2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學中考數學四模試卷

第1頁（共1頁）2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學中考數學四模試卷一、選擇題（共8小題）1．（3分）2的相反數是（）A． B． C．﹣2 D．22．（3分）如圖，直線a∥b，直線l分別交直線a、b于A，點C在直線b上，且AC＝BC，則∠1的度數為（）A．112° B．102° C．107° D．117°3．（3分）下列運算正確的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．6a4b5÷（﹣3a2b5）＝﹣2a4b2 C．（2a2b3）3＝6a6b9 D．3a2b?（﹣2a3b2）＝﹣6a5b34．（3分）如圖，直線y＝ax+b經過A，B兩點，D兩點，則a，b，c（）A．a＜c＜d＜b B．c＜a＜d＜b C．a＜c＜b＜d D．c＜a＜b＜d5．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∠ABC的平分線交AD于點E，則AE的長為（）A． B．2 C． D．36．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于D點，F(xiàn)邊BC上一動點，當四邊形ADFE的面積與△ABC的面積相等時，DF的長度為（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，點B，C在⊙O上，∠A＝∠B＝60°，AB＝6，⊙O的半徑長為（）A．2 B．5 C． D．8．（3分）在平面直角坐標系中，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個公共點，且過點A（m，n），B（m﹣12，n），則n的值為（）A．48 B．36 C．24 D．12二、填空題（共5小題）9．（3分）比較大小，（”＜”，“＞”或“＝”）．10．（3分）把邊長相等的正五邊形ABGHI和正六邊形ABCDEF的邊AB重合，按照如圖的方式疊放在一起，連接EB交HI于點K．11．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為a，E為對角線AC邊上一點，若EB＝EC＝ED＝2，則a的值為．12．（3分）如圖，直線AB與雙曲線交于A，交x軸于點C，若AB＝2BC．13．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥BD，∠BAC＝30°，若，則AC的長為．三、解答題（共13小題，解答題應寫出必要過程）14．計算：．15．解不等式組：．16．解分式方程：．17．如圖，已知等邊△ABC，D為BC邊上一點，在射線AD上找一點E，使得∠AEC＝60°．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC邊的中點，G為DF的中點，分別延長AE，求證：CG⊥DF．19．在一個不透明的袋子中裝有2個紅球、2個白球，這些球除顏色外都相同．（1）從袋子中隨機摸出1個球，則摸出的這個球是紅球的概率為．（2）從袋子中隨機摸出1個球，不放回，再隨機摸出1個球，求兩次摸出的球都是白球的概率．20．我國古代數學著作《孫子算經》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車，那么有9人需要步行，問人與車各多少？21．某校組織全校學生進行了一場數學競賽，根據競賽結果，隨機抽取了若干名學生的成績（得分均為正整數，滿分為100分，大于80分的為優(yōu)秀），繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖表．數學競賽成績頻數統(tǒng)計表組別頻數頻率A組（60.5～70.5）a0.3B組（70.5～80.5）300.15C組（80.5～90.5）50bD組（90.5～100.5）600.3請結合圖表解決下列問題：（1）請將頻數分布直方圖補充完整；（2）抽取的若干名學生競賽成績的中位數落在組；（3）若該校共有1500名學生，請估計本次數學競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生人數．22．小明與小亮要測量一建筑物CE的高度，如圖，小明在點A處測得此建筑物最高點C的仰角∠CAE＝45°（即AB＝10m），測得最高點C的仰角∠CBE＝53°，小亮在點G處豎立標桿FG，標桿頂F，最高點C在一條直線上時，GD＝2m．（1）求此建筑物的高度CE；（2）求小亮與建筑物CE之間的距離ED．（注：結果精確到1m，參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈）23．一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調節(jié)扣構成．小華購買時，售貨員演示通過調節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度（單層部分與雙層部分長度相同，其中調節(jié)扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設雙層部分的長度為x厘米，經測量，得到下表中數據：雙層部分長度x（cm）281420單層部分長度y（cm）148136124112（1）根據表中數據規(guī)律，求y與x的函數關系式；（2）按小華的身高和習慣，背帶的長度調為130cm時為最佳，請計算此時雙層部分的長度．24．如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，交△ABC外接圓⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交BC延長線上點D．（1）求證：AC∥DE；（2）若CE＝6，DE＝8，求AF的長．25．公園里，一個圓形噴水池的中央豎直安裝一個柱形噴水裝置OA，噴水口A距離水面的距離OA＝1.25米，以O為坐標原點，OA方向為y軸正方向，同時經過距OA水平距離為2米，距水面的高度為0.75米的C點．（1）若不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落到池外？（2）如果水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3米，此時水流的最大高度應達到多少米？26．提出問題如圖①，⊙O與∠ABC的兩邊BA，BC相切于點P，Q，BQ的數量關系為．探究問題如圖②，矩形ABCD的邊，AB＝3，連接BP，CP問題解決如圖③，小明和小亮在學習圓的相關知識后進行了如下的探究活動：先在桌面上固定一根筆直的木條AB，讓一圓盤在木條AB上做無滑動的滾動，再緊繃在圓盤邊上，此時，BD，AB分別與圓盤相切于點C，D，E（即AC++DB的長度會發(fā)生變化）．已知，圓盤直徑為4dm+DB的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值，請說明理由．

2024年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學中考數學四模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題）1．（3分）2的相反數是（）A． B． C．﹣2 D．2【解答】解：2的相反數是﹣2，故選：C．2．（3分）如圖，直線a∥b，直線l分別交直線a、b于A，點C在直線b上，且AC＝BC，則∠1的度數為（）A．112° B．102° C．107° D．117°【解答】解：如圖，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∵a∥b，∴∠DAB+∠CBA＝∠2+∠CAB+∠CBA＝180°，∵∠2＝34°，∴∠CAB＝73°，∴∠DAB＝34°+73°＝107°，∴∠8＝∠DAB＝107°，故選：C．3．（3分）下列運算正確的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．6a4b5÷（﹣3a2b5）＝﹣2a4b2 C．（2a2b3）3＝6a6b9 D．3a2b?（﹣2a3b2）＝﹣6a5b3【解答】解：A、（a+b）2＝a2+6ab+b2，故A不符合題意；B、6a4b5÷（﹣3a8b5）＝﹣2a3，故B不符合題意；C、（2a2b4）3＝8a4b9，故C不符合題意；D、3a5b?（﹣2a3b5）＝﹣6a5b7，故D符合題意；故選：D．4．（3分）如圖，直線y＝ax+b經過A，B兩點，D兩點，則a，b，c（）A．a＜c＜d＜b B．c＜a＜d＜b C．a＜c＜b＜d D．c＜a＜b＜d【解答】解：由圖可得：a＜c＜0，d＞b＞0，∴c＜a＜b＜d，故選：D．5．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∠ABC的平分線交AD于點E，則AE的長為（）A． B．2 C． D．3【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，AC＝8，∴∠C＝∠DAC＝45°，∴AD＝DC＝ACsin45°＝AC＝4，在Rt△ADB中，AD＝5，∴BD＝ADtan30°＝AD＝，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBD＝30°，在Rt△EBD中，BD＝，∴DE＝BDtan30°＝BD＝，∴AE＝AD﹣DE＝．故選：C．6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于D點，F(xiàn)邊BC上一動點，當四邊形ADFE的面積與△ABC的面積相等時，DF的長度為（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴CD＝5÷2＝3，AD⊥CB，∵EF⊥CB，∴AD∥EF，∴△CAD∽△CEF，∵四邊形ADFE的面積與△ABC的面積相等，∴△CAD與△CEF面積比＝6：3，∴CD：CF＝1：，即CD：DF＝1：（），∵CD＝3，∴DF＝3﹣3．故選：D．7．（3分）如圖，點B，C在⊙O上，∠A＝∠B＝60°，AB＝6，⊙O的半徑長為（）A．2 B．5 C． D．【解答】解：延長AO交BC于D，作OE⊥BC于E，∵BC＝10，OE⊥BC于E，∴BE＝BC＝3，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ADB為等邊三角形；∴BD＝AB＝6，∠ADB＝60°，∴DE＝BD﹣BE＝1，∵tan∠ODE＝＝，∴OE＝，∴OB＝＝2，∴⊙O的半徑長為5，故選：A．8．（3分）在平面直角坐標系中，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個公共點，且過點A（m，n），B（m﹣12，n），則n的值為（）A．48 B．36 C．24 D．12【解答】解：由題意b2﹣4c＝3，∴b2＝4c，又∵拋物線過點A（m，n），n），∴A、B關于直線x＝﹣，∴A（﹣+6，B（﹣，n），把點A坐標代入y＝x2+bx+c，n＝（﹣+6）2+b（﹣+5）+c＝﹣b8+36+c，∵b2＝4c，∴n＝36．故選：B．二、填空題（共5小題）9．（3分）比較大小，＞（”＜”，“＞”或“＝”）．【解答】解：＞2，，∴＞．故答案為：＞．10．（3分）把邊長相等的正五邊形ABGHI和正六邊形ABCDEF的邊AB重合，按照如圖的方式疊放在一起，連接EB交HI于點K96°．【解答】解：由正五邊形內角，得∠I＝∠BAI＝，由正六邊形內角得，∠ABC＝＝120°，BE平分∠ABC，∠ABK＝60°，由四邊形的內角和得，∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK＝360°﹣108°﹣108°﹣60°＝84°，∴∠BKH＝180°﹣84°＝96°．故答案為：96°．11．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為a，E為對角線AC邊上一點，若EB＝EC＝ED＝2，則a的值為1+．【解答】解：連接BD，交AC于點O，∵四邊形ABCD是菱形，連接BD，∴AD＝AB＝BC＝CD＝a，AC⊥BD，∵EA＝a，EB＝EC＝ED＝2，在Rt△AOD中，DO2＝AD8﹣OA2，在Rt△DEO中，DO2＝DE4﹣OE2，即AD2﹣OA3＝DE2﹣OE2，即，解得：（舍去），故答案為：1+．12．（3分）如圖，直線AB與雙曲線交于A，交x軸于點C，若AB＝2BC．【解答】解：如圖，作AH⊥OC于H．設A（a，）．∵AH⊥OC于H，BT⊥OC于T，∴AH∥BT，∴，∵AB＝2BC，∴，∴AH＝3BT，∵AH＝∴BT＝，∴B（3a，），∵OH＝a，OT＝2a，∴TH＝2a，∵S△AOB＝S△AOH+S梯形AHTB﹣S△OBT，S△AOH＝S△BOT，∴S△AOB＝S梯形AHTB＝（+）?2a＝，故答案為：．13．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥BD，∠BAC＝30°，若，則AC的長為2．【解答】解：過點B作BE⊥CA，交CA于點E，∵∠BCA＝45°，BE⊥CA，∴CE＝BE，，∴點E為△CBD外接圓圓心，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵BE⊥CA，AD⊥BD，∴EBAD四點共圓，∴∠EDB＝∠EAB＝30°，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴△EBD為頂角120°的等腰三角形，∴，在Rt△CBE中，，在Rt△EBA中，，∴，故答案為：．三、解答題（共13小題，解答題應寫出必要過程）14．計算：．【解答】解：原式＝﹣5+2﹣﹣××（﹣×）＝﹣5+2﹣+4＝3﹣4．15．解不等式組：．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤，∴原不等式組的解集是﹣＜x．16．解分式方程：．【解答】解：，＝﹣，方程兩邊都乘（1+x）（5﹣x），得（2x﹣1）（8﹣x）＝5﹣2x（2+x），2x﹣2x7﹣1+x＝5﹣6x﹣2x2，2x﹣2x2+x+4x+2x2＝4+1，5x＝6，x＝，檢驗：當x＝時，（1+x）（2﹣x）≠0，所以分式方程的解是x＝．17．如圖，已知等邊△ABC，D為BC邊上一點，在射線AD上找一點E，使得∠AEC＝60°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【解答】解：如圖，作∠DCE＝∠BAD，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠AEC＝∠B．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°．∴∠AEC＝60°．則點E即為所求．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC邊的中點，G為DF的中點，分別延長AE，求證：CG⊥DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠HCE，∵點E為BC邊的中點，∴BE＝EC，在△ABE與△HCE中，，∴△ABE≌△HCE（ASA），∴AB＝CH，∴DC＝CH，∵G為DF的中點，∴CG是△DFH的中位線，∴CG∥EH，∵DF⊥AE，∴CG⊥DF．19．在一個不透明的袋子中裝有2個紅球、2個白球，這些球除顏色外都相同．（1）從袋子中隨機摸出1個球，則摸出的這個球是紅球的概率為．（2）從袋子中隨機摸出1個球，不放回，再隨機摸出1個球，求兩次摸出的球都是白球的概率．【解答】解：（1）由題意得，摸出的這個球是紅球的概率為＝．故答案為：．（2）列表如下：紅紅白白紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球都是白球的結果有2種，∴兩次摸出的球都是白球的概率為＝．20．我國古代數學著作《孫子算經》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車，那么有9人需要步行，問人與車各多少？【解答】解：設共有x人，y輛車，，解得，，答：有39人，15輛車．21．某校組織全校學生進行了一場數學競賽，根據競賽結果，隨機抽取了若干名學生的成績（得分均為正整數，滿分為100分，大于80分的為優(yōu)秀），繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖表．數學競賽成績頻數統(tǒng)計表組別頻數頻率A組（60.5～70.5）a0.3B組（70.5～80.5）300.15C組（80.5～90.5）50bD組（90.5～100.5）600.3請結合圖表解決下列問題：（1）請將頻數分布直方圖補充完整；（2）抽取的若干名學生競賽成績的中位數落在C組；（3）若該校共有1500名學生，請估計本次數學競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生人數．【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，∴a＝200×0.5＝60，補全頻數分布直方圖如下：（2）抽取的200名學生中競賽成績的中位數落在的組別是C組；故答案為：C；（3）b＝50÷200＝0.25，1500×（0.25+7.3）＝1000×0.55＝825（人），答：估計本次數學競賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生人數有825人．22．小明與小亮要測量一建筑物CE的高度，如圖，小明在點A處測得此建筑物最高點C的仰角∠CAE＝45°（即AB＝10m），測得最高點C的仰角∠CBE＝53°，小亮在點G處豎立標桿FG，標桿頂F，最高點C在一條直線上時，GD＝2m．（1）求此建筑物的高度CE；（2）求小亮與建筑物CE之間的距離ED．（注：結果精確到1m，參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈）【解答】解：（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE，∵AB＝10m，∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，tan∠CBE＝tan53°＝＝，∴≈，解得CE≈40（m）；答：此建筑物的高度CE約為40m；（2）由題意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，∴△FGD∽△CED，∴＝，即＝，解得ED≈53（m），答：小亮與建筑物CE之間的距離ED約是53m．23．一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調節(jié)扣構成．小華購買時，售貨員演示通過調節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度（單層部分與雙層部分長度相同，其中調節(jié)扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設雙層部分的長度為x厘米，經測量，得到下表中數據：雙層部分長度x（cm）281420單層部分長度y（cm）148136124112（1）根據表中數據規(guī)律，求y與x的函數關系式；（2）按小華的身高和習慣，背帶的長度調為130cm時為最佳，請計算此時雙層部分的長度．【解答】解：（1）觀察表格可知，y是x的一次函數，把雙層部分長度為2cm，單層部分長度為148cm和雙層部分長度為8cm，解得，∴y與x的函數關系式為y＝﹣8x+152；（2）根據題意得：x+y＝130，∴x+（﹣2x+152）＝130，解得x＝22，∴雙層部分的長度為22cm．24．如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，交△ABC外接圓⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交BC延長線上點D．（1）求證：AC∥DE；（2）若CE＝6，DE＝8，求AF的長．【解答】（1）證明：連接OE，如圖，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴，∴OE⊥AC．∵DE為⊙O的切線，∴OE⊥DE．∴AC∥DE；（2）解：由（1）知：，∴AE＝EC＝6，∠EAC＝∠ECA，∵AC∥DE，∴∠DEC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠DEC．∵AC∥DE，∴∠D＝∠ACB．∵∠ACB＝∠AEB，∴∠AEB＝∠D，∴△EAF∽△DEC，∴，∴，∴AF＝．25．公園里，一個圓形噴水池的中央豎直安裝一個柱形噴水裝置OA，噴水口A距離水面的距離OA＝1.25米，以O為坐標原點，OA方向為y軸正方向，同時經過距OA水平距離為2米，距水面的高度為0.75米的C點．（1）若不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落到池外？（2）如果水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3米，此時水流的最大高度應達到多少米？【解答】解：（1）由題意，頂點的橫坐標為0.75，∴可設解析式為y＝a（x﹣0.75）7+k．又過A（0，1.25），7.75），∴．∴．∴拋物線為y＝﹣（x﹣5.75）2+．令y＝0，∴4＝﹣（x﹣5.75）2+．∴x＝2.3或x＝﹣1（舍去）．∴水池的半徑至少為2.4米．（2）由題意，可設y＝﹣3+n，把點（0，1.25），5）代入拋物線解析式得，∴．∴．∴y＝﹣（x﹣）7+．∴水池的半徑為3m，要使水流不落到池外米．26．提出問題如圖①，⊙O與∠ABC的兩邊BA，BC相切于點P，Q，BQ的數量關系為