機(jī)械振動(dòng)6連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2桿的縱向振動(dòng)

1、2討論直桿的縱向振動(dòng)討論直桿的縱向振動(dòng) 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng) L，假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面積截面積 A(x)(x材料密度材料密度彈性模量彈性模量 E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形),(txfLx0),(txf桿上分布的縱向作用力桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)：桿參數(shù)：桿各處桿各處x的縱向位移為的縱向位移為),(txu3微段分析微段分析 ),(txfLx0 xdxdxtxf),(dxudxxuu22tuAdxdxxNNN微段應(yīng)變：微段應(yīng)變： xudxudxxuu)(橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：xuExAExAtxN)()(),(由牛

2、頓定理：由牛頓定理： dxtxfNdxxNNtuAdx),()(22dxtxfdxxN),(4),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：代入，得：代入，得： 桿的縱向強(qiáng)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程迫振動(dòng)方程 對(duì)于等直桿，對(duì)于等直桿，),(122222txfAxuatu/Ea 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 有：有： ),(txfLx0 xdxxuExAExAtxN)()(),(由牛頓定理：由牛頓定理： dxtxfdxxNtuAdx),(22),()()()(22txfxuExAxtuxAx為常數(shù)A,5等

3、直桿的縱向自由振動(dòng)：等直桿的縱向自由振動(dòng)： 要求解，同樣需要兩個(gè)初始條件和兩個(gè)邊界條件。要求解，同樣需要兩個(gè)初始條件和兩個(gè)邊界條件。/Ea 假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè)假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè) ：)()(),(tFxUtxuF(t) 表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) )(xU表示桿上距原點(diǎn)表示桿上距原點(diǎn) x 處的截面的縱向振動(dòng)振幅處的截面的縱向振動(dòng)振幅 代入，得：代入，得： )()()()(2xUxUatFtF ),(txfLx022222xuatu6記：記：2 0)()()(0)()(22xUaxUtFtF tBtAtFcossin)(axDaxCxUcossin)(通解：通

4、解：（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為振型振型 ）,DC由桿的邊界條件確定由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù) ，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值 由頻率方程確定的固有頻率由頻率方程確定的固有頻率 有無(wú)窮多個(gè)有無(wú)窮多個(gè) i（下面講述）（下面講述） )()()()(2xUxUatFtF A,B由桿的初始條件確定由桿的初始條件確定 70sin, 0aLCD(1) 桿兩端固定桿兩端固定固定端的變形為零，所以邊界條件：固定端的變形為零，所以邊界條件：0)()0(LUU0sin

5、aLiaL), 2 , 1(iELiLiai所以振型函數(shù)：所以振型函數(shù)：axDaxCxUcossin)()2 , 1(sinsin)(iLxiaxxUii上式同樣略去系數(shù)上式同樣略去系數(shù)C.80sin, 0aLDC(2) 桿兩端自由桿兩端自由自由端的應(yīng)力必須為零，由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，兩端應(yīng)變?yōu)榱悖鹤杂啥说膽?yīng)力必須為零，由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，兩端應(yīng)變?yōu)榱悖?),(), 0(xtLuxtu0sinaLiaL所以振型函數(shù)：所以振型函數(shù)：axDaxCadxdUsincos)2 , 1(coscos)(iLxiaxxUii上式同樣略去系數(shù)上式同樣略去系數(shù)C.0)()0(dxLdUdxdUaxDaxCxUcossi

6、n)(), 2 , 1(iELiLiai90cos, 0aLCD(3) 桿一端固定，另一端自由桿一端固定，另一端自由這時(shí)，邊界條件：這時(shí)，邊界條件：0cosaL)21( iaL), 2 , 1(2) 12(iELii所以振型函數(shù)：所以振型函數(shù)：axDaxCadxdUsincos)2 , 1(2) 12(sinsin)(iLxiaxxUii上式同樣略去系數(shù)上式同樣略去系數(shù)C.0)(, 0)0(dxLdUUaxDaxCxUcossin)(10兩端固定、兩端自由和一端固定一端自由的桿的前三階振型：兩端固定、兩端自由和一端固定一端自由的桿的前三階振型：x)(1xUx)(2xUx)(3xUx)(1xUx

7、)(2xUx)(3xUx)(1xUx)(2xUx)(3xU,sin)(LxixUi,cos)(LxixUiLxixUi2) 12(sin)(11例例6.2-1 求上端固定、下端有一質(zhì)量塊求上端固定、下端有一質(zhì)量塊M的等直桿作縱向振動(dòng)的等直桿作縱向振動(dòng), 0), 0(tuOLMxEA的固有頻率和固有振型。的固有頻率和固有振型。解：上端固定，其邊界條件：解：上端固定，其邊界條件：, 0)0(U下端附質(zhì)量下端附質(zhì)量M，在振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生對(duì)桿端的慣性力，在振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生對(duì)桿端的慣性力：,),(),(22ttLuMxtLuEA),()()()(),(),()(),(222tFLUtFLUttLutFdxLdUxt

8、Lu 而),()(2LMUdxLdUEAaxDaxCxUcossin)(,sincos, 02aLMaLaEAD12axDaxCxUcossin)(,sincos, 02aLMaLaEADMaEAaL tanMALaLaLtan由上式可以求出無(wú)窮多個(gè)固有頻率，有無(wú)窮多對(duì)應(yīng)的振型。由上式可以求出無(wú)窮多個(gè)固有頻率，有無(wú)窮多對(duì)應(yīng)的振型。也可以通過(guò)作圖求出固有頻率：也可以通過(guò)作圖求出固有頻率：設(shè)質(zhì)量比設(shè)質(zhì)量比質(zhì)量比質(zhì)量比,/, 1/aLMAL,/1tan)(fO22321231tantan，86. 01，43. 32，4373. 63，ELLa86. 011，EL43. 32，EL4373. 6313

9、，86. 01，43. 32)(fO22321231tantan，4373. 63，ELLa86. 011，EL43. 32，EL4373. 63ELii2) 12(桿的固有頻率為而一端固定一端自由的，EL21，EL232，EL253相比，由于前者端部附有質(zhì)量，使其固有頻率明顯降低。相比，由于前者端部附有質(zhì)量，使其固有頻率明顯降低。1411La由此可估算基頻：, 1MAL如果桿的質(zhì)量相對(duì)附加質(zhì)量很小，即如果桿的質(zhì)量相對(duì)附加質(zhì)量很小，即這與單自由度系統(tǒng)的結(jié)果相同，這與單自由度系統(tǒng)的結(jié)果相同，例如例如抗拉剛度，為不計(jì)本身質(zhì)量時(shí)桿的式中，,/ LAEk ,1也為小值對(duì)應(yīng)第一階的,tan11則, 1t

10、anMAL,21MALLMEAMk說(shuō)明在計(jì)算基頻時(shí)，如果桿本說(shuō)明在計(jì)算基頻時(shí)，如果桿本身質(zhì)量比懸掛質(zhì)量小得多時(shí)，可以忽略桿的質(zhì)量。身質(zhì)量比懸掛質(zhì)量小得多時(shí)，可以忽略桿的質(zhì)量。,1 . 0 時(shí)MAL而由而由誤差僅為誤差僅為1.65%。,3162. 01 . 01得, 1 . 0tan11,31105. 01得15代入上式，得將第一次近似MAL/21,3/1/211MAL進(jìn)一步的近似可取進(jìn)一步的近似可取所以基頻為：所以基頻為：的固有頻率計(jì)算公式，和瑞利法所得結(jié)果一致。的固有頻率計(jì)算公式，和瑞利法所得結(jié)果一致。, 3/tan3111,33111MAL上式就是將桿的質(zhì)量的上式就是將桿的質(zhì)量的1/3加到

11、質(zhì)量加到質(zhì)量M上所得的單自由度系統(tǒng)上所得的單自由度系統(tǒng)MALMAL3/1/13/ALMAL11La3/ALMLAE3/ALMk等價(jià)質(zhì)量等價(jià)質(zhì)量16基頻為：基頻為：與前文所解得的：與前文所解得的：例如桿的質(zhì)量等于例如桿的質(zhì)量等于M, 有有相比，誤差僅為相比，誤差僅為0.7%，11La3/ALMk3/13/1MMMELALMLALaEL866. 0，ELLa86. 011可以說(shuō)，只要桿的質(zhì)量不大于附加可以說(shuō)，只要桿的質(zhì)量不大于附加質(zhì)量，那么在實(shí)際應(yīng)用中據(jù)此計(jì)算基頻，已經(jīng)足夠準(zhǔn)確了。質(zhì)量，那么在實(shí)際應(yīng)用中據(jù)此計(jì)算基頻，已經(jīng)足夠準(zhǔn)確了。17例例6.2-2：一均質(zhì)桿，左端固定一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一

12、彈簧連接，右端與一彈簧連接。解：左端固定：解：左端固定：Lx0k, 0)0(UEA,求固有頻率和振型函數(shù)。求固有頻率和振型函數(shù)。右端與彈簧連接，其軸力等于負(fù)的彈性力：右端與彈簧連接，其軸力等于負(fù)的彈性力：)()(),()()(),(tFLkUtLkUtFdxxdUEAxtxUEALxLx)()(LkUdxxdUEALx代入振型函數(shù)公式：代入振型函數(shù)公式：axDaxCxUcossin)(18, 0)0(U)()(LkUdxxdUEALx代入振型函數(shù)公式：代入振型函數(shù)公式：axDaxCxUcossin)(, 0)0( DUaLkCaLCaEAsincoskaEAaL tankLEAaLaL/tan

13、，則令kLEAaLaL/tan的數(shù)值解，率，不難求出各階固有頻對(duì)于給定的i的振型函數(shù)為：對(duì)應(yīng)于固有頻率i), 2 , 1(sin)(iaxxUii19例例6.2-3 等直桿一端固定一端自由，等直桿一端固定一端自由， 解解 ：已知等直桿一端固定一端自由的固有頻率和振型函數(shù)：已知等直桿一端固定一端自由的固有頻率和振型函數(shù)：)()(),(tFxUtxu在自由端加一軸力在自由端加一軸力F,在在t=0時(shí)釋放，時(shí)釋放， 求桿的自由振動(dòng)求桿的自由振動(dòng) Lx0EA,2) 12(ELii)2 , 1(2) 12(sin)(iLxixUi1)cossin(212siniiiiitBtAxLi由初始條件決定、式中，

14、iiBAF20初始條件：初始條件：,)0 ,()(xxuEAxEAFLx0EA,2) 12(ELii0)0 ,(txu1)cossin(212sin),(iiiiitBtAxLitxu0iA由第二個(gè)初始條件得：F1)212cos(212sin),(iiatLiBxLitxu代入第一個(gè)初始條件：1212siniixLiBEAFx211212siniixLiBEAFx:), 0(212siniBLxLi區(qū)間上積分可得乘上式兩邊，并在用dxxLixLjBdxxLixEAFjLjL100212sin212sin212sindxxLiBLi02212sin0212cos) 12(2212sin) 12(4222LxLixiLxLiiLAEF左端2212) 12() 1(4iLAEFi22dxxLiBLi02212sin右端2212) 12() 1(4iLAEFi左端dxxLiBLi012cos12012sin) 12(2LxLiiLLBiLBi2), 2 , 1() 12() 1(8221iEAiFLBii1)212cos(212si