第12章變異數(shù)分析-1

1、第十二章第十二章 變異數(shù)分析變異數(shù)分析 1變異數(shù)分析變異數(shù)分析是用來是用來 檢定多組平均數(shù)是否相等的問題，檢定多組平均數(shù)是否相等的問題，不是在檢定變異數(shù)相等的問題不是在檢定變異數(shù)相等的問題 112.112.1變異數(shù)分析簡介變異數(shù)分析簡介 在第九章例在第九章例9.6我們檢定甲、乙我們檢定甲、乙 兩家公司輪胎平均壽命是否有顯著差兩家公司輪胎平均壽命是否有顯著差異？異？如果要問的是甲、乙、丙、丁如果要問的是甲、乙、丙、丁 四家公司輪胎平均壽命有無顯著差異，四家公司輪胎平均壽命有無顯著差異， 那要如何進行呢？那要如何進行呢？1一對對做比較一對對做比較也許初學(xué)者會想這有什么困難呢？也許初學(xué)者會想這有什么

2、困難呢？ 只要一對對做比較，只要一對對做比較，先比較甲、乙兩組有無差異，先比較甲、乙兩組有無差異， 再比較甲、丙有無差異，再比較甲、丙有無差異，1如果做兩次的一對對平均數(shù)的比較如果做兩次的一對對平均數(shù)的比較 都沒有差異，都沒有差異， 那甲、乙、丙三家廠商輪胎平均壽命那甲、乙、丙三家廠商輪胎平均壽命 就沒有差異了，就沒有差異了，1但問題在于每一次做檢定時，但問題在于每一次做檢定時， 作決策必有犯錯的風(fēng)險作決策必有犯錯的風(fēng)險 (即有犯錯機會，如型即有犯錯機會，如型I、型、型II誤差誤差)，1例如上述做例如上述做2次比較，次比較， 如每次訂的顯著水平是如每次訂的顯著水平是0.05， 則則2次合計后犯

3、型次合計后犯型I誤差是多少，誤差是多少，就無法真正算出，就無法真正算出， 可能會高達可能會高達0.05 + 0.05 = 0.10也不一也不一定。定。1例例12.112.1、有甲、乙、丙三種包裝設(shè)計，有甲、乙、丙三種包裝設(shè)計， 比較兩兩組間平均銷售量比較兩兩組間平均銷售量 是否有顯著差異是否有顯著差異? 各隨機找各隨機找10家商店銷售，家商店銷售， 結(jié)果甲、乙、丙的結(jié)果甲、乙、丙的 樣本平均銷售量與標(biāo)準(zhǔn)差分別如下樣本平均銷售量與標(biāo)準(zhǔn)差分別如下 1 甲甲 乙乙丙丙 商店數(shù)商店數(shù)101010 平均數(shù)平均數(shù)464250 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差5551(1) 檢定甲、乙兩種包裝設(shè)計檢定甲、乙兩種包裝設(shè)計 平均銷

4、售量是否有顯著差異平均銷售量是否有顯著差異?(2) 檢定甲、丙兩種包裝設(shè)計檢定甲、丙兩種包裝設(shè)計 平均銷售量是否有顯著差異平均銷售量是否有顯著差異?(3)檢定乙、丙兩種包裝設(shè)計檢定乙、丙兩種包裝設(shè)計 平均銷售量是否有顯著差異平均銷售量是否有顯著差異? 1(1) (1) 甲、乙兩組比較甲、乙兩組比較 1011014246Pst101101542467889. 1545 1甲、乙兩種包裝設(shè)計甲、乙兩種包裝設(shè)計平均銷售量沒有顯著差異平均銷售量沒有顯著差異 1009. 27889. 1|025. 0 ,18tt1(2) (2) 甲、丙兩組比較甲、丙兩組比較 1011015046Pst101101550

5、467889. 1545 1甲、丙兩種包裝設(shè)計甲、丙兩種包裝設(shè)計平均銷售量沒有顯著差異平均銷售量沒有顯著差異 1009. 27889. 1|025. 0 ,18tt1(3) (3) 乙、丙兩組比較乙、丙兩組比較 1011015042Pst101101550425776. 3585 1乙、丙兩種包裝設(shè)計乙、丙兩種包裝設(shè)計平均銷售量有顯著差異平均銷售量有顯著差異 1009. 25776. 3|025. 0 ,18tt1 12.2 12.2 一因子模式 1 一因子的配置 1A 2A iA kA 11y 21y 1 iy 1ky 12y 22y 2iy 2ky ijy 11ny 22ny iiny k

6、kny 樣本平均數(shù) 1y 2y iy ky y 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 1s 2s is ks s 1一因子模式一因子模式( () ) ijiijy1其中其中 (1) ijy是因子A在第i個水準(zhǔn)下第 j 個實驗觀察值； (2) i是因子A在第i個水準(zhǔn)下的平均數(shù)； (3) ij是誤差項(不可控因子)，並假設(shè) ijiidN(0,2)； (4) in是因子A在第i個水準(zhǔn)下的樣本數(shù)。 1變異數(shù)分析變異數(shù)分析(ANOVA)(ANOVA)用來檢定用來檢定 k 組母體平均數(shù)是否相等問組母體平均數(shù)是否相等問題，題， 寫成數(shù)學(xué)式子是檢定寫成數(shù)學(xué)式子是檢定 1都相等不是所有ikHH:1210對誤差項我們有對誤差項我們有3 3

7、個基本假設(shè)：個基本假設(shè)： (1) 常態(tài)性常態(tài)性(各個誤差取自常態(tài)分配各個誤差取自常態(tài)分配) (2) 均質(zhì)性均質(zhì)性(各個誤差變異數(shù)相等各個誤差變異數(shù)相等) (3) 獨立性獨立性(各個誤差間無相關(guān)各個誤差間無相關(guān)) 1一因子模式一因子模式( () )： ijiijy1其中 01kiiin (當(dāng)所有in相等，則 01kiiin可改為 kii10) 平均數(shù)是否有顯著差異？平均數(shù)是否有顯著差異？即檢定即檢定 kH.:21010.:210kH如果虛無假設(shè)0H是對的話，那麼各組樣本平均數(shù)iy應(yīng)都很接近 yyyyk211式很大時，就應(yīng)棄卻式很大時，就應(yīng)棄卻 2222112)()()(yyyyyykkii10H

8、第i組的變異 122221)()()(iiniiiiiyyyyyySSi212) 1()(iinjiijsnyyi組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和( (或殘差平方和或殘差平方和) ) kinjiijkiyySSSSSSSSEW11221)(.1 組間平方和組間平方和(B)(B)( (或因子或因子A A的平方和的平方和( (SSASSA) ) 2222211)(.)()(yynyynyynSSABkk1= kinjikinjiiiyy112112)( F F檢定檢定)kN/()k/(WBF1MSEMSASSESSA)kN/()k/(1 1例例12.2 12.2 輪胎平均壽命輪胎平均壽命設(shè)設(shè)陽明陽明貨運公司想

9、從甲、乙、丙、丁貨運公司想從甲、乙、丙、丁 四家輪胎廠商中選一家廠商采購輪胎，四家輪胎廠商中選一家廠商采購輪胎， 各從四家廠商隨機抽樣各從四家廠商隨機抽樣10個輪胎做測個輪胎做測試試 試問此四家廠商輪胎平均壽命試問此四家廠商輪胎平均壽命 是否有顯著差異？是否有顯著差異？( = 0.05) 1表表12.3 12.3 四種廠牌輪胎壽命四種廠牌輪胎壽命 廠牌 壽命 甲 y1 85 83 75 92 83 82 80 78 84 84 乙 y2 76 88 74 79 86 89 95 88 84 90 丙 y3 85 82 77 84 66 81 79 76 78 83 丁 y4 83 91 92

10、88 85 84 75 89 93 87 1變異數(shù)分析變異數(shù)分析 都相等不是所有ikHH:12101檢定k組母體平均數(shù)i是否相等的問題，而不是檢定變異數(shù)相等的問題 6 .821y S1=4.5265 9 .842y S2=6.6575 1 .793y S3=5.5066 7 .864y S4=5.3135 1325.8344321432144332211yyyynnnnynynynyny組間平方和組間平方和 2442332222112)()()()()(yynyynyynyynyyBi1=10(82.6-83.325)2+(84.9-83.325)2+(79.1-83.325)2+(86.7-

11、83.325)2 =322.475 組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和 4321SSSSSSSSW1110.3069 因此 8417.30492.10736/307.11103/475.322)440/() 14/(WBF= 3.49 1結(jié)論是顯著，結(jié)論是顯著，即四組輪胎的平均壽命不相等即四組輪胎的平均壽命不相等 F3,36,0.05 = 2.87，因F F3,36,0.05 1表表12.2 12.2 四種廠牌輪胎壽命四種廠牌輪胎壽命 ANOVAANOVA表表 變異來源 自由度 平方和 均方和 F值 P值 組間(B) 3 322.475 107.4917 3.49 0.0255 組內(nèi)(W) 36 1110.

12、300 30.8417 總和(TO) 39 1432.775 1P P值與F F值的關(guān)系圖 012343.49P1一因子的模式一因子的模式 ijiijy ki,.,1 inj,.,1 1平方和分解平方和分解( (直角三角形勾股定理直角三角形勾股定理) ) ijy iy y 總(SSTO) 組間(SSA) 組內(nèi)(SSE) 1例例12.312.3、某人想研究甲、乙、丙、丁四種不同某人想研究甲、乙、丙、丁四種不同 包裝設(shè)計對某食品銷售量是否有影響？包裝設(shè)計對某食品銷售量是否有影響？隨機找隨機找40家規(guī)模大致相同的商店，家規(guī)模大致相同的商店， 分成分成4組，每組組，每組10家，家， 各銷售一種包裝設(shè)計

13、食品一個月，各銷售一種包裝設(shè)計食品一個月，記錄銷售量如下記錄銷售量如下 1表12.5 12.5 四種包裝設(shè)計銷售量 甲 乙 丙 丁 1y 2y 3y 4y 1 63 77 31 42 2 70 64 36 61 3 68 84 51 58 4 83 75 46 56 5 66 69 35 54 6 75 78 40 55 7 68 66 50 52 8 67 81 51 49 9 69 67 35 36 10 71 79 45 77 1試問四種包裝的平均銷售量試問四種包裝的平均銷售量 是否有顯著差異？是否有顯著差異？ 1平均 iy 70 74 42 54 標(biāo)準(zhǔn)差is 5.56 6.98 7.5

14、3 11.04 1總平均與標(biāo)準(zhǔn)差分別為總平均與標(biāo)準(zhǔn)差分別為 =60 s =15.0911y組間平方和組間平方和 241101241101)()(yyBijiiji1)6054()6042()6074()6070(1022226560 總平方和總平方和 241101)(yySSTOijij1 22)091.15(3939s 8882 殘差平方和殘差平方和 BSSTOyySSEWiijij241101)(12322656088829 .3336/23223/6560)440/() 14/(WBF1結(jié)論：結(jié)論：因因 F = 33.9 = 2.87， 所以有證據(jù)說四種包裝的平均銷售量所以有證據(jù)說四種包

15、裝的平均銷售量 有顯著差異。有顯著差異。 105. 0,36, 3F一因子( (包裝)ANOVA)ANOVA表 變異來源 自由度 平方和 均方和 F值 組間 3 6560 2186.67 33.9 殘差(E) 36 2322 64.50 總(TO) 39 8882 1三種肥料對蕃茄產(chǎn)量的影響三種肥料對蕃茄產(chǎn)量的影響 農(nóng)夫想研究甲、乙、丙農(nóng)夫想研究甲、乙、丙 三種肥料對蕃茄產(chǎn)量的影響，三種肥料對蕃茄產(chǎn)量的影響，他有一塊長方形土地共他有一塊長方形土地共1200坪地，坪地， 如果他將此土地分成三區(qū)，如果他將此土地分成三區(qū)， 每區(qū)每區(qū)400坪各施一種肥料，坪各施一種肥料，實驗設(shè)計配置圖如下實驗設(shè)計配置

16、圖如下 1只有一筆資料無法做統(tǒng)計推論只有一筆資料無法做統(tǒng)計推論 區(qū)1 施 甲 肥 區(qū)2 施 乙 肥 區(qū)3 施 丙 肥 1每區(qū)再細分成幾塊大小相等的地每區(qū)再細分成幾塊大小相等的地 列行 1 2 3 4 一 二 三 1無隨機效果無隨機效果混合混合 列行 1 2 3 4 一 甲 甲 甲 甲 二 乙 乙 乙 乙 三 丙 丙 丙 丙 1完全隨機實驗配置圖完全隨機實驗配置圖 乙 丙 甲 甲 甲 甲 丙 乙 乙 乙 丙 丙 1例例12.612.6甲、乙、丙三種肥料甲、乙、丙三種肥料其蕃茄產(chǎn)量如下其蕃茄產(chǎn)量如下 y21 385 y31 350 y13 350 y14 341 y11 367 y12 348 y

17、32 347 y24 356 y22 382 y23 369 y33 335 y34 330 1檢定此主效用是否顯著 資料整理資料整理 甲肥 乙肥 丙肥 367 385 350 348 382 347 350 369 335 341 356 330 平均數(shù)yi 351.5 373 340.5 標(biāo)準(zhǔn)差Si 11.03 13.29 9.54 11 yyyy1233= 355，Syyijji()212 1= 17.46 也算出綜合樣本標(biāo)準(zhǔn)差 SSSSp1222323= 11.39 1(1)SSTOyyNSijjniki()()(.)2112211117463354 (2)SSEWyyNk Sijij

18、nikpi()().2112 ()(). ()nSnSnSkk1122222111 1168 (3)SSAByySSTOSSEijniki().211 335411682186 (4) FSSA kSSENk()()()().12186 3 11168 123842 FFkNk12,9 0 05, . = 4.2565 所以H0顯著，即三種肥料的平均產(chǎn)量有顯著差異。 12.312.3各組母體變異數(shù)之檢各組母體變異數(shù)之檢定定等至少有兩組變異數(shù)不相:1222210HHk1哈雷哈雷檢定法檢定法H=22iiMinsMaxs 1例例12.612.6、( (例例12.212.2續(xù)續(xù)) ) 試檢定甲、乙、丙

19、、丁四家輪軩公司試檢定甲、乙、丙、丁四家輪軩公司 輪胎壽命的變異數(shù)是否相等輪胎壽命的變異數(shù)是否相等( =0.05)？ 11 S12= (4.5265)2= 20.4892 S22= (6.6575)2= 44.3223 S32= (5.5066)2= 30.3226 S42= (5.3135)2= 28.2333 故 H = 4892.203223.4422iiMinSMaxS=2.1632 查表H4,10,0.05=6.31，因 H F2,24,0.05 = 3.4028 所以H0是顯著，即有肥料因素的主效用存在 1澆水量的因素平方和澆水量的因素平方和SSB=ij kj2)( = 15(22

20、21) = 15 (4)2 + (4)2) = 480 1澆水量對蕃茄平均產(chǎn)量澆水量對蕃茄平均產(chǎn)量有顯著差異有顯著差異FB= 15. 5480246 .123148052912SSESSB = 93.28 F1,24,0.05 = 4.2597 所以澆水量因素B的主效用也是顯著的。 1例例12.13(12.13(例例12.1212.12續(xù)續(xù)) )若四種包裝甲、乙、丙、丁設(shè)計分別若四種包裝甲、乙、丙、丁設(shè)計分別是：是： 甲是彩色、凱蒂貓，甲是彩色、凱蒂貓，乙是彩色、皮卡丘，乙是彩色、皮卡丘，丙是黑白、凱蒂貓，丙是黑白、凱蒂貓，丁是黑白、皮卡丘，丁是黑白、皮卡丘，1故四種包裝設(shè)計分成兩個因子，分別

21、故四種包裝設(shè)計分成兩個因子，分別為為 因子因子A色彩色彩(分成彩色與黑白兩水平分成彩色與黑白兩水平)， 因子因子B玩偶玩偶(凱蒂貓與皮卡丘兩水平凱蒂貓與皮卡丘兩水平)，：，：1其水平配合其水平配合( (配方配方) )可以下列可以下列交叉設(shè)計表示交叉設(shè)計表示因子A 彩色 黑白 因子B 凱蒂貓 皮卡丘 1 資料如表資料如表12.16，試問，試問(1) 色彩色彩(因子因子A)的主效用是否顯著？的主效用是否顯著？(2) 玩偶玩偶(因子因子B)的主效用是否顯著？的主效用是否顯著？(3) AB交互作用是否顯著？交互作用是否顯著？1兩因子各種配方平均數(shù)兩因子各種配方平均數(shù) 玩偶 凱蒂貓(1) 皮卡丘(2)

22、iy 彩色(1) 70 74 72 黑白(2) 42 54 48 色彩(A) jy 56 64 60 1 222221)12()12(20)(20SSA5760 222221)4()4(20)(20SSB640 )()()()(10222221212211SSAB )2)2()2(2(102222 = 160 殘差平方和為 SSE = SSTO- SSA-SSB-SSAB = 8852 5760-640-160 = 2322 1 二維模式ANOVAANOVA表 變 異 來 源 自由度 平方和 均方和 F值 色彩(A) 玩偶(B) 交互作用(AB) 1 1 1 5760 640 160 5760

23、 640 160 89.30 9.92 2.48 殘差(E) 36 2322 64.50 總(TO) 39 8882 1結(jié)論：結(jié)論：(1)色彩色彩(因子因子A)是顯著的，是顯著的， 即不同色彩兩種包裝設(shè)計會影響銷售即不同色彩兩種包裝設(shè)計會影響銷售量。量。(2)玩偶玩偶(因子因子B)是顯著的，是顯著的， 即不同玩偶會影響銷售量。即不同玩偶會影響銷售量。(3)色彩與玩偶的交互作用是不顯著的。色彩與玩偶的交互作用是不顯著的。1第十二章 摘要 1.變異數(shù)分析變異數(shù)分析(ANOVA) 不是在檢定幾組母體變異數(shù)是否相等不是在檢定幾組母體變異數(shù)是否相等 而是在檢定幾組母體的平均數(shù)是否相而是在檢定幾組母體的平均數(shù)是否相等等 12.了解由兩組獨立樣本的了解由兩組獨立樣本的t檢定檢定 擴充到多組獨立樣本的檢定。擴充到多組獨立樣本的檢定。14.一因子模式為一因子模式為 右邊有右邊有(總平均總平均)，(因子因子A)與與(殘差殘差) 三項，故三項，故ANOVA表中有三個平方和表中有三個平方和 1y5. 二因子模式二因子模式(有交互作用有交互