閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)PropertiesofContinuousPPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)PropertiesofContinuousTips: 若函數(shù)在若函數(shù)在開區(qū)間開區(qū)間上連續(xù)上連續(xù),結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立 .Th.1 閉區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有在該區(qū)間上一定有 If, ,)(baCxf xoyab)(xfy 12then, ,21ba such that)(min)(1xffbxa )(max)(2xffbxa 最大最大值和最小值值和最小值. .或在閉區(qū)間內(nèi)或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷有間斷 (證明略證明略)點(diǎn)點(diǎn) ,第1頁/共14頁例如例如,)1,0(, xxy無最大值和最小值無最大值和最小值 xoy1

2、1 21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值也無最大值和最小值 又如又如, 第2頁/共14頁,)(baxf在在因因此此bxoya)(xfy 12mM由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax )(min,xfmbax , ,bax 故故證證: 設(shè)設(shè), ,)(baCxf ,)(Mxfm 有有上有界上有界 .在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 推論推論:第3頁/共14頁, ,)(baCxf 0)()( bfaf, ),(ba Def.2000()0,( ).xf xxf xzero point 如如果果使使則則稱稱

3、為為函函數(shù)數(shù)的的零零點(diǎn)點(diǎn)( (.),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf 且且使使.0)( f即即: ( 證明略證明略 )第4頁/共14頁ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋(Geometric interpretation) :.,)(軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)線線弧弧與與則則曲曲軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)端端點(diǎn)點(diǎn)位位于于的的兩兩個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy Th.3 (Intermediate Value Theorem) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且在這區(qū)上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )(

4、 及及 Bbf )(, , 那末，對(duì)于那末，對(duì)于A與與B之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 第5頁/共14頁幾何解釋幾何解釋(Geometric interpretation) :MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy Proof,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf ( ).yf xy

5、C 連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧與與水水平平直直線線至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)第6頁/共14頁推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .Eg.1Eg.1.)1 ,0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xxProof, 14)(23 xxxf令令,1 ,0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程 xxMm第7頁/共14頁E

6、g.2Eg.2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Proof,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第8頁/共14頁最值定理最值定理; 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理; 介值定理介值定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立第9頁/共14頁思考題思考題1. 下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在

7、在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點(diǎn)點(diǎn).解解:不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無無零零點(diǎn)點(diǎn).第10頁/共14頁2. 任給一張面積為任給一張面積為 A 的紙片的紙片(如圖如圖),證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片. .提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.xoy則面積函數(shù)則面積函數(shù),)( CS 因因,0)( SAS )( 故由介值定理可知故由介值

8、定理可知:, ),(0 .2)(0AS 使使)(S第11頁/共14頁 ,4,0)(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間xf13 xex至少有一個(gè)不超過至少有一個(gè)不超過 4 的的正根正根 . .證證：3. 證明證明令令1)(3 xexxf且且 )0(f13 e )4(f1434 e0 03 e根據(jù)零點(diǎn)定理根據(jù)零點(diǎn)定理 , )4,0( ,0)( f使使原命題得證原命題得證 .)4,0(內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間在開區(qū)間顯然顯然第12頁/共14頁一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個(gè)正根，并且它不超過少有一個(gè)正根，并且它不超過ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，bxxxan 21 則在則在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn