《收斂數(shù)列的性質(zhì)》ppt課件

1、2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)1、獨一性、獨一性2、有界性、有界性3、保號性、保號性4、保不等式性、保不等式性5、四那么運算、四那么運算6、迫斂性、迫斂性7、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性1、獨一性、獨一性定理定理2.2 2.2 每個收斂的數(shù)列只需一個極限每個收斂的數(shù)列只需一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使使得得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數(shù)列極限獨一故收斂數(shù)列極限

2、獨一.2、有界性、有界性例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應應于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理2.3 2.3 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx留意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件留意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .例例1.

3、)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成成立立有有時時使使得得當當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩兩個個數(shù)數(shù)無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不能夠同時位于長度為不能夠同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx0axn20baaxn0byn20babyn2|baaan從而 22babaaan定理2.6 (收斂數(shù)列的保號性) 假設數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù)N 當nN時 有xn0(或xn

4、0)推論 假設數(shù)列xn從某項起有xn0(或xn0) 且數(shù)列xn收斂于a 那么a0(或a0)nxnxnx證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ( 雙逼原理雙逼原理 ),1 ayNnn時時恒恒有有當當,2 azNnn時時恒恒有有當當,max21NNN 取取上兩式同時成立上兩式同時成立, ayan即即, azan恒恒有有時時當當,Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準那么可以推行到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準那么可以推行到函數(shù)的極限例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnn

5、nn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn6 絕對值收斂性絕對值收斂性: . lim ,limaaaannnn ( 留意反之不成立留意反之不成立 ). .0 lim ,0limnnnnaa 推論推論 設數(shù)列設數(shù)列 na 和和 nb 收斂收斂, 那么那么 .lim , lim min , min lim, lim , lim max , maxlimnnnnnnnnnnnnnnbabababa7數(shù)列極限的四那么運算法那么 (1)BAyxnnn)(lim (2)BAyxnnn)(lim (3

6、)當0ny(n1 2 )且 B0 時 BAyxnnnlim 定理2.8 設有數(shù)列xn和yn 假設Axnnlim Bynnlim 那么例例4 求求lim(1)nnnnli m1nnnaa 例例4 求求解：解： 分分 a=1， |a|1 三種情況三種情況 解：分子有理化1010limmmknka na nab nb nb例例3 求求8、子數(shù)列的收斂性、子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子列）的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的一個數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項在原數(shù)列這些項在原數(shù)列保持保持中任意抽取無限多項并中任意抽取無限多項并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx,

7、21nixxxx,21knnnxxx .kkknnnnkkxxkxxnnk在子數(shù)列中，一般項是第 項，而在原數(shù)列中卻是第項，顯然，留意：留意：例如，例如，定理定理7 7 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限一收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限一樣樣證證 的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設設數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有時時使使,NK 取取,時時則當則當Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 證證畢畢例例4對于數(shù)列對于數(shù)列xn )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn則則證證0 知知由由axkk 2lim時時，有有使使當當11,K

8、kK |2axk知知再由再由axkk 12lim時，有時，有使當使當22,KkK |12axk12 ,2max21 KKN取取時時則則當當Nn 11222KmKmmn 則則若若此時有此時有 |2axaxmn22121212KmKmmn 則則若若此時有此時有 |12axaxmn總之：總之：0 N 時時使使當當Nn 恒有恒有 |axnaxnn lim即即)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn則則趨趨于于同同一一極極限限值值其其中中與與：若若子子數(shù)數(shù)列列對對數(shù)數(shù)列列Th ( 數(shù)列收斂充要條件 ) na 收收斂斂 naTh ( 數(shù)列收數(shù)列收斂斂充要條件充要條件 ) na 收收斂斂

9、子列子列 12 na 和和 na2收收斂斂于同一極限于同一極限. 的任何子列收斂的任何子列收斂 于同一極限于同一極限.Th ( 數(shù)列收數(shù)列收斂斂充要條件充要條件 ) na 收收斂斂 子列子列 12 ka、ka23ka都收都收斂斂. 和和 思索題思索題指指出出下下列列證證明明1lim nnn中中的的錯錯誤誤 證明證明要使要使,1 nn只需使只需使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當當 時，必有時，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思索題解答思索題解答 1nn)1ln(ln1 nn等價等價證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實踐上就是不等式實踐上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當放大適當放大 的值的值nnln從而從而 時，時，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2