水平集方法簡(jiǎn)介

1、水平集方法演講者：? 指導(dǎo)教師：?拓?fù)鋬?yōu)化簡(jiǎn)介n目的：在一定的外力和約束作用下，尋找具有最佳傳力路徑的結(jié)構(gòu)布置形式。n方法：將設(shè)計(jì)域劃分為有限個(gè)單元，依據(jù)一定的算法刪除部分區(qū)域形成帶孔的連續(xù)體，實(shí)現(xiàn)連續(xù)體的拓?fù)溆谢?。在拓?fù)鋬?yōu)化中，采用各種懲罰措施來壓縮中間密度材料，進(jìn)而刪除部分區(qū)域，根據(jù)懲罰措施不同進(jìn)而衍生出均勻化方法,變密度方法等。n缺陷：由于柵格模型本身原因，得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)邊界是一種鋸齒形邊界，為了得到光滑的邊界，不得不再進(jìn)行形狀優(yōu)化，采用一種映射關(guān)系，把柵格模型轉(zhuǎn)化為一種光滑曲面模型，但是這種映射關(guān)系處理不是很容易，而且計(jì)算量也比較大。在描述結(jié)構(gòu)幾何形狀信息時(shí)，邊界的位置形狀，法向量和邊界

2、的曲率不能直接表示出來。n解決措施：提出面向結(jié)構(gòu)幾何形狀描述的方法，即引入一種描述結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤畹碾[式函數(shù)即：水平及函數(shù)，用它的零水平集來描述結(jié)構(gòu)的邊界，然后通過目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的敏度分析來改變水平集函數(shù)的取值以得到不斷變化的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤睢Ｋ郊椒ê?jiǎn)介1.水平集定義（用數(shù)學(xué)方法解釋）： 一條平面封閉曲線可隱式表示為一個(gè)二維函數(shù)的水平集（線）即將其看作三維曲面 與平面 的交線。隨時(shí)間 變化的平面封閉曲線可表示為：可看作隨時(shí)間 變化的三維曲面簇 與平面 相交得到的水平集（線）2.水平集方法處理的核心思想： 把 n 維描述視為高一維（n+1）維的水平集，或者說是把n維描述視為有 n 維變量的水平集

3、函數(shù) u 的水平集。這樣一來就把( , ), ( , )Cx y u x yc( , )uu x yuct( )( , ), ( , , )C tx y u x y tct( , , )uu x y tuc求解n維描述的演化過程轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于有n維變量的水平集函數(shù)u的演化所導(dǎo)致的水平集的演化過程。其要點(diǎn)是通過這種變化，引入了變中的相對(duì)不變：水平集函數(shù)u的水平c不變。我們把這種變中的相對(duì)不變叫做泛對(duì)稱。引入了泛對(duì)稱，就引入了規(guī)律，而引入了規(guī)律就能推演出水平集在此規(guī)律下各種具體條件而演化的具體演化方程。實(shí)例：通過把二維平面曲線嵌入到三維曲面，將平面閉曲線演化的問題轉(zhuǎn)化為三維曲面的演化。優(yōu)點(diǎn)：可以方

4、便的處理曲線演化時(shí)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化t=0t=13.水平集方法的基本方程： 考慮零水平集 所對(duì)應(yīng)的水平集函數(shù) ，則有 （4-1） 對(duì)方程（4-1）兩邊求關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，有 （4-2） 假設(shè)F為外法向方向的速度，那么這其中因此，我們便得到基本方程式 （4-3）( )x t( ( ), )0 x t t( ( ), )0 xx t tttxnFt / |n | 0Ft曲線就是根據(jù)方程（4-3）進(jìn)行演化，且?guī)缀涡螤畹淖兓慌c運(yùn)動(dòng)速度（即（4-3）中的F有關(guān)）。注： 為法向方向， 梯度算子（在單變量的實(shí)值函數(shù)的情況，梯度只是導(dǎo)數(shù)，或者，對(duì)于一個(gè)線性函數(shù)，也就是線的斜率 ） F為邊界法向速度。演化實(shí)例如圖

5、所示：n4.水平集的一般性算法： （1）設(shè)定水平集函數(shù)的初態(tài)； （2）確定速度F的形式； （3）按基本方程推演水平集函數(shù)的各狀態(tài)； （4）對(duì)于每一水平集函數(shù)的狀態(tài)求解水平集。優(yōu)化的過程可以被認(rèn)為是讓F成為一個(gè)有優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)驅(qū)動(dòng)的水平集函數(shù)面上點(diǎn)的移動(dòng)過程。優(yōu)化的關(guān)鍵是找到合適的法向速度F,使得在該速度場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)下得到考慮目標(biāo)函數(shù)和約束條件的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。水平集拓?fù)鋬?yōu)化的實(shí)例一.分析思想： 一般情況下是以結(jié)構(gòu)柔順度最小作為目標(biāo)函數(shù)，實(shí)體材料所占的體積為約束條件。二.1.隱式邊界模型建立： 定義一個(gè)足夠大的固定的參考域 ，以使它完全包含被優(yōu)化的結(jié)構(gòu) ，即 ，結(jié)構(gòu)邊界表面 隱含地定義為嵌入的函數(shù) 的一

6、個(gè)等值表面，即 ，用符號(hào)距離函數(shù) 來定義邊界的內(nèi)外區(qū)域內(nèi)外區(qū)域，如下所示：DDDDD( )x |,( )0Dx xDx( )x( , )0( , )0( , )0 x txDDx txDx txD D 對(duì) 通過鏈導(dǎo)法求導(dǎo)則可以得到如下水平集函數(shù)演化方程：隱含在水平集函數(shù) （即符號(hào)距離函數(shù)）中的零水平集方零水平集方程程為：2.拓?fù)鋬?yōu)化模型的建立：以結(jié)構(gòu)最小化拓?fù)鋬?yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型如下所示： （2-1）( , )x t( , )| 0 x tFt ( , )x t( ) |( , )0txx t01min:( ,)( )( )()2DJ uu Eu Hd max1:( )( )()2V()DDDD

7、stu Eu HdpududHdV 對(duì)于上面問題，采用增廣拉格朗日方法，將體積約束作為一個(gè)懲罰項(xiàng)施加在目標(biāo)函數(shù)上得： 是拉格朗日乘子，在一個(gè)迭代步中通過一定值 來求解上式，然后更新 并檢查是否收斂。3.形狀靈敏度分析（關(guān)鍵的一步）（關(guān)鍵的一步） 結(jié)合水平集方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，目標(biāo)函數(shù)對(duì)形狀的導(dǎo)數(shù)已經(jīng)不是目標(biāo)函數(shù)關(guān)于某個(gè)變量的變分，而是目標(biāo)函數(shù)關(guān)于當(dāng)前幾何形狀的變分，通過同胚映射，把原本的幾何域通過微小振動(dòng)映射到另一幾何域。定義映射 和形狀導(dǎo)數(shù)，映射前的區(qū)域?yàn)?經(jīng)過映射后的區(qū)域?yàn)?，表達(dá)式如下： 對(duì)于 應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開式，省略高階項(xiàng)，有： 20maxmin:( ,)( ,)()DJ uJ uH

8、dV ( , )Tp( , ):TppppD () 為無窮小量( )( , )( )pTppp4.水平集方程求解求得水平集速度后，帶到水平集方程，用數(shù)值差分格式進(jìn)行求解：12222 1/22222 1/2max(,0)min(,0)max(,0)min(,0)max(,0)min(,0) max(,0)min(,0)max(,0)min(,0) nnijijijijxxyyijijijijxxyyijijijijtFFDDDDDDDD 式中的 是形狀變化的速度，也可以認(rèn)為是材料在時(shí)間 經(jīng)過 點(diǎn)時(shí)的速度。在上面定義的映射下，給出函數(shù) 的形狀導(dǎo)數(shù)的定義：通過 以上的形狀導(dǎo)數(shù)概念對(duì)（2-1）進(jìn)行求導(dǎo)

9、，求得導(dǎo)數(shù)值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)值適當(dāng)?shù)倪x擇水平集方程式的速度F,使得目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)小于零,目標(biāo)函數(shù)是下降的，這樣就建立了物理約束條件與水平集方程之間的聯(lián)系。( )pp000()()()|limdd 式中： 為插值點(diǎn) 沿x方向的向前差分和向后差分。 為插值點(diǎn) 沿y方向的向前差分和向后差分。,xxijijDD(, )i j,yyijijDD(, )i j5.重新初始化 求解水平集方程，更新設(shè)計(jì)域水平集函數(shù)后，要重新初始化，以保持水平集函數(shù)為符號(hào)距離函數(shù)性質(zhì)，且滿足通過求解微分方程進(jìn)行重新初始化，求解下面偏微分方程直到結(jié)果收斂為止。其中， 為符號(hào)距離函數(shù)，滿足|=10()(| 1)0st 0()s 000()10()00()10SSS 通過對(duì) 進(jìn)行改進(jìn)，可得到更好平滑數(shù)值結(jié)果。0()s 002220()|Sdx 當(dāng)水平集函數(shù)趨于平坦時(shí)， 加速收斂，水平集陡峭時(shí)， 延緩收斂，這樣可保持一致的收斂速度，避免迭代次數(shù)增加和界面錯(cuò)亂。|Sd |Sd三.具體迭代步驟Step1.設(shè)計(jì)域初始拓?fù)洳聹y(cè)，水平集函數(shù)初始化。Step2.1.有限元分析，計(jì)算位移 （2.1） 2.計(jì)