導數(shù)和函數(shù)性質

1、第六講 導數(shù)和函數(shù)性質 構造法 在利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，證明不等式等解題過程中，常常要構造函數(shù)，構造方程等來促成問題的解決 例1已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍 解析：f (x)3ax26x1. f(x)是R上的減函數(shù)f (x)0恒成立 即3ax26x10在xR上恒成立， a0且3612a0，a3. 點評：此類問題的易錯點是a3時，該函數(shù)也是R上的減函數(shù)，符合題目要求，好多學生在解此類問題時，往往丟掉等號 函數(shù)yx3axb在(1,1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)，則() Aa1，b1Ba1，bR Ca3，b3 Da3，bR 解析：f (x)3x2a，由條件f

2、 (1)0， a3，bR. 答案：D 答案：A (文)函數(shù)yxcosxsinx,0 x2的單調減區(qū)間為_ 解析：ycosxx(sinx)cosxxsinx， 當x(0，)時，y0. 此函數(shù)的單調減區(qū)間是(0， 答案：(0， (理)(09廣東)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調遞增區(qū)間是 () A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 解析：f (x)ex(x3)exex(x2)， 由f (x)0得，x2. f(x)在(2，)上是增函數(shù) 答案：D 例3已知函數(shù)f(x)x36x29xm. (1)求f(x)的單調遞增區(qū)間 (2)若f(x)在區(qū)間0,4上的最小值為2，求它在該區(qū)間上的最大值 解析

3、：(1)f (x)3x212x93(x1)(x3)，由f (x)0得，1x3. f(x)在區(qū)間(1,3)上單調遞增 (2)由f (x)0得x3， f(x)在0,1上單調遞減，在1,3上單調遞增，在3,4上單調遞減，f(0)m，f(1)m4，f(3)m，f(4)m4，且m40，f(x)為增函數(shù)，x(0,2)時，f (x)0，f(x)為增函數(shù) 只有C符合題意，故選C. 答案：C下圖是函數(shù)yf(x)的導函數(shù)yf (x)的圖象，對此圖象，有如下結論：在區(qū)間(2,1)內f(x)是增函數(shù)；在區(qū)間(1,3)內f(x)是減函數(shù)；x2時，f(x)取到極大值；在x3時，f(x)取到極小值其中正確的是_(將你認為正

4、確的序號填在橫線上) 答案： 答案：D (理)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x在(，0)和(1，)上都是增函數(shù)，則a的取值范圍是_ 解析：f (x)3x22ax(a21)， 其判別式128a2. 例6函數(shù)f(x)是定義在1,0)(0,1上的偶函數(shù)，當x1,0)時，f(x)x3ax(aR) (1)當x(0,1時，求f(x)的解析式； (2)若a3，試判斷f(x)在(0,1上的單調性，并證明你的結論； (3)是否存在實數(shù)a，使得當x(0,1時，f(x)有最大值1? 分析：先用轉化的方法求出f(x)在(0,1上的解析式，然后求其導數(shù)f (x)，判斷f (x)的符號得出其單調性，再結合單

5、調性討論其最值的存在性，判斷能否取得最大值1. 解析：(1)當x(0,1時，x1,0)， f(x)x3ax， 函數(shù)f(x)是偶函數(shù)， f(x)x3ax(x(0,1) (2)f (x)3x2a， x(0,1，3x23,0)， 又a3，3x2a0. 即f (x)0，f(x)在(0,1上是增函數(shù)已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd的圖象過點P(0,2)，且在點M(1，f(1)處的切線方程為6xy70.(1)函數(shù)yf(x)的解析式為_；(2)函數(shù)yf(x)的單調增區(qū)間為_解析：(1)由f(x)的圖象經(jīng)過點P(0,2)知d2，f(x)x3bx2cx2，f (x)3x22bxc.由在點M(1，f(1)處的切線

6、方程是6xy70，知6f(1)70，f(1)1，f (1)6. 重點難點 重點：1.用導數(shù)判定函數(shù)單調性的方法 2函數(shù)極值的概念及求法、函數(shù)的最值 難點：導函數(shù)的圖象與函數(shù)單調性的關系 知識歸納 1函數(shù)的單調性 (1)設函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內可導，如果f (x) 0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內為增函數(shù)；如果f (x) 0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內為減函數(shù)f(x0)，我們就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極 值，稱x0為函數(shù)f(x)的一個極 值點極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 (2)判斷極值的方法：當函數(shù)f(x)在點x0處可導且f (x0)0. 如果在x0附近的左側f (x) 0，右側

7、f (x) 0，那么f(x0)為極大值； 如果在x0附近的左側f (x) 0，右側f (x) 0，那么f(x0)是極小值 (2)如果在某個區(qū)間內恒有f (x)0，則f(x)等于常數(shù) 對于可導函數(shù)f(x)來說，f (x)0是f(x)在(a，b)上為單調增函數(shù)的充分不必要條件，f (x)0是f(x)在(a，b)上為單調減函數(shù)的充分不必要條件，如f(x)x3在R上為增函數(shù)，但f (0)0，所以在x0處不滿足f (x)0.(3)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的一般步驟求導數(shù)f (x)；在函數(shù)f(x)的定義域內解不等式f (x)0和f (x)0；根據(jù)的結果確定函數(shù)f(x)的單調區(qū)間2函數(shù)的極值(1)函數(shù)極值的定義：設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有點x，都有f(x)0(或f (x)0(或f (x)0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件 2若yf(x)在(a，b)內可導，f (x)0或f (x)0，且yf(x)在(a，b)內導數(shù)f (x)0的點僅有有限個，則yf(x)在(a，b)內仍是單調函數(shù) 3討論含參數(shù)的函數(shù)的單調性時，必須注意分類討論 4極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系 (1)函數(shù)的極值不一定是最值，需對極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進