現(xiàn)代控制理論狀態(tài)空間表達式的建立學習教案

1、會計學1第一頁，共24頁。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間(kngjin)表達式的建立表達式的建立1、現(xiàn)代控制論中給定一個傳遞函數現(xiàn)代控制論中給定一個傳遞函數G(s)，若存在一個線性常系數，若存在一個線性常系數(xsh)的狀態(tài)的狀態(tài)空間表達式，使之具有原來的傳遞函數?？臻g表達式，使之具有原來的傳遞函數。傳遞函數狀態(tài)空間表達式則稱此傳遞函數是可以則稱此傳遞函數是可以(ky)實現(xiàn)的。實現(xiàn)的。G(s)傳遞函數可以傳遞函數可以實現(xiàn)實現(xiàn)的充分必要的充分必要條件條件：必須是一個嚴格真有理函數或真有理函數必須是一個嚴格真有理函數或真有理函數。2、同一個同一個G(s)的實現(xiàn)不是唯一的。的實現(xiàn)不是唯一的

2、。第1頁/共24頁第二頁，共24頁。3、已知系統(tǒng)已知系統(tǒng)(xtng)傳遞函數，求其幾種實現(xiàn)傳遞函數，求其幾種實現(xiàn)，求其實現(xiàn)。例：系統(tǒng)傳遞函數為，8147158)(232sssssUYsG解：解：1、能控標準、能控標準(biozhn)形實現(xiàn)。形實現(xiàn)。)(VUVVYsG，使引入中間變量8147158232sssss81471UV23sss令158ssVY2零初始條件下，將上述兩個傳遞零初始條件下，將上述兩個傳遞(chund)函函數變換到時域的微分方程得；數變換到時域的微分方程得；8v14v7vuv15vv8vy1）、選擇狀態(tài)變量，（vx,1vx,2vx,3則有x1x2x2x3x3uxxx71483

3、21)2(、列寫狀態(tài)方程為：第2頁/共24頁第三頁，共24頁。X xxx321XX0101007148u100 x1x2x2x3x3uxxx7148321，求其實現(xiàn)。例：系統(tǒng)傳遞函數為，8147158)(232sssssUYsG3）、輸出方程為（y X18151x2x3x3x第3頁/共24頁第四頁，共24頁。數為、一般情況，若傳遞函)4(sG)(asasasbsbsbsbnnnmmmm1211211可得：XX001001001000aaaan321u1000Xy 輸輸出出方方程程為為bbbm 12100具有上述形式時，、達式、說明：當狀態(tài)空間表BA（5）能能控控標標準準形形實實現(xiàn)現(xiàn)能能控控標標

4、準準形形實實現(xiàn)現(xiàn)系數之間的關系。和分母各項元素和對應的傳函分子、實現(xiàn)中請大家注意能控標準型BA系數之間的關系。和分母各項元素和對應的傳函分子、實現(xiàn)中請大家注意能控標準型BA第4頁/共24頁第五頁，共24頁。2、能觀標準型實現(xiàn)、能觀標準型實現(xiàn)(shxin)8147158)(232ssssssG已知：)()(sUsY1選擇）、確定狀態(tài)變量，若（13815xxu 213148xxxu3237xxxu 若將傳遞函數進行一般實現(xiàn)若將傳遞函數進行一般實現(xiàn)(shxin)，并取積分，并取積分器的輸出為狀態(tài)變量。器的輸出為狀態(tài)變量。2）、列寫狀態(tài)方程（）、寫成矩陣形式（3uXX15800814011710而輸出

5、方程為100yX能能觀觀標標準準型型能能觀觀標標準準型型第5頁/共24頁第六頁，共24頁。）、一般情況若（4asasasbsbsbsbsGnnnmmmm)(1211211uXXuXXa00001 a00001a00012 a00012a00103 a00103an00001an00001an1000 an1000bbbm0121bbbm0121Xy Xy 1000010000）、說明：（ 1 5）、說明：（ 1 5的關系。分子分母各項系數之間中各元素和、請注意sGCA)(的關系。分子分母各項系數之間中各元素和、請注意sGCA)(互為轉置。和互為轉置，觀標準型實現(xiàn)中，、能控、能CBA2,TTTA

6、oAcBoCcCoBc第6頁/共24頁第七頁，共24頁。8147158)(232ssssssG例；)4)(2)(1(1582sssss421sss382361 sUsY)()(sUsY461223138sss于是有；) 1 ( 、選狀態(tài)變量),(11)(1sUssX),(21)(2sUssX)(41)(3sUssX）、列方程有（2x 1x 2x 3ux 1ux 22ux 43而y ；xxx612338321對角對角(du jio)標準型實現(xiàn)標準型實現(xiàn)第7頁/共24頁第八頁，共24頁。即uXX421111。Xy612338對對角角標標準準型型（3）、一般情況asasasbsbsbsbsGnnnm

7、mmm)(1211211niiissC1若傳遞函數的特征根兩兩互異則對角標準型實現(xiàn)為uXXs1s2sn111Xy C1C2Cn此時，系統(tǒng)各狀態(tài)稱解耦 的。第8頁/共24頁第九頁，共24頁。若傳遞函數有 重根分情況，可將系統(tǒng)化A為對角標準型或準對角標準型 Jordan 標準型）。（Jordan 標準型）。參參考考自自動動控控制制原原理理下下冊冊清清華華大大學學 吳吳麒麒 P.3特特征征值值規(guī)規(guī)范范型型例子例：化成約當規(guī)范型的三重根一嚴格真有理函數，有1s和兩兩互異特征根32ss。，后得到解：傳遞函數因式分解)(sG設設)()(12131ssssss131211CCC22ssC33ssC即 Y )

8、(sU)()(332211321123111ssCssCssCssCssC選取X11Uss31)(1UssX2112)(1UssX1131UssX221UssX331sx111x11x12xxsx1312112uxsx13113uxsx222uxsx333第9頁/共24頁第十頁，共24頁。sx111x11x12xxsx1312112uxsx13113uxsx222uxsx333x11x12x13x2x3uXs11000s10001s10000s20000s3000000111Xy CCC131211CC32約約當當塊塊第10頁/共24頁第十一頁，共24頁。4、總結、總結(zngji)：1、可見

9、對于同一個外部模型描述可見對于同一個外部模型描述(mio sh)的系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式的實的實 現(xiàn)是不現(xiàn)是不唯一的。唯一的。2、若傳遞函數若傳遞函數G(s)為嚴格真有理分式為嚴格真有理分式(yu l fn sh)或有理分式或有理分式(yu l fn sh)并且無公因式，在實現(xiàn)中所并且無公因式，在實現(xiàn)中所 得的狀態(tài)方程的維數是最小的，等于傳遞函數得的狀態(tài)方程的維數是最小的，等于傳遞函數的分母多項式的階次。稱這種實現(xiàn)的分母多項式的階次。稱這種實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。且最小實現(xiàn)是不唯一為最小實現(xiàn)。且最小實現(xiàn)是不唯一的。的。3、反過來，從反過來，從狀態(tài)方程到傳遞函數狀態(tài)方程到傳遞函數

10、時，若所得的傳函的階次小時，若所得的傳函的階次小于狀態(tài)方程于狀態(tài)方程的維數，則說明在傳遞函數的分子分母中，有零極點相消。此時狀態(tài)方的維數，則說明在傳遞函數的分子分母中，有零極點相消。此時狀態(tài)方程就程就是該傳遞函數的一種非最小實現(xiàn)。是該傳遞函數的一種非最小實現(xiàn)。思考：思考：狀態(tài)方程間的線性變換，從能控標準型到能觀標準型，到狀態(tài)方程間的線性變換，從能控標準型到能觀標準型，到 對角標準型或對角標準型或約當標準型。約當標準型。第11頁/共24頁第十二頁，共24頁。關于關于(guny)狀態(tài)變量狀態(tài)變量圖圖1、用途、用途(yngt)： 用狀態(tài)空間法分析問題時，當建立了狀態(tài)空間表達式以后用狀態(tài)空間法分析問題

11、時，當建立了狀態(tài)空間表達式以后(yhu)，可，可以畫出其狀態(tài)變量圖，借助模擬線路或計算機就可以實現(xiàn)一個系統(tǒng)以畫出其狀態(tài)變量圖，借助模擬線路或計算機就可以實現(xiàn)一個系統(tǒng)的仿真。的仿真。2、例：已知狀態(tài)空間表達式，、例：已知狀態(tài)空間表達式，uXX,1007148100010Xy021畫狀態(tài)變量圖。畫狀態(tài)變量圖。1:方程展開得）、將狀態(tài)方程和輸出（解21xx3x 2x3x3217148uxxxy 而212xx 第12頁/共24頁第十三頁，共24頁。1x1x2x3xu-8-14-7y2（2）、畫圖，遵從從輸入到輸出，從左到右的原則作業(yè)作業(yè)(zuy)：p.535；9-3，9-4，9-6，9-7第13頁/共

12、24頁第十四頁，共24頁。由狀態(tài)由狀態(tài)(zhungti)空間表達式求傳遞函數空間表達式求傳遞函數(陣陣)示示方方法法、狀狀態(tài)態(tài)空空間間表表達達式式的的表表1 ，）、若若已已知知（DUCXYBUAXX1則則可可以以寫寫成成 ），（DCBA ，若若已已知知、CXYBUAXX(2)則則寫寫成成 ），（CBA），（統(tǒng)統(tǒng)、已已知知線線性性定定常常連連續(xù)續(xù)系系2CBA 求求；)()(sUsY利利用用拉拉氏氏變變換換解解；CXYBUAXX 已已知知；得得 ssX)( sAX)( sBU)(sY)( sCX)(有有sBUAsICsY1)()()( 第14頁/共24頁第十五頁，共24頁。即即sUsY)()( s

13、UsY)()( SISO系系統(tǒng)統(tǒng)SISO系系統(tǒng)統(tǒng)BAsIC1)( BAsIC1)( sG)( sG)( 、矩矩陣陣求求逆逆問問題題3。存存在在，并并，存存在在且且非非奇奇異異，則則）、矩矩陣陣（111IAAAA 。此此時時11AadjAA 陣陣，再再轉轉置置即即可可。式式后后排排列列成成一一個個新新的的矩矩子子所所有有元元素素先先求求其其代代數數余余的的伴伴隨隨矩矩陣陣，是是稱稱）、（A2AAadj4的的傳傳遞遞函函數數（陣陣) )、子子系系統(tǒng)統(tǒng)在在各各種種連連接接時時11111111XCYUBXAX 已已知知：系系統(tǒng)統(tǒng)一一)(1sG其其傳傳函函為為,22222222XCYUBXAX 系系統(tǒng)統(tǒng)

14、二二)(2sG其其傳傳函函為為第15頁/共24頁第十六頁，共24頁。:結結論論)( 1 sG 時時其其傳傳函函、系系統(tǒng)統(tǒng)一一和和系系統(tǒng)統(tǒng)二二串串聯(lián)聯(lián))()(12sGsG21GG 21GG 2時時其其傳傳函函為為、系系統(tǒng)統(tǒng)一一和和系系統(tǒng)統(tǒng)二二并并聯(lián)聯(lián))()()(21sGsGsG )(3負負反反饋饋、系系統(tǒng)統(tǒng)一一和和二二反反并并聯(lián)聯(lián)時時)()()()(1121sGsGsGIsG ）（1, 1, 1CBA ）（2, 2, 2CBAu uy y參見參見p.461作業(yè)作業(yè)(zuy)：p.536;9-13,第16頁/共24頁第十七頁，共24頁。關于輸入輸出解耦控制關于輸入輸出解耦控制(kngzh)(kng

15、zh)問題問題解耦問題解耦問題(wnt)(wnt)是一個比較復雜的問題是一個比較復雜的問題(wnt)(wnt)，對線性定常系統(tǒng)就有幾套理論：，對線性定常系統(tǒng)就有幾套理論：參見參見(cnjin)(cnjin)：胡壽：胡壽松松 P.462 P.462第17頁/共24頁第十八頁，共24頁。 11101110nnnnnnny zb zbzb zbG zu zzaza za zDzNbazazazzzbnnnnnnn01110111 11011ny k na y k nay ka y k 11nnb u knbu kn kubkub011 ,iikkT Ta b采樣周期，常數,Zykyz zyzikyLi第18頁/共24頁第十九頁，共24頁。 在 的串聯(lián)(chunlin)分解中，引入中間變量 ，則有選取一組狀態(tài)變量0nb zQ zDzN zuzQazzQazQzazQznnn0111 zQzzQzQzzynn0111第19頁/共24頁第二十頁，共24頁。 u z zD1 zQ zN zg zQzx1 zzxzzQzx12 zzxzQzzxnnn11第20頁/共24頁第二十一頁，共24頁。則有利用變換(binhun)關系 zuzxazxazxazQznnn12110 0 11 21nny zx