第七章非正弦周期電流電路

1、第第7章章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路7.1 非正弦周期量及其分解非正弦周期量及其分解7.2 非正弦周期電流電路中的有效值、平均值和非正弦周期電流電路中的有效值、平均值和平均功率平均功率 7.3 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算 目的與目的與 要求要求1.了解常見的非正弦周期曲線及其分解2. 掌握非正弦周期量有效值3.會對非正弦周期電路進(jìn)行分析與計(jì)算 重點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)： 1. 非正弦周期量的有效值 2.非正弦周期電路的 分析 計(jì)算難點(diǎn)：難點(diǎn)： 非正弦周期電路的分析 計(jì)算 Ot(a)uOt(b)uOt(c)i圖7.1幾種常見的非正弦波7.1 非正弦周期量及其

2、分解（一）非正弦周期量及其分解（一） 1、常見的非正弦周期曲線7.1 非正弦周期量及其分解（二）非正弦周期量及其分解（二） 1022110)sin()sin()2sin()sin()(kkkmkkmmmtkAAtkAtAtAAtf2. 設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T, 角頻率=2/T, 則其分解為傅里葉級數(shù)為 7.1 非正弦周期量及其分解（三）非正弦周期量及其分解（三）)sincos()sincoscossin(1010)(kkkkkkmkkmttkbtkaatkAtkAAfkkmkkkmkkkkkkkmAbAaAababaAcossintan,00227.1 非正弦周期量及其分解（四）非正弦周

3、期量及其分解（四）)(sin)(1sin)(2)(cos)(1cos)(2)()(21)(12002002000tdtktfdttktfTbtdtktfdttktfTatdtfdttfTaTkTkT例例7.1（一）（一）求圖7.2所示矩形波的傅里葉級數(shù)。f (t)Um UmT2TtO圖 7.2 例 7.1 圖 例例7.1（二）（二）)2()()20()(TtTUtfTtUtfmm解解 圖示周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為根據(jù)前述有關(guān)知識得)cos1 (2)(sin)(1)(sin10)(cos)(1)(cos10)()(21)(210202020tkkUtdtkUtdtkUbtdtkUtdtkU

4、atdUtdUammmkmmkmm例例7.1（三）（三）kUbkmk4, 1cos當(dāng)k為奇數(shù)時(shí), . 0, 1coskbk當(dāng)k為偶數(shù)時(shí), 由此可知該函數(shù)的傅里葉級數(shù)表達(dá)式為)5sin513sin31(sin4)( tttUtfm表表 7.1 幾種周期函數(shù)（一）幾種周期函數(shù)（一）名稱波形傅里葉級數(shù)有效值平均值正弦波梯形波f (t)Tt0T2Amf (t)Tt0AmT2a aT2tAtfmsin)()sinsin15sin5sin251)3sin3sin91sin(sin4)(2 tkkaktatataaAtfm(k為奇數(shù)) 2mAmA2341aAm)1 (aAm表表 7.1 幾種周期函數(shù)（二）幾

5、種周期函數(shù)（二）名稱波形傅里葉級數(shù)有效值平均值三角波矩形波f (t)Tt0AmT2)sin) 1(5sin2513sin91(sin8)(2212 tkktttAtfkm(k為奇數(shù)) f (t)Tt0AmT2)sin15sin513sin31(sin4)( tkktttAtfm(k為奇數(shù)) 3mA2mAmAmA表表 7.1 幾種周期函數(shù)（三）幾種周期函數(shù)（三）名稱波形傅里葉級數(shù)有效值平均值半波整流波全波整流波f (t)Tt0AmT4f (t)Tt0AmT4.)6 , 4 , 2(.)cos12cos6cos7514cos5312cos311cos421(2)(2 ktkkkttttAtfm.)

6、6 , 4 , 2(.)cos12cos4cos5312cos31121(2)(2 ktkkkttAtfm2mAmA22mAmA表表 7.1 幾種周期函數(shù)（四）幾種周期函數(shù)（四）名稱波形傅里葉級數(shù)有效值平均值鋸齒波3mA2mAf (t)2Tt0AmT.)3 , 2 , 1(.)sin1.3sin312sin21(sin2)(ktkktttAAtfmm7.1 非正弦周期量及其分解（五）非正弦周期量及其分解（五）0, 00kaa1sin)(kktkbtf)()(ttff不包括直流分量和余弦項(xiàng)3.某些非正弦周期函數(shù)某些非正弦周期函數(shù)（1）周期函數(shù)為奇函數(shù) 7.1 非正弦周期量及其分解（六非正弦周期量

7、及其分解（六） （2） 周期函數(shù)為偶函數(shù)周期函數(shù)為偶函數(shù) 偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中bk=0, 所以偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不含正弦項(xiàng)。 )()(ttff（3）奇諧波函數(shù)）奇諧波函數(shù) T2TtOf (t)圖 7.3 奇諧波函數(shù) 7.1 非正弦周期量及其分解（七非正弦周期量及其分解（七） 奇諧波函數(shù)只包括奇次諧波，不包括直流分量和偶次。奇諧波函數(shù)只包括奇次諧波，不包括直流分量和偶次。1)sincos()(kkktkbtkatf.)5sin513sin31(sin4)(tttUUtumm(k為奇數(shù)) 7.1 非正弦周期量及其分解（八非正弦周期量及其分解（八）u(t)2UmT2TtO(a)u1(t)UmtO(

8、b)u2(t)UmT2TtOUm(c)圖 7.4 波形的分解 例例7.2試把表7.1中振幅為50V、周期為0.02s的三角波電壓分解為傅里葉級數(shù)（取至五次諧波）。 解解 電壓基波的角頻率為sradT/10002. 022VtttttttttUtum)500sin62. 1300sin50. 4100sin5 .40()500sin251300sin91100(sin508)5sin2513sin91(sin8)(227.2 非正弦周期電流電非正弦周期電流電路中的有效值、路中的有效值、 平均值平均值和平均功率和平均功率7.2.1 有效值（一）有效值（一）1002)sin()()(1kkkmTtk

9、IItidttiTITkkkmdttkIITI0210 )sin(17.2.1 有效值（二）有效值（二）.)()sin()(21)(sin21)(sin12212012202212012200001220012220kkkkkkqqmkTkmkTkmkkkTkkmUUUUUUIIIIIIqkdttqItkITdttkIITIIdttkIIT7.2.2 平均值（一）平均值（一）1. 周期量的平均值：周期量絕對值的平均值周期量的平均值：周期量絕對值的平均值TavdttiTI0)(1tItimsin)(當(dāng) 時(shí), 其平均值為 IIItdtItdtIImmmmav898. 0637. 02sin1sin

10、21020TavdttuTU0)(17.2.2 平均值（二）平均值（二）IIKIIKmAavf 2. 對周期量, 有時(shí)還用波形因數(shù)Kf、波頂因數(shù)K和畸變因數(shù)Kj來反映其性質(zhì):IIKj1對上例的正弦量 1414. 1211. 11IIKIIKIIKjmAavf7.2.3 平均功率（一）平均功率（一）10100)sin()()sin()()(1kikkmkukkmTtkIItutkUUtudttpTPdttkIItkUUTdttituTdttpTPkikkmTkukkmTT )sin( )sin(1)()(1)(110010007.2.3 平均功率（二）平均功率（二）0000001IUdtIUTP

11、TkkkikukkmkmTikkmukkmkIUIUdttkItkUTPcos)cos(21)sin()sin(1010coskkkkIUPP7.2.3 平均功率（三）平均功率（三）1sinkkkkIUQ12201220kkkkIIUUUISSPUIPcos 等效正弦波替代原來的非正弦波。等效的條件是: 等效正弦量的有效值為非正弦量的有效值，等效正弦量的頻率為基波的頻率, 平均功率不變。 例例7.4（一）（一）已知某電路的電壓、 電流分別為VtttiVtttu)500sin2)30100sin(63)()30300sin(8)30100(2010)(求該電路的平均功率、 無功功率和視在功率。

12、例例7.4（二）（二）解解 平均功率為平均功率為var52)60sin(2622060)60cos(26220310QWP無功功率為無功功率為 視在功率為視在功率為 VAUIS1 .9822)26(328)220(102222227.3 非正弦周期電流電路的計(jì)算非正弦周期電流電路的計(jì)算 1、 其分析電路的一般步驟步驟如下: (1) 將給定的非正弦激勵信號分解為傅里葉級數(shù), 并根據(jù)計(jì)算精度要求, 取有限項(xiàng)高次諧波。 (2) 分別計(jì)算各次諧波單獨(dú)作用下電路的響應(yīng), 計(jì)算方法與直流電路及正弦交流電路的計(jì)算方法完全相同。對直流分量, 電感元件等于短路, 電容元件等于開路。對各次諧波, 電路成為正弦交流

13、電路。 (3) 應(yīng)用疊加原理, 將各次諧波作用下的響應(yīng)解析式進(jìn)行疊加。 例例7.5（一）（一）圖7.5(a)所示電路中, ,)303sin(250sin210010)(Vtttu并且已知 ,10,5,15/1 ,221RRCL求各支路電流及R1支路吸收的平均功率。 例例7.5（二）（二）i2Ci1R2R1iu(t)(a)R2R1I(0)U0(b)I1(0)i2(1)Ci1(1)R2R1i(1)u1(t)(c)Li2(3)Ci1(3)R2R1i(3)u3(t)(d)LLI2(0)圖 7.5 例 7.5 圖 例例7.5（三）（三）AIIIARUI202510)0(1)0()0(210)0(1解：

14、(1) 在直流分量0=10V單獨(dú)作用下的等效電路如圖7.5(b)所示, 這時(shí)電感相當(dāng)于短路, 而電容相當(dāng)于開路。各支路電流分別為例例7.5（四）（四） (2) 在基波分量 單獨(dú)作用下, 等效電路如圖7.5(c)所示, 用相量法計(jì)算如下: tVtusin2100)(1AIIIAjLjRUIAjLjRUIVU38. 65 .20)3 .5655. 58 .216 .18(3 .5655. 5151001008 .216 .182501000100)1(2)1(1)1(111)1(111)1(11例例7.5（五）（五） (3) 在三次諧波分量 單獨(dú)作用下, 等效電路如圖7.5(d)所示。此時(shí), 感抗

15、 , 容抗 。Vtu)303sin(250363)3(LXL531)3(CXCAIIIAjjXRUIAjjXRUIVUCL17.1062. 857.5647. 4510305019.204 . 66530503050)3(2)3(1)3()3(23)3(2)3(13)3(11例例7.5（六）（六）AttiiItiAttiiItiAttiiIti)57.563sin(247. 4)3 .56sin(255. 5)()19.203sin(24 . 6)8 .21sin(26 .182)()17.103sin(262. 8)38. 6sin(25 .202)()3(2)1(2)0(22)3(1)1(

16、1)0(11)3()1()0(例例7.5（七）（七）WUIUIUIPAIAIAI8 .19518 .20417272019.50cos504 . 6)8 .21cos(1006 .18102coscos12. 747. 455. 572.194 . 66 .18226.2262. 85 .20233)3(111)1(10)0(112232221222例例 7.6（一）（一）圖7.6所示電路中,已知 R=10, L=30, L1=10, 1/C=90。試求 i(t)、i1(t)、u(t)。 ,)3sin230sin25010(Vttusi1L1uCLRius(t)圖 7.6 例 7.6 圖 例例

17、 7.6（二）（二）ARUIIUso110100)0(100解解 (1) 對直流分量 (2) 在基波作用下 37.7644.4225.1130109010901030101)1(0501111jjjjjCjLjCjLjLjRZVUs例例 7.6（三）（三）AjLjUIVjUAZUIs37.76325. 11063.1325.1363.1325.1337.76178. 125.1137.76178. 137.7644.420501)1()1(1)1(11)1( ( 3 ) 對 三 次 諧 波 , 并 聯(lián) 的 L1、 C 發(fā) 生 諧 振 , 即3L1=1/3C=30, 這部分阻抗為無窮大, 所以 例例 7.6（四）（四）VttuuUtuAttiiItiAtiiItiAjjLjUIVUUIss3sin230)63.13sin(225.13)()903sin(2)37.76sin(2325. 11 )()37.76sin(2178. 11 )(11030303300)3()1(0)3(1)1(1)0(11)3()1(03)3(13)3(