經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件D7-7常系數(shù)齊次線性微分方程D7-8 常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、一階方程復(fù)習(xí)目前可求解的微分方程：可降階的二階方程逐次積分求解 關(guān)鍵: 區(qū)分方程類型 , 掌握相應(yīng)的求解步驟1常系數(shù)齊次線性微分方程第七節(jié) 第七章 常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)21.二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式( p,q為常數(shù) )( p,q為常數(shù) )通解為：通解為：其中線性無關(guān)，即常數(shù)，即一、二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及解的性質(zhì)：3二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法將其代入上方程, 得故有特征方程特征根：( p,q為常數(shù) )則是方程的解.設(shè)是方程的解設(shè)4兩個(gè)線性無關(guān)的特解：得齊次方程的通解為. 有兩個(gè)不相等的實(shí)根設(shè)特征根為如：特征方程為常數(shù)那么

2、通解為5. 有兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)特解為特征根為將代入原方程并化簡得設(shè)另一特解為：得齊次方程的通解為如特征方程為那么通解為6 有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為那么通解為7定義:由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其總之:通解的表達(dá)式特征根情況通解的方法稱為特征方程法.(1)寫出相應(yīng)的特征方程;(2)求出特征根;(3)根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.8解：特征方程為解得故所求通解為解：特征方程為解得故所求通解為例1.例2.特征方程為故所求通解為例3.解：解：特征方程為9例5.由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為練習(xí)：線性常系數(shù)齊次方程的通解,那

3、么該方程為 解: 由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為解：10特征方程: 特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項(xiàng)一項(xiàng):兩項(xiàng):k項(xiàng):2k項(xiàng):三、n階常系數(shù)齊次線性方程的解法注意：n次代數(shù)方程有n個(gè)根, 且每一項(xiàng)含一個(gè)任意常數(shù).對應(yīng)著通解中的一項(xiàng),而特征方程的每一個(gè)根都11特征根為故所求通解為解：特征方程為例6.求方程的通解.(10年數(shù)二)課堂考試:P340 1 (2),(3).12二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解已經(jīng)會求了如何求？ 待定系數(shù)法求特解 的方法四、二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法13代入原方程 , 得 (1) 假設(shè) 不

4、是特征方程的根, 從而得到特解形式為那么Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式14(2) 假設(shè) 是特征方程的單根 , 為m 次多項(xiàng)式,故特解形式為(3) 假設(shè) 是特征方程的重根 , 是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為即即15例1.求微分方程的一個(gè)特解.解：這里屬型特征方程為而不是特征根，所以應(yīng)設(shè)特解為：代入所給方程得：比較兩端同次冪的系數(shù)得：那么得：于是求得一個(gè)特解為：16解：這里屬型所以，對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程所求通解為17的特解可設(shè)為:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.結(jié)論：二階線性非齊次方程18解：它對應(yīng)的齊次方程為特征方程為那么得特征根為那么齊次通解為設(shè)其特解為那么原方程得通解是：19階段小結(jié)特征方程的根( p,q為常數(shù))20 為特征方程的 k (=0, 1, 2) 重根,那么設(shè)特解為為特征方程的 k (=0, 1 )重根, 那么設(shè)特解為上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.21解：22四、小結(jié)根本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化通解的表達(dá)式特征根情況(1)寫出相應(yīng)