數(shù)學(xué)分析213PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析213 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD第1頁(yè)/共43頁(yè) 設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域G, , 如果如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于G, , 則稱則稱G是空間二維單連通域是空間二維單連通域; ; 如果如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面的曲面, , 則稱則稱G為空間一維單連通區(qū)域?yàn)榭臻g一維單連通區(qū)

2、域. .GGG一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通第2頁(yè)/共43頁(yè) 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍圍成成, ,函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP及及在在D上具有一階連上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有則有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( (1) (1)其中其中L是是D的取正向的邊界曲線的取正向的邊界曲線, ,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. .定理定理1 1第3頁(yè)/共43頁(yè)連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: 當(dāng)

3、觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)區(qū)域域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1LD第4頁(yè)/共43頁(yè)),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標(biāo)軸的直線和坐標(biāo)軸的直線和L至至多交于兩點(diǎn)多交于兩點(diǎn).),()(),(21dycyxyyxD yxoabDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 第5頁(yè)/共43頁(yè)dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(

4、),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 第6頁(yè)/共43頁(yè) 若若區(qū)區(qū)域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ第7頁(yè)/共43頁(yè) 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQ

5、dyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來(lái)說(shuō)為正方向來(lái)說(shuō)為正方向?qū)?duì)DLLL第8頁(yè)/共43頁(yè)GD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3第9頁(yè)/共43頁(yè) LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來(lái)

6、說(shuō)為正方向來(lái)說(shuō)為正方向?qū)?duì)DLLL便于記憶形式便于記憶形式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.第10頁(yè)/共43頁(yè)xyoL例例 1 1 計(jì)算計(jì)算 ABxdy,其中曲其中曲線線AB是半徑為是半徑為r的圓在的圓在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入輔輔助助曲曲線線L,1. 1. 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分ABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有第11頁(yè)/共43頁(yè) LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由

7、于由于.412rdxdyxdyDAB 第12頁(yè)/共43頁(yè)例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 簡(jiǎn)化二重積簡(jiǎn)化二重積分分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,第13頁(yè)/共43頁(yè)應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e第14頁(yè)/共43頁(yè)例例3 3 計(jì)算計(jì)算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為一條無(wú)重點(diǎn)為一條無(wú)重點(diǎn), ,分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉

8、曲線分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, ,L的方的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛳驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较? .則則當(dāng)當(dāng)022 yx時(shí)時(shí), , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉镈,解解令令2222,yxxQyxyP ,第15頁(yè)/共43頁(yè)L( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時(shí)時(shí), ,(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時(shí)時(shí),1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,記記1D由由L和和l所所圍圍成成,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo第16頁(yè)/共43頁(yè) lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor

9、1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?.2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20第17頁(yè)/共43頁(yè)格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積第18頁(yè)/共43頁(yè)曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 計(jì)計(jì)算算拋拋物物線線)0()(2

10、 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM第19頁(yè)/共43頁(yè) AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM第20頁(yè)/共43頁(yè)其中其中L是曲線是曲線| |x|+|+|y|=1|=1圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域D的正向邊界。的正向邊界。11- -1- -1LDyxO 例例1 1 計(jì)算積分計(jì)算積分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A Lxxyyxyy

11、d)1cose(d)sine(格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用第21頁(yè)/共43頁(yè)求星形線求星形線tytxL33sin,cos ：所界圖形的面積。所界圖形的面積。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11- -1- -1重要意義：重要意義： 1.1.它建立了它建立了二重積分二重積分與與曲線積分曲線積分的一種等式關(guān)系的一種等式關(guān)系2.2.它揭示了函數(shù)在區(qū)域它揭示了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部?jī)?nèi)部與與邊界邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系之間的內(nèi)在聯(lián)系4.4.它的應(yīng)用范圍可以突破右手系的限制，使它的它的應(yīng)用范圍可以突破右手系的限制，

12、使它的應(yīng)用應(yīng)用 3.3.從它出發(fā)，可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的從它出發(fā)，可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式許多重要公式更加廣泛更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。，而這只需要改變邊界的正向定義即可。 DyxyPxQdd第22頁(yè)/共43頁(yè) 1LQdyPdx則稱曲線積分則稱曲線積分 LQdyPdx 2LQdyPdx如果對(duì)于區(qū)域如果對(duì)于區(qū)域 G 內(nèi)任意指定的兩點(diǎn)內(nèi)任意指定的兩點(diǎn) A、B 以及以及 G 內(nèi)內(nèi)從點(diǎn)從點(diǎn) A 到點(diǎn)到點(diǎn) B 的任意兩條曲線的任意兩條曲線 L1，L2 有有 否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān). . GyxoBA1L2L在在 G 內(nèi)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān), , 1LQdyPdx 2LQd

13、yPdx. 0 LQdyPdx)(21LLL 第23頁(yè)/共43頁(yè)( )( , )( , )0LiDLP x y dxQ x y dy沿 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 ，有( )( , )( , ),;LiiDLP x y dxQ x y dyL對(duì) 內(nèi)任一按段光滑曲線 ，曲線積分與路線無(wú)關(guān) 只與 的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān)xQyP第24頁(yè)/共43頁(yè)ARBQdyPdxASBQdyPdxARBQdyPdxBSAQdyPdxARBSAQdyPdx=0所以 ARBQdyPdx=ASBQdyPdx第25頁(yè)/共43頁(yè),ABu x yPdxQdy第26頁(yè)/共43頁(yè),ACABu xx yu x yPdxQdyPdxQdyBCP

14、dxQdy,BCuu xx yu x yPdxQdy ,xxxPdxQdyP xx yx xuyxxPxuxx,limlim00yxP,= = 第27頁(yè)/共43頁(yè),.uQ x yy同理可證因此.duPdxQdy,.P x yu x yQ x yu x yxy所以因此22,.PuQuyx yxy x 22.uux yy x 第28頁(yè)/共43頁(yè).PQyx.D于是，在于是，在 內(nèi)內(nèi).PQyx應(yīng)用格林公式，有應(yīng)用格林公式，有 dyPxQdyyxQdxyxPDC )(),(),(. 0 LdyyxQdxyxP),(),(與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān).第29頁(yè)/共43頁(yè), xQyP 若若 ),(),(1100yx

15、ByxAQdyPdxdyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB ),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或xyoL LQdyPdx 則則CBAC ),(10yxDADDB與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)第30頁(yè)/共43頁(yè)例例 5 5 驗(yàn)證驗(yàn)證 Lyydyyxedxxe)2()(. .與路徑無(wú)關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)， 并求之。其中并求之。其中 L 為過(guò)三點(diǎn)為過(guò)三點(diǎn))0, 0(o，)1, 0(A，)2, 1(B 的圓周，由的圓周，由)0, 0(o到到)2, 1(B的曲線弧的曲線弧. . 解解因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。.2

16、),( ,),( yxeyxQxeyxPyy 設(shè)設(shè)則則 P，Q 在全平面上有在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,yeyP .yexQ . xQyP 即即oxy112全平面是單連通域。全平面是單連通域。第31頁(yè)/共43頁(yè)oxy112取一簡(jiǎn)單路徑：取一簡(jiǎn)單路徑：L1 + L2.1L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(LyyLyydyyxedxxedyyxedxxe 20100)21()(dyyedxxey.272 e因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。,yeyP .yexQ .

17、xQyP 即即全平面是單連通域。全平面是單連通域。第32頁(yè)/共43頁(yè)例例 6 6 計(jì)算計(jì)算 Ldyyxdxxyx)()2(422. . 其中其中 L 為由點(diǎn)為由點(diǎn))0, 0(o到點(diǎn)到點(diǎn))1, 1(B的曲線弧的曲線弧2sinxy . . 解解因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。. xQyP 即即oxy11.),( ,2),( 422yxyxQxyxyxP 設(shè)設(shè)則則 P，Q 在全平面上有連續(xù)的在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且一階偏導(dǎo)數(shù)，且,2xyP .2xxQ 全平面是單連通域。全平面是單連通域。第33頁(yè)/共43頁(yè)oxy11 1010422)1()02(dyydxxx .1523 因此，積

18、分與路徑無(wú)關(guān)。因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。. xQyP 即即,2xyP .2xxQ 全平面是單連通域。全平面是單連通域。取一簡(jiǎn)單路徑：取一簡(jiǎn)單路徑：L1 + L2. 10: , 0 :1 xyL. 10: , 1 :2 yxL1L2L Ldyyxdxxyx)()2(422 21)()2()()2(422422LLdyyxdxxyxdyyxdxxyx第34頁(yè)/共43頁(yè)xyo) ,(yxB ),(00yxA GdyyxQdxyxPyxuyyxx),(),(),(000 dxyxPdyyxQyxuxxyy),(),(),( 000 或或CBAC DBAD 設(shè)開(kāi)區(qū)域設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域,

19、, 函數(shù)函數(shù)),(yxP ),(yxQ 在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則則QdyPdx 在在G內(nèi)為內(nèi)為 某一函數(shù)某一函數(shù)),(yxu的全微分的充要條件是等式的全微分的充要條件是等式 xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. . ),(0yxC ),(0yxD第35頁(yè)/共43頁(yè)解解,2)(2xyxyyyP .2)(2xyyxxxQ ,),(2xyyxP .),(2yxyxQ 例例7 驗(yàn)證：在驗(yàn)證：在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個(gè)函數(shù)是某個(gè)函數(shù)u (x, y) 的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。這里這里且且在整個(gè)在整個(gè) xoy 面內(nèi)恒成立。面內(nèi)恒成立。xQyP 即，即，因此，在因此，在 xoy 面內(nèi)，面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個(gè)函數(shù)是某個(gè)函數(shù)u (x, y) 的全微分。的全微分。dyyxdxxyxuyx 0),(0202 . 0 , 0 00 yx取取.222yx 第36頁(yè)/共43頁(yè)積積分分與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,