函數(shù)最值問題的十二種解題方法教師版(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上有關(guān)函數(shù)最值問題的十二種解題方法一、消元法：在已知條件等式下，求某些二元函數(shù)的最值時(shí)，可利用條件式消去一個(gè)參量，從而將二元函數(shù)化為在給定區(qū)間上求一元函數(shù)的最值問題。例1、已知、且，求的值域。解：由得，即。當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最小值0。即的值域?yàn)槎⑴袆e式法：對(duì)于某些特殊形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適當(dāng)變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在一個(gè)有實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件來求出的最值。例2、求函數(shù)的最值。解：由得，因?yàn)?，所以，即，解得。因此的最大值是，最小值?。三、配方法：對(duì)于涉及到二次函數(shù)的最值問題，常用配方法求解。例3、求在區(qū)間內(nèi)的最值。

2、解：配方得 ，所以 ，從而當(dāng)即時(shí)，取得最大值；當(dāng)即時(shí)取得最小值1。四、輔助角公式：如果函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)變形化為、均為常數(shù)），則可用輔助角公式來求函數(shù)的最值。例4、求函數(shù)的值域。解：由化為，即，從而。因此的值域?yàn)椤Ｎ?、三角代換法：例5、求函數(shù)的值域。解：由，令，其中，則，因?yàn)椋?，從而，因此。六、基本不等式法：運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)要緊扣“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件。例6、求函數(shù)的值域。解：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以七、函數(shù)的單調(diào)性法：在確定函數(shù)在指定區(qū)間上的最值時(shí)，一定要考慮函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)情況。例8、設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)任意、均有關(guān)系，若時(shí)，且。求在上的最大值和最小值。解：

3、先確定在上的單調(diào)性，設(shè)任意、且，則。即。在上是減函數(shù)。 因此的最大值是 的最小值是八、利用函數(shù)在區(qū)間、上遞增，在區(qū)間、上遞減來解例9、求函數(shù)的值域。解：因?yàn)?，易證在或上都是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3；所以當(dāng)時(shí)，取得最小值3。九、數(shù)形結(jié)合法：數(shù)形結(jié)合法是解決最值和值域問題的重要方法，在運(yùn)用中要實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，充分利用圖形的直觀性。1、利用兩點(diǎn)的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式是解決某些最值問題的一種重要方法。例10、求函數(shù)的最小值。分析： =表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和，而A、B兩點(diǎn)分別位于X軸的上下兩側(cè)，由此連接交X軸于一點(diǎn)，易證該點(diǎn)即是所求的P點(diǎn)。解：由題意及分析易得直線AB的方程為，令 得

4、即所求的P點(diǎn)為（3，0）。此時(shí)的最小值是。2、利用直線的斜率求最值。例11、求函數(shù)的值域。解：令，則可以看成坐標(biāo)平面內(nèi)過點(diǎn)、的直線的斜率。因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，因此，當(dāng)直線是此圓的切線時(shí)，斜率取得最值。設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，則有，解得，。因此的值域?yàn)椤?、線性規(guī)劃法：對(duì)于一個(gè)線性最值問題，首先應(yīng)作出約束條件所確定的可行域，則其最值一定在可行域的邊界上取到。例12、設(shè)x，y滿足約束條件：，求z3x2y的最大值。解：畫出可行域（見蘭色區(qū)域），并畫出經(jīng)過可行域的一組平行線（見紅線）， 如下圖所示：由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A(1,1)時(shí)，截距最大，即z最大，zmax=3×1+2×1=5十、待

5、定系數(shù)法：例13、若實(shí)數(shù)x、y滿足的最大值。解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x y滿足, 所以設(shè)z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y), , z=(2x+y)+(x+3y)×8+×9=7.即的最大值為7。十一、萬能公式法：對(duì)于由同角的正弦和余弦組成的一次分式函數(shù)的最值問題，可以通過萬能公式把含正弦和余弦的函數(shù)化為只含正切的函數(shù)來求出。例14、求函數(shù)的值域。解：令（），則由于，所以用判別式法可解。即由得，從而 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，由得，解得。所以函數(shù)的值域?yàn)?。十二、求?dǎo)法：例7、用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出它的最大容積解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m 容器容積為y m3，則另一邊為(x+0.5)m,高為 0<x<1.6y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0<x<1.6)，即y=-2x3+2.2x2+1.6x令y=-6x2+4.4x+1.6=0 ,即15x2-11x-4=0，解得x1=1，x2=-(舍)在(0,16)內(nèi)