果一端拴在固定物

39、上，另一端 需要幾匹馬，才能拉開(kāi)半球？還是8匹大人國(guó)是否能夠存在, 利用幾何相似性分析之.不可能, 重力就會(huì)壓壞他.2 力學(xué)相對(duì)性原理和伽利略變換(i)力學(xué)相對(duì)性原理力學(xué)定律的數(shù)學(xué)形式在一切慣性系中不變.對(duì)于描述力學(xué)規(guī)律而言，一切慣性系都是平權(quán)的、等價(jià)的.在一個(gè)慣性系中所做的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)，都不能判斷該慣性系相對(duì)于其他慣性系的運(yùn)動(dòng).舟行不覺(jué)關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話伽利略1632牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀(ii)絕對(duì)的空間，就其本性而言，是與任何外界事物無(wú)關(guān)而永遠(yuǎn)相同和不動(dòng)的.絕對(duì)的、真正的和數(shù)學(xué)的時(shí)間自身在流逝 著，而且由于其本性而均勻地與任何外界事 物無(wú)關(guān)地流逝著. 牛頓長(zhǎng)度的量度和時(shí)間的量

40、度都與參考系無(wú)關(guān) ??？伽利略變換(iii)yyPSSvt在兩個(gè)慣性系中考察同一物理事件OzxxOzss兩個(gè)慣性系：一物理事件：質(zhì)點(diǎn)到達(dá) P點(diǎn)( x , y , z , t )兩個(gè)慣性系的描述分別為：( x , y , z , t )yy兩個(gè)描述的關(guān)系稱為變換PSSvtt t 0 , 坐標(biāo)原點(diǎn)重合O z xy zxxOxyzzvtxyzx vty z正變換逆變換tt t t伽利略變換中默認(rèn)了絕對(duì)時(shí)空dxdd( x vt) 速度變換：( xvt)dtdtdtuxuyuzuxu yuz vu uvx軸方向有相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)空間有相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)a a加速度變換：經(jīng)典力學(xué)規(guī)律具有伽利略變換不變性：S系：F m

41、aS系F ma：小 結(jié)牛頓第一定律任何物體如果沒(méi)有受到其他物體的作用，都將保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài).慣性定律Fd p牛頓第二定律d t Fip mvF 動(dòng)量：i注意:質(zhì)點(diǎn)慣性系 瞬時(shí)性矢量性牛頓第三定律注意:二力同性質(zhì)，共存亡,分于兩物，處于同一直線.Fab Fba力學(xué)相對(duì)性原理力學(xué)定律的數(shù)學(xué)形式在一切慣性系中不變。yy伽利略變換PSSx x vtvtxyz x y zvtyzt y z OzxxOzt t t正變換逆變換a au u v第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系動(dòng)力學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1.動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，求作用在系統(tǒng)上的力.2

42、.動(dòng)力學(xué)第二類問(wèn)題已知作用在系統(tǒng)上的力,求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).1.5質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程本節(jié)導(dǎo)讀運(yùn)動(dòng)微分方程的建立運(yùn)動(dòng)微分方程的求解建立運(yùn)動(dòng)微分方程F r (t )1. 自由質(zhì)點(diǎn)2 d r drm F (r , t )dt 2dt解微分方程：（1）受力分析 萬(wàn)有引力、彈性力、電磁場(chǎng)對(duì)電荷的作用力、摩擦力、介質(zhì)阻力等.（2）化為標(biāo)量方程mx F ( x, y, z, x, y, z, t )直角坐標(biāo)系xFy ( x, y, z, x , y , z , t )Fz ( x, y, z, x , y , z , t )m y m z m( r r) Fr (r, , r , t )平面極坐標(biāo) m(r 2r )

43、F (r, , r , t )m dv Ftdt v 2 自然坐標(biāo) Fnm0 Fb（3）初始條件t 0，rr0，v v0（4）求解運(yùn)動(dòng)方程 xx(t )y(t ) r (t )ry z z(t )2. 非自由質(zhì)點(diǎn)解決方法：去掉約束，用約束反作用力代替d 2 d Rrr 運(yùn)動(dòng)微分方程 F (r ,m, t )dt 2dt 解方程與自由質(zhì)點(diǎn)一樣 注意（1）R 一般未知，加約束方程（2）用自然坐標(biāo)系很方便R光滑約束，約束力在軌道的法平面內(nèi)1)d ven mF t(1 )Fd t2v m 0F nR( 2 )netebF b R b( 3 )(1)式求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律,(2)和(3)解出約束力.非光滑約束2

44、)dvmFt Rt(1)22Rt RN Rn Rb2dtv 222R R R RmFn Rn(2)tnb0 Fb Rb(3)4個(gè)方程4個(gè)未知數(shù),可解例1力僅是時(shí)間的函數(shù).Ex E0 cos(t )自由電子在沿x軸的振蕩電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)： eE0 cos(t eExFx)電子受力：d 2 x Fxm由2dt2d x eE cos(t )m0dt 2dv eE cos(t )m0dtvt積分eE dv 00cos(t )dtmv0得eE0eE0sin sin(t )v v 0mmdxeE0eE0sin sin(t ) v 0mdtmxteE0eE0sin sin(t )dtdx v 0mmxt00eE0

45、eE0eE0cos (v sin )t cos(t ) x x00m 2m 2m例2力是速度的函數(shù).在具有阻力的介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的拋射體mg，R分析：受力運(yùn)動(dòng)微分方程 mr mg R用自然坐標(biāo)系分解（運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎ヾsdv R(v) mg sin mddt2m v mg cos dv dv ds v dvdtds dtdsdv R(v) mg sin mvds v 2mg cosmdsdR(v) mg sin 1 dv兩式相比v dmg cosf ( )v 可解出因此22( )dxdx dsv f cosx x( ) dds dgg22tan ( )dydy dsv f sin tan yy(dds

46、 dggvv sec f () sec dt dt ds t t ( ) dds dgg消去參量可得運(yùn)動(dòng)方程例3力是坐標(biāo)的函數(shù).kx xi k y yjF ( x, y, z) k z zk原子在晶體點(diǎn)陣中的運(yùn)動(dòng)m r F ( x,k x xk y yk z zy,z)運(yùn)動(dòng)微分方程：mx m y 直角坐標(biāo)分解：m z k x 2Ax x 0，0，tx x 初始條件：令xmxAx cos(xt x )Ay cos( y t y )Az cos(z t z )可解得 yz受迫振動(dòng)m x b xkxF (t )LRC電路1Lq Rq q E(t )C例4質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在有阻力的空氣中無(wú)初速地自離地

47、面為h的地方豎直下落，如阻力與速度成正比（mkv），試求運(yùn)動(dòng)方程.解：受力Amg、R運(yùn)動(dòng)微分方程x mkv mg mrRh建一維直角坐標(biāo)系，分解mgm x m x dxmgmg R mkx g kxdtPO積分x tdx0 x dt0(1 ekt )g kxg 速度kt0 dxhg(1 ekt )dt 0kgg(1 ekt ) 運(yùn)動(dòng)方程x htk 2kgx討論：t 增加， 勻速直線運(yùn)動(dòng)k例5小環(huán)的質(zhì)量為m，套在一條光滑的鋼索上，鋼索x 2的方程式為4ay .試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點(diǎn)時(shí)的速度及小環(huán)在此時(shí)所受到的約束反作用力.解：受力：ymg、R Rmr mg R運(yùn)動(dòng)微分方程dv m

48、g sin mm mg自然坐標(biāo)，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎齞tOx2v mg cos RR 2mg解微分方程組可得小 結(jié) r (t )F自由質(zhì)點(diǎn)、非自由質(zhì)點(diǎn)受力分析 寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程矢量式建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系分解標(biāo)量方程解微分方程第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系動(dòng)力學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1.動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，求作用在系統(tǒng)上的力。2.動(dòng)力學(xué)第二類問(wèn)題已知作用在系統(tǒng)上的力,求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。1.6非慣性系動(dòng)力學(xué)（一）本節(jié)導(dǎo)讀在加速平動(dòng)參考系中的運(yùn)動(dòng)慣性力TaFmg慣性系牛頓運(yùn)動(dòng)定律成立的參考系。一切相對(duì)于慣性系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系也是慣性 系。相對(duì)于慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的

49、參考系。 在非慣性系內(nèi)牛頓運(yùn)動(dòng)定律不成立。非慣性系TamaQmg maFS 系： 靜系S系：動(dòng)系aaFao ma mao于是移項(xiàng)m F (m )aaoma F (mao )在非慣性系中，牛頓運(yùn)動(dòng)定律表示為F Q ma物理意義慣性力反映參照系不是慣性系.慣性力不是物體間的相互作用，沒(méi)有施力者，也不存在 反作用力. 慣性力的實(shí)質(zhì)是物體的慣性在非慣性系中的表現(xiàn).例1 升降電梯相對(duì)于地面以加速度a沿鉛直向上運(yùn)動(dòng).電梯中有一輕滑輪繞一輕繩，繩兩端懸掛質(zhì)量分別為m1和m2的重物(m1m2).求(1)物體相對(duì)于電梯的加速度；(2)繩子的張力.m1 g m1 a T m1 a r解：aT m2 g m2 a

50、m2 ar(m1 m2 ) ( g a)a 消去aTTrm1 m22m1m2T ( g a)21m2 gm gm1 m21Trmm2 m a m a1第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系動(dòng)力學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1.動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，求作用在系統(tǒng)上的力.2.動(dòng)力學(xué)第二類問(wèn)題已知作用在系統(tǒng)上的力,求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).1.7功與能本節(jié)導(dǎo)讀功、能量定義勢(shì)能、動(dòng)能 保守力系1 什么是能量？什么是功？麥克斯韋定義：能量是一個(gè)物體具有的作功能力.一般功的定義: 物體能量改變的度量.循環(huán)定義!所以必須先給出其中一個(gè)物理量確切的定義!(本教材定義)功: 凡是作用在物體上

51、的力, 使得物體沿力的方向上移動(dòng)了位置, 就說(shuō)力對(duì)物體作了功. 一般來(lái)說(shuō), 功等于力乘以物體在力的方向所產(chǎn)生的位移.FdA F cos dr F drdr功的單位：質(zhì)點(diǎn)沿曲線 LdA FJ從運(yùn)動(dòng)到b力所做的功：aFdrb drFA drFaL L (Fx i Fy jFz k ) (dxi dyj dzk )LFx dx Fy dy Fz dzydA G dr例1 重力的功adyj )y1mgj (dximgdybmydr2xGy1F例2彈性力的功F kxixxObx1x2Fx2x2x xkxdxA dx kxi dxi111222A 1 kx 2 1 kx 2mmaA mg y2 dy mg

52、y mgyy12例3 平方反比力cadr萬(wàn)有引力、電磁力等rbr drFraMMm Gr0r 3rbMm rbrA G0r drcos rdrr dr r dr3rarbb dr11A G0 Mmr G MmA G Mm G0 Mm2rrra aab合力的功：FF drLLLA dr F F12nF1F2FnLL dr dr dr合力的功等于各分力的功的代數(shù)和.功率：d F rd WP F vdtdt2 能物體處在某一狀態(tài)所具有的能量能量是狀態(tài)量，功是過(guò)程量，是能量變化的量度1mv2機(jī)械能T 動(dòng)能2勢(shì)能物體相對(duì)位置發(fā)生變化V3 保守力、非保守力與耗散力假如力僅是坐標(biāo)x、y、z的單值的、有限的力

53、場(chǎng):和可微的函數(shù)，則在空間區(qū)域每一點(diǎn)上，都將有一定的力作用著，這個(gè)空間叫做力場(chǎng).如果力是一個(gè)單值、有限和可微函數(shù)的負(fù)梯度，即F ij VVV kxyzVxVyVz則dA dz dx dy 為一個(gè)全微分. 顯然物體在空間沿一條閉合曲線運(yùn)動(dòng)，這個(gè)力作功為零.F dr 0保守力:使物體運(yùn)動(dòng)，但沿任一閉合路徑作功等于零的力保守力作功與路徑無(wú)關(guān)例(i)重力y1 1(ii)彈性力1 12 222(iii)平方反比力rrarbra a 非保守力: 作功與經(jīng)歷的路徑有關(guān)的力(又叫渦旋力)作功與經(jīng)歷的路徑有關(guān),的力. 例如:摩擦力但總是做負(fù)功耗散力:rbb dr 1 1 A G0 Mmr 2 G0 Mmy22A

54、 mgy dy mgy1 mgy2A 1 kx22 1 kx224 勢(shì)能函數(shù) Va VbAab在物體從位置a移動(dòng)到b時(shí)，保守力作功為顯然知道了V和空間位置，我們就知道了物體運(yùn)動(dòng)做功的大小. 所以我們用V可以完全替代保守力的作功概念.這時(shí)引入勢(shì)能函數(shù)的概念.勢(shì)能:由相互作用的物體的相對(duì)位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢(shì)能rbAabF dr V (rb ) V (ra )定義式:ra保守力作功在數(shù)值上等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少例: 重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、引力勢(shì)能.關(guān)于勢(shì)能的幾點(diǎn)說(shuō)明 勢(shì)能屬于系統(tǒng)勢(shì)能的大小只有相對(duì)的意義勢(shì)能零點(diǎn)存在人為因素取 r0 點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則任意一點(diǎn)r 的勢(shì)能為：r0rF drV (r )空間

55、某點(diǎn)的勢(shì)能 V 等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力作的功.重力勢(shì)能： mghV（h=0為勢(shì)能零點(diǎn)）彈性勢(shì)能：1kx2V（彈簧自由端為勢(shì)能零點(diǎn)）2引力勢(shì)能：Mm（無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)） GV0rFx x 2 y z 5 2x y z x y z 6F例1設(shè)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力是yFzx cos sin 求此質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線 y運(yùn)行自 0 2z 7時(shí)，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.Fy Fz解：力是否保守力？ 1 1 0yzFz Fx 2 2 0zxFy Fx 1 1 0yx力是保守力，作功與路徑無(wú)關(guān)BW Fx dx Fy dy Fz dzA222xyz1,0,14 d(2xy xz 5x 6z)yz2221,0,0

56、 98 2 70勢(shì)函數(shù)222xyzV 2xy xz yz 5x 6z222例2接上題條件, 若Fx 2x 3 y 4 z 5 z x 8 x y z 12FyFz F 0可以證明做功與路徑有關(guān)BW Fx dx Fy dy 226Fz dzA 98 2 不存在勢(shì)函數(shù)小結(jié)dA F cos dr功、能量定義 F drd FF rd WP vdtdt勢(shì)能、動(dòng)能動(dòng)能12T mv2物體相對(duì)位置保守力系勢(shì)能VF i j VVV F dr 0 k xyz第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系動(dòng)力學(xué)所涉及的研究?jī)?nèi)容包括：1.動(dòng)力學(xué)第一類問(wèn)題已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，求作用在系統(tǒng)上的力.2.動(dòng)力

57、學(xué)第二類問(wèn)題已知作用在系統(tǒng)上的力,求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).1.8質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本定理與基本守恒定律本節(jié)導(dǎo)讀動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律力矩與動(dòng)量矩(角動(dòng)量) 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律勢(shì)能曲線牛頓運(yùn)動(dòng)定律：F m aFd(mv )dpdtdtdp Fdtt，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量從p0 p如果力的作用時(shí)間從 t0ptptdp Fdt001 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng) 量的增量t p0 mv IFdtpmv0t0FFdt1t平均沖力：Ft t0t0F(t)沖量：It Ft Fdt p p0 t0FtO動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)所受合外力為零時(shí), 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量保持不變 Fi 0條件

58、：p mv 常矢量F 0若則意義：質(zhì)點(diǎn)不受外力作用時(shí)，動(dòng)量保持不變.Fx 0F 0px分量形式：若但 mx 常量則動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中最重要、最普遍的定律之一，它不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域.2 力矩與動(dòng)量矩（1） 對(duì)定點(diǎn)的力矩MFrOd設(shè)作用力 F作用于矢徑為 r 的某一點(diǎn)上F作用力對(duì)參考原點(diǎn)O的力矩定義為：?jiǎn)挝唬篘mM FrMFM r FrOd Fr sin M力矩的大?。簉力矩的方向： 位矢與作用力的矢積方向F力臂：作用力線到參考點(diǎn)O 的垂直距離(d =rsin)（2） 對(duì)定軸的力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的定義：zMF在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，外力 F 與力線到轉(zhuǎn)軸的距離d 的乘積定義為對(duì)轉(zhuǎn)軸

59、的力矩.M r F力矩逆時(shí)針?lè)较蛄仨槙r(shí)針?lè)较騇 為正.M 為負(fù).對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定：F/FrdFz(L)求作用力對(duì)空間某軸的力矩,Fz考慮分量,力對(duì)原點(diǎn)的力矩為rFyFxkzFzixFxjyFyyOM r F yF zFi zF j xF yFk xFzyxzyx上式中三個(gè)分量是力矩在三個(gè)坐標(biāo)軸的分量, 也就是力分別對(duì)三坐標(biāo)軸的力矩. 所以求力對(duì)軸的力矩, 可以先求對(duì)軸上一點(diǎn)的力矩, 再投影到軸的方向.（3） 力偶如果兩個(gè)平行力F2=F1=F, 但不作用在同一直線上，此時(shí)二者合力為零，但是對(duì)空間任何一點(diǎn)的力矩不為零.F2O2P為力偶面內(nèi)的任何一點(diǎn),則二力對(duì)P的總力矩值為AO1rBF1F2 P

60、O2 F1 PO1 F O1O2力偶的任一力和兩力作用線間垂直距離的乘積, 等于兩力對(duì)垂直于力偶面的 任意軸線的力矩的代數(shù)和.M-FFO1O2稱為力偶臂. 力與力偶臂乘積為力偶矩.力偶矩是力偶唯一的力學(xué)效果,是矢量.但這個(gè)矢量可以用垂直力偶面的任一直線表示,方向用右手螺旋法則確定.由于力偶矩可作用于力偶面上任何一點(diǎn),這種矢量是自由矢量.像力等不能改變作用線的矢量 叫滑移矢量.（4） 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定義: 動(dòng)量對(duì)空間某點(diǎn)或某軸的矩, 叫做動(dòng)量矩,也叫角動(dòng)量J質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩OrJ r p mvrmvJ rpsinmvrsin單位：kg zy xz yx m2s-1 myz mzx mxy質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸