電磁場與微波技術(shù)場論學習教案

1、會計學1電磁場與微波技術(shù)場論電磁場與微波技術(shù)場論第一頁，編輯于星期二：九點 四十三分。第1頁/共60頁第二頁，編輯于星期二：九點 四十三分。zyxAzAyAxA222zyxAAAA該矢量的模為 A的單位矢量為 coscoscoszyaxAAzAAyAAxAAAzyx第2頁/共60頁第三頁，編輯于星期二：九點 四十三分。標量場標量場)2() 1( 45),(222zyxzyx 如溫度場如溫度場, ,電位場電位場, ,高度場等高度場等; ;矢量場矢量場zxyzyzxxxyzyx2),(22A如流速場如流速場, ,電場電場, ,渦流場等。渦流場等。第3頁/共60頁第四頁，編輯于星期二：九點 四十三分

2、。zyxBzByBxB)( )( )( zzyyxxBAzBAyBAxBA(2) 矢量的加法和減法矢量的加法和減法zyxAzAyAxA(1) 矢量的數(shù)乘矢量的數(shù)乘zyxaAzaAyaAxaA第4頁/共60頁第五頁，編輯于星期二：九點 四十三分。(3) 標量積和矢量積標量積和矢量積 標量積標量積ABABaABcosBAABBA并有并有 1 , 0zzyyxxxzzyyx2222AAAAAABABABABAzyxzzyyxx因而得因而得 矢量的相乘有兩種定義矢量的相乘有兩種定義-標量積標量積(點乘點乘)和矢量積和矢量積(叉乘叉乘)。第5頁/共60頁第六頁，編輯于星期二：九點 四十三分。矢量積矢量積

3、A AB BABaABnsinBA)(ABA(3) 標量積和矢量積標量積和矢量積 并有 )( )( )( ) () (xyyxxxxzyzzyzyxzyxBABAzBABAyBABAxBzByBxAzAyAxBA故 yxzxzyzyxzzyyxx, , 0第6頁/共60頁第七頁，編輯于星期二：九點 四十三分。標量三重積為 )()()(BACACBCBA矢量三重積為 （4） 三重積三重積 矢量的三連乘也有兩種-標量、矢量三重積。B)C(AC)B(AC)(BA第7頁/共60頁第八頁，編輯于星期二：九點 四十三分。ztAytAxtAtzyxddddddddA例例 求矢量場 的矢量線方程。解解 矢量線

4、應滿足的微分方程為 zyxA222zyyxxyzyzyxyxyx222dddzyzxyxyxyxyx2222dddd2221cyxxcz從而有從而有 解得矢量方程 c1和c2是積分常數(shù)。 第8頁/共60頁第九頁，編輯于星期二：九點 四十三分。lllAdcosdlArrq420EbarrrrbabarrqrrqrElEbaba114d4dcosdd020lE例例 設(shè)設(shè)，求任意兩點a、b間的矢量E的線積分。解第9頁/共60頁第十頁，編輯于星期二：九點 四十三分。sssAdcosdsA例例 已知矢量場 ，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。解解 21dddssssrs

5、rsr220cosddsssrsr32111111dddddddddddHHHyxHyxHyxzyxyzyxsrssssssz zyyxxr第10頁/共60頁第十一頁，編輯于星期二：九點 四十三分。(1) 單位矢量單位矢量 一個特定方向上的單位矢量等于該方一個特定方向上的單位矢量等于該方向上的任一矢量除以其幅值向上的任一矢量除以其幅值(2) 分矢量分矢量 一個矢量在特定方向上的投影為其在該方向一個矢量在特定方向上的投影為其在該方向上的分量上的分量(3) 切向矢量（分量）切向矢量（分量） (4) 法向矢量法向矢量 （分量）（分量）第11頁/共60頁第十二頁，編輯于星期二：九點 四十三分。第12頁

6、/共60頁第十三頁，編輯于星期二：九點 四十三分。（1） 標量場標量場) 2() 1( 45),(222zyxzyx 標量場的場線標量場的場線- -等值線等值線( (面面) )。等值線等值線第13頁/共60頁第十四頁，編輯于星期二：九點 四十三分。標量場標量場(x, y, z)的等值面方程為的等值面方程為 const.),(zyx（1） 標量場標量場例例 求數(shù)量場求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點通過點M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。解解 點點M的坐標是的坐標是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場值為，則該點的數(shù)量場值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為。

7、其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx或或 第14頁/共60頁第十五頁，編輯于星期二：九點 四十三分。（2） 矢量場矢量場矢量場的場線矢量場的場線- -矢量線。矢量線。zxyzyzxxxyzyx2),(22A0d lA其方程為其方程為zAyAxAzyxddd三維場三維場在直角坐標下在直角坐標下二維場二維場yAxAyxdd第15頁/共60頁第十六頁，編輯于星期二：九點 四十三分。（2） 矢量場矢量場例例 求矢量場 的矢量線方程。解解 矢量線應滿足的微分方程為 zzyyyxxxy222Azyzyxyxyx222dddzyzxyxyxyxyx2222dddd2221cyxxcz從而有從而有 解得

8、矢量方程 c1和c2是積分常數(shù)。 第16頁/共60頁第十七頁，編輯于星期二：九點 四十三分。矢量場矢量場-矢量線矢量線標量場標量場-等值線等值線( (面面) )。const),( zyxh其方程為其方程為0d lA其方程為其方程為zAyAxAzyxddd在直角坐標下在直角坐標下: :yAxAyxdd矢量線矢量線在某一溫度上沿什么方向溫度變化最快？在某一溫度上沿什么方向溫度變化最快？第17頁/共60頁第十八頁，編輯于星期二：九點 四十三分。第18頁/共60頁第十九頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 標量場(x, y, z)在某點沿l方向的變化率稱為沿該方向的方向?qū)?shù) 。 它的值與所選取的方向 有

9、關(guān), 設(shè) l /lcoscoscoszyxlcoscoscoszyxlzzlyylxxl第19頁/共60頁第二十頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 0000limMMMuMuluMMM垂直于等值面；垂直于等值面；指向變化最快的方向；指向變化最快的方向；最大的變化率；最大的變化率；lulugrad coscoscoszuyuxuluzzuyyuxxuugradG第20頁/共60頁第二十一頁，編輯于星期二：九點 四十三分。引入引入 zzyyxxzzyyxx則則 ),cos(|lll|maxl定義標量場定義標量場(x, y, z)在點在點P(x, y, z)處的梯度處的梯度(gradient)為為

10、zzyyxxgrad第21頁/共60頁第二十二頁，編輯于星期二：九點 四十三分。, 0cl0clcn 標量函數(shù)標量函數(shù)的的等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為等值面的法線方向單位矢量可用梯度表示為即梯度的方向與過該即梯度的方向與過該點的等值面相垂直點的等值面相垂直, 并由梯度定義知并由梯度定義知, 它它指向指向增大的方向。增大的方向。 一座山的等高線圖一座山的等高線圖 第22頁/共60頁第二十三頁，編輯于星期二：九點 四十三分。22222220)( )(zyxff)(1)()(2梯度運算有如下規(guī)則梯度運算有如下規(guī)則: 第23頁/共60頁第二十四頁，編輯于星期二：九點 四十三分。例例 求數(shù)量場

11、 在點M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù)。 解解 l方向的方向余弦為 zyxu22zyxl22222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu而 在l方向的方向?qū)?shù)為 32cos,32cos,31cos22232232231zyxzyzxlu在點M處沿l方向的方向?qū)?shù) 324232132131Ml第24頁/共60頁第二十五頁，編輯于星期二：九點 四十三分。例例 求r在M(1，0，1)處沿 方向的方向?qū)?shù)。解解 r的梯度為 ) (1gradz zyyxxrrr點M處的坐標為x=1, y=0, z=1, 2222zyxr 所以r在M點處的梯度為 yxrr2121gradr在M點沿l方向的方向?qū)?shù)

12、為 lrlrMzyx22lzyxlll323231而 21322132203121Mlr所以 第25頁/共60頁第二十六頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 標量場的梯度是一個矢量標量場的梯度是一個矢量, ,是空間坐標點的函數(shù)是空間坐標點的函數(shù); ; 梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向的方向, ,即與等值線（面）相垂即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。方向。 梯度的大小為該點標量函數(shù)梯度的大小為該點標量函數(shù) 的最大變化率，即該點最大方的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù)向?qū)?shù); ; 三維高度場的梯度三維高度場的梯度例例 高度場的梯

13、度高度場的梯度 與過該點的等高線垂直；與過該點的等高線垂直； 數(shù)值等于該點位移的最大數(shù)值等于該點位移的最大變化率；變化率； 指向地勢升高的方向。指向地勢升高的方向。第26頁/共60頁第二十七頁，編輯于星期二：九點 四十三分。例例 電位場的梯度電位場的梯度 與過該點的等位線垂直；與過該點的等位線垂直； 指向電位增加的方向。指向電位增加的方向。 數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)； 電位場的梯度電位場的梯度第27頁/共60頁第二十八頁，編輯于星期二：九點 四十三分。第28頁/共60頁第二十九頁，編輯于星期二：九點 四十三分。snsdd 1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋

14、度1.4.1 通量通量 元通量元通量sssnAsAdd通量通量SsA d第29頁/共60頁第三十頁，編輯于星期二：九點 四十三分。矢量矢量 E E 沿閉合曲面沿閉合曲面S S 的面積分的面積分 0 (0 (有正源有正源) ) 0 ( 0 (有負源有負源) ) =0 ( =0 (無源無源) )矢量場的通量矢量場的通量 可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)性質(zhì): :ssE d通量的物理意義通量的物理意義第30頁/共60頁第三十一頁，編輯于星期二：九點 四十三分。定義矢量定義矢量A A在某點的散度在某點的散度(divergence), (divergence)

15、, 記為記為divdivA A: : VsAASxdlimdiv1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋度1.4.2 散度散度 哈密頓哈密頓(W .R .Hamilton)引入微分算子引入微分算子zzyyxxAAdiv則散度可以表示為則散度可以表示為zAyAxAAzAyAxzzyyxxAzyxzyx)(第31頁/共60頁第三十二頁，編輯于星期二：九點 四十三分。1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋度1.4.2 散度散度 VnnVnSVVndlimd10AASA第32頁/共60頁第三十三頁，編輯于星期二：九點 四十三分。得高斯公式得高斯公式( (散度定理散度定理) ) 該公式表明了區(qū)域該

16、公式表明了區(qū)域V V 中場中場A與邊界與邊界S S上的場上的場A之間之間的關(guān)系。的關(guān)系。 矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋度1.4.2 散度散度 VnnVnSVVndlimd10AASA意義意義第33頁/共60頁第三十四頁，編輯于星期二：九點 四十三分。例例 球面球面S上任意點的位置矢量為上任意點的位置矢量為 ,r rz zyyxxr試利用散度定理計算試利用散度定理計算 Sdsr解解3zzyyxxrVSVrrdvrdvrds3343433第34頁/共60頁第三十五頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 矢量矢量A沿某封閉曲線

17、的線積分沿某封閉曲線的線積分, 定定義為義為A沿該曲線的環(huán)量沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量或旋渦量), 記為記為 llA d1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋度1.4.3 環(huán)量環(huán)量 LSSPSld1limdd環(huán)量密度環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。第35頁/共60頁第三十六頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。大環(huán)量密度的方向。旋度旋度( (curl或或rotation) )與環(huán)量密度的關(guān)系為與環(huán)量密度的關(guān)系為nSeA rot dd在直角坐標

18、系下在直角坐標系下zyxzyxAAAzyxA1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 第36頁/共60頁第三十七頁，編輯于星期二：九點 四十三分。SlAnAlSmax0dlimCurl1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。 點點P的旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值。的旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值。 在矢量場中，若在矢量場中，若A=J 0,稱之為稱之為旋度場旋度場( (或渦旋場或渦旋場) )，J 稱為稱為旋度源旋度源( (或渦旋源或

19、渦旋源) )； 點點P的旋度的方向是該點最大環(huán)量密度的方向。的旋度的方向是該點最大環(huán)量密度的方向。 若矢量場處處若矢量場處處A=0，稱之為無稱之為無旋場旋場( (或保守場或保守場) )。第37頁/共60頁第三十八頁，編輯于星期二：九點 四十三分。矢量矢量A的旋度可表示為算子與的旋度可表示為算子與A的矢量積的矢量積, 即即 AAcurl 計算計算A時時, 先按矢量積規(guī)則展開先按矢量積規(guī)則展開, 然后再作微分運算然后再作微分運算, 得得 yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyx) (1.4 矢量場的散度和旋度矢量場的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 第38頁/共60

20、頁第三十九頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 旋度運算符合如下規(guī)則旋度運算符合如下規(guī)則: AAAABAABBAAAABABA2)(0)()()()(在直角坐標系中有在直角坐標系中有 zyxAzAyAxA2222第39頁/共60頁第四十頁，編輯于星期二：九點 四十三分。斯托克斯斯托克斯(Stockes)(Stockes)定理定理 A 是是環(huán)量密度，即圍繞單位面環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為環(huán)量為iiilSAAld)(d即即StockeStockes s定理定理在 電 磁 場 理 論 中 ，在 電 磁 場 理 論 中 ，G a u

21、s sG a u s s公 式 和公 式 和 StockesStockes公式是兩個非常重要的公式。公式是兩個非常重要的公式。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域S S中場中場A與邊界與邊界L L上的上的場場A之間的關(guān)系之間的關(guān)系第40頁/共60頁第四十一頁，編輯于星期二：九點 四十三分。例例 自由空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電場強度為 2/3222030)(44zyxz zyyxxqrrqE求任意點處(r0)電場強度的旋度E。 解解33333333304rxyryxzrzxrxzyryzrzyxrzryrxzyxzyxqE第41頁/共6

22、0頁第四十二頁，編輯于星期二：九點 四十三分?？梢? 向分量為零; 同樣, 向和 向分量也都為零。 故 x y z 0E這說明點電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。 因535333ryzryzryzrzy第42頁/共60頁第四十三頁，編輯于星期二：九點 四十三分。第43頁/共60頁第四十四頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 矢量場的散度是一個標量函數(shù)矢量場的散度是一個標量函數(shù), 而矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)。而矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)。 散度表示場中某點的通量密度散度表示場中某點的通量密度, 它是場中任一點通量源強度的它是場中任一點通量源強度的量度量度; 旋度表示場中某點的最大環(huán)量強度旋度表示場中某點的

23、最大環(huán)量強度, 它是場中任一點處旋渦源強度它是場中任一點處旋渦源強度的量度。的量度。 散度由各場分量沿各自方向上的變化率來決定散度由各場分量沿各自方向上的變化率來決定; 而旋度由各場而旋度由各場分量在與之正交方向上的變化率來決定。分量在與之正交方向上的變化率來決定。 第44頁/共60頁第四十五頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度散度、旋度及及邊界條件邊界條件唯一唯一地確定。地確定。已知已知矢量矢量A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A的環(huán)量源密度的環(huán)量源密度場域邊界條件場域邊界條件在電磁場中在電磁場中電荷密度電荷密度 電流密度電流密度

24、J場域邊界條件場域邊界條件（矢量（矢量A唯一地確定）唯一地確定）第45頁/共60頁第四十六頁，編輯于星期二：九點 四十三分。例：判斷矢量場的性質(zhì)判斷矢量場的性質(zhì)?FF?FF?FF=0=0=000=0第46頁/共60頁第四十七頁，編輯于星期二：九點 四十三分。第47頁/共60頁第四十八頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 xyz 坐標變量坐標變量微元微元 zyxvddddzyxyzxxzyzyxddd, ddd, dddsssz zyyxxddddl第48頁/共60頁第四十九頁，編輯于星期二：九點 四十三分。柱坐標系 坐標變量坐標變量 0z三者總保持正交關(guān)系三者總保持正交關(guān)系, 并遵循右手螺旋法則

25、并遵循右手螺旋法則z 第49頁/共60頁第五十頁，編輯于星期二：九點 四十三分。z 微元微元 zvdddd z zlddddzzzzddd, ddd, dddsss第50頁/共60頁第五十一頁，編輯于星期二：九點 四十三分。r00坐標變量坐標變量r三者總保持正交三者總保持正交關(guān)系關(guān)系, 并遵循右手并遵循右手螺旋法則螺旋法則第51頁/共60頁第五十二頁，編輯于星期二：九點 四十三分。微元微元 dsindddrrrvrrrddsind2s，dsinddrrsdddrrsdrsindddrr rlr r 第52頁/共60頁第五十三頁，編輯于星期二：九點 四十三分。 1. 1.平行平面場平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線如果在經(jīng)過某一軸線( (設(shè)為設(shè)為 Z 軸軸) )的一族平的一族平行平面上，場行平面上，場 F 的分布都相同，即的分布都相同，即 F=f(x,y)，則稱