隨機(jī)變量的數(shù)字特征(課件)

1、描述隨機(jī)變量的描述隨機(jī)變量的常用的數(shù)字特征有常用的數(shù)字特征有: :某種特征的量某種特征的量, ,稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望、矩矩 、相關(guān)系數(shù)等相關(guān)系數(shù)等. .的的數(shù)字特征數(shù)字特征.協(xié)方差、協(xié)方差、2.2 2.2 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 方差、方差、數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的一、離散型隨機(jī)變量的解解 032127 （件件）平均每天的廢品數(shù)為平均每天的廢品數(shù)為: :323(01721023)1 27. 1 320010 某廠檢查了某工人某廠檢查了某工人100100天加工零件的情況天加工零件的情況. .發(fā)現(xiàn)該工人在發(fā)現(xiàn)該工人在100100天中天中有有3232天

2、天有有3030天天 每天出每天出一件一件廢品廢品; ;有有1717天天有有2121天天每天每天出出3 3件件廢品廢品. .問問: :該工人在該工人在100100天中天中加工的廢品總數(shù)為加工的廢品總數(shù)為1 30 2 17 321 1100103010 201710 302110 沒出沒出廢品廢品; ;每天出每天出兩件兩件廢品廢品; ;平均平均每天出幾件廢品每天出幾件廢品? ?例例 為了評價(jià)技術(shù)水平為了評價(jià)技術(shù)水平, ,該工人該工人出出1 1個(gè)廢品個(gè)廢品, ,出出2 2個(gè)廢品個(gè)廢品, ,出出3 3個(gè)廢品個(gè)廢品, ,平均每天出廢品數(shù)為平均每天出廢品數(shù)為1n假如檢查了他假如檢查了他n n天的生產(chǎn)情況天

3、的生產(chǎn)情況, , 設(shè)在設(shè)在n n天中天中 有有 天天0n出出0 0個(gè)廢品個(gè)廢品; ;有有 天天1n有有 天天2n有有 天天3n這這 天出的廢品總數(shù)為天出的廢品總數(shù)為n0123(123)0 nnnn 00nn11nn22nn33nn 33n 0123nnnn00n11 n22nn 當(dāng)當(dāng)n n充分大時(shí)充分大時(shí), ,接近每天出接近每天出0 0個(gè)廢品的概率個(gè)廢品的概率11nnp，22nnp，33nnp故平均每天出廢品數(shù)為故平均每天出廢品數(shù)為: :00p平均每天出廢品數(shù)為平均每天出廢品數(shù)為頻率頻率0nn00nnp，33p 11p22pX他平均每天出廢品數(shù)為他平均每天出廢品數(shù)為: :EX 設(shè)設(shè) 表示表示X

4、該工人每天出廢品的個(gè)數(shù)該工人每天出廢品的個(gè)數(shù)00p33,p 11p22p數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. .稱為稱為X X的的01230123pppp1n0123(123)0 nnnn 00nn11nn22nn33nn 如果如果n是該工人一生是該工人一生的總工作天數(shù)，則頻的總工作天數(shù)，則頻率就是概率率就是概率定義定義2.6 2.6 nP Xx 如果級數(shù)如果級數(shù) nnnx p記作記作即級數(shù)即級數(shù) 發(fā)散發(fā)散, ,設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為: :1,2,3,.n 絕對收斂絕對收斂, ,則稱該級數(shù)的值為則稱該級數(shù)的值為則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量隨機(jī)變量

5、X的的數(shù)數(shù)學(xué)期望學(xué)期望, ,EX，即即EX nnnx p如果級數(shù)如果級數(shù) nnnx p不絕對收斂不絕對收斂, ,nnnx p不存在不存在. .np 說明說明: : 此時(shí)此時(shí), ,kkxxpXxpp1212.即即當(dāng)當(dāng) 只取只取有限個(gè)有限個(gè)值時(shí)值時(shí), ,X必必存在存在: :X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望當(dāng)當(dāng) 取可數(shù)無窮多個(gè)值：取可數(shù)無窮多個(gè)值：X時(shí)時(shí), ,時(shí)時(shí), ,存在存在絕對收斂絕對收斂收斂收斂收斂收斂, ,. EX 11x p 22x p .kkx p EXnnnx p11x p22x p .nnx p nnnx p1212.nnpxxxppnnnx pEX 1212.nnxxxpppnnppxpxx

6、X1212.此時(shí)此時(shí), ,1212.kkpppxxxX即即當(dāng)當(dāng) 只取只取有限個(gè)有限個(gè)值時(shí)值時(shí), ,X必必存在存在: :X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望當(dāng)當(dāng) 取無窮多個(gè)值時(shí)取無窮多個(gè)值時(shí), ,X時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)存在存在絕對收斂絕對收斂收斂收斂, ,收斂收斂若若發(fā)散發(fā)散,則即使則即使收斂收斂, ,也不存在也不存在. . EX 11x p 22x p .kkx p EXnnnx p11x p22x p .nnx p nnnx p1212.nnpxxxppnnnx pnnnx pnnnx pEX1212.nnpppxxxX即即.EX 1212.nnxxxppp例例 若若 服從服從01分布分布: :X求求EX解解在擲骰子

7、的試驗(yàn)中在擲骰子的試驗(yàn)中,例例表示擲的點(diǎn)數(shù)表示擲的點(diǎn)數(shù),X求求EX解解p1 p0 ()1p 1 p p EX 116 216316416516 616 16(123456 ) 3.5EX X01,X123456111111666666例例甲甲,乙兩人射擊一次乙兩人射擊一次,得分的分布是得分的分布是甲甲:乙乙:試比較二人的技術(shù)試比較二人的技術(shù).解解乙得分的平均值乙得分的平均值比甲的平均值多比甲的平均值多乙的技術(shù)好乙的技術(shù)好.310Xp360YpEX 1 0.4 20.1 30.5 2.1 EY 1 0.120.6 30.3 2.2 解解 .5 48 萬萬元元例

8、例 一批產(chǎn)品中一批產(chǎn)品中,有有1,2,3 1,2,3 等品等品及等外品及等外品和廢品和廢品共共5 5種種, ,所占的比例分別為所占的比例分別為其產(chǎn)值分別為其產(chǎn)值分別為6 6萬元萬元, ,5.45.4萬元萬元, , 5 5萬元萬元, ,4 4萬元萬元及及0 0萬元萬元, ,平均產(chǎn)值平均產(chǎn)值. .求產(chǎn)品的求產(chǎn)品的是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量， 其分布是：其分布是：XP 0.06 0.04X產(chǎn)品的產(chǎn)值產(chǎn)品的產(chǎn)值 65.4540EX 60.7 5.40.1 50.140.06 00.04 70% , 10% , 10% , 6%,4% ,例例 的概率分布為：的概率分布為：. .r v

9、X討論討論 是否存在是否存在. .EX112345.( 1).nXnp .c22c23c24c25c2cn解解nnnx pc2c 3c 4c .cn1n cn調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散,0,c 也發(fā)散也發(fā)散,EXEX不存在不存在. .發(fā)散，發(fā)散，nnnx p1111.23n11nn1ncn 設(shè)設(shè)其中其中0,c 例例 的概率分布為：的概率分布為：. .r v X討論討論 是否存在是否存在. .EX112345.( 1).nXnp .c22c23c24c25c2cn解解nnnx pc2c 3c 4c .cn1n cn EXEX不存在不存在. .發(fā)散發(fā)散. 設(shè)設(shè)其中其中0,c 1nnnpxc2c 3c

10、 4c . 1( 1).ncn 收斂收斂, 但但 不存在不存在. .EX其中其中解解11nnxn 1x 時(shí)時(shí)，r.v.Xr.v.X的分布為的分布為求求EX例例 ppq2pq1npq .123.XnP01,p1,qp1nnnpx 1nnnpx p p 21(1)q p 21p1p EX1p 1n ()nx1nnx 23(.)nxxxx1x x21(1)x 1nnq 存在，存在，EX 1nnnpxp2pq 23pq 1nnpq . .()p 2q 23q 1.nqn 1 1n 二二. .連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為(

11、 ),f x將將X X的取值范圍分成許多不相交的小區(qū)間：的取值范圍分成許多不相交的小區(qū)間：210123456.xxxxxxxxx1ix ixX X落入第落入第i i個(gè)小區(qū)間的概率為個(gè)小區(qū)間的概率為iixx 1f x dx( )iif xx()iXxxxxp123.f xx 11()f xx 22()f xx 33()iif xx ( ).X X近似服從近似服從EXni 1iiix f xx ()無限細(xì)分區(qū)間，無限細(xì)分區(qū)間，EX x ( )f x dx定義定義2.7 2.7 設(shè)設(shè) 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量, ,X如果如果 絕對絕對收斂收斂, ,記作記作則稱此無窮積分的值則稱此無窮積分的值

12、的的數(shù)數(shù)學(xué)期望學(xué)期望, ,EX即即為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X XEX x( ),Xf x( )f x dx x ( )f x dx對連續(xù)型隨機(jī)變量對連續(xù)型隨機(jī)變量X X存在存在EX絕對絕對收斂收斂收斂收斂此時(shí)此時(shí), ,收斂收斂若若發(fā)散發(fā)散, 則即使則即使收斂收斂, ,也不存在也不存在. .EX( )f x x( )f x dx( ) dxf xx x( )f x dxEX x( )f x dx( ) dxf xx x( )f x dx說明說明: :存在存在EX絕對絕對收斂收斂收斂收斂此時(shí)此時(shí), ,收斂收斂若若發(fā)散發(fā)散, 則即使則即使收斂收斂, ,也不存在也不存在. .EX x( )f x dx( ) dxf xx x( )f x dxEX x( )f x dx( ) dxf xx x( )f x dx若若只在有限區(qū)間只在有限區(qū)間則則不為零，不為零，存在存在. .EX( )f x( ) dxf xx )( xfaba ba b 0dx0dxx(