武漢理工工程制圖第2章投影理論

1、Wang chenggang1/86內(nèi)容提要：內(nèi)容提要：本章主要介紹投影法的基本知識，并將投影法本章主要介紹投影法的基本知識，并將投影法直接應用于基本幾何體的投影及形成立體表面的基本要直接應用于基本幾何體的投影及形成立體表面的基本要素素點、直線、平面的投影分析，從而為組合體的投影點、直線、平面的投影分析，從而為組合體的投影表達、讀圖分析提供必要的理論基礎及方法。表達、讀圖分析提供必要的理論基礎及方法。投 影 法三面投影的形成及投影規(guī)律基本平面立體的投影立體表面構成要素的投影分析第第2 2章章 投影理論基礎投影理論基礎2.12.22.32.4基本曲面立體的投影及其表面上的點與線2.5Wang c

2、henggang2/862.1.1 2.1.1 投影法的形成及分類投影法的形成及分類2.1 2.1 投影法投影法2.1.2 2.1.2 投影圖形成的三要素投影圖形成的三要素 2.1.3 2.1.3 正投影法的基本性質(zhì)正投影法的基本性質(zhì) 2.1.4 2.1.4 投影法的應用投影法的應用Wang chenggang3/86光源光源承影面承影面光線光線物體物體影子影子投射中心投射中心S投射線投射線投影面投影面形體形體圖圖2.1 產(chǎn)生影子的自然現(xiàn)象產(chǎn)生影子的自然現(xiàn)象圖圖2.2 投影的構成要素（中心投影法）投影的構成要素（中心投影法）2.1.1 2.1.1 投影法的形成及分類投影法的形成及分類投影投影(

3、 (圖圖) )Wang chenggang4/86形體形體投影面投影面投射方向投射方向投射線投射線投影投影( (圖圖) )投投射射方方向向形體形體投影面投影面投射線投射線投影投影( (圖圖) )a) 斜投影法斜投影法b) 正投影法正投影法圖圖2.3 平行投影法平行投影法投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法平行投影法平行投影法Wang chenggang5/862.1.2 2.1.2 投影圖形成的三要素投影圖形成的三要素 投影圖形成的三要素：投影圖形成的三要素：形體、投影方向（或投射中心）、投影面形體、投影方向（或投射中心）、投影面2.1.3 2.

4、1.3 正投影法的基本性質(zhì)正投影法的基本性質(zhì) 表表2.1 正投影的基本性質(zhì)正投影的基本性質(zhì)其其Wang chenggang6/86表2.1(續(xù))Wang chenggang7/862.1.4 2.1.4 投影法的應用投影法的應用1. 1. 中心投影法的應用中心投影法的應用透視圖透視圖2. 2. 斜投影法的應用斜投影法的應用-斜軸測圖斜軸測圖圖圖2.4 2.4 透視圖透視圖圖圖2.5 2.5 斜軸測圖斜軸測圖王成剛制作Wang chenggang8/863. 3. 正投影法的應用正投影法的應用-正投影圖、正軸測圖、標高投影圖正投影圖、正軸測圖、標高投影圖模型動畫模型動畫圖圖2.6 正投影圖正投影

5、圖Wang chenggang9/86圖圖2.7 正軸測圖正軸測圖正投影法用于正軸測圖Wang chenggang10/86正投影法用于正投影法用于標高投影圖標高投影圖圖圖2.8 標高投影圖標高投影圖Wang chenggang11/862.2 2.2 三面投影的形成及投影規(guī)律三面投影的形成及投影規(guī)律2.2.1 2.2.1 三面投影面體系的建立三面投影面體系的建立2.2.2 2.2.2 立體三面投影的形成及投影規(guī)律立體三面投影的形成及投影規(guī)律Wang chenggang12/86圖圖2.9 單面正投影單面正投影圖圖2.10 三維坐標系三維坐標系2.2.1 2.2.1 三面投影面體系的建立三面投

6、影面體系的建立Wang chenggang13/86圖圖2.11 三面投影體系三面投影體系 兩兩垂直的三個坐標軸分別構成兩兩垂直的三個坐標軸分別構成了了XOY、XOZ、YOZ三個互相垂直的三個互相垂直的平面。由這三個互相垂直的平面組成平面。由這三個互相垂直的平面組成的投影面體系稱為的投影面體系稱為三面投影體系三面投影體系XOZ：稱稱正立投影面，正立投影面，也稱也稱V面；面；XOY：稱稱水平投影面水平投影面，也稱，也稱H面；面； YOZ：稱稱側(cè)立投影面?zhèn)攘⑼队懊?，也稱，也稱W面。面。 Wang chenggang14/86立體三面投影的形成立體三面投影的形成2.2.2 2.2.2 立體三面投影的

7、形成及投影規(guī)律立體三面投影的形成及投影規(guī)律Wang chenggang15/86立體三面投影的形成立體三面投影的形成2.2.2 2.2.2 立體三面投影的形成及投影規(guī)律立體三面投影的形成及投影規(guī)律Wang chenggang16/86圖圖2.12 立體三面投影的形成立體三面投影的形成a) 立體圖立體圖b) 三面投影的展開圖三面投影的展開圖c) 三面投影三面投影V面投影面投影：即從前往后投射，在：即從前往后投射，在V面上所得的投影，反映面上所得的投影，反映長長和和高高(x、z)；H面投影面投影：即從上往下投射，在：即從上往下投射，在H面上所得的投影，反映面上所得的投影，反映長長和和寬寬(x、y)

8、；W面投影面投影：即從左往右投射，在：即從左往右投射，在W面上所得的投影，反映面上所得的投影，反映高高和和寬寬(y、z)。 Wang chenggang17/86圖圖2.12 立體三面投影的投影規(guī)律立體三面投影的投影規(guī)律a) 坐標及方位關系坐標及方位關系 b) 方位及對應關系方位及對應關系 c) 投影規(guī)律V面投影面投影與與H面投影面投影共同反映立體的共同反映立體的長長，其投影在長度方向互相對正，其投影在長度方向互相對正，簡簡稱稱長對正長對正；V面投影面投影與與W面投影面投影共同反映立體的共同反映立體的高高，其投影在高度方向互相平齊，其投影在高度方向互相平齊，簡簡稱稱高平齊高平齊；H面投影面投影

9、與與W面投影面投影共同反映立體的共同反映立體的寬寬，其投影在寬度方向一一對應，其投影在寬度方向一一對應，且保持相等，簡且保持相等，簡稱稱寬相等寬相等。左右左右長對正xxyyzz下上下上高平齊后前后前寬相等Wang chenggang18/86作立體的三面投影圖：作立體的三面投影圖：圖圖2.13 立體的三面投影圖立體的三面投影圖a) 立體圖立體圖b) 三面投影圖三面投影圖Wang chenggang19/86圖圖2.14 三面投影圖的投影軸三面投影圖的投影軸三面投影圖的投影軸的恢復：三面投影圖的投影軸的恢復：Wang chenggang20/862.3 2.3 基本平面立體的投影基本平面立體的投

10、影2.3.1 2.3.1 立體的分類立體的分類2.3.2 2.3.2 基本平面立體的三面投影圖基本平面立體的三面投影圖Wang chenggang21/862.3.1 2.3.1 立體的分類立體的分類平面立體平面立體：所有表面均為平面的立體：所有表面均為平面的立體曲面立體曲面立體：部分或全部表面為曲面的立體：部分或全部表面為曲面的立體平面立體曲面立體棱柱棱錐回轉(zhuǎn)體非回轉(zhuǎn)體立體基本立體基本立體：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和圓球等幾何體：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和圓球等幾何體Wang chenggang22/862.3.2 2.3.2 基本平面立體的三面投影圖基本平面立體的三面投影圖1.1.棱柱（正六棱

11、柱）棱柱（正六棱柱）Wang chenggang23/862. 棱錐（四棱錐）棱錐（四棱錐）Wang chenggang24/863. 棱臺（四棱臺）棱臺（四棱臺）Wang chenggang25/86a) 題意分析：從立體的軸測圖可題意分析：從立體的軸測圖可見，該立體由一個四棱臺和一見，該立體由一個四棱臺和一個空心的四棱柱構成。因此，個空心的四棱柱構成。因此，只要作出四棱臺和四棱柱的三只要作出四棱臺和四棱柱的三面投影圖就作出了整個立體的面投影圖就作出了整個立體的三面投影圖。三面投影圖。例例2.1 如圖如圖a所示，根據(jù)平面立體的軸測圖，作其三面投影圖。所示，根據(jù)平面立體的軸測圖，作其三面投影圖

12、。Wang chenggang26/86解題步驟：解題步驟：b)c)(1) 作四棱臺的三面投影圖作四棱臺的三面投影圖. 如圖如圖b 、c、d所示所示W(wǎng)ang chenggang27/86d)e)(2) 作四棱柱的三面投影圖作四棱柱的三面投影圖 作四棱臺的三面投影圖，作四棱臺的三面投影圖， 如圖如圖b 、c、d所示所示W(wǎng)ang chenggang28/86(3) 擦去圖過程線，將可見輪廓線畫為粗實線，完成作圖。擦去圖過程線，將可見輪廓線畫為粗實線，完成作圖。f)Wang chenggang29/862.4.1 2.4.1 立體表面上點的投影立體表面上點的投影2.4 2.4 立體的表面構成要素的投

13、影分析立體的表面構成要素的投影分析2.4.2 2.4.2 立體表面上直線的投影立體表面上直線的投影2.4.3 2.4.3 立體表面上平面的投影立體表面上平面的投影Wang chenggang30/86例例2.2 已知如圖已知如圖2.162.16a所示。求作頂點所示。求作頂點S的的W面投影面投影, ,并完并完成三棱錐的成三棱錐的W面投影。面投影。a) 題意分析：仔細分析圖題意分析：仔細分析圖a，可以想象出整個三棱錐的可以想象出整個三棱錐的空間模型，進而想出兩種空間模型，進而想出兩種該題的解法。該題的解法。1立體表面上點的投影及投影規(guī)律立體表面上點的投影及投影規(guī)律 2.4.1 2.4.1 立體表面

14、上點的投影立體表面上點的投影Wang chenggang31/86空間模型空間模型Wang chenggang32/86解題過程：解題過程：方法一：根據(jù)三社圖的投影規(guī)律高平齊、寬相等直接作圖，如圖方法一：根據(jù)三社圖的投影規(guī)律高平齊、寬相等直接作圖，如圖2.162.16b 、c所示。所示。圖圖2.16 2.16 求作點的投影求作點的投影b)c)Wang chenggang33/86方法二：恢復投影軸，再作圖，如圖方法二：恢復投影軸，再作圖，如圖2.162.16d、e、f。圖圖2.16 求作點的投影求作點的投影d)e)f)Wang chenggang34/86圖圖2.17 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律

15、點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律: :點的投影的連線垂直于投影軸點的投影的連線垂直于投影軸點的投影到投影軸的距離點的投影到投影軸的距離=空間點到相應投影面的距離空間點到相應投影面的距離Wang chenggang35/862點與點的相對位置點與點的相對位置 如圖所示：如圖所示： 點點S在點在點A之右、之上、之右、之上、之前；之前； 點點B與點與點A到到H面的距面的距離相等，且點離相等，且點B在點在點A之之右、之前；右、之前； 點點C在點在點A的正右方。的正右方。 由于由于C點與點與A點在點在W面上面上的投影重合，因此，的投影重合，因此，稱點稱點C與點與點A為為W面的面的重影點重影點。 因點因點A在左、

16、點在左、點C在右，在右，于是在于是在W面上點面上點A的投影的投影可見、點可見、點C的投影不可見，的投影不可見，用（用（c）表示。）表示。 圖圖2.18 2.18 點與點的相對位置點與點的相對位置 Wang chenggang36/86例例2.32.3 根據(jù)所給已知條件作點的三面投影，并連線構成立體。根據(jù)所給已知條件作點的三面投影，并連線構成立體。 題意分析：題意分析：點點A已知兩個投已知兩個投影影a和和a，可以根據(jù)，可以根據(jù)高平齊高平齊、寬相等寬相等作出點作出點A的的W面投影。面投影。點點B 坐標已知，點坐標已知，點C的坐標的坐標為（為（4，4，0），可根據(jù)點），可根據(jù)點的三面投影的基本規(guī)律，

17、的三面投影的基本規(guī)律，作作B、C的投影。點的投影。點D的相的相對位置已知，可根據(jù)對位置已知，可根據(jù)A、B、C的投影作出點的投影作出點D的投影。的投影。已知點已知點A的二面投影如圖；點的二面投影如圖；點B的坐標為的坐標為(26,8,4)；點點C在在H面上，且到面上，且到V面、面、W面的距離均為面的距離均為4；點；點D在點在點A之下之下9、點、點D在點在點B之右之右13、點、點D在點在點C之之前前17。Wang chenggang37/86解題過程：解題過程：圖圖2.19 求作點的三面投影求作點的三面投影(1)根據(jù)高平齊、寬相等作點A的W面投影a (2)取Obx=26，過bx作X軸的垂線， 取bb

18、x=4、bbx=8，再根據(jù)b、b作b； 2684(3)點C的坐標為(4,4,0)，作法同點B ； (4) 在在a之下之下9處畫一與處畫一與X軸平行的直線，在軸平行的直線，在b之右之右13處畫一與處畫一與Z軸平行的直線，兩線之交點即為軸平行的直線，兩線之交點即為d，在點，在點C的水平投影的水平投影c之前之前17處處作一與作一與X軸平行的直線，軸平行的直線， 得點得點D的水平投影的水平投影d，據(jù)，據(jù)d、d作作d； 91317(5)在三個投影面上分別連線，則得三棱錐在三個投影面上分別連線，則得三棱錐ABCD的三面投影。的三面投影。 Wang chenggang38/86例例2.42.4如圖如圖2.2

19、0所示，求直線所示，求直線AB的的W面投影。面投影。2.4.2 2.4.2 立體表面上的直線的投影立體表面上的直線的投影圖圖2.20 2.20 求直線求直線AB的的W面投影面投影a）題圖）題圖b) ) 解題過程解題過程Wang chenggang39/86立體圖立體圖Wang chenggang40/861.1.直線的投影直線的投影圖圖2.21 2.21 直線的投影直線的投影Wang chenggang41/862. 2. 直線與投影體系的關系直線與投影體系的關系（1） 直線的分類及傾角直線的分類及傾角 一一般位置直線般位置直線：與三個投影面都傾斜的直線：與三個投影面都傾斜的直線(簡稱簡稱一般

20、線一般線)直線直線 投影面平行線投影面平行線：僅平行于一個投影面的直線：僅平行于一個投影面的直線 特殊位置直線特殊位置直線 (V：正平線正平線；H：水平線水平線；W：側(cè)平線側(cè)平線) 投影面垂直線投影面垂直線：垂直于一個投影面的直線：垂直于一個投影面的直線 (V：正垂線正垂線；H：鉛垂線鉛垂線；W：側(cè)垂線側(cè)垂線)傾角傾角：直線與投影面的真實夾角，也就是空間直線與其在投影面上的：直線與投影面的真實夾角，也就是空間直線與其在投影面上的 投影的夾角。投影的夾角。直線與直線與H、V、W面的傾角分別用面的傾角分別用 、 、 表示。表示。Wang chenggang42/86（2）投影面平行線的投影投影面平

21、行線的投影表表2.3 2.3 投影面平行線的投影投影面平行線的投影Wang chenggang43/86空間模型空間模型Wang chenggang44/86（3）投影面垂直線的投影）投影面垂直線的投影表表2.4 2.4 投影面垂直線的投影投影面垂直線的投影Wang chenggang45/86空間模型空間模型Wang chenggang46/86Za-ZbZ=ZYX圖圖2.22 2.22 一般位置直線的投影一般位置直線的投影一般位置直線的投影一般位置直線的投影a)b)c)ZWang chenggang47/863 直線上的點的投影直線上的點的投影a) 立體圖立體圖Wang chenggang

22、48/86b) 立體的三面投影圖立體的三面投影圖c) 直線的投影圖直線的投影圖圖圖2.23 直線上的點的投影直線上的點的投影ZXYwYHWang chenggang49/86例例 2.52.5 如圖如圖a，分別求作三棱錐的三條棱線，分別求作三棱錐的三條棱線SA、SB、SC一的點一的點D、E、F的另二面投影。的另二面投影。a)空間分析：Wang chenggang50/86解題過程解題過程b) 作點作點D、E、F的投影的投影c) 運用定比分點求運用定比分點求E點的投影點的投影圖圖2.26 求作直線上的點投影求作直線上的點投影Wang chenggang51/864 直線與直線的相對位置直線與直線

23、的相對位置表2.5 直線與直線的相對位置 異面直線與直線 相交 共面 平行Wang chenggang52/86表2.5(續(xù))Wang chenggang53/862.4.3 2.4.3 立體表面上平面的投影立體表面上平面的投影1. 1. 平面的投影平面的投影圖圖2.28 平面的表示法平面的表示法a)b)c)d)e)Wang chenggang54/862 平面與投影體系的關系平面與投影體系的關系(1) 平面的分類與傾角平面的分類與傾角a) 立體圖立體圖b) 三面投影圖三面投影圖c) 平面與平面的夾角平面與平面的夾角圖圖2.29 平面的分類與傾角平面的分類與傾角 一般位置平面一般位置平面：與三

24、個投影面都傾斜的平面：與三個投影面都傾斜的平面(簡稱簡稱一般面一般面)平面平面 投影面垂直面投影面垂直面：僅垂直于一個投影面的平面：僅垂直于一個投影面的平面 特殊位置平面特殊位置平面 (V：正垂面；：正垂面；H：鉛垂面；：鉛垂面；W：側(cè)垂面：側(cè)垂面) 投影面平行面投影面平行面：平行于一個投影面的平面：平行于一個投影面的平面 (V：正平面；：正平面；H：水平面；：水平面；W：側(cè)平面：側(cè)平面)Wang chenggang55/86(2) 投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影Wang chenggang56/86表表2.6 2.6 投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影Wang chenggang57

25、/86(3) 投影面平行面的投影投影面平行面的投影Wang chenggang58/86表表2.7 2.7 投影面平行面的投影投影面平行面的投影Wang chenggang59/863. 3. 平面上的點和直線的投影平面上的點和直線的投影表表2.10 2.10 平面上的點和直線平面上的點和直線Wang chenggang60/86表表2.10 2.10 平面上的點和直線平面上的點和直線( (續(xù)續(xù)) )Wang chenggang61/86表表2.10 2.10 平面上的點和直線平面上的點和直線( (續(xù)續(xù)) )Wang chenggang62/86例例2.6 如圖如圖a所示，補全三棱錐被截切后形

26、體的另兩面投影。所示，補全三棱錐被截切后形體的另兩面投影。a) 題圖題圖 題意分析：從題圖可題意分析：從題圖可知，三棱錐被兩個平知，三棱錐被兩個平面截切，一個為水平面截切，一個為水平面，另一個為正垂面。面，另一個為正垂面。求解的實質(zhì)仍然是求求解的實質(zhì)仍然是求棱線上的點、平面上棱線上的點、平面上的點和直線以及平面的點和直線以及平面的交線的問題。的交線的問題。Wang chenggang63/86解題過程：解題過程：b) 求作棱線、平面上各交點的投影求作棱線、平面上各交點的投影圖圖2.27 補全三棱錐的投影補全三棱錐的投影c) 完成結(jié)果完成結(jié)果Wang chenggang64/86空間模型空間模型

27、c) 完成結(jié)果完成結(jié)果Wang chenggang65/86例例2.7 如圖如圖a所示，所示，補畫出立體的補畫出立體的W面投影圖。面投影圖。 a) 題圖題圖 空間分析：空間分析：pWang chenggang66/86解題過程：解題過程：b) 作作W面投影圖面投影圖c) 加深、整理加深、整理圖圖2.30 求直線求直線AB與三棱錐表面的交點與三棱錐表面的交點pabcdeabcd(e)edcba pWang chenggang67/86解題結(jié)果：解題結(jié)果：Wang chenggang68/862.5 2.5 回轉(zhuǎn)體表面上的點與線回轉(zhuǎn)體表面上的點與線2.5.1 2.5.1 回轉(zhuǎn)體的三面投影圖回轉(zhuǎn)體的

28、三面投影圖2.5.2 2.5.2 回轉(zhuǎn)體表面上的點與線回轉(zhuǎn)體表面上的點與線Wang chenggang69/862.5.1 2.5.1 回轉(zhuǎn)體的三面投影圖回轉(zhuǎn)體的三面投影圖回轉(zhuǎn)體的形成回轉(zhuǎn)體的形成Wang chenggang70/861 1 回轉(zhuǎn)體的形成及投影回轉(zhuǎn)體的形成及投影素素線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向輪輪廓廓線線下下底底圓圓回回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸線線上上底底圓圓喉喉圓圓緯緯圓圓赤赤道道圓圓a) 立體圖立體圖Wang chenggang71/86b) 投影圖投影圖Wang chenggang72/862.2.基本回轉(zhuǎn)體的三面投影圖基本回轉(zhuǎn)體的三面投影圖 根據(jù)對曲面立體的形成及投影的分析，列出常見回轉(zhuǎn)體根據(jù)對曲面立

29、體的形成及投影的分析，列出常見回轉(zhuǎn)體的形成方式、三面投影圖及其投影特性，見表的形成方式、三面投影圖及其投影特性，見表2.9所示所示表表2.9 常見回轉(zhuǎn)體的三面投影圖及其投影特性常見回轉(zhuǎn)體的三面投影圖及其投影特性 1）由于軸線垂直于水）由于軸線垂直于水平面，因此圓柱的水平平面，因此圓柱的水平投影是個圓，其圓周是投影是個圓，其圓周是整個圓柱面的積聚性投整個圓柱面的積聚性投影，也是上下底圓的投影，也是上下底圓的投影。影。 2）正面和側(cè)面投影都）正面和側(cè)面投影都是以軸線為對稱線的、是以軸線為對稱線的、完全相同的矩形。其上完全相同的矩形。其上下兩邊也是上下底圓的下兩邊也是上下底圓的積聚性投影，其他兩邊積

30、聚性投影，其他兩邊是轉(zhuǎn)向線的投影。是轉(zhuǎn)向線的投影。Wang chenggang73/86表表2.9 常見回轉(zhuǎn)體的三面投影圖及其投影特性常見回轉(zhuǎn)體的三面投影圖及其投影特性(續(xù)續(xù)) 1）軸線垂直于水平）軸線垂直于水平面的圓錐，其水平投面的圓錐，其水平投影為圓，由于錐面上影為圓，由于錐面上所有素線均傾斜于水所有素線均傾斜于水平面，故該圓沒有積平面，故該圓沒有積聚性。聚性。2）正面和側(cè)面投影）正面和側(cè)面投影都是以軸對稱的、完都是以軸對稱的、完全同的等腰三角形。全同的等腰三角形。其底為圓錐底面的積其底為圓錐底面的積聚性投，兩腰為轉(zhuǎn)向聚性投，兩腰為轉(zhuǎn)向線的投影。線的投影。 1）圓球的三面投影都）圓球的三面投影都是大小相同的圓是大小相同的圓 ，且沒，且沒有積聚性。三個圓分別有積聚性。三個圓分別為圓球相對于三個投影為圓球相對于三個投影面的轉(zhuǎn)向線的投影。面的轉(zhuǎn)向線的投影。2）圓的直徑等于圓球）圓的直徑等于圓球的直徑。的直徑。Wang chenggang74/86例例2.82.8 如圖如圖a)所示，