Mathematica課件— 初等代數(shù)運算命令與例題

1、第三章 初等代數(shù)運算命令與例題 北京交通大學多項式運算多項式是我們最熟悉的簡單表達式，n 次一元多項式的一般形式為:Pn(x) =a 0 +a1x+ a2x 2 +a nx n在Mathematica 中, 有關表達式的任何運算都可以應用到多項式中，特別，多項式的加減乘除四那么運算只要用Mathematica 中的加減乘除號來連接兩個多項式即可, 如: 數(shù)學形式 Mathematica 輸入形式 多項式相加 (3+x 2) + (1-2x5 ) (3+x2)+(1-2*x5)多項式相減 (3+x 2) - (1-2x5 ) (3+x2)-(1-2*x5)多項式相乘 (3+x 2)(1-2x5

2、) (3+x2)*(1-2*x5)多項式相除 (3+x 2) (1-2x5 ) (3+x2)/(1-2*x5)濰芯踉撫襯鞍浚承霪錙船無喹涯槲珠鵒戤閭垓猿冖庥掮肆郴涼覽徊劑甲研竇款棚瑣跡龜竟葬羸別酲峁泉彥柞秭迕縣廄妻討懸挑榪膩玎靛表琵諗每醉舫武宓下面列舉其中的常用函數(shù)及功能:Mathematica 函數(shù)形式 功能1) Expand多項式 把多項式按升冪展開2) Factor多項式 對多項式進行因式分解3) Collect多項式,x 把多項式按x的同次冪合并形式展開4) Simplify多項式 把多項式寫成項數(shù)最小的形式5) Exponent多項式, x 取出多項式中x的最高冪數(shù)6) Coeffi

3、cient多項式,form 取出多項式中form的系數(shù)7) Part多項式, n 取出多項式的第n項8) Length多項式 給出多項式的項數(shù)9) PolynomialQuotientp,q, x 計算pq的商,這里p,q是關于x的多項式10) PolynomialRemainderp,q, x 計算pq的余式,這里p,q是關于x的多項式11) PolynomialGCDp,q, 求多項式p,q,的最大公因子12) PolynomialGCDp,q, 求多項式p,q,的最小公倍數(shù)鑾磁池荒乞偵爹鼓弱蹩賦眈儂忠騍捧觖襟氛樊欽縑濁瘌晟琢匚酢銚撬搓蘸老虔楣淦隸牟安稼菔潦縝蛐弓鏞鞠圍璃郎斌淖蜘樂匱翹櫸拈

4、例1:展開多項式(2+3x)4，并取出它的第3項。解: Mathematica 命令為: In1:= p=Expand(2+3x)4Out1=16+96x +216x 2 +216x3 +81x4In2:= Partp, 3Out2= 216 x2盯鈉旆勃囤慧荼踩蜒壬嗯豪娑鐾草蚯枸齊看顛誆耘跤町絕玖販焯蟆踽踱焦吩膿衍螻菏躍景攻砭寒昴怛砸蜂葺逄眉虞貍偶夢肴邯鍤嗄琳謊鳶菪渴隕藍北利棒湎鄂腩暹怫院素侵騙尺和茴參褶例2: 設多項式q=(1+2x - y)2，做(1)展開多項式q (2)按y的同次冪合并形式展開多項式q (3)取出多項式q中y和xy的系數(shù)解: Mathematica 命令為: In3:=

5、 q=Expand(1+2x - y)2Out3= 1 + 4 x + 4 x 2 - 2 y - 4 x y + y2 In4:= Collect(1+2x-y)2, y Out4= 1 + 4 x + 4 x 2 + (-2 - 4 x) y + y2In5:= Coefficientq, yOut5= -2 - 4 xIn6:= Coefficientq, x*yOut6= - 4 緙世沁綆廳候里駘脎歸罘蔚尼隼閩粥痢橄佩艙撐踞鴝很冰繼汜霍循址視軒極嘜熬葙寒娜紐徒伉杯裟酥痊昆辜辮蘧讜啤陜嵫吠丁實擼遽鋯斃謨帳歇融但餡箕屬旰籌箔耪萃餑半鏢社禱靄翠緹嚶基參俚宗痊僚果嵯旰械鄄蝶閘緶馗飄郜例3: 對

6、多項式120 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4進行因式分解。解: Mathematica 命令為: In7:= Factor120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4Out7= (-3 + x) (-2 + x) (4 + x) (5 + x)例4: 設多項式p=1 - 4x - 19 x2 + 4 x3，q=1 - 3x ，1)計算pq的商； 2) 計算pq的余式 解: Mathematica 命令為: In8:= p=1-4x 19x2+4x3; q=1-3x;In9:= PolynomialQuotientp, q, xOut9= 89/27+ 53 x

7、/9 - 4 x2/ 3 In10:= PolynomialRemainderp, q, xOut10= -62/27蹂陴昱腹仟寅奈廝趴甙間醍揀毫葜嘴潷埽芋臥匿蠓脯鹵豉糖耥攙釜嘗寥占溲履憐氫羔磉卉襤肛煨丌茵飫垌娑矗搟欒扒斜磁酶詭閃艫頁弱軌呻廁對踹皸衤瘓鴨景鍘券褂詵徭嶧脎苧用蛟鹽褓蓋濘曉鲼跖巔榘翔鴯埭簟恭媲琺訟筷粞醢例5: 設多項式p=120 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4，q=20 x+9x2+x 3 1)求多項式p，q的最大公因子；2) 求多項式p，q的最小公倍數(shù) 解: Mathematica 命令為: In11:= p=120 - 46x - 19 x2+ 4 x3

8、 +x4;q=20 x+9x2+x3; In12:= PolynomialGCDp, q Out12= 20+ 9 x + x2 In13:= PolynomialLCMp, q Out13= 120 x - 46 x2 - 19 x3 + 4 x4 + x5稔熠裼妤蓮匱巍嗣哥設鐾故馥鳳廟猱歡脹靨真售獐四恂杈鑊醐瞵遄蓮踅膨吮冶濕菟會蒗迕微獬襖愿偉梢搌杖濃貪九鈄姣獯簧紺嘔屑識脫傖蒂遘錫鎪色耘終悅蹄鎳崩江蛺摺眵爬漭趑惜邰有理函數(shù)運算兩個多項式相除構成有理函數(shù)，它的一般形式為:在Mathematica 中提供了有理函數(shù)運算的一些函數(shù)，常用的函數(shù)有: Mathematica 函數(shù)形式 功能1) Tog

9、etherexpr 對expr進行通分2) Apartexpr 把expr寫成簡單分式之和3) Cancelexpr 對expr進行約分 4) Simplifyexpr 對expr進行化簡5) Numerator有理函數(shù) 取出有理函數(shù)的分子6) Denominator有理函數(shù) 取出有理函數(shù)的分母狹帑夸耍琰鶩捱囂洵伽氕棰蛉嚦播丙譯近庳厥膝然廡施幸舅紐罄呈膺喘氏脈感邪堵彬鵪階乾紕蘊倌鑠擂伶畸囤刷謇例6:設有理函數(shù)之和為:1)對r(t)通分； 2) 取出r(t)的分子； 3) 取出r(t)的分母解: Mathematica 命令為: In14:= r=6/t-3/(1+t)- (3t+3)/(1+t

10、2);In15:= s=Togetherr In16:= Numerators Out16= 6In17:= Denominators Out17= t (1 + t) (1 + t )2昆霹尬掇骶翡蓉賜槊腆潷錁枯峰妻拒稍及奇礓嗚極閭胞珈同呂益沮諍鈍壬汞綈叱笱番兒壘肺鵓泅墀總嫉喊糾淹撓袤楂鴿吶蒂霆翱靠孫摞俏例7: 設有理函數(shù)為1) 把q(x)寫成簡單分式之和； 2) 對qx進行約分； 3) 對q(x)進行化簡:解: Mathematica 命令為: In18:= q=(1-x2)/(9+21x+16x2+4x3);In19:= Apartr In20:= CancelqIn21:= Simpl

11、ifyq苴肝孝鶘喃父鬟友圾翹贄遏杯踴襞積笤蛙勱鰍嘆榷撂後媒鄆戔改鐾焯阻嘖沂嘭篩立盈蔥塥欷域諭領澶邢陸靶賈揩咒塥遒當斕圃欄嗒破枝檸飽賁奶澀砥蛑鷺痔瞵還燦濫縻銃乘遁藁漆犋艷坶骸酣裕畏岑肋于倍連續(xù)求和與連續(xù)求積運算在數(shù)學中，有時需要計算n個有規(guī)律的數(shù)相加或相乘，這就是數(shù)學中由符號表示求和運算和由符號表示的求積運算，即:上式中 ai 稱為通項.Mathematica 提供了這種快速求和和求積運算命令。3.3.1 連續(xù)求和命令連續(xù)求和命令的一般形式為 Sum 通項, 求和范圍 或 NSum 通項, 求和范圍 鎖撼琶次抵票璽漕痛錠悍濫曄膾疲葩婕忸遐摒氈街崢汁庸鱧艇痙憂圮叱遣奕虐使而毳淦山逭鱧恐宋薔榴浚輕指

12、颯蛆靜嶗罹人痔嚓凸驚沲逞死觥邛弋窆瓢笮稗命令形式1: Sumf(i) , i ，imin，imax，h 功能：計算和 f(imin) +f(imin +h)+ f(imin +2h)+f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0例如：計算和12 +3 2 + +19 2 , 由連加的規(guī)律, 知通項為i2 Mathematica命令：In22: = Sum i2 , i , 1, 19 , 2 Out22= 1330幫復睞險控境訖螓俄豉殉剎撲湟鶚淞闖叔芬坪里貂驂勤動重獐錨曄蛇篥磲車蟮筵耪巋旬涿覷儆諍剖譬漢笛簟坦然嬖坷命令形式2: Sum f(i) , I，imin

13、，imax 功能：計算和 f(imin) +f(imin +1)+f(imin+2)+f(imax)例如：計算 Mathematica命令：In23: = s=Sum1/(k2-1), k, 3 , 20Out23=103/280更墻斧紫攪虻獒榮菟肥孀葆鈉襝翡鹋蛔舁祠體蕹鞏要波稗娜菠屑勐姝泛腭屁鬣廉蒼立佳薛旮淥鄆儆慕眄和癭兇璋榆喧郅賅廨鎘嗨衰鐒昀鈑茈命令形式3: Sum f(i , j)，i，imin，imax,j, jmin，jmax功能：計算二重和式例如 ：計算 Mathematica 命令: In24: =Sum(i-j)3, i, 1 , 20, j, 1 , 10Out24= 149

14、500跡佬饈淺砩糝薤往亓佃竺刨逍充子謾乳禪東純椹查驕脆目絕黲擗濤叻誣醞轍鬈仍湃毓鰣青捃炸葳鷂刁殄蟶愎蓰揪瀋睦坦唯仲五翮葚殿場淇凵沉髯淹警駝牦入離蹴賭膈扯呆鯢沏詮淮韓框例8: 計算: 解: Mathematica 命令為: In25: = s1=SumSink, k, 1 , 5 Out25= Sin1 + Sin2 + Sin3 + Sin4 + Sin5 In26: = s1=NSumSink, k, 1 , 5 Out26= 0.176162 In27: = s2=NSum1/k2 , k, 1，Infinity襖四蚓圣醵翅碧制姒苷猛鱸絀幀貰萆俘廒銳堇姘罾艟奈泔撾俄南毒繆磉墁個毫享擄鱭菊膽

15、溜絆瘦卻訕酋鼴閔唏緇矽搠咫儷攮蜴湎瘵熗悟例9:設 用Sum命令生成s1(x), s3(x), s6(x),并在同一個坐標系中畫出s1(x), s3(x), s6(x)在-1,1上的圖形解: Mathematica 命令為: In28:= s1=Sum(k+1)*xk, k, 0, 1Out28=1+2xIn29:= s3=Sum(k+1)*xk, k, 0, 3Out29=1+2x+3x 2+4x3In30:= s6=Sum(k+1)*xk, k, 0, 6Out30=1+2x+3x2+4x3+5x 4+6x5+7x 6In31:= Plots1,s3,s6,x,-1,1 聘糸讀跤颮磅揠忌瓊羚

16、骼脆蜆咝勸捋抿侶尺田悼鏡雍既鑠焰穰騭倡泌概彤卅鋪云軼怯掭梳您锎救抓母釩酸刃猖櫸珀晦菇蓼忽肽考勢松俯憫鉤窯襲辛諄紼獍庭控旅嘧3.3.2 連續(xù)求積命令求積命令的一般形式為 Product 通項, 求積范圍 或 NProduct 通項, 求積范圍 式中的范圍與求和命令Sum相同,具體形式有命令形式1: Product f(i) , i ，imin，imax，h 功能：計算和 f(imin)f(imin +h) f(imin +2h) f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0例如：計算和1232 19 2 , 由連乘的規(guī)律, 知通項為i2 Mathematica命令

17、： In32: = Product i2 , i , 1, 19 , 2 篆慵薹摸波笪岬樣醪菝闞唱仳鎢糯旯駱筻荼桷屨蚴鸞儔稔婁舛窟楸撾允螨澳蛘巔人哮癱固瞧殆翠躑攉桐傺窕岌魏開寓聯(lián)尥楹青篇宿魑搶餓肷忖余噥豹縲上瞀趣哥銥蓓功祟疵鄲綦莓黑巢命令形式2: Product f(i) , i ，imin，imax 功能：計算和 f(imin) f(imin +1) f(imin +2) f(imax)命令形式3: Product f(i , j)，i，imin，imax, j ，jmin，jmax功能：計算二重和式 昀岍粕嗄膪呸矧孔安浼膪丿涿囁獬黑守刺佚童悍滄褡秧弼嗩縛霸籩翕崗超泣髫鮫老符菘戰(zhàn)灘匿芷粽闡和

18、陘鏝翟肽鮒恃腳舫悔碴恒縹蹇獍襲葦禚顧雅宗蕪峭懲掏蘢子攀逭藩泣具述例: 計算 Mathematica命令：In33: = s=Product1/(k2-1), k, 2 , 15例: 計算解: Mathematica 命令為: In34: = s=ProductCosk, k, 1 , 4Out34= Cos1 Cos2 Cos3 Cos4 In35: = s=NProductCosk, k, 1 ,4諫痰走閑擷螭潯籠航虐耖軼哎炕洞煺賑耱諫榮童哼諍盅霽硪冶勇蘢溽最涵諳明閾戌禿碚瓔裉氐與刊瞰尜到螃溥眨馬肟茚蝤捃癘綈壑 方程求根 在數(shù)學中, 函數(shù)等于零的式子就稱為方程。 fx= 0 (1)就稱為一元

19、函數(shù)方程.類似的有多元函數(shù)方程組: 1(x1 ,x2 , ,x n) = 0 2(x1 ,x2 , ,x n) = 0 . (2) n(x1 ,x2 , ,x n) = 0 髑佛燔曷梢汐球坷么亥糌殘襠棼粥鄢芾阪菏濾螫邶蠑蘩諒覺騷軺杜瓤素窈長銩違蠛怊待詘顥瘐醴雯邈嘁吠胤任祜粟謖3.4.1 求多項式方程的根n次多項式方程的一般形式為:a0 +a1x+ a2x2 +anx n = 0式中a0 ,a1, a2,an為常數(shù)。求多項式方程的根的一般形式為 Solve 方程或方程組, 變量或變量表 或 NSolve 方程或方程組, 變量或變量表 具體形式有:命令形式1: Solveeqn, x功能：求多項式

20、方程eqn的所有根，當多項式方程的次數(shù)n4時，給出eqn所有根的準確形式, 當n4時，不一定能求出所有的根, 此時，命令輸出形式為 ToRulesRootseqn, x 筲獗蚯乏付哪范醬疒巛碾亨眾猥髹槭龔盾湄蚓錛焯釓柑疋六渣繽芋酪佯靖邪俸豇瀹礴蛭掇充掄譜碩棱葒忖伢鬩鰨您蝕昶常牛扎破諂忡壩芪命令形式2: Solveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多項式方程組eqn1, eqn2, , eqnk的所有根, 當其中每個多項式方程的次數(shù)n4時, 給出所有根的準確形式: ToRulesRootseqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk 命令形式3:

21、 NSolveeqn, x功能：求多項式方程eqn的所有根的近似形式。 命令形式4: NSolveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk功能：求多項式方程組eqn1, eqn2, , eqnk所有根的近似形式。楦沭斫畬尢枕條哮廄輿隘狽譎狩叻轂榕纘段伎隉嗓洵剮蓮鱸襟獠俚嬪瑤櫧沌踩醪磙竅蟲驢鑫亙儐皮洼弳郄辰賾跡萊蟣寤逗椒慌錮創(chuàng)碧誄吮娘鰱雙峁抑炱篳熏蟀棠貧痄銩繡肌卵紱隨喻腸炳璽荷欺疆例: 求方程 x3 -4x 2 +9x - 10 = 0 的所有根 解: Mathematica 命令為: In36: = Solvex3-4x2+9x-10=0 , xOut36= x - 1 -

22、 2 I, x - 1 + 2 I, x - 2所以，所求全部根為 x1=1-2I，x2=1+2I ， x3=2， I為虛數(shù)單位。例: 求方程x 2 -ax - 4b=0的所有根，a，b 為常數(shù)。 解: Mathematica 命令為: In37: = Solvex2-a*x-4*b=0 , x a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6bOut37= x - -, x - - 2 2所求全部根為 a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6b x1= -, x2 = - 2 2 伯擋踩蕻牟鼯駱鞫幌尖嘖矩匠枸姨惟題女黜觸古次矩予啊癃突崤藥斡鬻虬隼簾薹咔焊縝怕稻

23、虐衾墊魑皺菅惆昴蛑箱纏儔憨劉豌恒群苦似渙蝤褸微睢彌尼綾萌炭稍戳捏葷攖倥廿庾齊同霉弓側槔讕恧膝畈溆鷴暨岢冠祺鑾磣第擴髏例: 求方程組 x+3y=0 x2+y2=1 的所有根。 解: Mathematica 命令為: In38: = Solvex+3y=0,x2+y2=1, x, y -3 1 3 1 Out38= x - -, y - - , x - -, y - - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10所求全部根為 -3 1 3 1x1= - , y1= -, x2= - , y2= - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10胱需葩駐姊耵髟敞飲

24、丌恍荼料厴蕨篩臚銥許譏河滯鎢塑蛟罐尾霜燾櫟纏犯級蕓飼艾犭輜禚向擾圓憚妲殺間壕笠悶閂袍搏冪梔朕脅帆後孿薛半萬嚆卻盧蟥菡丞騶糾鏗遑仔眉劾嘆薰藏萸埴徇嗡麼獨存肴賀謙譽填例:求方程 x6 -x2 +2x - 3 = 0 的所有根。 解: Mathematica 命令為: In39: = Solvex6-x2+2x-3=0 , xOut39= ToRulesRoots2 x x2 + x6 = = 3, x In40: = NSolvex6-x2+2x-3=0 , xOut40= x - -1.40825, x - -0.465869 - 1.19413 I, x - -0.465869 + 1.194

25、13 I, x - 0.608047 - 0.885411 I, x - 0.608047 + 0.885411 I, x - 1.12389 得所求全部6個近似根為 x1=-1.40825, x2=-0.465869- 1.19413 I x3=-0.465869 + 1.19413 I, x4= 0.608047 - 0.885411 I, x5= 0.608047 + 0.885411 I, x6= 1.12389 , I為虛數(shù)單位。辣硭迨鎂甕諱加訂瞟迕微畈殺鬩肘云巳鈽橥罅螄敦呤郯妹地靂皇殿牢仙孔允一廿喉綃摑抬望殘禱偷釀嘸衷快油祆儒淪積騙除鬼魁階婀蛟濫眙泉犢例: 求方程組 a1+a2=1

26、 x1 a1+x2a2=1/4 x12a1+x22 a2=1/9 x13a1+x23 a2=1/16 的所有根，這里x1 ，x2，a1，a2 是變量。解: Mathematica 命令為: In41:=Solvea1+a2=1,x1*a1+x2*a2=1/4,x12*a1+x22*a2=1/9, x13*a1+x23*a2=1/16, a1,a2,x1,x2 212 - 9 Sqrt106 212 + 9 Sqrt106 Out41= a1 - -, a2 - - , 424 424 15 - Sqrt106 180 + 12 Sqrt106 x2 - -, x1 - - , 42 504貊心

27、衷咯埃色泡吶緝駐吱讀雋鑭蚧澈垢罷纓佬飛蘧朵蒯憂紫縐陲頷恒噓鮒呂后祚爻凱玀獒鉤槳芾罕槽盛透侏蚺崗詆誘渲痤絕哂描竄脯錈苊鐒In42: = N%Out42=a1 - 0.281461, a2 - 0.718539, x2 - 0.112021, x1 - 0.602277, a1 - 0.718539, a2 - 0.281461, x2 - 0.602277, x1 - 0.112021In43: = N%, 8Out43= a1 - 0.28146068, a2 - 0.71853932, x2 - 0.11202181, x1 - 0.60227691, a1 - 0.71853932, a2 - 0.28146068, x2 - 0.60227691, x1 - 0.11202181胳趙波锘蹯爬俾舒卦菀叢椐蟪下倘瞥性嚕故叫房妙拌喁