理論力學第十章 質(zhì)點動力學基本方程(Y)

1、第三篇第三篇 動力學動力學運動分析運動分析畫速度、加速度圖畫速度、加速度圖靜力學靜力學運動學運動學受力分析受力分析畫受力圖畫受力圖質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)點系一、質(zhì)點動力學的基本定律一、質(zhì)點動力學的基本定律二、質(zhì)點的運動微分方程二、質(zhì)點的運動微分方程三、質(zhì)點動力學的兩類基本問題三、質(zhì)點動力學的兩類基本問題 一、質(zhì)點動力學的基本定律一、質(zhì)點動力學的基本定律第一定律第一定律 ( (慣性定律慣性定律):):不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。常矢量常矢量vaF00不受力作用的質(zhì)點是不存在的，指作用于質(zhì)點上合力為零。不受力作用的質(zhì)點是不存在的，指作用于質(zhì)

2、點上合力為零。質(zhì)點上作用的是平衡力系質(zhì)點上作用的是平衡力系慣性慣性物體具有保持其原有運動狀態(tài)的特征物體具有保持其原有運動狀態(tài)的特征第三定律第三定律 ( (作用與反作用定律作用與反作用定律):):兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等, ,方向方向相反相反, ,沿著同一直線沿著同一直線, ,且同時分別作用在這兩個物體上。且同時分別作用在這兩個物體上。第二定律第二定律Fam力的單位力的單位: :牛牛 頓頓,2sm11kg1N在外力作用下，物體所獲得的加速度不僅與外力有關(guān)，在外力作用下，物體所獲得的加速度不僅與外力有關(guān)，而且還決定于物體本身的特征而且還決定于

3、物體本身的特征 m 慣性慣性maF，不不變變)1(物體的運動狀態(tài)容易改變物體的運動狀態(tài)容易改變慣性小慣性小在力的作用下物體所獲得的加速度的大小與作用力的大在力的作用下物體所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與力的方向相同小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與力的方向相同。 maF，不不變變)2(物體的運動狀態(tài)不易改變物體的運動狀態(tài)不易改變慣性大慣性大合力矢合力矢二、質(zhì)點的運動微分方程二、質(zhì)點的運動微分方程iiFtrmFam22dd矢量形式的微分方程矢量形式的微分方程 1 1 、在直角坐標軸上的投影、在直角坐標軸上的投影kajaiaazyx zzyyxxFdtzdmz

4、mmaFdtydmymmaFdtxdmxmma222222 Fam2 2、在自然軸上的投影、在自然軸上的投影 0bnanaaa bbnnFaFvmmaFdtdvmma02 nnFvmmaFdtdvmma2混合問題：混合問題：對于多數(shù)非自由質(zhì)點，一般同時存在對于多數(shù)非自由質(zhì)點，一般同時存在 以上動力學的兩類問題以上動力學的兩類問題。第一類問題：比較簡單。第一類問題：比較簡單。 已知質(zhì)點的運動規(guī)律，求作用在質(zhì)點上的力，通常未知已知質(zhì)點的運動規(guī)律，求作用在質(zhì)點上的力，通常未知 的是約束力。這是點的運動方程對時間求導數(shù)的過程。的是約束力。這是點的運動方程對時間求導數(shù)的過程。第二類問題：比較復雜。第二類

5、問題：比較復雜。 已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動規(guī)律。這是運動已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動規(guī)律。這是運動 微分方程的積分過程。微分方程的積分過程。 第一類問題：第一類問題：已知質(zhì)點的運動已知質(zhì)點的運動, ,求作用于質(zhì)點的力求作用于質(zhì)點的力。第二類問題：第二類問題：已知作用于質(zhì)點的力已知作用于質(zhì)點的力, ,求質(zhì)點的運動。求質(zhì)點的運動。三三 、質(zhì)點動力學的兩類基本問題、質(zhì)點動力學的兩類基本問題 已知：已知：物體由高度物體由高度h 處以速度處以速度v0 水平拋出，如圖所示?？諝庾杷綊伋?，如圖所示?？諝庾?力可視為與速度的一次方成正比，即力可視為與速度的一次方成正比，即 ，其中，其中 m

6、為物體的質(zhì)量，為物體的質(zhì)量，v 為物體的速度，為物體的速度，k 為常系數(shù)。為常系數(shù)。 求：求：物體的運動方程和軌跡。物體的運動方程和軌跡。vFkm解：解：以物體為研究對象，分析物體任意位置的受力與運動。以物體為研究對象，分析物體任意位置的受力與運動。 列出物體直角坐標形式的運動微分方程列出物體直角坐標形式的運動微分方程()xyFkmvkm v iv j mgykmmgvkmymxkmvkmxmyx yvxvyxgykyxkx （1 1）xkx xxkvdtdvtvvxxkdtvdv00ktlnvlnv0 xktvvln0 xdtdxevvkt0 xtkt0 xdtevdx001 1kt0kt0

7、ekvekvxgyky （2 2）gkvdtdvyytvyydtgkvdvy00tlnggln(kvk1y )ktggkvlnyktyeggkvdtkgekgdytktyh)(0tkgekghykt)1 (2tkgekghykt)1 (21 1kt0kt0ekvekvx物體的運動方程物體的運動方程物體的運動軌跡物體的運動軌跡0002lnkvgxkxvvkghy已知：已知：圖示質(zhì)點的質(zhì)量為圖示質(zhì)點的質(zhì)量為m ，受指向原點，受指向原點O 的力的力 作用，作用， 力與質(zhì)點到點力與質(zhì)點到點O 的距離成正比。如初瞬時質(zhì)點的坐標的距離成正比。如初瞬時質(zhì)點的坐標 為為 ， ，而速度的分量為，而速度的分量為

8、， 。試求：試求：質(zhì)點的軌跡。質(zhì)點的軌跡。 krF 0 xx 0y0 xv0vvy解：解：畫質(zhì)點受力圖（質(zhì)點在水平面內(nèi)運動）畫質(zhì)點受力圖（質(zhì)點在水平面內(nèi)運動）ykFymxkFxmyx 00ymkyxmkx 解法一：解法一：tmkBtmkAytmkBtmkAxsincossincos2211邊界條件定積分常數(shù)邊界條件定積分常數(shù) t=0 時時0 xx 0 xv0101BxA0y0vvykmvBA0220tmkkmvytmkxxsincos00tmkmkBtmkmkAvtmkmkBtmkmkAvyxcossincossin2211ykFymxkFxmyx 解法二：解法二：xkxm ykym （1 1

9、）kxdtdvmxdxdtdtdxkxdtmdvxdxkxdvvmxxxxvx002222022xkxkmvxdtdxxxmkvx220dtmkxxdxtxx02200（2 2）已知：已知：如圖所示，在三棱柱如圖所示，在三棱柱ABC 的粗糙斜面上，放一質(zhì)量為的粗糙斜面上，放一質(zhì)量為m 的物體的物體M，三棱柱以勻加速度三棱柱以勻加速度a 沿水平方向運動。設(shè)摩擦沿水平方向運動。設(shè)摩擦 系數(shù)為系數(shù)為 fs ，且，且 。為使物體。為使物體M 在三棱柱上處于在三棱柱上處于 相對靜止，相對靜止，試求：試求：a 的最大值，以及這時物體的最大值，以及這時物體M 對三棱柱的壓力。對三棱柱的壓力。tgsf解：解：

10、設(shè)物體設(shè)物體M 即將沿斜面上滑時，畫受力圖即將沿斜面上滑時，畫受力圖sincosmgFmaScossinmgFmaNNsSFfF gffasssincoscossinsincossNfmgF習題：習題：質(zhì)量為質(zhì)量為2kg的滑塊在力的滑塊在力F 作用下沿桿作用下沿桿AB 運動，桿運動，桿AB 在在 鉛直平面內(nèi)繞鉛直平面內(nèi)繞A 轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。已知：已知： ， （s 的單位：的單位：m； 的單位：的單位：radrad； t 的單位：的單位：s），滑塊與桿），滑塊與桿AB的摩擦系數(shù)為的摩擦系數(shù)為0.10.1。 求：求： 時，推動滑塊力時，推動滑塊力F 的大小。的大小。t4 . 0st5 . 0st2解：

11、解：（1 1）滑塊的速度分析）滑塊的速度分析avevrvreavvv04 . 0t4 . 0rradtdsvs05 . 0t5 . 0dtd01 . 02 . 02eneeatsatsvcreneaaaaaa4 . 02rvacrev與垂直，垂直，caneaevrvavneacasinmgFFmamaSneaxsinmgmaNfFnes2 . 01 . 02tsane066.2821801t5 . 0radst2N23.17FcosmgNmamacay)cos(cagmNcreneaaaaaa已知：已知：圖示一小球從半徑為圖示一小球從半徑為R的光滑半圓柱體的頂點無初速地的光滑半圓柱體的頂點無初

12、速地 沿柱體下滑。沿柱體下滑。 求：求：（1）寫小球沿圓柱體的運動微分方程；寫小球沿圓柱體的運動微分方程； （2 2）小球脫離圓柱體時的角度）小球脫離圓柱體時的角度 。 解：解：以小球為研究對象，分析小球任意位置的受力與運動。以小球為研究對象，分析小球任意位置的受力與運動。 列寫小球自然坐標形式的運動微分方程列寫小球自然坐標形式的運動微分方程NmgRvmmgdtdvmcossin2 RdtdvaRS Rdtdsv小球沿圓柱體的運動微分方程為小球沿圓柱體的運動微分方程為 singR 000t初始條件：初始條件：dddddtddtd 00sindgdRcos122Rgcos122gRvdtdRRd

13、tdsvcos12gRvtdtRgd002cos1RS 0N脫離約束的條件為脫離約束的條件為 ，由此得出當，由此得出當02cos3 mgmg19.4832cos32cos1小球脫離圓柱體小球脫離圓柱體cos122gRvmgmgN2cos3NmgRvmmgdtdvmcossin2例例22 長長l，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿 AB 和和 BC 用鉸鏈用鉸鏈 B 聯(lián)接，并用鉸鏈聯(lián)接，并用鉸鏈 A 固定，固定，位于平衡位置。今在位于平衡位置。今在 C 端作用一水平端作用一水平力力F，求此瞬時，兩桿的角加速度。求此瞬時，兩桿的角加速度。解：分別以解：分別以AB和和BC為研究對象，受力為研究對象，受

14、力如圖。如圖。 AB和和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動和平面分別作定軸轉(zhuǎn)動和平面運動。對運動。對AB由定軸轉(zhuǎn)動的微分方程得由定軸轉(zhuǎn)動的微分方程得21(1)3ABBxmlF lABFAxFBxFByaBWABCBAFFAyBC作平面運動，取作平面運動，取B為基點，則為基點，則nGBGBGBaaaa將以上矢量式投影到水平方向，得將以上矢量式投影到水平方向，得2lGxBGBABBCaaal(4)由由(1) (1) (4)(4)聯(lián)立解得聯(lián)立解得630,77ABBCFFmlml 2,0nlBABGBBCGBalaa對對BC由剛體平面運動的微分方程得由剛體平面運動的微分方程得GxBxmaFF(2)211222BCBx

15、llmlFF(3)BGCBCFWaGxaGyaGBFByFBxO例例23平板質(zhì)量為平板質(zhì)量為m1，受水平力受水平力F 作用而沿水平面運動，板作用而沿水平面運動，板與水平面間的動摩擦系數(shù)為與水平面間的動摩擦系數(shù)為f ，平板上放一質(zhì)量為平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)的均質(zhì)圓柱，它相對平板只滾動不滑動，求平板的加速度。圓柱，它相對平板只滾動不滑動，求平板的加速度。 解：取圓柱分析，解：取圓柱分析，21Om aF于是得：于是得：11222,NFFm gm r122OFaaramFaCFN1F1m2gaaO120NFm g22112m rFr1213Fm a121FFFam11120()NNNFm gFFmm ggmmfF)(21211221()3m aFf mm gm a1212()13Ff mm gammFN1F1FN2F2m1gFa取板分析取板分析例例24行星齒輪機構(gòu)的曲柄行星齒輪機構(gòu)的曲柄 OO1受力偶受力偶 M 作用而繞固定鉛直軸作用而繞固定鉛直軸 O 轉(zhuǎn)動，并帶動齒輪轉(zhuǎn)動，并帶動齒輪O1在固定水平齒輪在固定水平齒輪O 上滾動如圖所示。設(shè)上滾動如圖所示。設(shè)曲柄曲柄 OO1為均質(zhì)桿，長為均質(zhì)桿，長l、重重 P；齒輪齒輪 O1為均質(zhì)圓盤，半徑為均質(zhì)圓盤，半徑 r 、重重 Q。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。試求曲柄的