數(shù)模作業(yè)4(討論題)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 姓名：晏福剛 學(xué)號： 班級：數(shù)學(xué)一班一、問題描述 某部門現(xiàn)有資金10萬元，五年內(nèi)有以下投資 項目供選擇： 項目A：從第一年到第四年每年初投資，次年末收回本金且獲利15%； 項目B：第三年初投資，第五年末收回本金且獲利25%，最大投資額為4萬元； 項目C：第二年初投資，第五年末收回本金且獲利40%，最大投資額為3萬元； 項目D：每年初投資，年末收回本金且獲利6%； 問如何確定投資策略使第五年末本息總額最大？2、 問題分析本題為投資組合問題，且屬于數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。其中項目A前4年每年初都可以進(jìn)行投資但只能在第二年末才能收回本利息。B、C在五年中只能進(jìn)行投資一次，分別在第三

2、年、第四年初進(jìn)行投資均在第五年末收回且有金額限定。D項目每年初進(jìn)行投資，每年末就能收回本利息。并且在本題中并沒有涉及到風(fēng)險的問題，所以不考慮有損失。在此題中首先目標(biāo)是使第五年末的本息最大，約束條件為總的金額及個項目投資金額的限制。3、 模型假設(shè) 假設(shè)每項投資不存在風(fēng)險，不會出現(xiàn)損失。 在投資中一旦投資，就在上面題中所說的時間收回本利息，不考慮中途撤銷資金投資的情況。4、 符號假設(shè) x1i 第i年用于A項目的投資金額 x2 第三年用于B項目的投資金額 x3 第二年用于C項目的投資金額 x4j 第j年用于D項目的投資金額五、模型建立 1.約束條件和目標(biāo)函數(shù)的建立 首先假設(shè)第i年用于投資A項目的資金

3、為x1i(i=1、2、3、4)。第三年投資B項目的資金為x2（由于B項目投資條件的限定在五年內(nèi)只能進(jìn)行一次投資）。第2年投資C項目的金額為x3。D項目第i年投資金額為x4j(j=1、2、3、4、5)。那么五年內(nèi)的投資情況及收益情況將如下表所示：第一年第二年第三年第四年第五年收益Ax11x12x13x140x14(1+15%)B00x200x2(1+25%)C0x3000x3(1+15%)Dx41x42x43x44x45x45(1+6%)下面對上述表格進(jìn)行具體的表述：總的資金為10萬。（以下單位均為：萬元）第一年初：可投資金額：10萬 可投資項目：A、D項目 A的投資金額：x11（將在第二年末收

4、回） D的投資金額：x41則必有x11+x41=10 第一年Error! No bookmark name given.末：收回D項目的本利息：x41*(1+6%)第二年初：可投資金額：x41*(1+6%) 可投資項目：A、C、D項目 A的投資金額：x12 （將在第三年末收回） C的投資金額：x3（將在第五年末收回且x3<3） D的投資金額：x42 則必有x12+x3+x42=x41(1+6%)第二年末：收回第一年A項目的本利息：x11(1+15%) 第二年D的本利息：x42(1+6%) 總的收回：x11(1+15%) +x42(1+6%)第三年初：可投資金額：x11(1+15%) +x

5、42(1+6%) 可投資項目：A、B、D項目 A的投資金額：x13（將在第四年末收回） B的投資金額：x2（將在第五年末收回且x2<4） D的投資金額：x43 則必有x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%)第三年末：收回第二年A項目的本利息：x12(1+15%) 第三年D項目的本利息：x43(1+6%) 總的收回x12(1+15%) +x43(1+6%)第四年初：可投資金額：x12(1+15%) +x43(1+6%) 可投資項目：A、D項目 A的投資金額：x14（第五年末收回） D的投資金額：x44 則必有x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6

6、%)第四年末：收回第三年A項目的本利息：x13(1+15%) 第四年D項目的本利息：x44(1+6%) 總的收回x13(1+15%) +x44(1+6%)第五年初：可投資金額：x13(1+15%) +x44(1+6%) 可投資項目：D項目 D的投資金額：x45=x13(1+15%) +x44(1+6%)第五年末：收回C項目的本利息:x3(1+40%) B項目本利息：x2(1+25%) 第四年A項目的本利息：x14(1+15%) 第五年D項目的本利息; x13(1+15%) +x44(1+6%)*(1+6%)則五年的本息總額為：y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%

7、)+ x13(1+15%) +x44(1+6%)*(1+6%)由以上分析整個模型的目標(biāo)函數(shù)為：Max y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%)+ x13(1+15%) +x44(1+6%)*(1+6%)整理得Max y=1.4x3+1.25x2+1.15x14+1.219x13+1.1236x44 約束條件整理為： x11+x41=10 x12+x3+x42=x41(1+6%) x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%) x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6%) x3<3 x2<4 (所有變量均大于0) 首先

8、將上述約束條件轉(zhuǎn)化為 x11=10-x41 x3=1.06x41-x12-x42<3 x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43<4 x14+x44-1.15x12-1.06x43=0 將 帶入得x2=1.06x42-1.15x41-x43-x13+11.5<4 將式帶入目標(biāo)函數(shù)得 Max y= 0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x43+1.15x14+1.1236x44+14.3750;由以上轉(zhuǎn)換整個模型變?yōu)橐韵戮€性規(guī)劃模型： Max y= 0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x

9、43+1.15x14+1.1236x44+14.3750;S.t. 1.06x41-x12-x42-3<0; 1.06x42-1.15x41-x43-x13+7.5<0; x14+x44-1.15x12-1.06x43=0; x41>0; x12>0; x42>0; x13>0; x43>0; x14>0; x44>0;6、 模型求解以上模型為線性規(guī)劃模型，我們可以用Lingo或者M(jìn)atlab軟件進(jìn)行求解Lingo程序如下：model:max= 0.0465*x41-1.4*x12-0.075*x42-0.031*x13-1.25*x43+

10、1.15*x14+1.1236*x44+14.3750;1.06*x41-x12-x42-3<0;1.06*x42-1.15*x41-x43-x13+7.5<0;x14+x44-1.15*x12-1.06*x43=0;x41>0;x12>0;x42>0;x13>0;x43>0;x14>0;x44>0;end求解結(jié)果為：Global optimal solution found. Objective value: 14.37500 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X

11、41 6. 0. X12 3. 0. X42 0. 0.E-01 X13 0. 0. X43 0. 0. X14 4. 0. X44 0. 0.E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14.37500 1. 2 0. 0.E-01 3 0. 0.E-01 4 0. 1. 5 6. 0. 6 3. 0. 7 0. 0. 8 0. 0. 9 0. 0. 10 4. 0. 11 0. 0.7、 結(jié)果分析由以上結(jié)果第五年獲得的最大本利息為： 14.37500 其中當(dāng)X41=6. X12=3. X42=0. X13=0. X43=0. X14=4. X44=0. 時，取得最大值。再由 x11=10-x41 x3=1.06x41-x12-x42 x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43 x14+x44-1.15x12-1.06x43=0 我們可以算出其他變量的值，進(jìn)而得到使得五年后本利息最大的投資策略。具體如下表（以上值按四舍五入計算保留四