結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)單

1、 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健第第3 3章章 單自由度體系自由振動(dòng)單自由度體系自由振動(dòng)3.1 3.1 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)、剛度法、剛度法y(t)mk假定位移向右為正。假定位移向右為正。FSFIm式中式中FS為彈性恢復(fù)力：為彈性恢復(fù)力：FS=k11 y(t)FI為為 慣性力：慣性力：)(tymFI 由由達(dá)朗伯爾達(dá)朗伯爾原理：原理：)0( X0ISFF以隔離體的平衡條件來建立運(yùn)動(dòng)方程以隔離體的平衡條件來建立運(yùn)動(dòng)方程剛度法剛度法1 1、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立kmy(t)

2、 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健由由0)()( tkytym 得得單自由度體系自由振動(dòng)單自由度體系自由振動(dòng)設(shè)設(shè)km上面方程可寫成上面方程可寫成0)()(2 tyty 0ISFF 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健、柔度法、柔度法y(t)mkFI由由達(dá)朗伯爾達(dá)朗伯爾原理，質(zhì)點(diǎn)原理，質(zhì)點(diǎn)m在在t時(shí)刻的位移時(shí)刻的位移y(t)可以看成是可以看成是t時(shí)刻的慣性力引起的（瞬時(shí)）靜位移，可將其寫成：時(shí)刻的慣性力引起的（瞬時(shí)）靜位移，可將其寫成：)()()(1111tymtFtyI 1 為柔度系數(shù)，為柔度系數(shù)，110)()(11tytym 0

3、)(1)(11tytym 0)()(11tyktym （與剛度法的結(jié)果相同）（與剛度法的結(jié)果相同）按結(jié)構(gòu)的位移條件來建立運(yùn)動(dòng)按結(jié)構(gòu)的位移條件來建立運(yùn)動(dòng)方程方程柔度法。柔度法。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健2 2、運(yùn)動(dòng)微分方程的解、運(yùn)動(dòng)微分方程的解0)()(2 tyty 常系數(shù)線性齊次常微分方程常系數(shù)線性齊次常微分方程方程的通解可寫成方程的通解可寫成( )cossiny tBtCtB和C為由初始條件確定的常數(shù)當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí)由初始條件：由初始條件：000)0()0()0(vvyyyy或；（初速度和初位移）（初速度和初位移）代入位移表達(dá)式，得：代入位移表達(dá)式，得

4、：00yByC； 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健tvtyty sincos)(00 則則自由振動(dòng)由兩部分組成：自由振動(dòng)由兩部分組成：一部分是由初始位移引起的，表現(xiàn)為余弦變化規(guī)律；一部分是由初始位移引起的，表現(xiàn)為余弦變化規(guī)律；一部分是由初始速度引起的，表現(xiàn)為正弦變化規(guī)律；一部分是由初始速度引起的，表現(xiàn)為正弦變化規(guī)律；兩者之間相位差為直角，即后者落后于前者兩者之間相位差為直角，即后者落后于前者900； 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健設(shè)設(shè):2200020,;vyaytgy則位移則位移y(t)可寫成可寫成:)sin()( taty

5、a 質(zhì)點(diǎn)的最大位移，稱為質(zhì)點(diǎn)的最大位移，稱為振幅振幅。稱為稱為初相角初相角，表示質(zhì)量開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)，表示質(zhì)量開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健可以看出，無阻尼單自由度體系自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以看出，無阻尼單自由度體系自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)， 2 T 2秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)，稱為秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)，稱為圓頻率圓頻率，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱為為頻率頻率；T 2 振動(dòng)周期；振動(dòng)周期；頻率的單位為：頻率的單位為：rad/s頻率的計(jì)算：頻率的計(jì)算：stgmggmmk111111111mgst假設(shè)沿假設(shè)沿y方向施加大小等于重量方向施加大小等于重量mg的的荷載時(shí)，引起的沿荷載時(shí)，引

6、起的沿y方向的靜位移。方向的靜位移。g 為重力加速度。為重力加速度。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健從運(yùn)動(dòng)微分方程的解可以看出，單自由度體系的自由振動(dòng)完從運(yùn)動(dòng)微分方程的解可以看出，單自由度體系的自由振動(dòng)完全取決于自振頻率，兩個(gè)具有相同自振頻率的結(jié)構(gòu)，振動(dòng)效全取決于自振頻率，兩個(gè)具有相同自振頻率的結(jié)構(gòu)，振動(dòng)效果是相同的。果是相同的。從自振頻率的計(jì)算公式可以看出，結(jié)構(gòu)的自振頻率自與結(jié)構(gòu)從自振頻率的計(jì)算公式可以看出，結(jié)構(gòu)的自振頻率自與結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量和剛度有關(guān)，初始條件只影響振幅和初相位，不自身的質(zhì)量和剛度有關(guān)，初始條件只影響振幅和初相位，不改變自振頻率，因此，自振

7、頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，反映了改變自振頻率，因此，自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，反映了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。自振頻率與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量成反比，與結(jié)構(gòu)的剛度成正比。自振頻率與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量成反比，與結(jié)構(gòu)的剛度成正比。隨隨st的增大而減小，若將質(zhì)點(diǎn)置于結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位的增大而減小，若將質(zhì)點(diǎn)置于結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移處，可得到最低的自振頻率和最大的自振周期。移處，可得到最低的自振頻率和最大的自振周期。自振周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量成正比，與結(jié)構(gòu)的剛度成反比。自振周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量成正比，與結(jié)構(gòu)的剛度成反比。*單自由度體系的自由振動(dòng)計(jì)算，單自由度體系的自由振動(dòng)計(jì)算，主要就是計(jì)算自振頻率或周期。主要就是計(jì)算自振頻率或周期。

8、北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健軸向振動(dòng)（縱向振動(dòng)）軸向振動(dòng)（縱向振動(dòng)）當(dāng)質(zhì)量沿桿件軸向作振動(dòng)時(shí)，稱為軸向振動(dòng)。當(dāng)質(zhì)量沿桿件軸向作振動(dòng)時(shí)，稱為軸向振動(dòng)。11( )( )0mz tk z t2( )( )0z tz t11EAkl 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)質(zhì)量圓盤繞桿軸的質(zhì)量質(zhì)量圓盤繞桿軸的質(zhì)量慣性矩為慣性矩為J，單位扭轉(zhuǎn)角，單位扭轉(zhuǎn)角時(shí)所加的扭矩為時(shí)所加的扭矩為k，取，取圓盤為隔離體，由圓盤為隔離體，由 M=0，得得kJ( )( )0Jtkt2( )( )0tt 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力

9、學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題l/2l/2EIm求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。mm3.2 3.2 頻率計(jì)算舉例頻率計(jì)算舉例 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題mll/2EI求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。mllEI2EI 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。EIEIl lmmEI1=l ll llEI=C剛度系數(shù)計(jì)算方法剛度系數(shù)計(jì)算方法 利用位移基本體系利用位移基本體系 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健 北京建

10、筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題求圖示體系的自振頻率。求圖示體系的自振頻率。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健3.3 3.3 有阻尼體系的自由振動(dòng)有阻尼體系的自由振動(dòng) 無

11、阻尼自由振動(dòng)總是以動(dòng)能和勢(shì)能交換為特征，無阻尼自由振動(dòng)總是以動(dòng)能和勢(shì)能交換為特征，沒有考慮結(jié)構(gòu)體系的能量耗散，即結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)過沒有考慮結(jié)構(gòu)體系的能量耗散，即結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)過程中總能量保持不變。程中總能量保持不變。 與能量大小有關(guān)的振幅始終保持不變，永不衰減。與能量大小有關(guān)的振幅始終保持不變，永不衰減。 但在實(shí)際中，任一振動(dòng)過程隨時(shí)間的推移，振幅總但在實(shí)際中，任一振動(dòng)過程隨時(shí)間的推移，振幅總是逐漸衰減額，最終消失。質(zhì)量是逐漸衰減額，最終消失。質(zhì)量m m靜止在靜力平衡位置靜止在靜力平衡位置這種振幅隨時(shí)間而減少的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。這種振幅隨時(shí)間而減少的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工

12、程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健1、考慮阻尼的運(yùn)動(dòng)微分方程、考慮阻尼的運(yùn)動(dòng)微分方程FSFImFD( )SFky t )(tymFI ( )DFcy t 由達(dá)朗伯爾原理由達(dá)朗伯爾原理0IDSFFF( )( )( )0my tcy tky t即即mk11y(t)kmy(t) 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健方程的解方程的解: 齊次方程齊次方程令令2km和和2cm2( )2( )( )0y ty ty t解的形式為解的形式為( )ty tCe代入上面方程，得關(guān)于代入上面方程，得關(guān)于的特征方程：的特征方程：2220其特征根為其特征根為21,2(1) 北京建筑工

13、程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健3.3.1 1 （大阻尼）情況：（大阻尼）情況：1212( )tty tC eC e此時(shí)體系不振動(dòng)，僅是衰減運(yùn)動(dòng)。此時(shí)體系不振動(dòng)，僅是衰減運(yùn)動(dòng)。3.3.3 =1（臨界阻尼）情況：臨界阻尼）情況：1，2為重根，方程的通解為為重根，方程的通解為12( )()ty teCC t體系不振動(dòng)。體系不振動(dòng)。相應(yīng)相應(yīng)c稱為稱為臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)，記為，記為cr 。2rcm而而rcc 阻尼比。阻尼比。211 221 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健1 1 0 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)

14、教研室羅健、剛度法、剛度法1 1、運(yùn)動(dòng)、運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程的建立的建立由由達(dá)朗伯爾達(dá)朗伯爾原理：原理：( )0ISPFFF t( )( )( )Pmy tky tF t2( )( )( )PF ty ty tm3.4 3.4 無阻尼體系的強(qiáng)迫振動(dòng)無阻尼體系的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中不斷受到外部干擾力的作用，稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中不斷受到外部干擾力的作用，稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健、柔度法、柔度法y(t)mkI( )( )( )( )( )IPPy tF tF tmy tF t ( )( )( )Pmy ty tF t1( )(

15、)( )Pmy ty tF t( )( )( )Pmy tky tF t（與剛度法的結(jié)果相同）（與剛度法的結(jié)果相同）P(t)P(t)2( )( )( )PF ty ty tm 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健0( )sinPF tFt20( )( )sinFy ty ttm方程的解為齊次解與特解的和方程的解為齊次解與特解的和( )( )( )CPy tytyt齊次解齊次解yP(t)即為自由振動(dòng)解，前面已經(jīng)討論過。即為自由振動(dòng)解，前面已經(jīng)討論過。設(shè)特解設(shè)特解( )sinPytAt代入方程，得代入方程，得220sinsinsinFAtAttm3.4.1 3.4.1

16、 簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)（零初始條件）簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)（零初始條件）( )sin()Cytat 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健022()FAm得得022( )sin()PFyttm則方程的通解為：則方程的通解為：0022( )( )( )sinsin()()PFy tyty ttatm特解特解第一項(xiàng)為純強(qiáng)迫振動(dòng)，第二項(xiàng)為伴隨著強(qiáng)迫振動(dòng)的自由振動(dòng)，第一項(xiàng)為純強(qiáng)迫振動(dòng)，第二項(xiàng)為伴隨著強(qiáng)迫振動(dòng)的自由振動(dòng)，稱為伴生自由振動(dòng)。隨時(shí)間的進(jìn)程，自由振動(dòng)部分將衰減，最稱為伴生自由振動(dòng)。隨時(shí)間的進(jìn)程，自由振動(dòng)部分將衰減，最后只剩下后只剩下純強(qiáng)迫振動(dòng)純強(qiáng)迫振動(dòng)，稱為，稱為穩(wěn)態(tài)

17、振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。兩部分同時(shí)存在的振動(dòng)階段為兩部分同時(shí)存在的振動(dòng)階段為過度階段過度階段，只有純強(qiáng)迫振動(dòng)部分，只有純強(qiáng)迫振動(dòng)部分的振動(dòng)階段為的振動(dòng)階段為平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段。此時(shí)此時(shí)0022222( )sinsin()(1)FFy tttmm 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健由由21kmm則有則有yst為為F0引起的靜位移，得引起的靜位移，得22( )sin1styy tt令令稱為位移動(dòng)力系數(shù)稱為位移動(dòng)力系數(shù)振動(dòng)的最大動(dòng)位移與振動(dòng)的最大動(dòng)位移與F0引起的靜位移的比引起的靜位移的比得得21m002stFFymmax2211styy用用ymax表示表示y(t)的最大值，即最

18、大動(dòng)位移，或振幅，則的最大值，即最大動(dòng)位移，或振幅，則2211則則maxstyyA 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健 為動(dòng)力系數(shù)，與頻率比為動(dòng)力系數(shù)，與頻率比/有關(guān)，其大小反應(yīng)了干擾力的結(jié)構(gòu)有關(guān)，其大小反應(yīng)了干擾力的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用。若求出的動(dòng)力作用。若求出值，就可求得純強(qiáng)迫振動(dòng)的位移幅值。值，就可求得純強(qiáng)迫振動(dòng)的位移幅值。下面圖形表示下面圖形表示 與與/的關(guān)系。的關(guān)系。2211 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健無阻尼純強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律：無阻尼純強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律：(1)(1)當(dāng)當(dāng)時(shí)，動(dòng)力系數(shù)時(shí)，動(dòng)力系數(shù)0 0，這表明干擾力頻率很高時(shí)

19、，這表明干擾力頻率很高時(shí)，最大動(dòng)位移最大動(dòng)位移ymax0 0，結(jié)構(gòu)趨于靜止?fàn)顟B(tài)，質(zhì)量，結(jié)構(gòu)趨于靜止?fàn)顟B(tài)，質(zhì)量m只在靜力平衡只在靜力平衡位置做微小振動(dòng)。位置做微小振動(dòng)。(3)(3)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，表明當(dāng)干擾力頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率，表明當(dāng)干擾力頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率相重合時(shí)，位移和內(nèi)力將無限增加，這種現(xiàn)象稱為相重合時(shí)，位移和內(nèi)力將無限增加，這種現(xiàn)象稱為。設(shè)計(jì)中應(yīng)避免設(shè)計(jì)中應(yīng)避免。通常稱通常稱0.751.25區(qū)間為共振區(qū)，區(qū)間為共振區(qū)，可調(diào)整可調(diào)整或或避開共振區(qū)。避開共振區(qū)。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健【例【例3.6】圖示梁，跨度為】圖示梁，跨度為4m，慣性矩，慣性矩I

20、=8.810-5m4，彈性，彈性模量模量E=210GPa。在跨中安置電動(dòng)機(jī)，重量。在跨中安置電動(dòng)機(jī)，重量G=35kN，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速n=500r/min，由于偏心，電動(dòng)機(jī)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生了離心力，由于偏心，電動(dòng)機(jī)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生了離心力，其幅值為其幅值為F0=10kN，則離心力的豎向分量為，則離心力的豎向分量為F0sin t。若忽略。若忽略梁的自重和阻尼，求梁的最大彎矩和撓度。梁的自重和阻尼，求梁的最大彎矩和撓度。解：解：?jiǎn)挝涣ψ饔糜诳缰袝r(shí)，引起的中電位移為單位力作用于跨中時(shí)，引起的中電位移為348lEI 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健干擾力頻率：干擾力頻率：2

21、2 3.14 50052.336060nrad s則則222738.78rads自振頻率自振頻率8254222233148 2.1 108.8 109.83880.8354kN mmm sradsmkNm動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù) 2213.41最大彎矩最大彎矩 max3541043.46944WFstkNmkNmMMMkNm最大撓度最大撓度 330max4.984848FststF lWlymm 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健由上面例題得到下面結(jié)論：由上面例題得到下面結(jié)論：(1) 對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)材料處于彈性階段，位移和內(nèi)對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)材料處于彈性階段

22、，位移和內(nèi)力之間存在著不變的線性關(guān)系，因此，當(dāng)干擾力與慣性力力之間存在著不變的線性關(guān)系，因此，當(dāng)干擾力與慣性力作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)相同，此時(shí)作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)相同，此時(shí)不作區(qū)分，統(tǒng)稱為動(dòng)力系數(shù)。不作區(qū)分，統(tǒng)稱為動(dòng)力系數(shù)。(2) 對(duì)于振動(dòng)問題，有時(shí)加大結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面尺寸反而對(duì)其對(duì)于振動(dòng)問題，有時(shí)加大結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面尺寸反而對(duì)其動(dòng)力系數(shù)產(chǎn)生不利的影響。動(dòng)力系數(shù)產(chǎn)生不利的影響。 對(duì)于多自由度體系，位移和各內(nèi)力之間不存在這樣不對(duì)于多自由度體系，位移和各內(nèi)力之間不存在這樣不變的線性關(guān)系，所以位移和內(nèi)力各自的放大系數(shù)不相等。變的線性關(guān)系，所以位移和內(nèi)力各自的放大系數(shù)

23、不相等。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健3.4.2 3.4.2 列幅值方程求位移、內(nèi)力幅值列幅值方程求位移、內(nèi)力幅值 當(dāng)干擾力為簡(jiǎn)諧荷載當(dāng)干擾力為簡(jiǎn)諧荷載F0sin t t時(shí)，僅考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，時(shí)，僅考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，位移、加速度和慣性力的變化規(guī)律為：位移、加速度和慣性力的變化規(guī)律為：( )siny tAtmax()stAyy2( )siny tAt 22( )( )sin( )IF tmy tmAtmy t 0( )sinPF tFt 由上可知，慣性力與位移同向，慣性力、干擾力和位移由上可知，慣性力與位移同向，慣性力、干擾力和位移都按都按sin t變化，將同

24、時(shí)達(dá)到最大值。變化，將同時(shí)達(dá)到最大值。 將慣性力幅值，干擾力幅值同時(shí)作用在結(jié)構(gòu)上，用靜力將慣性力幅值，干擾力幅值同時(shí)作用在結(jié)構(gòu)上，用靜力學(xué)方法，就可求得動(dòng)內(nèi)力幅值學(xué)方法，就可求得動(dòng)內(nèi)力幅值。結(jié)論：只要體系是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則位移、慣性力同時(shí)達(dá)到幅值。結(jié)論：只要體系是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則位移、慣性力同時(shí)達(dá)到幅值。對(duì)多自由度體系，結(jié)論也成立。對(duì)多自由度體系，結(jié)論也成立。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健幅值法求解問題的步驟：幅值法求解問題的步驟：(1) 畫出幅值圖（指定質(zhì)點(diǎn)處最大位移為畫出幅值圖（指定質(zhì)點(diǎn)處最大位移為A）和方向的變形圖。）和方向的變形圖。(2) 求動(dòng)荷載幅值求動(dòng)

25、荷載幅值F0所引起的靜位移所引起的靜位移yst。(3) 求出動(dòng)力系數(shù)求出動(dòng)力系數(shù) ，并計(jì)算，并計(jì)算A= yst。(4) 計(jì)算慣性力幅值計(jì)算慣性力幅值m 2A。(5) 將動(dòng)荷載幅值和慣性力同時(shí)加在結(jié)構(gòu)上，求得內(nèi)力幅值圖。將動(dòng)荷載幅值和慣性力同時(shí)加在結(jié)構(gòu)上，求得內(nèi)力幅值圖?！纠纠?.7】簡(jiǎn)支梁跨中有集中質(zhì)量】簡(jiǎn)支梁跨中有集中質(zhì)量m，在截面，在截面2處作用動(dòng)力矩處作用動(dòng)力矩Msin t，不計(jì)梁，不計(jì)梁自重，求跨中最大豎向動(dòng)位移和截面自重，求跨中最大豎向動(dòng)位移和截面3處的轉(zhuǎn)角幅值。處的轉(zhuǎn)角幅值。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健荷載幅值荷載幅值M和慣性力幅值和慣性力

26、幅值m 2A同時(shí)同時(shí)作用下產(chǎn)生的振幅作用下產(chǎn)生的振幅A（如右圖）為（如右圖）為2324816mAlMlAEIEI4214816MlAEI2 34mlEI24116148stMlAyEI411482 2244411384616161486148MlmlMlMlEIEIEIEI括號(hào)內(nèi)數(shù)值為括號(hào)內(nèi)數(shù)值為 的動(dòng)力系數(shù)，與跨中位移的動(dòng)力系數(shù)不同。的動(dòng)力系數(shù)，與跨中位移的動(dòng)力系數(shù)不同。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健例題例題試列出下面結(jié)構(gòu)當(dāng)干擾力不直接作用于質(zhì)點(diǎn)試列出下面結(jié)構(gòu)當(dāng)干擾力不直接作用于質(zhì)點(diǎn)上時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。上時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。作業(yè)：試用剛度作業(yè)：試用剛度法來

27、列出運(yùn)動(dòng)微法來列出運(yùn)動(dòng)微分方程。分方程。由柔度法列方程由柔度法列方程 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健3.5 3.5 有阻尼體系的強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼體系的強(qiáng)迫振動(dòng)y(t)mkF(t)FSFImF(t)FD運(yùn)動(dòng)微分方程：運(yùn)動(dòng)微分方程：( )0IDSPFFFF t( )( )( )( )Pmy tcy tky tF t2( )( )2( )( )PF ty ty ty tm 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健201( )2( )( )siny ty ty tFtm對(duì)簡(jiǎn)諧荷載對(duì)簡(jiǎn)諧荷載FP(t)=F0 sin t，則運(yùn)動(dòng)方程為則運(yùn)動(dòng)方程為

28、方程通解可寫成：方程通解可寫成：( )( )( )cPy ty tytyc為齊次解為齊次解 自由振動(dòng)解：自由振動(dòng)解：( )sin()tcddy taet為特解，設(shè)為特解，設(shè)( )Pyt12( )sincosPytCtCt 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健代入方程，求得代入方程，求得2201222222()()4FCm 022222222()4FCm 220222222( )sin()()sin2cos()4tddy taetFttm 于是于是00022220222222220222222( )cossin2()2cossin()4()sin2cos()4tdd

29、dtdddvyy teyttFettmFttm 考慮初始條件考慮初始條件 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健2、與初始條件無關(guān)而伴隨、與初始條件無關(guān)而伴隨P干擾力發(fā)生的振動(dòng)；干擾力發(fā)生的振動(dòng)；1、初始條件引起的自由振動(dòng)；、初始條件引起的自由振動(dòng)；兩者振動(dòng)頻率為兩者振動(dòng)頻率為d，振幅按，振幅按te 衰減。衰減。3、純強(qiáng)迫振動(dòng)，振動(dòng)頻率為、純強(qiáng)迫振動(dòng)，振動(dòng)頻率為 ，振幅不衰減，振幅不衰減通常，設(shè)計(jì)中只考慮純強(qiáng)迫振動(dòng)。通常，設(shè)計(jì)中只考慮純強(qiáng)迫振動(dòng)。220222222( )( )()sin2cos()4PFy tytttm 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研

30、室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健( )sin()y tAt整理，得整理，得其中振幅其中振幅02222221()4FAm 位移與荷載位移與荷載之間相位差之間相位差222arctan0222222214(1)stFAym 而由而由2222222222114(1)4(1) 得動(dòng)力系數(shù)得動(dòng)力系數(shù)其中其中為頻率比。為頻率比。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健3.5.1 3.5.1 有阻尼體系的動(dòng)力系數(shù)的特點(diǎn)有阻尼體系的動(dòng)力系數(shù)的特點(diǎn)動(dòng)力系數(shù)不僅與頻率比動(dòng)力系數(shù)不僅與頻率比 有關(guān)，同時(shí)與阻尼比有關(guān)，同時(shí)與阻尼比 有關(guān)，如圖有關(guān)，如圖(1) 隨隨 增加，特別在增加，特別在 1附近，附近

31、， 的峰值下降顯著，在的峰值下降顯著，在0.75 1.25區(qū)間（共振區(qū)），阻尼影響較大，區(qū)間（共振區(qū)），阻尼影響較大，計(jì)算時(shí)需考慮阻尼的影響。計(jì)算時(shí)需考慮阻尼的影響。(2) 1時(shí)，時(shí)， 為有限值為有限值112(3) 的最大值不發(fā)生在的最大值不發(fā)生在 1處，處，212max121 221峰由0，求得當(dāng)時(shí)，響應(yīng)峰值發(fā)生在頻率比為處， 得 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健3.5.2 3.5.2 相位角與阻尼和頻率的關(guān)系相位角與阻尼和頻率的關(guān)系 初相位角初相位角 隨隨 增加而增加，增加而增加，當(dāng)當(dāng) 從

32、從01時(shí)，時(shí)， 從從0/2；當(dāng)；當(dāng) 從從1時(shí)，時(shí)， 從從 /2；當(dāng)；當(dāng) 1時(shí)，時(shí)，不管阻尼不管阻尼 的值為多少，初相位總的值為多少，初相位總是是 /2。在動(dòng)荷載作用下，有阻尼體系的動(dòng)在動(dòng)荷載作用下，有阻尼體系的動(dòng)力響應(yīng)（位移、速度、加速度）滯力響應(yīng)（位移、速度、加速度）滯后動(dòng)力荷載一段時(shí)間，即響應(yīng)滯后。后動(dòng)力荷載一段時(shí)間，即響應(yīng)滯后。這個(gè)滯后的時(shí)間由相位這個(gè)滯后的時(shí)間由相位 反映，如反映，如果滯后時(shí)間為果滯后時(shí)間為t0，則，則 t0。有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)中，位移要比荷載有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)中，位移要比荷載落后一個(gè)相位差落后一個(gè)相位差 ，而無阻尼的強(qiáng)迫，而無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)中，位移與荷載是同步的（或相振動(dòng)

33、中，位移與荷載是同步的（或相反），這是有無阻尼的重要差別。反），這是有無阻尼的重要差別。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健純強(qiáng)迫振動(dòng)的特點(diǎn)：純強(qiáng)迫振動(dòng)的特點(diǎn)：(1)(1)當(dāng)當(dāng)時(shí)，動(dòng)力系數(shù)接近時(shí)，動(dòng)力系數(shù)接近0 0，此時(shí)結(jié)構(gòu)在平衡位置附，此時(shí)結(jié)構(gòu)在平衡位置附近做振幅很小的快速振動(dòng)。此時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)很快，慣性力很大，近做振幅很小的快速振動(dòng)。此時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)很快，慣性力很大，動(dòng)荷載主要由慣性力平衡。動(dòng)荷載主要由慣性力平衡。(3)(3)當(dāng)當(dāng)接近接近時(shí)，時(shí)， 增加很快增加很快，90900 0，荷載主要由阻尼力平，荷載主要由阻尼力平衡。此時(shí)也稱為衡。此時(shí)也稱為。設(shè)計(jì)中應(yīng)避免設(shè)

34、計(jì)中應(yīng)避免。通常稱通常稱0.751.25區(qū)間為共振區(qū)，區(qū)間為共振區(qū)，可調(diào)整可調(diào)整或或避開共振區(qū)。避開共振區(qū)。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健3.6 在任意動(dòng)力荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)在任意動(dòng)力荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)1、瞬時(shí)沖量引起的振動(dòng)、瞬時(shí)沖量引起的振動(dòng)瞬時(shí)荷載形成的沖量為瞬時(shí)荷載形成的沖量為dS=FPdt，在時(shí)，在時(shí)間間dt內(nèi)，動(dòng)量的變化等于沖量。設(shè)體系內(nèi)，動(dòng)量的變化等于沖量。設(shè)體系初始處于靜止，則初始處于靜止，則PmdvF dtPFdvdtmdv為沖量引起的速度增量。為沖量引起的速度增量。此后體系以初速度為此后體系以初速度為dv，初位移為零，初位移為零做自由振動(dòng)，做

35、自由振動(dòng)，( )sinPF dtdy ttm 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健2、t= 時(shí)刻的時(shí)刻的瞬時(shí)沖量引起的振動(dòng)瞬時(shí)沖量引起的振動(dòng)在沖量結(jié)束后在沖量結(jié)束后任意時(shí)刻任意時(shí)刻t，即，即t ，體系自，體系自由振動(dòng)，位移為由振動(dòng)，位移為( )( )sin()PFdtdy ttm3、一般荷載引起的振動(dòng)、一般荷載引起的振動(dòng)01( )( )sin()tPy tFtdtm稱為杜哈梅積分。稱為杜哈梅積分。是運(yùn)動(dòng)方程的特解。是運(yùn)動(dòng)方程的特解。 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健當(dāng)初始位移當(dāng)初始位移y0和初始速度和初始速度v0不為零時(shí)，位移相應(yīng)

36、為不為零時(shí)，位移相應(yīng)為0001( )cossin( )sin()tPvy tyttFtdtm考慮阻尼影響時(shí)，考慮阻尼影響時(shí)，()01( )sin()( )sin()tttddPddy taetFetdtm()01( )( )sin()ttPddy tFetdtm【例【例3.8】 分析單自由度體系在初始時(shí)刻突加荷載作用下的位移反應(yīng)。分析單自由度體系在初始時(shí)刻突加荷載作用下的位移反應(yīng)。()00( )sin()ttddFy tetdtm運(yùn)用分部積分，得運(yùn)用分部積分，得2( )1cos()1tstdey ty 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健式中式中2arctan12

37、( )1cos()1tstdey ty最大位移為最大位移為 21max1styye括號(hào)內(nèi)為動(dòng)力系數(shù)括號(hào)內(nèi)為動(dòng)力系數(shù) 。阻尼為零時(shí)，即阻尼為零時(shí)，即 0，動(dòng)力系數(shù)為，動(dòng)力系數(shù)為2 北京建筑工程學(xué)院北京建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室結(jié)構(gòu)力學(xué)教研室羅健用復(fù)變函數(shù)表達(dá)振動(dòng)解答用復(fù)變函數(shù)表達(dá)振動(dòng)解答無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)0)()(2 tyty 解答可以寫成解答可以寫成( )exp()y tGt其中其中G為任意復(fù)常數(shù)，為任意復(fù)常數(shù)，exp( )xxe代入方程，得代入方程，得20特征方程特征方程解得解得1,2i 由疊加原理，得方程解為由疊加原理，得方程解為12( )exp()exp()y tGi tGi t其中其中G1、 G2為任意復(fù)常數(shù)，由初始條件來確定。為任意復(fù)常數(shù)，由初始條件來確定。設(shè)設(shè)111RIGGiG222RIGGiG由由Euler變換變換exp()cossinexp()cossiniiii1cosexp()exp()21sinexp()exp