第十三講 振動(dòng)與波動(dòng)大物

1、6 6 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)( (簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介) )阻尼阻尼(damp)(damp)：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類：阻尼種類： 摩擦阻尼摩擦阻尼輻射阻尼輻射阻尼一、阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程和表達(dá)式一、阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程和表達(dá)式1.1.阻力阻力dxdt ， f阻阻 = - = - 對(duì)在流體對(duì)在流體( (液體、氣體液體、氣體) )中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物 體速度較小時(shí)，體速度較小時(shí)，阻力阻力 速度。速度。 ：阻力系數(shù)阻力系數(shù)2.2.振動(dòng)方程振動(dòng)方程討論：在阻力作用下的彈簧振子討論：在阻力作用下的彈簧振子受力：彈性恢復(fù)力受力：彈性恢復(fù)力 -kxdxdt - 阻力阻力dxd

2、t - d2xdt2 m=- kx振動(dòng)方程振動(dòng)方程 引入引入阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) = /2m固有頻率固有頻率 0 = (k/m)1/2得得阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)(damped vibration)的振動(dòng)方程的振動(dòng)方程d2xdt2 = 0+ 02x+ 2 dxdt 此方程的解應(yīng)分三種情形討論：此方程的解應(yīng)分三種情形討論： 2 02 稱作稱作過(guò)阻尼過(guò)阻尼(overdamping) 2 = 02 稱作稱作臨界阻尼臨界阻尼(critical damping )3.3.振動(dòng)表達(dá)式振動(dòng)表達(dá)式 在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠阻尼下的阻尼下的阻尼振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式阻尼振動(dòng)的振動(dòng)表

3、達(dá)式，為為x(t) = A0e- tcos( t + )其中其中 = ( 02 - 2)1/2 (欠阻尼下欠阻尼下) xt o A0e- t阻尼振動(dòng)的振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)的振動(dòng)曲線 4.振動(dòng)曲線振動(dòng)曲線二二. .阻尼振動(dòng)的特點(diǎn)阻尼振動(dòng)的特點(diǎn) (欠阻尼下欠阻尼下) 1.振幅特點(diǎn)振幅特點(diǎn)振幅：振幅：A(t) = A0e- t振動(dòng)能量：振動(dòng)能量：E(t) = E0e-2 t2.2.周期特點(diǎn)周期特點(diǎn)位移相繼兩次達(dá)到正向極大值的時(shí)間間隔位移相繼兩次達(dá)到正向極大值的時(shí)間間隔T =2 =2 ( 02 - 2)1/2T0 (固有周期固有周期)三、三種阻尼下的振動(dòng)曲線三、三種阻尼下的振動(dòng)曲線to過(guò)阻尼過(guò)阻尼欠阻尼欠

4、阻尼臨界阻尼臨界阻尼 三種阻尼三種阻尼 和過(guò)阻尼情形相比，臨界阻尼和過(guò)阻尼情形相比，臨界阻尼情形下，物體回到平衡位置并情形下，物體回到平衡位置并停在那里，所需時(shí)間最短。停在那里，所需時(shí)間最短。7 7 受迫振動(dòng)與共振（簡(jiǎn)介）受迫振動(dòng)與共振（簡(jiǎn)介） 一、受迫振動(dòng)一、受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)(forced vibration)：振動(dòng)系統(tǒng)在周振動(dòng)系統(tǒng)在周 期性期性驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)作用下的振動(dòng)。 1.1.系統(tǒng)受力：系統(tǒng)受力：以彈簧振子為例，以彈簧振子為例， 彈性力彈性力 -kx阻尼力阻尼力 dt- ( )dx周期性驅(qū)動(dòng)力周期性驅(qū)動(dòng)力 f = F0 cos t 2.振動(dòng)方程：振動(dòng)方程：由牛頓定律有

5、由牛頓定律有- ( )m = -kx + f dxdtd2xdt 2+2 + 02x = hcos td2xdt 2dx dt 0 = ( )1/2km其中其中 是固有角頻率是固有角頻率 ； = 2mF0h =mx =Acos( t+ ) 3.穩(wěn)態(tài)解：穩(wěn)態(tài)解： 4.4.特點(diǎn)：特點(diǎn)： 穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)(但它不但它不是無(wú)是無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)，請(qǐng)注意兩者的區(qū)別阻尼自由諧振動(dòng)，請(qǐng)注意兩者的區(qū)別)。 (1)角頻率角頻率：等于驅(qū)動(dòng)力的：等于驅(qū)動(dòng)力的角角頻率頻率 (2)振幅振幅：系統(tǒng)作：系統(tǒng)作等幅振動(dòng)等幅振動(dòng)(雖有阻力消耗能雖有阻力消耗能 量，但同時(shí)有驅(qū)動(dòng)力作功對(duì)系統(tǒng)輸入能

6、量，量，但同時(shí)有驅(qū)動(dòng)力作功對(duì)系統(tǒng)輸入能量，系統(tǒng)仍可維持等幅振動(dòng)系統(tǒng)仍可維持等幅振動(dòng))。 其振幅其振幅由系統(tǒng)參數(shù)由系統(tǒng)參數(shù)( 0)、阻尼阻尼( )、驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力 (F0, )共同決定。共同決定。A =h( 02- 2)2+4 2 21/2A的大小敏感于的大小敏感于 和和 0的相對(duì)大小關(guān)系，而的相對(duì)大小關(guān)系，而 和初始條件和初始條件(x0、 0)無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。tg =-2 02- 2(3)初相初相：亦決定于：亦決定于 0、 、和、和 ，與初始條件，與初始條件 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 值在值在- 0之間之間?？梢?，位移可見，位移x落后于落后于 驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力f 的變化的變化( f的初相為零的初相為零)。 二、共振

7、二、共振(resonance)： 位移共振位移共振(displacement resonance) 速度共振速度共振(velocity resonance)1.位移共振位移共振位移共振位移共振：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率 等于某個(gè)等于某個(gè) 適當(dāng)數(shù)值適當(dāng)數(shù)值(稱共振角頻率稱共振角頻率)時(shí)，振幅出現(xiàn)極大時(shí)，振幅出現(xiàn)極大 值、振動(dòng)很劇烈的現(xiàn)象。值、振動(dòng)很劇烈的現(xiàn)象。 (1)共振角頻率共振角頻率： r= ( 02-2 2)1/2Ar =h2 ( 02- 2)1/2 (2)共振振幅共振振幅： 若阻尼很小，若阻尼很小， 2 02，則則 r 0 ， 2Ar h稱稱尖銳共振尖銳共振 2.速度共振速度共振

8、速度共振速度共振：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率正好等于系統(tǒng)當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率正好等于系統(tǒng) 的固有角頻率時(shí)，速度幅的固有角頻率時(shí)，速度幅 A達(dá)極大值的現(xiàn)達(dá)極大值的現(xiàn) 象。象。 (1)共振角頻率共振角頻率： r= 0Vmr =h2 (2)共振時(shí)共振時(shí)速度速度的的幅幅值：值：(3)共振時(shí)速度的共振時(shí)速度的初相初相： r = 0即速度共振時(shí)，速度與驅(qū)即速度共振時(shí)，速度與驅(qū)動(dòng)力同相，一周動(dòng)力同相，一周力總作正功，此時(shí)向系統(tǒng)力總作正功，此時(shí)向系統(tǒng)輸入的能量最大。輸入的能量最大。 期內(nèi)驅(qū)動(dòng)期內(nèi)驅(qū)動(dòng) (廟里的大鐘不敲自響的故事廟里的大鐘不敲自響的故事)。 故事：從前有一座山，山里有座廟，故事：從前有一座山，山里有座廟，演示

9、：演示： 音叉共振音叉共振 1940年華盛頓的塔科曼大橋年華盛頓的塔科曼大橋建成建成同年同年7月的一場(chǎng)大風(fēng)引起橋月的一場(chǎng)大風(fēng)引起橋的的共振使橋摧毀共振使橋摧毀 小號(hào)發(fā)出的聲波足以使酒杯破小號(hào)發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎碎 據(jù)說(shuō)，據(jù)說(shuō)，160多年前，不可一世的拿破侖率領(lǐng)法國(guó)軍隊(duì)多年前，不可一世的拿破侖率領(lǐng)法國(guó)軍隊(duì)入侵西班牙時(shí)，部隊(duì)行軍經(jīng)過(guò)一座鐵鏈懸橋，隨著軍官入侵西班牙時(shí)，部隊(duì)行軍經(jīng)過(guò)一座鐵鏈懸橋，隨著軍官雄壯的口令，隊(duì)伍跨著整齊的步伐趨向?qū)Π丁Ｕ谶@時(shí)，雄壯的口令，隊(duì)伍跨著整齊的步伐趨向?qū)Π?。正在這時(shí)，轟隆一聲巨響，大橋坍塌，士兵、軍官紛紛墜水。幾十轟隆一聲巨響，大橋坍塌，士兵、軍官紛紛墜水。幾十

10、年后，圣彼得堡卡坦卡河上，一支部隊(duì)過(guò)橋時(shí)也發(fā)生了年后，圣彼得堡卡坦卡河上，一支部隊(duì)過(guò)橋時(shí)也發(fā)生了同樣的慘劇。從此，世界各國(guó)的軍隊(duì)過(guò)橋時(shí)都不準(zhǔn)齊步同樣的慘劇。從此，世界各國(guó)的軍隊(duì)過(guò)橋時(shí)都不準(zhǔn)齊步走，必須改用凌亂無(wú)序的碎步通過(guò)。一般認(rèn)為，這是由走，必須改用凌亂無(wú)序的碎步通過(guò)。一般認(rèn)為，這是由于軍隊(duì)步伐的周期與橋的固有周期相近，發(fā)生共振所致。于軍隊(duì)步伐的周期與橋的固有周期相近，發(fā)生共振所致。 減振和防振是工程技術(shù)和科學(xué)研究里的一項(xiàng)重要任減振和防振是工程技術(shù)和科學(xué)研究里的一項(xiàng)重要任務(wù)。減振和防振的辦法，除了使用阻尼器吸收振動(dòng)的務(wù)。減振和防振的辦法，除了使用阻尼器吸收振動(dòng)的消極辦法外，積極的措施是利用共

11、振的原理來(lái)設(shè)計(jì)各消極辦法外，積極的措施是利用共振的原理來(lái)設(shè)計(jì)各種機(jī)械濾波裝置，把最有害波段的振動(dòng)濾掉。種機(jī)械濾波裝置，把最有害波段的振動(dòng)濾掉。 汽車的減振裝置模型，這里有三級(jí)濾波：最下面的一級(jí)汽車的減振裝置模型，這里有三級(jí)濾波：最下面的一級(jí)是輪軸和輪胎組成的彈簧是輪軸和輪胎組成的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，車身和底座彈簧構(gòu)成質(zhì)量系統(tǒng)，車身和底座彈簧構(gòu)成第二級(jí)，乘客和座椅彈簧構(gòu)成第三級(jí)。當(dāng)質(zhì)量較大而彈簧的第二級(jí)，乘客和座椅彈簧構(gòu)成第三級(jí)。當(dāng)質(zhì)量較大而彈簧的勁度系數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)較小時(shí)，各級(jí)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率足夠低，勁度系數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)較小時(shí)，各級(jí)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率足夠低，就可形成一個(gè)低通濾波器，把大部分有害的高頻振動(dòng)

12、濾掉。就可形成一個(gè)低通濾波器，把大部分有害的高頻振動(dòng)濾掉。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 (combination of simple harmonic motions)： 8同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)：分振動(dòng)：一物體同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線一物體同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線 上的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其表達(dá)式為上的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其表達(dá)式為 x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)x =A cos( t+ ) 2.合振動(dòng)：合振動(dòng)： x = x1+x2合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其，其角頻率角頻率仍為

13、仍為 ，A = A12 +A22 + 2A1A2cos( 2 - 1)A1sin 1 + A2sin 2A1cos 1 + A2cos 2tg =3.兩種特殊情況兩種特殊情況(1)若兩分振動(dòng)同相若兩分振動(dòng)同相， 2 1 = 2k ，則，則 A=A1+A2， 兩分振動(dòng)兩分振動(dòng) 相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)。(2)若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相， 2 1= (2k+1) ,則則A = |A1 - A2|， 兩分振動(dòng)兩分振動(dòng) 相互減弱相互減弱。 (以上以上k = 0,1,2,)如再有如再有A1=A2， 則則A = 0。 此情形下，此情形下，“振動(dòng)加振動(dòng)等于不振動(dòng)振動(dòng)加振動(dòng)等于不振動(dòng)”。9 、 同一直線上不同頻率的

14、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)：分振動(dòng)： 設(shè)為設(shè)為 x1 = Acos 1t x2 = Acos 2tx = 2Acos( 2 - 12 2 + 12) t cos() t2.合振動(dòng)：合振動(dòng)： x = x1 + x2合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 9tx1 2tx2 1 = 1- 2 tx合振動(dòng)可看作合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 其其中中tAtA)2cos(2)(12 隨緩變隨緩變)2cos(cos12tt 隨快變隨快變3.拍拍(beat)合振動(dòng)的周期性時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象稱作合振動(dòng)的周期性時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象稱作拍拍。 拍頻拍頻(beat fr

15、equency)： 單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)。 b=| 2- 1| 或或 b=| 2- 1| b即即A2(t) 或或 |A(t)| 的變化頻率。的變化頻率。演示：演示：用音叉演示拍現(xiàn)象用音叉演示拍現(xiàn)象例例2 2、三個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)三個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng): :)tcos(.x63140801 )tcos(.x23140802 )tcos(.x653140803 求求: (1): (1)合振動(dòng)表達(dá)式合振動(dòng)表達(dá)式 (2)(2)合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到合振動(dòng)由初始位置運(yùn)動(dòng)到Ax22 所需最短時(shí)間所需最短時(shí)間10 10 諧振分析諧振分析一一. 一個(gè)

16、周期性振動(dòng)可分解為一系列一個(gè)周期性振動(dòng)可分解為一系列 頻率分立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率分立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)若周期振動(dòng)的頻率為若周期振動(dòng)的頻率為 : 0則各分振動(dòng)的頻率為則各分振動(dòng)的頻率為: 0, 2 0, 3 0, (基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , ) xot鋸齒波鋸齒波A 03 05 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0二二. .一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限xot阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)頻譜圖阻尼振動(dòng)頻譜圖o A多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)11

17、 、相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成、相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)：分振動(dòng)：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)相互垂直的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng) x = A1cos( t+ 1) y = A2cos( t+ 2) 2.合運(yùn)動(dòng)合運(yùn)動(dòng)位移：是兩個(gè)分振動(dòng)位移的矢量和。位移：是兩個(gè)分振動(dòng)位移的矢量和。軌跡方程：軌跡方程： x yA1x2A12y2A22+-2cos( 2- 1)= sin2( 2- 1)A2(1)合運(yùn)動(dòng)一般是在合運(yùn)動(dòng)一般是在2A1(x向向)、2A2(y向向) 范圍范圍 內(nèi)的一個(gè)橢圓內(nèi)的一個(gè)橢圓 。(2)橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì)(方位、長(zhǎng)短軸、左右旋方位、長(zhǎng)短軸、左右旋) 在在A1、 A2 確定之后，確定之后，主要決定于主要決定于 = 0 = /4 = /2 = 3 /4 = = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4P Q兩個(gè)沿垂直方向的同頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的軌跡兩個(gè)沿垂直方向的同頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的軌跡 = 2 - 1用旋轉(zhuǎn)矢量法作圖用旋轉(zhuǎn)矢量法作圖tAxcos1)4cos(2tAyxxyy1A2A1A2A右旋右旋1-11垂直振動(dòng)的合成.exe四、相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成四、相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成若兩振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比，若兩振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比，則軌跡為穩(wěn)則軌跡為穩(wěn) 定的閉合曲線，稱定的閉合曲線，稱李