現(xiàn)代控制理論狀態(tài)空間表達(dá)式的建立學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共24頁(yè)。線(xiàn)性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間線(xiàn)性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間(kngjin)表達(dá)式的建立表達(dá)式的建立1、現(xiàn)代控制論中給定一個(gè)傳遞函數(shù)現(xiàn)代控制論中給定一個(gè)傳遞函數(shù)G(s)，若存在一個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)，若存在一個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)(xsh)的狀態(tài)的狀態(tài)空間表達(dá)式，使之具有原來(lái)的傳遞函數(shù)。空間表達(dá)式，使之具有原來(lái)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)狀態(tài)空間表達(dá)式則稱(chēng)此傳遞函數(shù)是可以則稱(chēng)此傳遞函數(shù)是可以(ky)實(shí)現(xiàn)的。實(shí)現(xiàn)的。G(s)傳遞函數(shù)可以傳遞函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)的充分必要的充分必要條件條件：必須是一個(gè)嚴(yán)格真有理函數(shù)或真有理函數(shù)必須是一個(gè)嚴(yán)格真有理函數(shù)或真有理函數(shù)。2、同一個(gè)同一個(gè)G(s)的實(shí)現(xiàn)不是唯一的。的實(shí)現(xiàn)不是唯一的

2、。第1頁(yè)/共24頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。3、已知系統(tǒng)已知系統(tǒng)(xtng)傳遞函數(shù)，求其幾種實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)，求其幾種實(shí)現(xiàn)，求其實(shí)現(xiàn)。例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，8147158)(232sssssUYsG解：解：1、能控標(biāo)準(zhǔn)、能控標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形實(shí)現(xiàn)。形實(shí)現(xiàn)。)(VUVVYsG，使引入中間變量8147158232sssss81471UV23sss令158ssVY2零初始條件下，將上述兩個(gè)傳遞零初始條件下，將上述兩個(gè)傳遞(chund)函函數(shù)變換到時(shí)域的微分方程得；數(shù)變換到時(shí)域的微分方程得；8v14v7vuv15vv8vy1）、選擇狀態(tài)變量，（vx,1vx,2vx,3則有x1x2x2x3x3uxxx71483

3、21)2(、列寫(xiě)狀態(tài)方程為：第2頁(yè)/共24頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。X xxx321XX0101007148u100 x1x2x2x3x3uxxx7148321，求其實(shí)現(xiàn)。例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，8147158)(232sssssUYsG3）、輸出方程為（y X18151x2x3x3x第3頁(yè)/共24頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。數(shù)為、一般情況，若傳遞函)4(sG)(asasasbsbsbsbnnnmmmm1211211可得：XX001001001000aaaan321u1000Xy 輸輸出出方方程程為為bbbm 12100具有上述形式時(shí)，、達(dá)式、說(shuō)明：當(dāng)狀態(tài)空間表BA（5）能能控控標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)能能控控標(biāo)標(biāo)

4、準(zhǔn)準(zhǔn)形形實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)系數(shù)之間的關(guān)系。和分母各項(xiàng)元素和對(duì)應(yīng)的傳函分子、實(shí)現(xiàn)中請(qǐng)大家注意能控標(biāo)準(zhǔn)型BA系數(shù)之間的關(guān)系。和分母各項(xiàng)元素和對(duì)應(yīng)的傳函分子、實(shí)現(xiàn)中請(qǐng)大家注意能控標(biāo)準(zhǔn)型BA第4頁(yè)/共24頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。2、能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)、能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)(shxin)8147158)(232ssssssG已知：)()(sUsY1選擇）、確定狀態(tài)變量，若（13815xxu 213148xxxu3237xxxu 若將傳遞函數(shù)進(jìn)行一般實(shí)現(xiàn)若將傳遞函數(shù)進(jìn)行一般實(shí)現(xiàn)(shxin)，并取積分，并取積分器的輸出為狀態(tài)變量。器的輸出為狀態(tài)變量。2）、列寫(xiě)狀態(tài)方程（）、寫(xiě)成矩陣形式（3uXX15800814011710而輸出

5、方程為100yX能能觀(guān)觀(guān)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型能能觀(guān)觀(guān)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型第5頁(yè)/共24頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。）、一般情況若（4asasasbsbsbsbsGnnnmmmm)(1211211uXXuXXa00001 a00001a00012 a00012a00103 a00103an00001an00001an1000 an1000bbbm0121bbbm0121Xy Xy 1000010000）、說(shuō)明：（ 1 5）、說(shuō)明：（ 1 5的關(guān)系。分子分母各項(xiàng)系數(shù)之間中各元素和、請(qǐng)注意sGCA)(的關(guān)系。分子分母各項(xiàng)系數(shù)之間中各元素和、請(qǐng)注意sGCA)(互為轉(zhuǎn)置。和互為轉(zhuǎn)置，觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)中，、能控、能CBA2,TTTA

6、oAcBoCcCoBc第6頁(yè)/共24頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。8147158)(232ssssssG例；)4)(2)(1(1582sssss421sss382361 sUsY)()(sUsY461223138sss于是有；) 1 ( 、選狀態(tài)變量),(11)(1sUssX),(21)(2sUssX)(41)(3sUssX）、列方程有（2x 1x 2x 3ux 1ux 22ux 43而y ；xxx612338321對(duì)角對(duì)角(du jio)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)第7頁(yè)/共24頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。即uXX421111。Xy612338對(duì)對(duì)角角標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型（3）、一般情況asasasbsbsbsbsGnnnm

7、mmm)(1211211niiissC1若傳遞函數(shù)的特征根兩兩互異則對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為uXXs1s2sn111Xy C1C2Cn此時(shí)，系統(tǒng)各狀態(tài)稱(chēng)解耦 的。第8頁(yè)/共24頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。若傳遞函數(shù)有 重根分情況，可將系統(tǒng)化A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型或準(zhǔn)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型）。（Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型）。參參考考自自動(dòng)動(dòng)控控制制原原理理下下冊(cè)冊(cè)清清華華大大學(xué)學(xué) 吳吳麒麒 P.3特特征征值值規(guī)規(guī)范范型型例子例：化成約當(dāng)規(guī)范型的三重根一嚴(yán)格真有理函數(shù)，有1s和兩兩互異特征根32ss。，后得到解：傳遞函數(shù)因式分解)(sG設(shè)設(shè))()(12131ssssss131211CCC22ssC33ssC即 Y )

8、(sU)()(332211321123111ssCssCssCssCssC選取X11Uss31)(1UssX2112)(1UssX1131UssX221UssX331sx111x11x12xxsx1312112uxsx13113uxsx222uxsx333第9頁(yè)/共24頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。sx111x11x12xxsx1312112uxsx13113uxsx222uxsx333x11x12x13x2x3uXs11000s10001s10000s20000s3000000111Xy CCC131211CC32約約當(dāng)當(dāng)塊塊第10頁(yè)/共24頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。4、總結(jié)、總結(jié)(zngji)：1、可見(jiàn)

9、對(duì)于同一個(gè)外部模型描述可見(jiàn)對(duì)于同一個(gè)外部模型描述(mio sh)的系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)的實(shí) 現(xiàn)是不現(xiàn)是不唯一的。唯一的。2、若傳遞函數(shù)若傳遞函數(shù)G(s)為嚴(yán)格真有理分式為嚴(yán)格真有理分式(yu l fn sh)或有理分式或有理分式(yu l fn sh)并且無(wú)公因式，在實(shí)現(xiàn)中所并且無(wú)公因式，在實(shí)現(xiàn)中所 得的狀態(tài)方程的維數(shù)是最小的，等于傳遞函數(shù)得的狀態(tài)方程的維數(shù)是最小的，等于傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的階次。稱(chēng)這種實(shí)現(xiàn)的分母多項(xiàng)式的階次。稱(chēng)這種實(shí)現(xiàn)為最小實(shí)現(xiàn)。且最小實(shí)現(xiàn)是不唯一為最小實(shí)現(xiàn)。且最小實(shí)現(xiàn)是不唯一的。的。3、反過(guò)來(lái)，從反過(guò)來(lái)，從狀態(tài)方程到傳遞函數(shù)狀態(tài)方程到傳遞函數(shù)

10、時(shí)，若所得的傳函的階次小時(shí)，若所得的傳函的階次小于狀態(tài)方程于狀態(tài)方程的維數(shù)，則說(shuō)明在傳遞函數(shù)的分子分母中，有零極點(diǎn)相消。此時(shí)狀態(tài)方的維數(shù)，則說(shuō)明在傳遞函數(shù)的分子分母中，有零極點(diǎn)相消。此時(shí)狀態(tài)方程就程就是該傳遞函數(shù)的一種非最小實(shí)現(xiàn)。是該傳遞函數(shù)的一種非最小實(shí)現(xiàn)。思考：思考：狀態(tài)方程間的線(xiàn)性變換，從能控標(biāo)準(zhǔn)型到能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型，到狀態(tài)方程間的線(xiàn)性變換，從能控標(biāo)準(zhǔn)型到能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型，到 對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型或?qū)菢?biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。第11頁(yè)/共24頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。關(guān)于關(guān)于(guny)狀態(tài)變量狀態(tài)變量圖圖1、用途、用途(yngt)： 用狀態(tài)空間法分析問(wèn)題時(shí)，當(dāng)建立了狀態(tài)空間表達(dá)式以后用狀態(tài)空間法分析問(wèn)題

11、時(shí)，當(dāng)建立了狀態(tài)空間表達(dá)式以后(yhu)，可，可以畫(huà)出其狀態(tài)變量圖，借助模擬線(xiàn)路或計(jì)算機(jī)就可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)以畫(huà)出其狀態(tài)變量圖，借助模擬線(xiàn)路或計(jì)算機(jī)就可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)的仿真。的仿真。2、例：已知狀態(tài)空間表達(dá)式，、例：已知狀態(tài)空間表達(dá)式，uXX,1007148100010Xy021畫(huà)狀態(tài)變量圖。畫(huà)狀態(tài)變量圖。1:方程展開(kāi)得）、將狀態(tài)方程和輸出（解21xx3x 2x3x3217148uxxxy 而212xx 第12頁(yè)/共24頁(yè)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。1x1x2x3xu-8-14-7y2（2）、畫(huà)圖，遵從從輸入到輸出，從左到右的原則作業(yè)作業(yè)(zuy)：p.535；9-3，9-4，9-6，9-7第13頁(yè)/共

12、24頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。由狀態(tài)由狀態(tài)(zhungti)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)(陣陣)示示方方法法、狀狀態(tài)態(tài)空空間間表表達(dá)達(dá)式式的的表表1 ，）、若若已已知知（DUCXYBUAXX1則則可可以以寫(xiě)寫(xiě)成成 ），（DCBA ，若若已已知知、CXYBUAXX(2)則則寫(xiě)寫(xiě)成成 ），（CBA），（統(tǒng)統(tǒng)、已已知知線(xiàn)線(xiàn)性性定定常常連連續(xù)續(xù)系系2CBA 求求；)()(sUsY利利用用拉拉氏氏變變換換解解；CXYBUAXX 已已知知；得得 ssX)( sAX)( sBU)(sY)( sCX)(有有sBUAsICsY1)()()( 第14頁(yè)/共24頁(yè)第十五頁(yè)，共24頁(yè)。即即sUsY)()( s

13、UsY)()( SISO系系統(tǒng)統(tǒng)SISO系系統(tǒng)統(tǒng)BAsIC1)( BAsIC1)( sG)( sG)( 、矩矩陣陣求求逆逆問(wèn)問(wèn)題題3。存存在在，并并，存存在在且且非非奇奇異異，則則）、矩矩陣陣（111IAAAA 。此此時(shí)時(shí)11AadjAA 陣陣，再再轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置即即可可。式式后后排排列列成成一一個(gè)個(gè)新新的的矩矩子子所所有有元元素素先先求求其其代代數(shù)數(shù)余余的的伴伴隨隨矩矩陣陣，是是稱(chēng)稱(chēng)）、（A2AAadj4的的傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)（陣陣) )、子子系系統(tǒng)統(tǒng)在在各各種種連連接接時(shí)時(shí)11111111XCYUBXAX 已已知知：系系統(tǒng)統(tǒng)一一)(1sG其其傳傳函函為為,22222222XCYUBXAX 系系統(tǒng)統(tǒng)

14、二二)(2sG其其傳傳函函為為第15頁(yè)/共24頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)。:結(jié)結(jié)論論)( 1 sG 時(shí)時(shí)其其傳傳函函、系系統(tǒng)統(tǒng)一一和和系系統(tǒng)統(tǒng)二二串串聯(lián)聯(lián))()(12sGsG21GG 21GG 2時(shí)時(shí)其其傳傳函函為為、系系統(tǒng)統(tǒng)一一和和系系統(tǒng)統(tǒng)二二并并聯(lián)聯(lián))()()(21sGsGsG )(3負(fù)負(fù)反反饋饋、系系統(tǒng)統(tǒng)一一和和二二反反并并聯(lián)聯(lián)時(shí)時(shí))()()()(1121sGsGsGIsG ）（1, 1, 1CBA ）（2, 2, 2CBAu uy y參見(jiàn)參見(jiàn)p.461作業(yè)作業(yè)(zuy)：p.536;9-13,第16頁(yè)/共24頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。關(guān)于輸入輸出解耦控制關(guān)于輸入輸出解耦控制(kngzh)(kng

15、zh)問(wèn)題問(wèn)題解耦問(wèn)題解耦問(wèn)題(wnt)(wnt)是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題(wnt)(wnt)，對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)就有幾套理論：，對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)就有幾套理論：參見(jiàn)參見(jiàn)(cnjin)(cnjin)：胡壽：胡壽松松 P.462 P.462第17頁(yè)/共24頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。 11101110nnnnnnny zb zbzb zbG zu zzaza za zDzNbazazazzzbnnnnnnn01110111 11011ny k na y k nay ka y k 11nnb u knbu kn kubkub011 ,iikkT Ta b采樣周期，常數(shù),Zykyz zyzikyLi第18頁(yè)/共24頁(yè)第十九頁(yè)，共24頁(yè)。 在 的串聯(lián)(chunlin)分解中，引入中間變量 ，則有選取一組狀態(tài)變量0nb zQ zDzN zuzQazzQazQzazQznnn0111 zQzzQzQzzynn0111第19頁(yè)/共24頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)。 u z zD1 zQ zN zg zQzx1 zzxzzQzx12 zzxzQzzxnnn11第20頁(yè)/共24頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。則有利用變換(binhun)關(guān)系 zuzxazxazxazQznnn12110 0 11 21nny zx