第十八章 相似形

1、 北京教育學(xué)院宣武分院北京教育學(xué)院宣武分院 彭彭 林林 一、一、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011(2011年版年版) )與與數(shù)學(xué)課數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）對(duì)對(duì)圖形的相似圖形的相似教學(xué)要教學(xué)要求的比較求的比較 二、二、相似形相似形的知識(shí)結(jié)構(gòu)的知識(shí)結(jié)構(gòu) 三、三、相似形相似形的教學(xué)的教學(xué) 實(shí)驗(yàn)稿實(shí)驗(yàn)稿（空間與圖形）（空間與圖形）20112011年版年版（圖形與幾何（圖形與幾何）圖形的認(rèn)識(shí)圖形與變換圖形與坐標(biāo)圖形與證明圖形的性質(zhì)圖形的變化圖形與坐標(biāo)“圖形與幾何圖形與幾何”大綱大綱（幾何）（幾何）圖形與證明實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)稿稿2011年版年版（ （1 1）兩條平行直線被第三條直線）兩條平行直線被

2、第三條直線所截，同位角相等。所截，同位角相等。 (2)(2)兩條直線被第三條直線所截，兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直如果同位角相等，那么這兩條直線平行。線平行。（3 3）兩邊及其夾角分別相等的）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全。兩個(gè)三角形全。（4 4）兩角及其夾邊分別相等的）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。兩個(gè)三角形全等。（5 5）三邊分別相等的兩個(gè)三角）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。形全等。（6 6）兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊）兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。相等，對(duì)應(yīng)角相等。（1)1)兩點(diǎn)確定一條直線。兩點(diǎn)確定一條直線。（2 2）兩點(diǎn)之間線段最短。）兩點(diǎn)

3、之間線段最短。 (3) (3)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。線垂直。 (4) (4)兩條直線被第三條直線所截，如果兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。同位角相等，那么這兩條直線平行。（5 5）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行。與這條直線平行。（6 6）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全。角形全。（7 7）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。角形全等。（8 8）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（9 9）

4、兩條直線被一組平行線所截，所）兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。得的對(duì)應(yīng)線段成比例?；臼聦?shí)(1)了解比例的基本性質(zhì),了解線段的比、成比例線段,通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割.(2)通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似,探索相似圖形的性質(zhì),知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方.（2）通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似。）通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。了解相似多邊形和相似比。（5）了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角）了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。比的

5、平方。(3)了解兩個(gè)三角形相似的概念,探索兩個(gè)三角形相似的條件.（3 3）掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，）掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。（4 4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。了解相似三角形判定定理證明。個(gè)三角形相似。了解相似三角形判定定理證明。(4)了解圖形的位似,能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小.(5)通過(guò)典型實(shí)例觀察和認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似,利用圖形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題(如利用

6、相似測(cè)量旗桿的高度).（7）會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單）會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。的實(shí)際問(wèn)題。 數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）對(duì)相似形的要求 (1)比例線段 比與比例.比例的基本性質(zhì).合比性質(zhì).等比性質(zhì).兩條線段的比.成比例的線段. 平行線分線段成比例.截三角形兩邊或其延長(zhǎng)線的直線平行于第三邊的判定. 具體要求 理解比與比例的概念.能夠說(shuō)出比例關(guān)系式中比例的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)、第四比例項(xiàng)或比例中項(xiàng). 掌握比例的基本性質(zhì)定理、合比性質(zhì)和等比性質(zhì).會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的比例變形. 理解線段的比、成比例線段的概念.會(huì)判斷線段是否成比例.了解黃金分割. 了解平行線分線段成比例定理及截三角形兩邊或其延長(zhǎng)

7、線的直線平行于第三邊的判定定理的證明;會(huì)用它們證明線段成比例、線段平行等問(wèn)題,并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.會(huì)分線段成已知比. (2)相似形 相似三角形.三角形相似的判定.直角三角形相似的判定.相似三角形的性質(zhì). 具體要求 理解相似三角形的概念. 靈活運(yùn)用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等、或一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等且?jiàn)A邊成比例、或三對(duì)邊之比相等則兩三角形相似的判定定理,以及一對(duì)直角邊和斜邊成比例則兩直角三角形相似的判定定理. 理解相似比的概念和相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì). 會(huì)按已知相似比作一個(gè)三角形與已知三角形相似.相似形相似形比例線段比例線段相似三角形相似三角形比例及其性質(zhì)比例及其性質(zhì)黃金分割黃金分割平行線分線段平行

8、線分線段成比例定理成比例定理推論推論用比例判定用比例判定二直線平行二直線平行平行線截三角形平行線截三角形與原三角形對(duì)應(yīng)與原三角形對(duì)應(yīng)應(yīng)邊成比例應(yīng)邊成比例定義定義性質(zhì)定理性質(zhì)定理預(yù)備定理預(yù)備定理判定定理判定定理 避繁就簡(jiǎn)避繁就簡(jiǎn), ,我們今天講平面幾何我們今天講平面幾何, ,當(dāng)然當(dāng)然不能照搬不能照搬幾何原本幾何原本那套體系那套體系, ,但但是是, ,也不要把平面幾何最基本的內(nèi)容也不要把平面幾何最基本的內(nèi)容和體系打亂和體系打亂, ,傷筋動(dòng)骨傷筋動(dòng)骨, ,使其失去平面使其失去平面幾何的幾何的“原汁原味原汁原味”！ 實(shí)際問(wèn)題比例線段相似圖形比例基本性質(zhì)黃金分割平行線分三角形兩邊成比例相似多邊形相似三角

9、形相似三角形的判定相似三角形的性質(zhì)實(shí)際問(wèn)題 荷蘭學(xué)者范希爾夫婦經(jīng)過(guò)理荷蘭學(xué)者范希爾夫婦經(jīng)過(guò)理論和實(shí)踐兩方面的長(zhǎng)期探索論和實(shí)踐兩方面的長(zhǎng)期探索, ,指出學(xué)生的幾何思維存在指出學(xué)生的幾何思維存在5 5個(gè)水平個(gè)水平: : 直觀直觀 分析分析 推理推理 演繹演繹 嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)謹(jǐn) 感受相似感受相似( (學(xué)生通過(guò)直觀圖形從整體上學(xué)生通過(guò)直觀圖形從整體上感受圖形的相似感受圖形的相似) ) 分析相似分析相似( (學(xué)生能從圖形的基本組成元學(xué)生能從圖形的基本組成元素得出相似圖形的性質(zhì)素得出相似圖形的性質(zhì), ,能構(gòu)造圖形說(shuō)明能構(gòu)造圖形說(shuō)明相似相似) ) 關(guān)系關(guān)系推理推理( (學(xué)生能夠理解相似的判定學(xué)生能夠理解相似的判定定

10、理定理, ,并能通過(guò)簡(jiǎn)單的推理得到更多的性并能通過(guò)簡(jiǎn)單的推理得到更多的性質(zhì)質(zhì)) ) 形式演繹形式演繹( (學(xué)生能夠進(jìn)行判定定理的形學(xué)生能夠進(jìn)行判定定理的形式證明式證明, ,能夠進(jìn)行多步驟的演繹能夠進(jìn)行多步驟的演繹) ) 拓展拓展( (學(xué)生能對(duì)相似圖形的位置關(guān)系進(jìn)學(xué)生能對(duì)相似圖形的位置關(guān)系進(jìn)行分類行分類, ,發(fā)現(xiàn)其與變換間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)其與變換間的關(guān)系; ;利用群的利用群的理論解釋相似理論解釋相似) ) 1.1.教學(xué)中要盡量從現(xiàn)實(shí)生活中的大量教學(xué)中要盡量從現(xiàn)實(shí)生活中的大量實(shí)例實(shí)例 出發(fā)出發(fā), ,設(shè)置豐富的問(wèn)題情境設(shè)置豐富的問(wèn)題情境, ,顯示顯示圖形相似的有關(guān)內(nèi)容圖形相似的有關(guān)內(nèi)容, ,以直觀的方式進(jìn)

11、以直觀的方式進(jìn)行教學(xué)行教學(xué). . 2. 2.教學(xué)中應(yīng)充分利用這部分內(nèi)容的特教學(xué)中應(yīng)充分利用這部分內(nèi)容的特點(diǎn)點(diǎn), ,將觀察、動(dòng)手操作等實(shí)踐活動(dòng)貫穿將觀察、動(dòng)手操作等實(shí)踐活動(dòng)貫穿于教學(xué)過(guò)程的始終于教學(xué)過(guò)程的始終. . 要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形框架的三邊的長(zhǎng)分別是、中一個(gè)三角形框架的三邊的長(zhǎng)分別是、，另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為、，另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為，怎樣選料可使這兩個(gè)三角形相似，怎樣選料可使這兩個(gè)三角形相似 3.3.注意直觀操作與推理證明的有機(jī)結(jié)合注意直觀操作與推理證明的有機(jī)結(jié)合, ,應(yīng)把推理證明作為探索活動(dòng)的自然延續(xù)應(yīng)把推理證明作為探索活

12、動(dòng)的自然延續(xù)和必然發(fā)展和必然發(fā)展. . 教學(xué)中運(yùn)用大量圖形與直觀教學(xué)中運(yùn)用大量圖形與直觀, ,這有助于這有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣, ,有助于對(duì)知識(shí)的理解有助于對(duì)知識(shí)的理解, ,但直觀不是最終的目的但直觀不是最終的目的, ,應(yīng)該從直觀進(jìn)一應(yīng)該從直觀進(jìn)一步發(fā)展形象思維步發(fā)展形象思維, ,培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)能力培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)能力, ,再過(guò)渡到抽象思維再過(guò)渡到抽象思維, ,理性認(rèn)識(shí)理性認(rèn)識(shí), ,這樣認(rèn)識(shí)這樣認(rèn)識(shí)才完整才完整. . “ “看一看看一看” “量一量量一量” “做一做做一做” 等活動(dòng)在學(xué)習(xí)幾何的初級(jí)階段等活動(dòng)在學(xué)習(xí)幾何的初級(jí)階段( (實(shí)驗(yàn)幾實(shí)驗(yàn)幾何何) )可以發(fā)揮重要作用可以發(fā)揮重

13、要作用. .但是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)終但是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)終歸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助手段歸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助手段, ,數(shù)學(xué)畢竟不數(shù)學(xué)畢竟不是實(shí)驗(yàn)科學(xué)是實(shí)驗(yàn)科學(xué), ,不認(rèn)識(shí)幾何的邏輯性不認(rèn)識(shí)幾何的邏輯性, ,只能只能認(rèn)識(shí)一些關(guān)于圖形的零散的表象認(rèn)識(shí)一些關(guān)于圖形的零散的表象, ,而不而不能認(rèn)識(shí)幾何學(xué)在圖形背后蘊(yùn)涵的科學(xué)思能認(rèn)識(shí)幾何學(xué)在圖形背后蘊(yùn)涵的科學(xué)思維方法的本質(zhì)維方法的本質(zhì). . 平面幾何的教學(xué)價(jià)值最集中地平面幾何的教學(xué)價(jià)值最集中地表現(xiàn)為促使平面幾何的公理化表現(xiàn)為促使平面幾何的公理化的知識(shí)結(jié)構(gòu)得以形成的探索之的知識(shí)結(jié)構(gòu)得以形成的探索之中中. .因此因此, ,應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的求應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的求真意識(shí)當(dāng)成平面幾何教學(xué)的首真

14、意識(shí)當(dāng)成平面幾何教學(xué)的首要任務(wù)要任務(wù). . 4. 4.把握演繹的把握演繹的“度度” (1)(1)合比性質(zhì)合比性質(zhì) 等比性質(zhì)等比性質(zhì) (2)(2)射影定理射影定理 (3)(3)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì) 5. 5.教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生探索證明的教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生探索證明的不同思路不同思路, ,并進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論并進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論, ,開(kāi)開(kāi)闊學(xué)生的視野闊學(xué)生的視野. . 例 在ABC中,ABAC,AD=AE,DE與BC的延長(zhǎng)線交于M,求證:BM:CM=BD:CE. .ADBCMEFABCMEDNABCMDGEADBCLME 例 判斷下列各組中的兩個(gè)三角形是否相似,如果相似,寫(xiě)出它們

15、的對(duì)應(yīng)邊的比例式. (1)如圖,DEBC,ABC與ADE; (2)如圖,AED=C, ABC與ADE.ABCDEABCED變式1 改為已知ADE=B,則ABCADE嗎?變式如圖，若點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，在AED=ACB的條件下， ABCADE嗎?變式如圖，若點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，CEAB,ACBC,則ABCADE嗎?圖中共有幾對(duì)相似三角形？AEBC(D)ABC(D)E“相似三角形相似三角形”基本圖形結(jié)構(gòu)基本圖形結(jié)構(gòu) 獲得的知識(shí)獲得的知識(shí), ,如果沒(méi)有完整的結(jié)構(gòu)把如果沒(méi)有完整的結(jié)構(gòu)把它連在一起它連在一起, ,那是一種多半會(huì)被遺忘的那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)知識(shí), ,一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有一串不連貫的論

16、據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命短促得可憐的壽命. . 布魯納布魯納 7. 7.注意前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系注意前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系. . 全等三角形是相似三角形的特例全等三角形是相似三角形的特例. .判定兩判定兩個(gè)三角形全等需要三個(gè)條件個(gè)三角形全等需要三個(gè)條件( (其中至少有一其中至少有一個(gè)條件是一邊相等個(gè)條件是一邊相等),),而判定兩個(gè)三角形相而判定兩個(gè)三角形相似需要兩個(gè)條件似需要兩個(gè)條件( (不需要邊相等的條件不需要邊相等的條件););兩兩全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等, ,而兩相似三角而兩相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例形對(duì)應(yīng)線段成比例. .因此因此, ,教學(xué)時(shí)可用教學(xué)時(shí)可用類比類比的

17、方法的方法引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)相似和全等的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)相似和全等的關(guān)系, ,弄清區(qū)別和聯(lián)系弄清區(qū)別和聯(lián)系. . 相似比等于表示兩個(gè)三角形有什么關(guān)系？ 全等三角形和相似三角形有什么聯(lián)系和區(qū)別？有什么關(guān)系？與那么的相似比為與的相似比為與設(shè)kkkABCCBAkCBAABC, 判斷正誤 相似三角形是全等三角形； 全等三角形是相似三角形； 全等三角形的相似比等于； 相似三角形的相似比一定不等于 我們知道，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊也相等的兩個(gè)三角形全等你還記得三角形全等的判定條件嗎？ 你認(rèn)為判定兩個(gè)三角形相似至少需要哪些條件？ 兩個(gè)三角形中，至少有幾個(gè)角對(duì)應(yīng)相等能保證這兩個(gè)三角形相似？ 8. 8.加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用的

18、教學(xué)加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用的教學(xué). . 相似三角形的知識(shí)在實(shí)際中應(yīng)用很廣相似三角形的知識(shí)在實(shí)際中應(yīng)用很廣, ,能直接應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)的能直接應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)的例子很多例子很多. .加強(qiáng)這方面的教學(xué)加強(qiáng)這方面的教學(xué), ,不僅可以不僅可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握, ,而而且通過(guò)應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題且通過(guò)應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題, ,還會(huì)提還會(huì)提高他們學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)的積極性高他們學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)的積極性. . 有一塊呈三角形形狀的草坪，其中一邊的長(zhǎng)是米在這塊草坪的圖紙上，這條邊的長(zhǎng)為厘米，其他兩邊的長(zhǎng)都是厘米你能求出這塊草坪的實(shí)際周長(zhǎng)與面積嗎？ 你知道古埃及的金字塔有多高嗎？據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯游歷古埃及時(shí)，只用一根木棍和尺子就測(cè)量、計(jì)算出了金字塔的高度，使古埃及法老阿美西斯欽羨不已你明白泰勒斯測(cè)算金字塔高度的道理嗎？ 9. 9.努力體現(xiàn)圖形相似的文化價(jià)值努力體現(xiàn)圖形相似的文化價(jià)值. .教教