現(xiàn)代控制實(shí)驗(yàn)zhouwei

1、 現(xiàn)在控制理論實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一用matlab完成倒立擺系統(tǒng)的分析與綜合班級(jí)：自動(dòng)化 32011003學(xué)號(hào)：3201100318姓名：周偉指導(dǎo)老師：閆茂德實(shí)驗(yàn)一 用Matlab完成倒立擺系統(tǒng)的分析與綜合目 錄1 緒論11.1 控制理論的發(fā)展1.2 倒立擺的相關(guān)知識(shí)1.3 倒立擺主要控制方法2 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立22.1 倒立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)與建模2.2 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定2.3 系統(tǒng)能控性與能觀性3 極點(diǎn)配置控制方案的設(shè)計(jì)63.1 極點(diǎn)配置理論3.2 極點(diǎn)配置算法3.3 極點(diǎn)配置控制方案的設(shè)計(jì)4 控制系統(tǒng)的MATLAB仿真124.1 MATLAB軟件介紹4.2 極點(diǎn)配置控制方案的仿真 5 小結(jié)16

2、1 緒論1.1 控制理論的發(fā)展控制理論發(fā)展可以分為三個(gè)階段: 第一階段是經(jīng)典控制理論階段. 第二階段是現(xiàn)代控制理論階段。 第三階段是大系統(tǒng)理論和智能控制理論階段。1.2 倒立擺的相關(guān)知識(shí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合和快速運(yùn)動(dòng)的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種新型控制理論和方法有效性的典型裝置。本文研究了直線一級(jí)倒立擺的控制問題。首先闡述了倒立擺系統(tǒng)控制的研究發(fā)展過程和現(xiàn)狀，接著介紹了倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并詳細(xì)推導(dǎo)了一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。本文用極點(diǎn)配置法通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足要求的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。通過比較和MATLAB仿真，

3、驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性、穩(wěn)定性和抗干擾性。1.3 倒立擺主要控制方法倒立擺的控制方法可分為以下幾類 ：(1)線性理論控制方法將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法，得到期望的控制器(2)預(yù)測(cè)控制和變結(jié)構(gòu)控制方法預(yù)測(cè)控制：是一種優(yōu)化控制方法，強(qiáng)調(diào)的是模型的功能而不是結(jié)構(gòu)。變結(jié)構(gòu)控制：是一種非連續(xù)控制，可將控制對(duì)象從任意位置控制到滑動(dòng)曲面上仍然保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，但是系統(tǒng)存在顫抖。預(yù)測(cè)控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制在理論上有較好的控制效果，但由于控制方法復(fù)雜，成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。2 直線一階

4、倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立2.1 倒立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)與建模2.1.1 倒立擺物理結(jié)構(gòu)2.1.2 倒立擺受力分析 2.1.3 運(yùn)動(dòng)方程的線性化與微分方程模型 （1.2.3，內(nèi)容均與實(shí)驗(yàn)原理相同，在此就不重述了） 2.1.4 傳遞函數(shù)模型將式 2.9進(jìn)行拉普拉斯變換（假設(shè)初始條件為0）得到 （式 2.10）由于需要輸出為角度，化簡(jiǎn)上式消去X(s)，求解上式中的第一個(gè)等式，可得 （式 2.11）將式2.11代入式2.10消去X(s)可得 （式 2.12）整理后可得以u(píng)為輸入量，以擺桿角度為輸出量的傳遞函數(shù) （式 2.13）式中。若取小車位移為輸出量，可得傳遞函數(shù) （式 2.14）2.1.5 狀態(tài)空間數(shù)學(xué)

5、模型由現(xiàn)代控制理論可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：在式2.9中對(duì)、求解代數(shù)方程，得到如下解： （式2.15）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： （式2.16） （式 2.17）2.2 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定倒立擺系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)是可以得到的。有些參數(shù)可以直接測(cè)得，如擺的質(zhì)量、長度、擺桿的重心到轉(zhuǎn)軸的距離、小車的質(zhì)量等。而有些參數(shù)需要采用間接的方法得到，如擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、小車的等效摩擦系數(shù)、轉(zhuǎn)軸的等效摩擦系數(shù)等。假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：M小車質(zhì)量0.8 kgm擺桿質(zhì)量0.5 kgb小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/secl擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸之間的長度0.4 mI擺桿慣量0.007 kg*

6、m*mT采樣時(shí)間0.005 s把上述參數(shù)代入式2.13、式2.14、式2.16、式2.17中，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型 。擺桿角度和輸入量u的傳遞函數(shù)為： （式 2.18）小車位移x和輸入量u之間的傳遞函數(shù)為： （式 2.19）系統(tǒng)的狀態(tài)方程： （式 2.20） （式 2.21）2.3 系統(tǒng)能控性與能觀性經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入- 輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，且是穩(wěn)定的，輸出量總是可以被測(cè)量的，因而不需要提出可控性及可觀性概念。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來影響和控制由任意的初態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則系統(tǒng)是完全可控的,否則就稱系統(tǒng)不完全可控。相應(yīng)的，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)

7、變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反應(yīng)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測(cè)；反之，則稱系統(tǒng)不完全可觀測(cè)。應(yīng)用式 2.20與式 2.21推導(dǎo)出的系統(tǒng)狀態(tài)方程，在MATLAB中執(zhí)行以下的命令：A=0 1 0 0 ;0 -1.1040 1.0944 0;0 0 0 1;0 -0.2736 35.5677 0;B=0;1.1039;0;2.7360;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0;Tc=ctrb(A,B); To=obsv(A,C);rank(Tc)rank(Tc)執(zhí)行結(jié)果為：ans =4ans =4可見Tc矩陣和To矩陣的秩都為4等于系統(tǒng)的階次，所以系統(tǒng)是完全可控且完全可觀測(cè)的。3 極點(diǎn)配置控

8、制方案的設(shè)計(jì)3.1 極點(diǎn)配置理論對(duì)于如下的線性定常系統(tǒng)： （式 3.1）狀態(tài)反饋控制力u(t)為：式中，K為增益，r為參考輸入命令，y為輸出。將控制力u(t)代入系統(tǒng)可得閉環(huán)系統(tǒng)方程為： （式 3.2）顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式應(yīng)為:（式 3.3）由式 3.2可知，經(jīng)狀態(tài)反饋增益后，系統(tǒng)矩陣A變成了A-BK1，適當(dāng)?shù)倪x擇反饋增益矩陣，可以改變系統(tǒng)的特征方程，也就是改變系統(tǒng)極點(diǎn)的位置。 C K AB圖3.1 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖3.1中A、B、C矩陣和積分環(huán)節(jié)組成了基本的狀態(tài)空間方程的基本結(jié)構(gòu)框圖，加入狀態(tài)反饋矩陣K后，構(gòu)成閉環(huán)全狀態(tài)反饋系統(tǒng)。3.2 極點(diǎn)配置算法單輸入單輸出系統(tǒng)確定滿足極

9、點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋矩陣K的算法主要有系統(tǒng)匹配法、Ackermann配置法、Gura-Bass算法等幾種方法。其中較為常用的方法是Gura-Bass算法，其具體步驟為:1)判斷系統(tǒng)的可控性。確定能否完成預(yù)定的閉環(huán)極點(diǎn)配置綜合目標(biāo)；2)計(jì)算A的特征多項(xiàng)式，即開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式3.4式的個(gè)系數(shù)；3)由給定的動(dòng)態(tài)指標(biāo)或閉環(huán)極點(diǎn)要求確定閉環(huán)特征多項(xiàng)式3.4式的個(gè)系數(shù)；4)計(jì)算矩陣；5)計(jì)算變換陣T: （式 3.4）6、計(jì)算所求的增益陣Gura-Bass算法不僅適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)，也同樣適用于單輸入-多輸出系統(tǒng)。多輸入-多輸出系統(tǒng)可以化為等價(jià)的單輸入系統(tǒng)，進(jìn)而采用單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法3.3

10、極點(diǎn)配置控制方案的設(shè)計(jì)所謂狀態(tài)反饋，就是用狀態(tài)向量與一個(gè)系數(shù)矩陣的積作為控制向量控制力u 是一個(gè)加給小車水平方向的力 u，狀態(tài)變量有4個(gè)，所以反饋系數(shù)是個(gè)1 X 4階的矩陣（式 3.5）則系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制力可用狀態(tài)變量與各自系數(shù)乘積之和的形式表示，即（式 3.6）狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方框圖4如圖3.2所示：圖3.2 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的框圖 圖3.2中狀態(tài)空間方程是系統(tǒng)的主體，狀態(tài)空間的四個(gè)狀態(tài)變量分別與四個(gè)增益相乘后求和作為控制力u作為狀態(tài)空間方程的輸入。根據(jù)第二章已經(jīng)得到的倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程2.20式和2.21式中的矩陣A、B。矩陣A的特征值是方程的根：（式 3.7）利用matlab求得系統(tǒng)

11、的特征根為分別為：特征根之一的實(shí)部是正值，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可知：u=0時(shí)，倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。對(duì)這一不穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)用狀態(tài)反饋，可使擺桿垂直且使小車處于基準(zhǔn)位置，即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。在用狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)中，應(yīng)用狀態(tài)反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)的特征根，以矩陣（A+BK）的特征值給出。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征值都要處于復(fù)平面的左半平面。矩陣（A+BK）的特征值是方程式的根： （式 3.8）這是s 的四次代數(shù)方程式，表示為多項(xiàng)式形式： （式 3.9）選擇適當(dāng)?shù)姆答佅禂?shù)，系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。 把四個(gè)特征根 設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有 （式 3.10）比較式3.9和式3.10有下列聯(lián)

12、立方程式：（式 3.11）如果給出的是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實(shí)數(shù)。據(jù)此可求解出實(shí)數(shù)。當(dāng)將特征根指定為下列兩組共軛復(fù)數(shù)時(shí) （式 3.12）利用方程式可列出關(guān)于的方程組求解后得：（式 3.13）即施加在小車水平方向的控制力（式 3.14）上式給出的狀態(tài)反饋控制器，可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有的狀態(tài)變量都可穩(wěn)定在零的狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在干擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置，依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立，使小車保持在基準(zhǔn)位置。 相對(duì)平衡狀態(tài)的偏移，得到迅速修正的程度要依賴于指定的特征根的值。一般來說，將指定的特征根配置在原點(diǎn)的左側(cè)，

13、離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，控制動(dòng)作就越迅速，但相應(yīng)地需要更大的控制力和快速的靈敏度。表3.1所示為在復(fù)平面上指定的特征根配置成三種情況分別得到的反饋系數(shù)。圖3.3為指定特征根在復(fù)平面的分布情況。表3.1 特征根三種配置情況符號(hào)指定特征值 反饋系數(shù)123圖3.3 極點(diǎn)配置法指定的特征根表3.1中的第一組配置數(shù)據(jù)在圖3.3中以表示，在虛軸左側(cè)周圍原點(diǎn)分布，距離遠(yuǎn)點(diǎn)很近，對(duì)應(yīng)的的反饋系數(shù)也比較小；第二組數(shù)據(jù)以表示，也在虛軸左側(cè)原點(diǎn)周圍，距離比第一組數(shù)據(jù)遠(yuǎn)，反饋系數(shù)較大；第三組數(shù)據(jù)以表示，也在虛軸左側(cè)，其中有一對(duì)遠(yuǎn)離原點(diǎn)的共軛復(fù)根，對(duì)應(yīng)的反饋系數(shù)最大。這顯示出特征根越往復(fù)平面的左側(cè)配置，的值就越大這一傾向4?？傊?/p>

14、用極點(diǎn)配置法指定的特征根和用極點(diǎn)配置法得到的控制系統(tǒng)的特性兩者密切相關(guān)，在實(shí)際控制系統(tǒng)中，若由極點(diǎn)配置法決定反饋系數(shù)，必須反復(fù)進(jìn)行這樣的仿真，以得到滿足更具體的控制目標(biāo)和硬件上的制約的控制系統(tǒng) 4 控制系統(tǒng)的MATLAB仿真 4.1 MATLAB軟件介紹MATLAB擁有功能強(qiáng)大、豐富的函數(shù)工具箱，可以實(shí)現(xiàn)科學(xué)計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、算法研究、數(shù)學(xué)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學(xué)工程繪圖以及圖形用戶界面設(shè)計(jì)等強(qiáng)大功能7。MATLAB語言具有如下特點(diǎn)：（1）編程效率高（2）語句簡(jiǎn)單，用戶使用方便（3）擴(kuò)展能力強(qiáng)（4）方便的繪圖功能4.2 極點(diǎn)配置控制方案的仿真一階倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng)如圖4.1：圖4.1

15、 系統(tǒng)開環(huán)響應(yīng)曲線其中：綠線為角度響應(yīng)，藍(lán)線為位移響應(yīng)仿真表明系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，在微小的擾動(dòng)下都會(huì)發(fā)散，因此需要采取一定的控制策略，使系統(tǒng)穩(wěn)定。利用Simulink建立系統(tǒng)模型，如圖4.2：圖4.2 極點(diǎn)配置系統(tǒng)框圖圖中狀態(tài)空間State-Space模塊是一階倒立擺的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)計(jì)算出的倒立擺系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置其中的A、B、C、D矩陣，狀態(tài)空間的輸出是四個(gè)狀態(tài)分別經(jīng)過四個(gè)放大器后相加作為狀態(tài)空間的反饋輸入。把位移和角度作為觀察量輸入Scope中，同時(shí)作為s函數(shù)的輸入。當(dāng)極點(diǎn)配置為時(shí)在初始擾動(dòng)為5的脈沖干擾時(shí)輸出波形如圖4.3：圖4.3 極點(diǎn)配置初始擾動(dòng)響應(yīng)從圖4.3可以看出在此反饋增益下，在初始擾動(dòng)時(shí)5 s后系統(tǒng)才穩(wěn)定下來，響應(yīng)時(shí)間較長，難以滿足快速性的要求。在34 s時(shí)加入幅值為30的干擾信號(hào)，再次仿真。圖4.4 極點(diǎn)配置抗干擾性在3 s時(shí)加入脈沖干擾，觀察輸出信號(hào)可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)需要2 s時(shí)間才能穩(wěn)定下來，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間較大，穩(wěn)定性不足，難以滿足系統(tǒng)快速性的要求。重新調(diào)整極點(diǎn)位置，經(jīng)過多次仿真發(fā)現(xiàn)將極點(diǎn)配置在時(shí)系統(tǒng)具有相對(duì)最優(yōu)的響應(yīng)特性，此時(shí)反饋增益向量為在初始擾動(dòng)為5的脈沖干擾時(shí)下輸出波形如圖4.5：圖4.5 改變配置參數(shù)后系統(tǒng)輸出觀察輸出信號(hào)可以發(fā)現(xiàn)