《直接證明與間接證明》

1、 2.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法 1. 1.合情推理的主要作用和思維過程是合情推理的主要作用和思維過程是什么？什么？作用：作用：提出猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；提出猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論； 過程：過程：從具體問題出發(fā)從具體問題出發(fā)觀察、分析、觀察、分析、比較、聯(lián)想比較、聯(lián)想歸納、類比歸納、類比提出猜想提出猜想. . 2. 2.演繹推理的一般模式是演繹推理的一般模式是“三段論三段論”，三段論的基本含義如何？三段論的基本含義如何？ 大前提：大前提：已知的一般原理；已知的一般原理； 小前提：判斷小前提：判斷所研究的特殊情況滿所研究的特殊情況滿

2、足大前提的條件；足大前提的條件； 結(jié)結(jié) 論：論：根據(jù)大前提，對特殊情況做根據(jù)大前提，對特殊情況做 出判斷出判斷. . 3.3.合情推理所得結(jié)論的正確性是需要用合情推理所得結(jié)論的正確性是需要用演演繹推理進行繹推理進行證明，演繹推理的實施也需要具體證明，演繹推理的實施也需要具體的操作方法，因此，證明數(shù)學命題的基本方法，的操作方法，因此，證明數(shù)學命題的基本方法，是我們需要進一步學習的內(nèi)容是我們需要進一步學習的內(nèi)容. .例例1.已知已知a0，b0，證明不等式，證明不等式abcacbcba4)()(2222思考思考1 1：要證明的不等式，其左右兩邊的結(jié)構(gòu)要證明的不等式，其左右兩邊的結(jié)構(gòu)有什么特點？有什么

3、特點？右邊是右邊是3 3個數(shù)個數(shù)a，b b，c c的乘積的的乘積的4 4倍，左倍，左邊每一項都是一個數(shù)與另兩個數(shù)的平邊每一項都是一個數(shù)與另兩個數(shù)的平方和之積方和之積. . 利用哪個知識點可以溝通兩個數(shù)的利用哪個知識點可以溝通兩個數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的積的不等關(guān)系？平方和與這兩個數(shù)的積的不等關(guān)系？思考思考2 2：證明的不等式，通法是用左邊減去右證明的不等式，通法是用左邊減去右邊，然后判斷差的符號。如何判斷差的符號邊，然后判斷差的符號。如何判斷差的符號? ?基本不等式基本不等式（按此思路寫出證明過程）配方配方按此思路寫出證明過程上述兩種方法都是從已知條件，基本不等式，上述兩種方法都是從已知條件，基

4、本不等式，不等式乘法和加法性質(zhì)出發(fā)，推出所證結(jié)論成不等式乘法和加法性質(zhì)出發(fā)，推出所證結(jié)論成立立, ,這種證明方法叫做這種證明方法叫做綜合法綜合法，一般地，綜合法，一般地，綜合法的基本含義是的基本含義是綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理、性質(zhì)、法則等，經(jīng)過一系列的演繹推理定理、性質(zhì)、法則等，經(jīng)過一系列的演繹推理論證，最后推導(dǎo)出所證結(jié)論成立論證，最后推導(dǎo)出所證結(jié)論成立. . 綜合法又叫綜合法又叫 “ “由因?qū)Чㄓ梢驅(qū)Чā?，其基本思想是：，其基本思想是：由已知推出未知由已知推出未? .若用若用P P表示已知條件，表示已知條件，Q Q表示所要

5、表示所要證明的結(jié)論，則綜合法的推理過程用下面的流程證明的結(jié)論，則綜合法的推理過程用下面的流程框圖表示框圖表示1QP 21QQ 32QQ QQn例例2 2：證明證明 ( (ab) )，22| 11| |abab+-+-思考1：能不能根據(jù)要證明的不等式，找出它成立的條件呢？ 要證要證22|11| |abab+-+-只需證明1|11|22baba（要證上式成立，又需要證什么呢？）111|22baba（繼續(xù)思考：要使上式成立，需要證明什么呢？）需證|1122baba需證顯然是成立的顯然是成立的|1122bababa（那么，原來的不等式成立嗎？）由于上面推出的每個條件成立都能倒推出前面一個不等式成立，即

6、推出的每個都是前一個不等式成立的充分條件，所以，原不等式成立。這種證明方法叫做分析法。 上述證明方法叫做上述證明方法叫做分析法分析法. . 一般地，分析法的一般地，分析法的基本含義是基本含義是 從所證結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，從所證結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，每一步必須能夠倒推），直到歸結(jié)為證明一個容易證每一步必須能夠倒推），直到歸結(jié)為證明一個容易證明的條件，然后證出這個簡單條件明的條件，然后證出這個簡單條件. . 分析法證明時，要求證明格式必須規(guī)范，必要的分析法證明時，要求證明格式必須規(guī)范，必要的文字不能省略分析法的證明格式是：文字不能省略分析法的證明格式是：要證要證.

7、，需證，需證.;需證需證.，., 分析法又叫分析法又叫 “ “由果索因法由果索因法”，其基本思想是：，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知由未知探需知，逐步推向已知. . 若用若用Q Q表示所要證表示所要證明的結(jié)論，則分析法的推理過程用流程框圖可怎明的結(jié)論，則分析法的推理過程用流程框圖可怎樣表示為樣表示為1QQ 21QQ 32QQ /PQn/PP思考2：通常如何兩個數(shù)的絕對值的大??？平方后比較大小按此思路寫出證明過程理論遷移理論遷移 例例1 1 在在ABCABC中，三個內(nèi)角中，三個內(nèi)角A A，B B，C C的對邊分別為的對邊分別為a a，b b，c c，已知，已知A A，B B，C C成成

8、等差數(shù)列，且等差數(shù)列，且a a，b b，c c成等比數(shù)列，求證成等比數(shù)列，求證ABCABC為等邊三角形為等邊三角形. . 例例2 2 求證：求證： . .372 5+ 例例3 3 已知已知sinsincoscos2sin2sin， sincossincossin2sin2，求證：求證：2 k、)tan1 (2tan1tan1tan12222綜合法：左右兩邊分別切割化弦，然后化簡。分析法：要使該等式成立，可轉(zhuǎn)化為證明1sin2sin422小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè) 1. 1.在數(shù)學證明中，綜合法和分析法是在數(shù)學證明中，綜合法和分析法是兩種最常用的數(shù)學方法，若從已知入手兩種最常用的數(shù)學方法，若從已知入手能找到證明的途徑，則用綜合法，否則能找到證明的途徑，則用綜合法，否則用分析法用分析法. . 2. 2. 分析法的每步推理都是尋找充分分析法的每步推理都是尋找充分條件，在解題表述中要注意語言的規(guī)范條件，在解題表述中要注意語言的規(guī)范性和邏輯性性和邏輯性. . 3.3.綜合法和分析法是兩種互逆的思維模式，綜合法和分析法是兩種互逆的思維模式，在證明某些較復(fù)雜的問題時，常采用分析法尋在證明某些較復(fù)雜的問題時，常采用分析法尋找