通信原理-第10章-數(shù)字信號最佳接收

1、1第第10章章 數(shù)字信號最佳接收數(shù)字信號最佳接收第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.1數(shù)字信號的統(tǒng)計特性l10.2 數(shù)字信號的最佳接收l10.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)l10.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率l10.5 隨相數(shù)字信號的最佳接收l10.6 起伏數(shù)字信號的最佳接收l10.7 實際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較l10.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法l10.9 最佳基帶傳輸系統(tǒng)2310.1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收端收到的是發(fā)送信號和信道噪聲之和。噪聲對數(shù)字信號的影響表現(xiàn)在使接收碼元發(fā)生錯誤。在信號發(fā)送后，由于噪聲的影響使接收端收到的電壓仍然有隨機(jī)性，為了了解接收碼元發(fā)生錯

2、誤的概率，需研究接收電壓的統(tǒng)計特性。以二進(jìn)制為例以二進(jìn)制為例研究接收電壓的研究接收電壓的統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性。接收噪聲電壓的一維概率密度接收噪聲電壓的一維概率密度接收噪聲電壓接收噪聲電壓k個樣值的個樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)維聯(lián)合概率密度函數(shù)一個碼元持續(xù)時間一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率內(nèi)接收的噪聲平均功率接收電壓接收電壓r(t)的的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)維聯(lián)合概率密度函數(shù)1.發(fā)送碼元發(fā)送碼元si時，接收電壓的時，接收電壓的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)維聯(lián)合概率密度函數(shù)410.1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性假設(shè)：假設(shè)： 1)通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)

3、制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，則有P(0) + P(1) = 1 （10.1-1）2) 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。 設(shè)在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值n1 , n2 , , ni , nk ： 則有k 2fHTs。 （10.1-2）1、接收噪聲電壓抽樣值的一維概率密度、接收噪聲電壓抽樣值的一維概率密度510.1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概一維概率密度率密度可以寫為222exp21)(ni

4、ninnf n噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率；i 1，2，k。 （10.1-3）610.1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性),(21kknnnf2、接收噪聲電壓、接收噪聲電壓k個抽樣值的個抽樣值的k維聯(lián)合概率密度維聯(lián)合概率密度設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 由高斯噪聲的性質(zhì)高斯噪聲的性質(zhì)（高斯噪聲通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布）。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨立的。這樣，此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為：kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),( （10.1-4

5、） （10.1-5）710.1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(13、一個碼元持續(xù)時間、一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率內(nèi)接收的噪聲平均功率當(dāng)k 很大時，在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為： （10.1-6） （10.1-7）810.1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性n將式（10.1-7）代入 （10.1-5） ，并注意到 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n注意注意：1)f(

6、n)不是時間函數(shù) (時間函數(shù)n(t)在定積分內(nèi)，積分后與時間變量t無關(guān))。n是一個k維矢量，可以看作是k 維空間中的一個點。 n0 噪聲單邊功率譜密度則式（10.1-5）聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為：式中n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)噪聲的k個抽樣值。 （10.1-9） （10.1-10）2) 在Ts、n0和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量：sTdttn02)(3) 由于噪聲的隨機(jī)性，每個Ts內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會發(fā)生錯誤，而另一些則無錯。910.1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性設(shè)接收電壓r(t

7、)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t) (10.1-11)dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r4、接收電壓、接收電壓r(t)的的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)維聯(lián)合概率密度函數(shù)在發(fā)送碼元確定之后，r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布 (方差為n2，均值為s(t) )。（1）發(fā)送碼元“0”，信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 （10.1-12）r = s + n , 為k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)接收電壓的k個抽樣值；s k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)信號電壓的k個抽樣值。1010.1 數(shù)字信號的

8、統(tǒng)計特性dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r（2）發(fā)送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 （10.1-12）（3）若傳輸M 進(jìn)制碼元進(jìn)制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，si，sM之一，則發(fā)送碼元發(fā)送碼元si 時時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 （10.1-13）注意注意：以上三式中的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時間t的函數(shù)，并且是一個標(biāo)量，而r 仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。 1110.2 數(shù)字信號的最佳接收其中Pe1 = P(0/1) 發(fā)送“1”時，收到

9、“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送“0”時，收到“1”的條件概率；上面這兩個條件概率稱為錯誤轉(zhuǎn)移概率。01)0() 1 (eeePPPPP數(shù)字通信系統(tǒng)傳輸質(zhì)量的主要指標(biāo)是錯誤概率。因此，將錯誤概率最小作為“最佳”準(zhǔn)則。1、產(chǎn)生錯誤的原因、產(chǎn)生錯誤的原因：噪聲和系統(tǒng)特性引起的信號失真。 暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。2、判決規(guī)則、判決規(guī)則設(shè)在一個二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 （10.2-1）1210.2 數(shù)字信號的最佳接收p由接收矢量 r 決定的兩個聯(lián)合概率密度

10、函數(shù)f0(r)和f1(r) 如右圖（圖中把r 當(dāng)作1維矢量）：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)根據(jù)前面分析，接收端收到的每個Ts內(nèi)的電壓可以用一個k 維矢量表示。接收設(shè)備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是“1”。3、接收矢量決定的聯(lián)合概率密度函數(shù)、接收矢量決定的聯(lián)合概率密度函數(shù)將此空間劃分為兩個區(qū)域A0和A1，其邊界是r0，并將判決判決規(guī)則規(guī)則規(guī)定為： r落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”；若r落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。 圖10-1 k維 矢量空間示意圖區(qū)域A0和A1是兩個互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個區(qū)域的邊界r0 確定后，錯誤

11、概率也隨之確定了。1310.2 數(shù)字信號的最佳接收P(A0/1)表示發(fā)送“1”時，矢量r落在區(qū)域A0 的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0”時， 矢量r落在區(qū)域A1 的條件概率A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r 圖10-1 k維 矢量空間示意圖4、總誤碼率、總誤碼率總誤碼率可寫為總誤碼率可寫為這兩個條件概率（在圖中分別由兩塊陰影面積表示）可寫為： （10.2-2） （10.2-3） （10.2-4）1410.2 數(shù)字信號的最佳接收

12、上式表示Pe是是r0 的函數(shù)的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點r0，將上式對r0求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)等于0， 10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP 將式（10.2-3）和（10.2-4）代入（10.2-2）得到 （10.2-5）參考上圖可知，上式可以寫為： （10.2-6） （10.2-7）求出最佳

13、分界點最佳分界點r0的條件： （10.2-8）5、最佳誤碼率、最佳誤碼率1510.2 數(shù)字信號的最佳接收0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP）（則判為10-10.2 0 )()()()(r rr r0101fPfP）（則判為11-10.2 1 )()()()(r rr r0101fPfPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，則判為“0” 若f0(r) f1(r)，則判為“1” （10.2-8）當(dāng)先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，f0(r0) = f1(r0)，所

14、以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區(qū)域A0，應(yīng)判為收到的是“0”的判決準(zhǔn)則，這時有： （10.2-9）即即在發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：該判決準(zhǔn)則稱為最大似然準(zhǔn)則最大似然準(zhǔn)則。按照這個準(zhǔn)則判決就可得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。1610.2 數(shù)字信號的最佳接收設(shè)在一個M 進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當(dāng)發(fā)送碼元是si時，接收電壓的接收電壓的k k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)維聯(lián)合概率密度函數(shù)為于是，若 則判為判為si(t)dttstrn

15、fsTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 16、多進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則、多進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則 （10.2-14）對于二進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則的分析，可推廣到多進(jìn)制信號的場合。對于二進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則的分析，可推廣到多進(jìn)制信號的場合。1710.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)n確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預(yù)知的信號。n在理想恒參信道中接收到的數(shù)字信號可以認(rèn)為是確知信號。n本節(jié)討論如何按照最佳接收準(zhǔn)則來構(gòu)造二進(jìn)制數(shù)字信號的最佳接收機(jī)。1810.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)當(dāng)發(fā)送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為dttstrn

16、fsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rn1、判決準(zhǔn)則、判決準(zhǔn)則 （10.1-12） （10.1-13）當(dāng)發(fā)送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡化，得到：ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (若若 （10.3-1）則判為發(fā)送碼元是判為發(fā)送碼元是s0(t)；若若 1910.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī) 將式（10.3-1） 和（10.3-2）兩端分別取對數(shù)，得到，若則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為

17、發(fā)送碼元是s1(t)。ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (判為發(fā)送碼元是判為發(fā)送碼元是s1(t) （10.3-2）ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 ( （10.3-1）判為發(fā)送碼元是判為發(fā)送碼元是s0(t) （10.3-3）2010.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)若式中則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決定

18、的加權(quán)因子。u按照上式畫出的最佳接收機(jī)原理方框圖如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1ln由于已經(jīng)假設(shè)兩個碼元的能量相同，即所以上式還可以進(jìn)一步簡化。 ssTTdttsdtts021020)()( （10.3-5）（10.3-3） （10.3-6） （10.3-4）2110.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器ssTTodttstrWdttstrW00011

19、)()()()(2、二進(jìn)制、二進(jìn)制 最佳接收機(jī)最佳接收機(jī) （10.3-5） 圖10-2 二進(jìn)制最佳接收機(jī)原理方框圖22r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t = Ts10.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)若此二進(jìn)制信號的先驗概率相等，則上式簡化為最佳接收機(jī)的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()( （10.3-5） 圖10-3 二進(jìn)制等先驗概率最佳接收機(jī)原理方框圖2310.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)由上述討論不難推出M 進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) u最佳接收機(jī)的核心是由相乘和積分

20、構(gòu)成的相關(guān)運算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。u由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器3、M進(jìn)制進(jìn)制 最佳接收機(jī)最佳接收機(jī) 圖10-4 M進(jìn)制等先驗概率最佳接收機(jī)原理方框圖2410.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率在最佳接收機(jī)中，若ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(n1、發(fā)生錯誤的條件概率發(fā)生錯誤的條件概率 （10.4-1）則判為發(fā)送碼元是判為發(fā)送碼元是s s0 0(t)(t)。在發(fā)送碼元為s1(t)時，若上式

21、成立，則將發(fā)生錯誤判決。將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率生錯誤的條件概率P(0 P(0 / 1)/ 1)：sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)( （10.4-2） （10.4-3）sdttststnT01)()()(2510.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率同理，可以求出發(fā)送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率P(0 / 1)P(0 / 1)bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb0

22、2100)()(21)0() 1 (ln2 （10.4-4） （10.4-5）2610.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率n2 2、總誤碼率、總誤碼率dxePdxePPPPPPbxaxe22222221)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (（1）先驗概率）先驗概率P(0) = 0及及P(1) = 1，a = - 及及b = 由式（10.4-6）計算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ， a a = = 及及b b =- =- 總誤碼率也為零。3、先驗概率對誤碼

23、率的影響、先驗概率對誤碼率的影響 （10.4-6）2710.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也越小。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21（2）先驗概率相等）先驗概率相等P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，式（10.4-6）可以化簡為 （10.4-7） （10.4-8）2810.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。 （3）先驗概率不

24、等）先驗概率不等結(jié)論： 誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。2910.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(n4、先驗概率相等時誤碼率的計算、先驗概率相等時誤碼率的計算若給定了噪聲強度，誤碼率決定于信號碼元的區(qū)別。以下給出定量地描述碼元區(qū)別的一個參量，即碼元的相關(guān)系數(shù) ，其定義如下： （10.4-9） （10.4-10）當(dāng)s0(t) = s1(t)時，1，為最大值；當(dāng)s0(t) = -s1(t)時，1，為最小值。所以 的取值范圍在-1

25、+1。 式中E0、E1為信號碼元的能量。3010.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率當(dāng)兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，則式（10.4-9）可寫成并且將上式代入誤碼率公式，得到為了將上式變成實用的形式，作如下的代數(shù)變換：令則有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1(22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz （10.4-11） （10.4-12） （10.4-13）3110.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率于是上式變?yōu)槭街?利用下式中2和n0關(guān)系2)1 (121221112212/ )1 (

26、2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerfdzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs （10.4-15）代入上式，得到誤碼率最終表示式誤碼率最終表示式：3210.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率式中 誤差函數(shù) 補誤差函數(shù) Eb 碼元能量； 碼元相關(guān)系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。xzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc （10.4-15）002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe式（10.4-15）是一個非常重要的理論公式重要的理論公式，它給

27、出了理論上二二進(jìn)制等能量數(shù)字信號誤碼率的最佳（最小可能）值，如圖進(jìn)制等能量數(shù)字信號誤碼率的最佳（最小可能）值，如圖10-6所示。實際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差。3310.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率dB圖圖10-6 最佳誤碼率曲線3410.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率u誤碼率和Eb / n0及相關(guān)系數(shù) 有關(guān)，與信號波形及噪聲功率無直接關(guān)系。 nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (n5、最佳接收性能特點按照奈奎斯特速率（能消除碼間串?dāng)_能消除碼間串?dāng)_）傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對已調(diào)信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶

28、寬是基帶信號帶寬的兩倍 (1/Ts) Hz。在工程上，通常把(Eb/n0)當(dāng)作信號噪聲功率比看待。 （10.4-16）碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當(dāng)于信號噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統(tǒng)帶寬B等于1/Ts，則有3510.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率u 對于誤碼率的影響很大。 (1) 兩種碼元的波形相同， 最大，即 = 1時，誤碼率最大為1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。(2)兩種碼元的波形相反， 最?。?= -1），誤碼率最小，等于 0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe例如，例如，2PS

29、K信號的相關(guān)系數(shù)就等于 -1。 （10.4-17） （10.4-18）u例如，例如，2FSK信號的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。(3)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) 等于0時，誤碼率等于3610.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率u若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則誤碼率為sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe （10.4-19） （10.4-20）u比較以上3式：2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差差3dB3dB。0021121nEerfcnEerfPbbe 2PSK （10.4-17）00

30、2212121nEerfcnEerfPbbe 2FSK （10.4-18）3710.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率圖10-6畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200logn5、多進(jìn)制通信系統(tǒng)u若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結(jié)果如下：M 進(jìn)制數(shù)； E M 進(jìn)制碼元能量；n0 單邊噪聲功率譜密度。一個M 進(jìn)制碼元中含有的比特數(shù)k 等于log2M，故每個比特的能量等于并且每比特的信噪比為 （10.4-21） （10.4-22） （10.4-23）3810.4

31、確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率Pe0.693Eb/n0圖10-6 多近制正交信號最佳誤碼率 對于給定的誤碼率，當(dāng)k增大時，需要的信噪比Eb/n0減小。當(dāng)k 增大到時，誤碼率曲線變成一條垂直線；這時只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到無誤碼的傳輸。3910.5 隨相數(shù)字信號的最佳接收此信號隨機(jī)相位的概率密度表示為：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他處, 020,2/1)(00f其他處, 020,2/1)(11f1 1、隨相信號隨相信號n假設(shè)： 2FSK信號的能量相等、先驗概率相等、互不相關(guān)；通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；接收信號碼元相位的概率

32、密度服從均勻分布。隨相信號：隨相信號：經(jīng)過信道傳輸后碼元相位帶有隨機(jī)性的信號稱之。因此，可以將此信號表示為： （10.5-1a） （10.5-1b） （10.5-2） （10.5-3）4010.5 隨相數(shù)字信號的最佳接收ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r2 2、隨相信號隨相信號的判決條件的判決條件由于碼元能量相等，故有 （10.5-4）若接收矢量r r使f1(r r) f0(r r)，則判發(fā)送碼元是“0”，若接收矢量r r使f0(r r) f1(r r)，則判發(fā)送碼元是“1”。

33、在討論確知信號的最佳接收時，對于先驗概率相等的信號，判決規(guī)則：判決規(guī)則：現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的 f0(r)和f1(r) 表示為：上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計算后，代入判決條件，得出最終的判決條件最終的判決條件： （10.5-6） （10.5-5）4110.5 隨相數(shù)字信號的最佳接收20200YXM21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)( 若接收矢量r r 使M12 M02，則判為發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r r 使M02 M12，則判為發(fā)送碼元是“1”。最終最終判決條件：判決條

34、件： （10.5-7） （10.5-8） （10.5-9） （10.5-10） （10.5-11）（10.5-12）（10.5-13）按照上面判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號最佳接收機(jī)隨相信號最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖107。 4210.5 隨相數(shù)字信號的最佳接收相關(guān)器平 方cos0t相 加相關(guān)器平 方sin0t相關(guān)器平 方cos1t相 加相關(guān)器平 方sin1t比 較r(t)Y0X1Y1X0如圖107 隨相信號最佳接收機(jī)隨相信號最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)圖3 3、隨相信號隨相信號的的最佳接收機(jī)最佳接收機(jī)4310.5 隨相數(shù)字信號的最佳接收隨相信號最佳接收機(jī)的誤碼率，用類似10.4節(jié)的分析方法，可以計算出來，結(jié)果如下：)

35、2/exp(210nEPbe4 4、隨相信號隨相信號最佳接收機(jī)的誤碼率最佳接收機(jī)的誤碼率隨相信號最佳接收機(jī)及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相干接收機(jī)和誤碼率。 因為隨相信號的相位攜帶有由信道引入的隨機(jī)變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。 對于隨相信號而言，非相干接收已經(jīng)是最佳的接收方法了。（10.5-14）4410.6 起伏數(shù)字信號的最佳接收A0和A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii包絡(luò)隨機(jī)起伏，相位也隨機(jī)變化的信號。經(jīng)過多

36、徑傳輸?shù)乃ヂ湫盘柖季哂羞@種特性 假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲； 信號是互不相關(guān)的等能量、等先驗概率的2FSK信號，其表示式1 1、起伏信號、起伏信號（10.6-1）（10.6-2）s2 為信號的功率而且 0 0和 1 1的概率密度服從均勻分布：2 , 1,20,2/1)(ifii（10.6-3）4510.6 起伏數(shù)字信號的最佳接收由于Ai是余弦波的振幅，所以信號si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關(guān)系為222siAE（10.6-4）r r 具有隨機(jī)相位和隨機(jī)起伏的振幅，故概率密度f0(r r)和f1(r r)可表示為：2、接收矢量r r 的概率密度: 200

37、00000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r（10.6-5）（10.6-6）4610.6 起伏數(shù)字信號的最佳接收knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r2、接收矢量r r 的概率密度:經(jīng)過繁復(fù)的計算，結(jié)果如下：經(jīng)過繁復(fù)的計算，結(jié)果如下：（10.6-7）（10.6-8）（10.6-9）n0 噪聲功率譜密度n2 噪聲功率。4710.6 起伏數(shù)字信號的最佳接收和隨相信號最佳接

38、收時一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)和隨相信號最佳接收機(jī)的一樣。這時的最佳誤碼率則不同于隨相信號的誤碼率，誤碼率等于 )/(210nEPe接收碼元的統(tǒng)計平均能量。n3、起伏、起伏信號信號最佳接收機(jī)的誤碼率最佳接收機(jī)的誤碼率（10.6-10）4810.6 起伏數(shù)字信號的最佳接收n4、起伏、起伏信號信號最佳接收最佳接收誤碼率曲線在有衰落時，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。當(dāng)誤碼率等于10-2時，衰落使性能下降約10 dB；當(dāng)誤碼率等于10-3時，下降約20 dB。0/nE49相干2ASK信號非相干2ASK信號相干2FSK信號非

39、相干2FSK信號相干2PSK信號差分相干2DPSK信號同步檢測2DPSK信號10.7 實際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實際接收機(jī)的Pe最佳接收機(jī)的Pe5010.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法1 1、定義、定義：用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸出信噪比最大信噪比最大的線性濾波器稱之。2 2、假設(shè)條件

40、：、假設(shè)條件：u接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為h(t)，濾波器輸入信號碼元s(t)的持續(xù)時間為Ts，信號和噪聲之和r(t)為 s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，高斯白噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。 sTttntstr0),()()(（10.8-1）一、匹配濾波器5110.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法u假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftj

41、o2)()()(3 3、輸出電壓、輸出電壓（10.8-2）（10.8-3）5210.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為)()()()()(*)( 2fPfHfPfHfHfPRRY由dffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0n4 4、輸出噪聲功率、輸出噪聲功率n5 5、輸出信噪比、輸出信噪比（3.4-7）（10.8-4）這時的輸出噪聲功率No等于（10.8-5）5310.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()(。等號成立為任意

42、常數(shù)，則上式的若kxkfxf )()( *210221)()(),()( ftjefSxffHxf若令0022022022)()(2)()( nEndffSdffHndffSdffHr則有二、匹配濾波器的傳輸特性二、匹配濾波器的傳輸特性為了求出 r0 的最大值，利用施瓦茲不等式；（10.8-6）（10.8-6）dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0（10.8-5）5410.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法02)(*)(ftjefkSfH而且當(dāng)（10.8-8）式（10.8-7）的等號成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上式表明，H(f) 就是我們要找的最佳接收

43、濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。 5510.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法dfeefkSdfefHthftjftjftj2220)(*)()(n三、匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)三、匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)結(jié)論：結(jié)論： 匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時間軸上（向右）平移了t0，如圖10-9所示。 （10.8-9） dfedeskttfjfj)(*)(022dsdfekttfj)()(02)()()(ttksdttsk00560tt1t2s(t)(a)0t-t1-t2s(-t)(b)0tt2-t1h(t)t0(c

44、)10.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法圖10 -9 從s(t)得出h(t)即s(t0-t)的圖解5710.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法上式的條件說明：上式的條件說明：接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為0, 0)(tth當(dāng)0, 0)(0ttts當(dāng)即要求滿足：0, 0)( ttts當(dāng)：或滿足條件)()(tTksthsn四、實際的匹配濾波器四、實際的匹配濾波器一個實際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實現(xiàn)的，其h(t)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出

45、現(xiàn)，即必須有：（10.8-10）（10.8-11）（10.8-12）5810.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為：)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts上式表明，匹配濾波器輸出信號碼元波形輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個任意常數(shù)，它與r0的最大值無關(guān)；通常取k 1。（10.8-13）令5910.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法tTttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()( tTss(t)1傳輸函數(shù)，可得此匹配濾波器的由令02)(*)(

46、, 1ftjefkSfHkssfTjfTjeefjfH22121)(【例例10.1】設(shè)接收信號碼元s(t)的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。解：解：上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為（10.8-14）（10.8-15）（10.8-16）6010.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法tTsh(t)1)()( soTtkRts由tTsso(t)()(0ttksthssTttTsth0),()(令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為此沖激響應(yīng)波形示于右圖可以求出此匹配濾波器的輸出信號波形如圖h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實際上，h(t) 是s(t)

47、的波形以t = Ts / 2為軸線反轉(zhuǎn)而來。由于s(t)的波形對稱于t = Ts / 2，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變？（10.8-17）tTss(t)16110.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：ssfTjfTjeefjfH22121)(延遲Ts理想積分器由其傳輸函數(shù)(1/j2f)是理想積分器的傳輸函數(shù)。延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。6210.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftjTs【例例10.2】

48、 設(shè)信號的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。解：解：上式所示的信號波形是一段余弦振蕩，如下圖所示。其頻譜為6310.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法)(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(0為正整數(shù)，為便于畫出波形圖，令 /0nfnTssTttfth0,2cos)(0令t0 = Ts 。因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為：上式可以化簡為：h(t)的曲線示于下圖： (b) 沖激響應(yīng)Ts6410.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法由于s(t)和h(t)在區(qū)間(0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計算：dthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出：當(dāng)t 2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 1）當(dāng)0 t d) |d)是噪聲抽樣值大于d 的概率，等等于？。于？。 （10.9-13）積分值是一個實常數(shù)，假設(shè)其等于1，即假設(shè)1202n（10.9-15）8310.9.1 理想信道的最佳傳輸系統(tǒng)以上假設(shè)不影響對誤碼率性能的分析。由