現(xiàn)代控制實驗zhouwei

1、 現(xiàn)在控制理論實驗實驗一用matlab完成倒立擺系統(tǒng)的分析與綜合班級：自動化 32011003學號：3201100318姓名：周偉指導老師：閆茂德實驗一 用Matlab完成倒立擺系統(tǒng)的分析與綜合目 錄1 緒論11.1 控制理論的發(fā)展1.2 倒立擺的相關知識1.3 倒立擺主要控制方法2 直線一階倒立擺數(shù)學模型的建立22.1 倒立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)與建模2.2 系統(tǒng)參數(shù)設定2.3 系統(tǒng)能控性與能觀性3 極點配置控制方案的設計63.1 極點配置理論3.2 極點配置算法3.3 極點配置控制方案的設計4 控制系統(tǒng)的MATLAB仿真124.1 MATLAB軟件介紹4.2 極點配置控制方案的仿真 5 小結(jié)16

2、1 緒論1.1 控制理論的發(fā)展控制理論發(fā)展可以分為三個階段: 第一階段是經(jīng)典控制理論階段. 第二階段是現(xiàn)代控制理論階段。 第三階段是大系統(tǒng)理論和智能控制理論階段。1.2 倒立擺的相關知識倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、非線性、強耦合和快速運動的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗各種新型控制理論和方法有效性的典型裝置。本文研究了直線一級倒立擺的控制問題。首先闡述了倒立擺系統(tǒng)控制的研究發(fā)展過程和現(xiàn)狀，接著介紹了倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并詳細推導了一級倒立擺的數(shù)學模型。本文用極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足要求的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。通過比較和MATLAB仿真，

3、驗證了所設計的控制器的有效性、穩(wěn)定性和抗干擾性。1.3 倒立擺主要控制方法倒立擺的控制方法可分為以下幾類 ：(1)線性理論控制方法將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設計方法，得到期望的控制器(2)預測控制和變結(jié)構(gòu)控制方法預測控制：是一種優(yōu)化控制方法，強調(diào)的是模型的功能而不是結(jié)構(gòu)。變結(jié)構(gòu)控制：是一種非連續(xù)控制，可將控制對象從任意位置控制到滑動曲面上仍然保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，但是系統(tǒng)存在顫抖。預測控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應控制在理論上有較好的控制效果，但由于控制方法復雜，成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實時實現(xiàn)。2 直線一階

4、倒立擺數(shù)學模型的建立2.1 倒立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)與建模2.1.1 倒立擺物理結(jié)構(gòu)2.1.2 倒立擺受力分析 2.1.3 運動方程的線性化與微分方程模型 （1.2.3，內(nèi)容均與實驗原理相同，在此就不重述了） 2.1.4 傳遞函數(shù)模型將式 2.9進行拉普拉斯變換（假設初始條件為0）得到 （式 2.10）由于需要輸出為角度，化簡上式消去X(s)，求解上式中的第一個等式，可得 （式 2.11）將式2.11代入式2.10消去X(s)可得 （式 2.12）整理后可得以u為輸入量，以擺桿角度為輸出量的傳遞函數(shù) （式 2.13）式中。若取小車位移為輸出量，可得傳遞函數(shù) （式 2.14）2.1.5 狀態(tài)空間數(shù)學

5、模型由現(xiàn)代控制理論可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：在式2.9中對、求解代數(shù)方程，得到如下解： （式2.15）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： （式2.16） （式 2.17）2.2 系統(tǒng)參數(shù)設定倒立擺系統(tǒng)實際上是一個定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)是可以得到的。有些參數(shù)可以直接測得，如擺的質(zhì)量、長度、擺桿的重心到轉(zhuǎn)軸的距離、小車的質(zhì)量等。而有些參數(shù)需要采用間接的方法得到，如擺桿的轉(zhuǎn)動慣量、小車的等效摩擦系數(shù)、轉(zhuǎn)軸的等效摩擦系數(shù)等。假設系統(tǒng)內(nèi)部各相關參數(shù)為：M小車質(zhì)量0.8 kgm擺桿質(zhì)量0.5 kgb小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/secl擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸之間的長度0.4 mI擺桿慣量0.007 kg*

6、m*mT采樣時間0.005 s把上述參數(shù)代入式2.13、式2.14、式2.16、式2.17中，可以得到系統(tǒng)的實際模型 。擺桿角度和輸入量u的傳遞函數(shù)為： （式 2.18）小車位移x和輸入量u之間的傳遞函數(shù)為： （式 2.19）系統(tǒng)的狀態(tài)方程： （式 2.20） （式 2.21）2.3 系統(tǒng)能控性與能觀性經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入- 輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，且是穩(wěn)定的，輸出量總是可以被測量的，因而不需要提出可控性及可觀性概念。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運動都可由輸入來影響和控制由任意的初態(tài)達到原點，則系統(tǒng)是完全可控的,否則就稱系統(tǒng)不完全可控。相應的，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)

7、變量的任意形式的運動均可由輸出完全反應，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測；反之，則稱系統(tǒng)不完全可觀測。應用式 2.20與式 2.21推導出的系統(tǒng)狀態(tài)方程，在MATLAB中執(zhí)行以下的命令：A=0 1 0 0 ;0 -1.1040 1.0944 0;0 0 0 1;0 -0.2736 35.5677 0;B=0;1.1039;0;2.7360;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0;Tc=ctrb(A,B); To=obsv(A,C);rank(Tc)rank(Tc)執(zhí)行結(jié)果為：ans =4ans =4可見Tc矩陣和To矩陣的秩都為4等于系統(tǒng)的階次，所以系統(tǒng)是完全可控且完全可觀測的。3 極點配置控

8、制方案的設計3.1 極點配置理論對于如下的線性定常系統(tǒng)： （式 3.1）狀態(tài)反饋控制力u(t)為：式中，K為增益，r為參考輸入命令，y為輸出。將控制力u(t)代入系統(tǒng)可得閉環(huán)系統(tǒng)方程為： （式 3.2）顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式應為:（式 3.3）由式 3.2可知，經(jīng)狀態(tài)反饋增益后，系統(tǒng)矩陣A變成了A-BK1，適當?shù)倪x擇反饋增益矩陣，可以改變系統(tǒng)的特征方程，也就是改變系統(tǒng)極點的位置。 C K AB圖3.1 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖3.1中A、B、C矩陣和積分環(huán)節(jié)組成了基本的狀態(tài)空間方程的基本結(jié)構(gòu)框圖，加入狀態(tài)反饋矩陣K后，構(gòu)成閉環(huán)全狀態(tài)反饋系統(tǒng)。3.2 極點配置算法單輸入單輸出系統(tǒng)確定滿足極

9、點配置要求的狀態(tài)反饋矩陣K的算法主要有系統(tǒng)匹配法、Ackermann配置法、Gura-Bass算法等幾種方法。其中較為常用的方法是Gura-Bass算法，其具體步驟為:1)判斷系統(tǒng)的可控性。確定能否完成預定的閉環(huán)極點配置綜合目標；2)計算A的特征多項式，即開環(huán)系統(tǒng)的特征多項式3.4式的個系數(shù)；3)由給定的動態(tài)指標或閉環(huán)極點要求確定閉環(huán)特征多項式3.4式的個系數(shù)；4)計算矩陣；5)計算變換陣T: （式 3.4）6、計算所求的增益陣Gura-Bass算法不僅適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)，也同樣適用于單輸入-多輸出系統(tǒng)。多輸入-多輸出系統(tǒng)可以化為等價的單輸入系統(tǒng)，進而采用單輸入系統(tǒng)的極點配置算法3.3

10、極點配置控制方案的設計所謂狀態(tài)反饋，就是用狀態(tài)向量與一個系數(shù)矩陣的積作為控制向量控制力u 是一個加給小車水平方向的力 u，狀態(tài)變量有4個，所以反饋系數(shù)是個1 X 4階的矩陣（式 3.5）則系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制力可用狀態(tài)變量與各自系數(shù)乘積之和的形式表示，即（式 3.6）狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方框圖4如圖3.2所示：圖3.2 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的框圖 圖3.2中狀態(tài)空間方程是系統(tǒng)的主體，狀態(tài)空間的四個狀態(tài)變量分別與四個增益相乘后求和作為控制力u作為狀態(tài)空間方程的輸入。根據(jù)第二章已經(jīng)得到的倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程2.20式和2.21式中的矩陣A、B。矩陣A的特征值是方程的根：（式 3.7）利用matlab求得系統(tǒng)

11、的特征根為分別為：特征根之一的實部是正值，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可知：u=0時，倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。對這一不穩(wěn)定系統(tǒng)應用狀態(tài)反饋，可使擺桿垂直且使小車處于基準位置，即達到穩(wěn)定狀態(tài)。在用狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)中，應用狀態(tài)反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)的特征根，以矩陣（A+BK）的特征值給出。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征值都要處于復平面的左半平面。矩陣（A+BK）的特征值是方程式的根： （式 3.8）這是s 的四次代數(shù)方程式，表示為多項式形式： （式 3.9）選擇適當?shù)姆答佅禂?shù)，系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。 把四個特征根 設為四次代數(shù)方程式的根，則有 （式 3.10）比較式3.9和式3.10有下列聯(lián)

12、立方程式：（式 3.11）如果給出的是實數(shù)或共軛復數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實數(shù)。據(jù)此可求解出實數(shù)。當將特征根指定為下列兩組共軛復數(shù)時 （式 3.12）利用方程式可列出關于的方程組求解后得：（式 3.13）即施加在小車水平方向的控制力（式 3.14）上式給出的狀態(tài)反饋控制器，可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有的狀態(tài)變量都可穩(wěn)定在零的狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在干擾時，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準位置，依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立，使小車保持在基準位置。 相對平衡狀態(tài)的偏移，得到迅速修正的程度要依賴于指定的特征根的值。一般來說，將指定的特征根配置在原點的左側(cè)，

13、離原點越遠，控制動作就越迅速，但相應地需要更大的控制力和快速的靈敏度。表3.1所示為在復平面上指定的特征根配置成三種情況分別得到的反饋系數(shù)。圖3.3為指定特征根在復平面的分布情況。表3.1 特征根三種配置情況符號指定特征值 反饋系數(shù)123圖3.3 極點配置法指定的特征根表3.1中的第一組配置數(shù)據(jù)在圖3.3中以表示，在虛軸左側(cè)周圍原點分布，距離遠點很近，對應的的反饋系數(shù)也比較小；第二組數(shù)據(jù)以表示，也在虛軸左側(cè)原點周圍，距離比第一組數(shù)據(jù)遠，反饋系數(shù)較大；第三組數(shù)據(jù)以表示，也在虛軸左側(cè)，其中有一對遠離原點的共軛復根，對應的反饋系數(shù)最大。這顯示出特征根越往復平面的左側(cè)配置，的值就越大這一傾向4?？傊?，

14、用極點配置法指定的特征根和用極點配置法得到的控制系統(tǒng)的特性兩者密切相關，在實際控制系統(tǒng)中，若由極點配置法決定反饋系數(shù)，必須反復進行這樣的仿真，以得到滿足更具體的控制目標和硬件上的制約的控制系統(tǒng) 4 控制系統(tǒng)的MATLAB仿真 4.1 MATLAB軟件介紹MATLAB擁有功能強大、豐富的函數(shù)工具箱，可以實現(xiàn)科學計算、符號運算、算法研究、數(shù)學建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學工程繪圖以及圖形用戶界面設計等強大功能7。MATLAB語言具有如下特點：（1）編程效率高（2）語句簡單，用戶使用方便（3）擴展能力強（4）方便的繪圖功能4.2 極點配置控制方案的仿真一階倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)響應如圖4.1：圖4.1

15、 系統(tǒng)開環(huán)響應曲線其中：綠線為角度響應，藍線為位移響應仿真表明系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，在微小的擾動下都會發(fā)散，因此需要采取一定的控制策略，使系統(tǒng)穩(wěn)定。利用Simulink建立系統(tǒng)模型，如圖4.2：圖4.2 極點配置系統(tǒng)框圖圖中狀態(tài)空間State-Space模塊是一階倒立擺的數(shù)學模型，根據(jù)計算出的倒立擺系統(tǒng)參數(shù)設置其中的A、B、C、D矩陣，狀態(tài)空間的輸出是四個狀態(tài)分別經(jīng)過四個放大器后相加作為狀態(tài)空間的反饋輸入。把位移和角度作為觀察量輸入Scope中，同時作為s函數(shù)的輸入。當極點配置為時在初始擾動為5的脈沖干擾時輸出波形如圖4.3：圖4.3 極點配置初始擾動響應從圖4.3可以看出在此反饋增益下，在初始擾動時5 s后系統(tǒng)才穩(wěn)定下來，響應時間較長，難以滿足快速性的要求。在34 s時加入幅值為30的干擾信號，再次仿真。圖4.4 極點配置抗干擾性在3 s時加入脈沖干擾，觀察輸出信號可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)需要2 s時間才能穩(wěn)定下來，系統(tǒng)的響應時間較大，穩(wěn)定性不足，難以滿足系統(tǒng)快速性的要求。重新調(diào)整極點位置，經(jīng)過多次仿真發(fā)現(xiàn)將極點配置在時系統(tǒng)具有相對最優(yōu)的響應特性，此時反饋增益向量為在初始擾動為5的脈沖干擾時下輸出波形如圖4.5：圖4.5 改變配置參數(shù)后系統(tǒng)輸出觀察輸出信號可以發(fā)現(xiàn)