恒定電場和恒定磁場

1、電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組時(shí)變場時(shí)變場靜態(tài)場靜態(tài)場恒定磁場恒定磁場0t0t宏觀電磁理論的核心：宏觀電磁理論的核心：靜電場靜電場恒定電場恒定電場電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場電荷在電場作用下電荷在電場作用下 定向運(yùn)動定向運(yùn)動 電流電流產(chǎn)生形成電流電流恒定恒定電流（直流直流）-電流不隨時(shí)間變化時(shí)變時(shí)變電流-電流隨時(shí)間變化恒定電場恒定電場恒定磁場恒定磁場電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場第四章第四章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 基本方程基本方程 邊界條件邊界條件 恒定電場與

2、靜電場的恒定電場與靜電場的靜電比擬法靜電比擬法 -計(jì)算計(jì)算電導(dǎo)（電阻）電導(dǎo)（電阻） 恒定磁場的恒定磁場的矢量磁位矢量磁位 電感電感及其及其計(jì)算計(jì)算電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場4.1 恒定電場恒定電場1. 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2. 恒定電場的恒定電場的基本方程基本方程3. 恒定電場的恒定電場的邊界條件邊界條件4. 靜電比擬法靜電比擬法電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場一、一、 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程恒定電場：恒定分布電荷產(chǎn)生的電場。恒定電場：恒定分布電荷產(chǎn)生的電場。EJ00ldESdJCS00EJ 恒定電場的恒定電場的基本方程基

3、本方程：微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：)(rJ 恒定電場的恒定電場的基本場矢量基本場矢量是電流密度是電流密度 和電場強(qiáng)度和電場強(qiáng)度 ；)(rE 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 恒定電場和靜電場都是恒定電場和靜電場都是有源無旋場有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。，具有相同的性質(zhì)。l 恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：（1 1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部；）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部；（2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體中要維持導(dǎo)體中的恒定

4、電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。的電場能量。 電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場二、恒定電場的電位及其方程二、恒定電場的電位及其方程0)(EEJ 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)0E0 EE0 J由由0)(02若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場三、恒定電場的邊界條件三、恒定電場的邊界條件 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件0ldEC0SdJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1En

5、 0)(21JJn0)(21EEn2nn1JJ即即2t1tEE即即場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場l 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度nJJDDJnnS)()()(221122211121l 電位的邊界條件電位的邊界條件nn221121,電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面

6、，因既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面；而導(dǎo)體表面不是等位面；b11、a說明：說明：電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場推論推論1 電流由良導(dǎo)體進(jìn)入不良導(dǎo)體時(shí)電流由良導(dǎo)體進(jìn)入不良導(dǎo)體時(shí),在不良導(dǎo)體里的電流線近在不良導(dǎo)體里的電流線近似與良導(dǎo)體表面垂直，即良導(dǎo)體表面可以近似地看作等位面似與良導(dǎo)體表面垂直，即良導(dǎo)體表面可以近似地看作等位面.媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12l如如兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率2 2 1 1： 即，一種導(dǎo)電媒質(zhì)為不良導(dǎo)體(10, 但很小), 另一種導(dǎo)電媒質(zhì)為良導(dǎo)體(2很大),且且

7、 2 29090則則 1 10 0，即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；2121tantan電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場例如例如:177102121101010tgtg 同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體通常由電導(dǎo)率很高(107數(shù)量級)的銅或鋁制成, 而填充在兩導(dǎo)體間的材料不可能是理想的絕緣電介質(zhì), 總有很小的漏電導(dǎo)存在。 例如, 聚乙烯的電導(dǎo)率為10-10數(shù)量級, 則 時(shí)當(dāng)2, 0101010221727102211tgtgtgtg電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場

8、恒定電場和恒定磁場021snnEEnsE12101可見, 只要12, 分界面上必定有一層自由電荷密度。 推論推論2:2: 當(dāng)恒定電流通過電導(dǎo)率不同的兩導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí),其電流密度和電場強(qiáng)度要發(fā)生突變。故分界面上必有電荷分布分界面上必有電荷分布s 。 如: 兩種金屬媒質(zhì)的分界面上, 根據(jù)D1n-D2n=s, 則得(通常認(rèn)為金屬的介電常數(shù)為0)nnJJ21nnEE2211電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012En 1E)0(2推論推論3.3. 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì), 媒質(zhì)媒質(zhì)2為導(dǎo)體為導(dǎo)體，即即 10，則則 J1=0，故故J2n=

9、0 且且 E2n= 0， 即導(dǎo)體中的電流和電場與分界面平行即導(dǎo)體中的電流和電場與分界面平行。電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場21211tnEEE 由上式可知E1不垂直導(dǎo)體表面, 那么導(dǎo)體表面不是等位面, 導(dǎo)體也不是等位體, 這是由于2有限, 導(dǎo)體中沿電流方向存在電場。 而在靜電場中, 導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度為零, 介質(zhì)中的場強(qiáng)總是垂直導(dǎo)體表面, 導(dǎo)體是等位體, 其表面是等位面。這一點(diǎn), 恒定電場與靜電場有根本的區(qū)別。然而2越大, E2t和E1t越小, 1也越小, 直至2=時(shí), E1就垂直導(dǎo)體表面, 導(dǎo)體表面為等位面。 媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012En 1E)0(2電

10、磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 例例1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1 和和 2、 2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導(dǎo)體，極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122121212112()SDDJUdd 介電磁

11、場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 例例2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半，外導(dǎo)體半徑為徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 1 和和 2 、電導(dǎo)率為電導(dǎo)率為 1 和和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。由電荷面密度。J1212I外導(dǎo)體外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1a

12、bc11、22、0U電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 （1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質(zhì)中的電場介質(zhì)中的電場222()2JIEebc 解解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出的表達(dá)式，然后求出 和和 ，再由，再由 確定出電流確定出電流 I。J

13、012ddbcabUEE1E2E電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221l

14、n()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介質(zhì)可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)介質(zhì)2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為J2112I電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場四四、 靜電比擬法靜電比擬法D0U靜電場靜電場J0U恒定電場恒定電場比擬法比擬法: 用一種物理場的解來類比與其有相同數(shù)學(xué)描述的另一種物理場的解的方法.電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場恒

15、定電場與靜電場的比較恒定電場與靜電場的比較基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00, 0ldESdJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）0, 0ldESdDCS電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場1. 兩個(gè)場的相同數(shù)學(xué)表達(dá)式中的場量之間有一一對應(yīng)的關(guān)系;2. 兩種場的電位函數(shù)定義相同, 都滿足拉普拉斯方程,若處于相同的邊界條件下，根據(jù)唯一性定理, 電位函數(shù)必有相同的解.所以兩

16、種場的等位面及電場強(qiáng)度分布相同,J和D矢量線的分布也相同;恒定電場與靜電場是可比擬的恒定電場與靜電場是可比擬的結(jié)論結(jié)論對應(yīng)物理量對應(yīng)物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場靜電比擬法靜電比擬法: 在一定條件下，可以將靜電場或恒定電場的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)所的結(jié)果,推廣應(yīng)用于另一種場.D0U靜電場靜電場J0U恒定電場恒定電場電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場l 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo) 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些

17、絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時(shí)，必定會有微小的漏電流時(shí)，必定會有微小的漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即UIG 其倒數(shù)稱為其倒數(shù)稱為絕緣電阻絕緣電阻，即，即IUGR1電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場兩導(dǎo)體電極間的電容: 211211dlEdsEdlEdsUQCSSS兩導(dǎo)體電極間的電導(dǎo): 211211dlEdsEdlEdsJUIGSSGCl用靜電比擬法求電導(dǎo)

18、用靜電比擬法求電導(dǎo)1211SdsEdlEGR兩導(dǎo)體電極間的電阻: 電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場例如1. 只要兩電極之間的導(dǎo)電媒質(zhì)與作為電極的金屬材料 相比較為不良導(dǎo)電媒質(zhì)(如土壤等), 2. 則當(dāng)兩電極之間的電容為已知時(shí),導(dǎo)。便可得到兩極之間的電，換成把 根據(jù)靜電比擬法根據(jù)靜電比擬法,內(nèi)外電極半徑為a和b的球形電容器,當(dāng)其極間介質(zhì)為 時(shí):ababC4當(dāng)其極間的媒質(zhì)為不良導(dǎo)電媒質(zhì) 時(shí):ababG4電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I ；(2) 計(jì)算兩電極間的電流密度計(jì)算兩電極間的電流密度 矢

19、量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出兩導(dǎo)，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導(dǎo)。所求電導(dǎo)。21dlEUUIG/ 計(jì)算電導(dǎo)的方法一計(jì)算電導(dǎo)的方法一： 計(jì)算電導(dǎo)的方法二計(jì)算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間，求出兩導(dǎo)體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導(dǎo)。求電導(dǎo)。ESISJdUIG/ 計(jì)

20、算電導(dǎo)的方法三計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CGCG電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 例例3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長長度為度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：解法解法1:直接用恒定電場的計(jì)算方法直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)電導(dǎo))/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIUln22dldElba則則IlIJ2lIJE2設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和

21、恒定磁場恒定電場和恒定磁場解法解法2: lSdlR 用公式, , 式中dl為沿電流方向的長度元, 如圖所示, S是垂直于電流方向的面積, 它可能是坐標(biāo)變量的函數(shù), 所以)/(12121mabndRba電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 解法解法3: 靜電比擬法靜電比擬法則單位長度絕緣電阻是 abnGR12111電導(dǎo)電導(dǎo))/ln(2ablUIG電容電容)/ln(2ablUQC電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場012222000, 0U 方程通解為方程通解為21CC 例例4 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導(dǎo)電板上，的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑為由兩個(gè)

22、半徑為r1 和和 r2 的的圓弧和夾角為圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿計(jì)算沿 方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。 解：解： 設(shè)在沿設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易變化的。但容易判定電位判定電位 只是只是變量變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù)的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維滿足一維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,C

23、UCU環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr2 0J電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場電流密度電流密度00UJEe兩電極之間的兩電極之間的電流電流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻為為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場恒定電場的計(jì)算恒定電場的計(jì)算1.直接法直接法: 假設(shè)電流假設(shè)電流 利用基本方程結(jié)合邊界條件求場分布利用基本方程結(jié)合邊界條件求場分布 電導(dǎo)或電阻電導(dǎo)或電阻2.間接法間接法: 求解電位的邊值

24、問題，求解電位的邊值問題， 求場分布：電場強(qiáng)度及電流密度矢量求場分布：電場強(qiáng)度及電流密度矢量 電導(dǎo)或電阻電導(dǎo)或電阻電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場u 接地電阻接地電阻l 接地: 將電氣設(shè)備的某一部分和大地連接.l 保護(hù)接地: 為了保護(hù)工作人員的安全,并使設(shè)備可靠地工作而接地;l 工作接地:1.1. 利用大地作為傳輸導(dǎo)線,或者消除設(shè)備的導(dǎo)電部分對地電壓的升高而接地. 接地體:埋在地里的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng). 接地電阻:電流由設(shè)備經(jīng)接地體流向大地和電流流經(jīng)大地時(shí)遇到的電阻.電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 例例 5 試計(jì)算如圖所示的深埋在地下的銅球

25、的接地電阻, 設(shè)銅球的半徑為a。 電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場解解:rrIJ42大地中任一點(diǎn)的電流密度為 電場強(qiáng)度為 rrIJE42銅球至無限遠(yuǎn)處電壓是(認(rèn)為電流流至無限遠(yuǎn)處) aIrdrIrdEUaa442所以接地電阻是 )(41aIUR式中是土壤的電導(dǎo)率。 電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場4.2 4.2 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件1. 基本方程基本方程0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlHBH本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：積分形式積分形式: :電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場

26、和恒定磁場2. 邊界條件邊界條件SJHHnBBn)(0)(2121SJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則0)(0)(2121HHnBBn或或002tt1n2n1HHBB電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 磁場經(jīng)過媒質(zhì)分界面時(shí)要突變, 包含方向的改變式中1、2分別為磁場強(qiáng)度與交界面法線方向的夾角212121rrtgtgu 時(shí)界面兩側(cè)場量方向與媒質(zhì)磁導(dǎo)率的關(guān)系時(shí)界面兩側(cè)場量方向與媒質(zhì)磁導(dǎo)率的關(guān)系 0sJ0sJ當(dāng) 時(shí),電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場4.3 恒定磁場的矢量磁位1. 矢量

27、磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 由由0BBA 即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。造成的。 為了得到確定的為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范。0A矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場2、矢量磁位的微分方程、矢量磁位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：AB0

28、A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ JB電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場3、矢量磁位的表達(dá)式矢量磁位的表達(dá)式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR （可以證明滿足（可以證明滿足 ） 0A由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分

29、別為 利用磁矢位計(jì)算磁通量：利用磁矢位計(jì)算磁通量：細(xì)線電流細(xì)線電流：CRlIrAd4)(面電流面電流：SSSRrJrAd)(4)(CSSlASASBddd電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場4、矢量磁位的邊界條件矢量磁位的邊界條件0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJSCSBlAdd0SSA d2t1tAA 2n1nAA電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 解解：先求長度為：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。電流元的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 。則。則22()RzzddzI le I z( ,

30、 , )Pz 0221( )d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 6 求無限長線電流求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿的磁矢位，設(shè)電流沿+z 方向流動。方向流動。與計(jì)算無限長線電荷的電位一樣，令與計(jì)算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流可得到無限長線電流的磁矢位的磁矢位 L xyzL-L( , , ) z zddzI le I zR電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場4.4 電感電感Inductance1. 一、一、 磁通與磁鏈磁通與磁鏈 ii 單匝線圈形成回路的單

31、匝線圈形成回路的磁鏈磁鏈定定義為穿過該回路的義為穿過該回路的磁通磁通量量 多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈磁鏈定義為所有線圈的定義為所有線圈的磁通總和磁通總和 CI 細(xì)回路細(xì)回路 粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為磁鏈分為 兩部分兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過導(dǎo)體的的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量外磁通量 o ；另一部分是磁力線穿過；另一部分是磁力線穿過 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量內(nèi)磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場二、電 感 與

32、回路交鏈的磁通總量與回路交鏈的磁通總量( (磁鏈磁鏈) )和與產(chǎn)生該磁鏈的電流之比值和與產(chǎn)生該磁鏈的電流之比值. .IL*電感取決于導(dǎo)線回路的形狀、大小、材料及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率等。電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 自感自感（記為（記為L）:1. 回路交鏈的磁鏈為本身回路上的電流所產(chǎn)生回路交鏈的磁鏈為本身回路上的電流所產(chǎn)生, 總是正值總是正值; 互感互感（記為（記為M）:1. 回路交鏈的磁鏈?zhǔn)莿e的回路上的電流所產(chǎn)生回路交鏈的磁鏈?zhǔn)莿e的回路上的電流所產(chǎn)生, 有可能為負(fù)值有可能為負(fù)值;2. 互感是互易的互感是互易的;電電 感感自感互感2112MM電磁場電磁場第第4章章 恒

33、定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場三、自感三、自感 設(shè)回路設(shè)回路 C 中的電流為中的電流為I ，所產(chǎn)生的磁場與回路，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈為為 ，則磁鏈，則磁鏈 與回路與回路 C 中的電流中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值有正比關(guān)系，其比值IL稱為回路稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。的自感系數(shù)，簡稱自感。 外自感外自感ILiiILoo 內(nèi)自感；內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。電流無關(guān)。 自感的特點(diǎn)自感的特點(diǎn)：電磁場電磁場第

34、第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場*多匝回路的電多匝回路的電 感感N匝密繞線圈 1l1S通過單匝回路所圍面積的磁通量:dsBs11通過多匝導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量，即磁鏈為321321dsBdsBdsBsss若N匝密繞，各匝交鏈的磁通量相同，則磁鏈為dsBNNs11該密繞線圈的全磁通 (磁鏈) 為 N電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場內(nèi)自感與外自感如圖所示, 同軸線的橫截面，內(nèi)導(dǎo)體通過直流I，它與外導(dǎo)體（流過反向直流I）構(gòu)成導(dǎo)體回路。 0baIIeL 即, 通過ab區(qū)域的磁通為外磁鏈,它與內(nèi)導(dǎo)體中的全部電流交鏈。 在該區(qū)域:2IzB 故軸向長度為l時(shí)外磁鏈

35、為abIlIdzbaloeln22對應(yīng)的外自感外自感:ablILeeln2*外自感外自感導(dǎo)體外部的磁鏈稱為外磁鏈外磁鏈，用 表示,由它計(jì)算的自感稱為外自感外自感e電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場*內(nèi)自感內(nèi)自感u通過導(dǎo)體內(nèi)部的磁鏈稱為內(nèi)磁鏈，用通過導(dǎo)體內(nèi)部的磁鏈稱為內(nèi)磁鏈，用 表示表示 ; ;u由內(nèi)磁鏈算出的自感稱為內(nèi)自感由內(nèi)磁鏈算出的自感稱為內(nèi)自感 。 即, 通過a區(qū)域的磁通為內(nèi)磁鏈,它只與內(nèi)導(dǎo)體中的部分電流交鏈。 在a處通過軸向長度l、寬d的矩形面元的元磁通為ldaIdsBdoii212與該元磁通交鏈的電流不是I，而是它的一部分IIaaII2222iiL0baII

36、電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場22aIIN相當(dāng)于1 id所交鏈的匝數(shù)N小于1，即元磁鏈為ldaIaNddoii22212長為l的導(dǎo)體內(nèi)磁鏈為82034IldaIldaooili故長l的圓柱導(dǎo)體內(nèi)自感為8lILoii由上，長l的同軸線自感為abllLLLoeiln28電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 例例7 解解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為線中的電流為I ，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理0ii22,22IIHBaa穿過沿軸線單位長度的矩形面積元穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS = d的磁通為的磁通

37、為0ii2ddd2IBSa (0)a求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。得得與與di 交鏈的電流為交鏈的電流為22IIa 則與則與di 相應(yīng)的磁鏈為相應(yīng)的磁鏈為30ii4ddd2IIIaabadIiB2222idaIaIIlHC電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為300ii40dd28aIIa0ii8LI故故單位長度的內(nèi)自感單位長度的內(nèi)自感為為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感

38、。00ooddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I則則o0oln2bLIa故故單位長度的外自感單位長度的外自感為為單位長度的總自感單位長度的總自感為為電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 例例8 設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a(m), 外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b(m), 外半徑為c(m)。同軸線所用材料磁導(dǎo)率均為0(H/m)。試計(jì)算同軸線單位長度的總自感。 計(jì)算同軸線總自感 電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場解解 801iLabnIdIbae121200所以外自感是 abnILee120 計(jì)算外導(dǎo)體的內(nèi)自感, 應(yīng)首先計(jì)算外導(dǎo)體中

39、的磁通密度B, 及穿過其單位長度縱截面的磁通量, 由安培環(huán)路定律得 22220)(2bcbIIB電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場1222220bcbIB所以 22220222222121bcbIbcbNddii式中N為交鏈匝數(shù), 穿過外導(dǎo)體縱截面單位長度磁通量是 bcncbccbcbcIdcbcIdIbcbdcbcbii14)(4)()(8)()(2214222442220222222002222222電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場bcncbccbcbcILii14)(4)()(8422244222022同軸線單位長度總自感是 )/(2

40、1mHLLLLiei電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場例例9 計(jì)算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為計(jì)算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a ，兩導(dǎo)線的間距為兩導(dǎo)線的間距為D ，且，且 D a 。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為0 。00o11d()dln2DaaIIDaBSxxDxa011( )()2yIB xexDx穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為 解解 設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I 。由。由于于D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)

41、線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)平面上任一點(diǎn)P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁感應(yīng)強(qiáng)度為xyzxDaPII電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場于是得到平行雙線傳輸線于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感單位長度的外自感o00olnlnD aDLIaa00ioln4DLLLa00i284L 兩根導(dǎo)線兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為單位長度的內(nèi)自感為故得到故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為平行雙線傳輸線單位長度的自感為電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場

42、 四四、 互感互感 對兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路對兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1 和回路和回路 C2 ，當(dāng)回路，當(dāng)回路 C1 中通過中通過電流電流 I1 時(shí)，不僅與回路時(shí)，不僅與回路 C1 交鏈的交鏈的磁鏈與磁鏈與I1 成正比，而且與回路成正比，而且與回路 C2 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈 12 也與也與 I1 成正比，其成正比，其比例系數(shù)比例系數(shù)12121IM 稱為稱為回路回路 C1 對回路對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。的互感系數(shù)，簡稱互感。21212IM 同理，回路同理，回路 C2 對回路對回路 C1 的互感為的互感為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁

43、場恒定電場和恒定磁場 互感的特點(diǎn)：互感的特點(diǎn)： 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。 滿足互易關(guān)系，即滿足互易關(guān)系，即M12 = M21 當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時(shí)，互當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時(shí)，互 感系數(shù)感系數(shù) M 為正值；反之，則互感系數(shù)為正值；反之，則互感系數(shù) M 為負(fù)值為負(fù)值。電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場五、紐曼公式五、紐曼公式 如圖所示的兩個(gè)如圖所示的兩個(gè)回路回路 C1 和回路和回路

44、C2 ，回路回路 C1中的電流中的電流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位1110214)(CRlIrAd回路回路 C1中的電流中的電流 I1 產(chǎn)生的磁場與回路產(chǎn)生的磁場與回路 C2 交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r紐曼公式紐曼公式 2121210121dd4dCCCRllIlA同理同理 2112021dd4CCRllM故得故得 1221012dd4CCRllM 122101221dd4CCRllMMM電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 例例10 設(shè)一根無限長細(xì)直導(dǎo)線與一個(gè)直角三角形的導(dǎo)線框在同一平面內(nèi), 一邊相互平行, 如圖 所示。 試計(jì)算直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)線間的互感。 xyz電磁場電磁場第第4章章 恒定電場和恒定磁場恒定電場和恒定磁場 解解 假設(shè)細(xì)長直導(dǎo)線中通有電流I, 計(jì)算穿過三角形導(dǎo)線框中的磁通, 由安培環(huán)路定律可得 zxIB20則穿過三角形框的磁通是 ydxz