結構優(yōu)化設計第2章

1、2.1 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述優(yōu)化問題的數(shù)學表述2.2 2.2 優(yōu)化算法中的基本概念優(yōu)化算法中的基本概念2.32.3工程優(yōu)化問題的收斂條件工程優(yōu)化問題的收斂條件 第2章 優(yōu)化設計的數(shù)學表述及其基本概念優(yōu)化問題的數(shù)學表述優(yōu)化問題的數(shù)學表述2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 飛行器優(yōu)化設計計問題，要求在滿足規(guī)定的戰(zhàn)術和技術條件下，尋找一組參數(shù)，使其設計指標達到最佳，得到最優(yōu)設計方案。 2.1.1 2.1.1 優(yōu)化設計的基本要素優(yōu)化設計的基本要素2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u設計變量u約束條件 u目標函數(shù)1.設計變量1）設計變量類型2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u在一個結構設計方案中：全部參數(shù)設計參數(shù)（給定的

2、參數(shù)，設計變量）性態(tài)參數(shù)中間參數(shù) 設計參數(shù)是設計中的自變量，通常由設計者主動選擇 性態(tài)參數(shù)是結構的各種性態(tài)變量，例如應力、位移、自振頻率等等，是設計參數(shù)的因變量 設計者不能直接選出所需要的性態(tài)參數(shù)，而只能靠結構分析來描述 中間參數(shù)是由設計參數(shù)求性態(tài)參數(shù)，例如單元的應力是一個性態(tài)參數(shù)，求應力時所需的內(nèi)力就是一個中間參數(shù)。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u在優(yōu)化過程中，針對具體問題，往往將設計參數(shù)中的一部分事先給定，例如在截面優(yōu)化設計中，結構的坐標給定，結構中桿件連接關系給定，材料給定，這稱為確定參數(shù)。 調(diào)整另一部分設計參數(shù)(截面面積)，這些可調(diào)整的設計參數(shù)，稱為設計變量。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述

3、u設計變量從性質(zhì)上可分為如下三種類型： （1)拓撲變量。包括元件、連接點及支持條件的數(shù)目及空間排列秩序等。該類變量描述了結構的構造模式。 （2)外形變量。該類變量描述了結構的幾何外形，通常是節(jié)點坐標。 （3)尺寸變量。該類變量描述了組成結構元件的截面尺寸，如桿元件的截面面積、板元的厚度、受彎元件的截面慣性矩等。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u對應上述三類變量的優(yōu)化分別稱為結構拓撲優(yōu)化、結構外形優(yōu)化和結構尺寸優(yōu)化。 拓撲和外形變量一般定義了結構的布局，同時包括拓撲和外形的優(yōu)化就是結構布局優(yōu)化。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 目前對于復雜結構，還沒有有效的方法來解決拓撲優(yōu)化問題。 對于外形優(yōu)化問題，雖然有

4、不少的優(yōu)化方法可以處理，但計算工作量極大。 因此，結構的拓撲和外形參數(shù)多是預先給定的，或者是通過對有限個預先給定的拓撲和外形參數(shù)的方案進行比較來實現(xiàn)“優(yōu)化”的。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u設計變量在數(shù)學上的分類有連續(xù)變量和離散變量兩種。 例如：鋁板之類規(guī)格化材料的厚度是嚴密的離散形元件；柱子根數(shù)和加強件的數(shù)量之類是整數(shù)形。 2）飛行器設計變量概念 飛行器某一系統(tǒng)或任一零件、部件的設計方案，都可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。 設計中應采用哪些基本參數(shù)來表示一個設計方案，依設計問題的性質(zhì)、各設計階段所規(guī)定的任務而定。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u有些設計方案可以用幾何參數(shù)表

5、示，如導彈的外形幾何參數(shù)，零件的幾何尺寸、剖面尺寸等；u有些則可以用某些相關的物理量表示，如航程，飛行高度，發(fā)動機推力或發(fā)動機轉數(shù)等；還有的可以用代表某些性能的導出量，如過載，導引系數(shù)，燃料的比沖，渦輪噴氣發(fā)動機的壓氣機增壓比和渦輪前溫度等表示。u設計變量定義 設計變量是指在設計過程中，能夠用以描述設計特性的獨立變量。一組設計變量構成一個設計方案。(簡單講, 設計中可調(diào)整的參數(shù)）2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述給定的 已知量基本參數(shù)未知的 設計變量2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u設計變量通常用 X=(x1, x2, xn)T ，表示，它們構成一個n維列向量X，即 其中: xin維向量X的第i個分量； T

6、nxxxX),(21u設計空間以設計變量為坐標軸，所構成的空間2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 如有兩個設計變量，則構成一個二維設計空間。 X=(x1, x2)T是一個二維空間的設計向量，在設計平面(x1ox2)上的每一個點，對應有一定的x1和x2值，因此向量X代表一個雙變量的設計方案2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 若三個設計變量，就構成一個三維設計空間。 設計向量為X=(x1, x2, xn)T 。 若設計變量個數(shù)n3，稱為超維幾何設計空間。設計向量代表一組設計參數(shù)x1, x2, xn ，是一個n變量的設計方案。 2.約束條件 要使設計的工程結構能夠滿足設計者所要求的各項功能，設計者必須對結構的應力、

7、位移、自振頻率、臨界載荷等性態(tài)變量提出一定的要求(或者說限制)。 對性態(tài)變量的限制實際上就是對設計變量的限制。 在優(yōu)化設計問題中，我們把這些對設計變量的限制稱為約束條件。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u工程結構設計中常見關于性態(tài)變量的約束條件 1） 應力約束條件。這是以避免發(fā)生常見的各種形式的破損而建立起來的條件，破壞形式有斷裂、屈服、屈曲等。 2）變形約束條件。這是在規(guī)定的荷載條件下，滿足所要求的剛度特性而建立起來的條件。 3）動態(tài)特性約束條件。它是保證結構在承受動載荷作用下不會引起結構產(chǎn)生危險的共振，以保證結構的安全、正常運行、工作人員的舒適等。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 4）（整體）穩(wěn)定性約

8、束條件。這是要求結構具有良好的承壓穩(wěn)定性，不會在給定載荷作用下發(fā)生（整體）失穩(wěn)破壞。 5）界限約束條件。它為規(guī)范中的有關規(guī)定和理所當然的一些構造和工藝上的要求的條件，例如板材最小厚度、鋼筋的最小直徑以及元件斷面不能為負值等。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u概念： 優(yōu)化設計的目的就是要設計出最優(yōu)的結構。要評價一個結構設計方案的優(yōu)劣，必須要有一個評價設計方案優(yōu)劣的函數(shù)，稱為目標函數(shù)。 目標函數(shù)是設計變量的函數(shù)，是對設計方案進行比較選擇的指標，也就是判斷設計方案優(yōu)劣的標準。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 3.目標函數(shù)2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u目標函數(shù)f(X)最小 在優(yōu)化設計中，一般總是要求目標函數(shù)f(X

9、)最小。 在某些問題中(如使用壽命、有效載重、安全系數(shù)等)要求目標函數(shù)最大。為統(tǒng)一處理起見，可人為地在數(shù)學上規(guī)定目標函數(shù)為-f(X)的形式，這樣就可以將求最大值的問題轉化為求最小值的問題。 因此，在以后的討論中，不再分別說最大或最小問題，統(tǒng)一作為最小問題處理。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述通常根據(jù)不同類型的問題和不同要求，確定不同形式的目標函數(shù)。如在工程結構設計中實際上還經(jīng)常遇到希望一個量最大而另一個量最小的問題，這時目標函數(shù)可以取這兩個兩相減或相除的形式。在實際設計問題中目標函數(shù)還有待我們進一步研究。在某些工程設計中，有時可能出現(xiàn)兩個或更多個應當成為目標函數(shù)的量。如有的需要同時考慮重量和造價，這

10、時目標函數(shù)可定義為： 其中 是加權系數(shù) )()()(21XfXfXf,2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 2.1.2 結構優(yōu)化設計的數(shù)學表達式）（或MaxMinXf)(求設計變量，X=(x1, x2, xn) T，使目標函數(shù)：()012()012ijg Xih Xj， ， ，m， ， ，lu含義： 設計最優(yōu)化的任務歸結為求一組設計變量，從而找到一個設計方案，使此方案滿足規(guī)定的約束條件，同時其目標函數(shù)又是最小的。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u分類： 目標函數(shù), 約束條件為線性函數(shù) 線形規(guī)劃問題 目標函數(shù)，約束條件為非線性函數(shù) 非線形規(guī)劃問題 2.1.3 基本術語2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 由n個設計變量所

11、組成的數(shù)學空間稱為n維設計空間，當目標函數(shù)f(x)為某一定值時，則在n維空間中形成一等值超曲面，而每一個不等式約束方程在n維空間中形成一超曲面，這些超曲面組合成所謂約束界面。2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u在設計空間中，所有的約束邊界面將設計空間劃分為兩個區(qū)域： 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 一個是滿足所有約束的設計點所組成的區(qū)域，稱為可行域，即該區(qū)域中的每一點都代表著一個可行的方案； 另一個區(qū)域是由不滿足所有的約束點所組成的區(qū)域，稱為不可行域，即該區(qū)域內(nèi)每一個點代表一個不可行的方案。u關于約束和可行域的概念可借助圖來理解。我們面臨的問題是在所有的可行方案中找出最佳方案，也就是在可行域中找出最優(yōu)點。

12、2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u基本術語（1）可行域（可行區(qū)）（2）可行解 若 ， 則X為可行解。（3）內(nèi)點 若 ， 則X為內(nèi)點。（4）邊界點 若 則X為邊界點。m, 2 , 1j , 0)x(gXjXm, 2 , 1j , 0)x(gXXjam, 2 , 1j , 0)x(gXXjb2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述（5）臨界約束 對一個設計點X，若有 ， 則 是X點的臨界約束。（6）非可行解 若 ， 則X為不可行解（7）最優(yōu)解 若 ， 且使 則X為最優(yōu)解。RjCj , 0)x(gmj1 , 0)x(g/ jCjRRjCj , 0)x(gXX)max(min)x(f 2.1.4 優(yōu)化算法的一般描述 2.

13、1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述 優(yōu)化技術和計算機技術的應用密切相關，它是數(shù)值計算而不是解析解，一般具有簡單的邏輯結構，可以反復地進行計算，是滿足精度要求的近似解，滿足這些要求的計算方法是數(shù)值迭代方法。n基本思想：從某一個選定的初始設計點x0出發(fā)，按照某種最優(yōu)化方法所規(guī)定的辦法確定適當?shù)乃阉鞣较蚝筒介L，獲得第一個修改設計點x1，計算此點的目標函數(shù)值f(x1)，使其滿足f(x1)f(x0),然后以x1點為新的起點重復上述步驟。 2.1 優(yōu)化問題的數(shù)學表述u一般迭代格式： S是方向向量 是單位方向向量 一般來說優(yōu)化算法就是確定方向向量S和步長SXX(k)1)(k21TS)(SSS2.2 優(yōu)化算法中的基本概念

14、1 方向導數(shù)2 梯度定義和幾何意義3 無約束條件下函數(shù)f(x)極值（Hessian矩陣）4 拉格朗奇乘子法（Lagrange）5 Kuhn-Tucker 駐點條件6 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃 2.2 優(yōu)化算法中的基本概念1 方向導數(shù) 方向導數(shù)討論函數(shù)f(x)在某一點沿某一方向的變化率。 設在空間中一點x（0）對應的函數(shù)值為f(x（0）)，設通過點x（0）有某單位向量n21sssS其中 ， ，. 為單位向量在各坐標軸上的分量，亦即方向余弦。1s2sns 如果設計變量從點x（0）沿著方向 移動距離 而獲得一個新的設計點x 則對應該點的函數(shù)值為f（x）或f（x（0）+ ），寫出商式ssxx(0)s )x

15、(f)Sx(f(0)(0)2.2 優(yōu)化算法中的基本概念u定義：當點X沿著 趨于x（0）時（即 時）商式有極限，則稱此極限為函數(shù)f（x）在點x（0）沿方向的方向導數(shù)， 記為 為f（x）在x（0）點沿s方向的方向導數(shù)。)x(f)x(flim)x(f(0)(0)s2.2 優(yōu)化算法中的基本概念s02.2 優(yōu)化算法中的基本概念設函數(shù)f（x）在設計區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，在x（0）點處對 f（x）= f（x（0）+ ），進行泰勒級數(shù)展開：s )(S )x(f)()x-(x )x(f)()x-(x |xf )x-(x |xf)x(f)x(fT)0(0)nnT)0(0)nnxn(0)11x1(0)(0)(0

16、)2.2 優(yōu)化算法中的基本概念根據(jù)點x（0）的一階偏導數(shù)可以定義一個向量：(0)1(0)T2nx xfxfxf(x) fx2.2 優(yōu)化算法中的基本概念)(S )x(f)()x-(x )x(f)x(f)x(fT)0(0)nnT)0(0)S )x(f)x(fT)0(0)s則： 內(nèi)積（梯度在方向s上的投影）2 梯度定義和幾何意義 與方向導數(shù)有關聯(lián)的一個概念是函數(shù)的梯度：n)0(2)0(1)0(xxn21T)0(x)f(xx)f(xx)f(xxfxfxf )x(f)0(2.2 優(yōu)化算法中的基本概念2.2 優(yōu)化算法中的基本概念 無約束條件下函數(shù)f(x)存在極值點的必要條件和充分條件。 (a) 首先看一下

17、函數(shù)f(x)在x（0）點處的Taylor展開 2.2 優(yōu)化算法中的基本概念3 無約束條件下函數(shù)f(x)極值（Hessian矩陣） 設計變量從點x（0）沿著方向 移動距離 而獲得一個新的設計點x 在 x（0）點處泰勒展開： 如取到二次項ssxx(0)(0)( )(s)f xf x）（）（）（）（)0()0(1,)0(2)0(1)0(0()x(21)(x)xjjiinjijiiiniixxxxxxfxxxXfff2.2 優(yōu)化算法中的基本概念如用向量矩陣形式表示，則上式可寫為 )0()0(22)0(11)0(22)0(21)0(22)0(222)0(212)0(21)0(221)0(211)0(2)

18、0()0(22)0(11)0()0(22)0(11)0(2)0(1)0(0)()()()()()()()()(21)()()()nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxxxxxxxxxxxxXfxXfxXfXfXf）（）（2.2 優(yōu)化算法中的基本概念可簡寫為）（）（）（）（）（）（）（）（）（) 0(0) 0() 0(00H21)XXXXXXXXfXfXfTT)S(H)S(21S )x(f)x(f0TT)0(0)）（）（X2.2 優(yōu)化算法中的基本概念式中 TnnxXfxXfxXfxXfxXfxXfXf)()()()()()()0(2)0(1)0()0(2)0(1)0(0）（）（nnnnnnxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfxxXfXH)()()()()()()()()()0(22)0(21)0(22)0(222)0(212)0(21)0(221)0(211)0(20）（）（2.2 優(yōu)化算法中的基本概念 是函數(shù)f(x)在點x（0）的一階偏導數(shù)矩陣，稱為函數(shù)在該點的梯度。 是函數(shù)在f(x)在點x（0）的二階偏導數(shù)組成的n*n階對稱矩陣，或稱為