保險(xiǎn)精算第六講

1、第六章責(zé)任準(zhǔn)備金責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因0t未來(lái)責(zé)任未來(lái)收入w未來(lái)責(zé)任未來(lái)收入差值責(zé)任準(zhǔn)備金責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生原因n凈保費(fèi)厘定原則：凈均衡原則，保證了以保單發(fā)行日為參照點(diǎn)保險(xiǎn)公司的未來(lái)保費(fèi)收入現(xiàn)時(shí)值和未來(lái)保險(xiǎn)賠付的現(xiàn)時(shí)值相等。且以保障期內(nèi)任意某個(gè)時(shí)刻為參照點(diǎn)，所有收支的現(xiàn)時(shí)值相等。n但除了保單發(fā)行日以外，以保障期內(nèi)任意某個(gè)時(shí)刻為參照點(diǎn)，未來(lái)收支的現(xiàn)時(shí)值都有可能不平衡。凈責(zé)任準(zhǔn)備金的定義n定義：n保險(xiǎn)公司在任意時(shí)刻對(duì)每個(gè)仍在保障范圍內(nèi)的被保險(xiǎn)人的未盡責(zé)任現(xiàn)時(shí)值，就稱為凈責(zé)任準(zhǔn)備金。n或者說(shuō)是每個(gè)現(xiàn)存被保險(xiǎn)人將來(lái)的受益現(xiàn)值，所以也稱為受益責(zé)任準(zhǔn)備金。n實(shí)質(zhì)n責(zé)任準(zhǔn)備金是現(xiàn)存被保險(xiǎn)人未來(lái)受益與未來(lái)繳費(fèi)現(xiàn)時(shí)值

2、之差。責(zé)任準(zhǔn)備金圖解0t未來(lái)責(zé)任未來(lái)收入w未來(lái)責(zé)任未來(lái)收入差值責(zé)任準(zhǔn)備金仍在保障范圍內(nèi)的被保險(xiǎn)人數(shù)差值責(zé)任準(zhǔn)備金對(duì)每位仍在保障范圍內(nèi)的被保險(xiǎn)人的未盡責(zé)任現(xiàn)值責(zé)任準(zhǔn)備金的分類n按覆蓋責(zé)任分：n凈責(zé)任準(zhǔn)備金（受益責(zé)任準(zhǔn)備金）n費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金n修正責(zé)任準(zhǔn)備金n按被保險(xiǎn)人繳費(fèi)、保險(xiǎn)人賠付的方式分：n完全連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡即刻賠付，連續(xù)繳費(fèi)）n完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡年末賠付，生存期初繳費(fèi)）n半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡即刻賠付，生存期初繳費(fèi)）凈責(zé)任準(zhǔn)備金的確定原理（以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例）n前瞻虧損（prospective loss）n其中11 UJtkUJLvpaLvpa ，. . 、 是 ()的 剩

3、余壽 命 ，( ) 0( ) ,ux tx t ujx kx kjx kjr vUJxtf upuf jpqqk jZ 凈責(zé)任準(zhǔn)備金的確定n前瞻虧損的期望即該時(shí)刻的凈責(zé)任準(zhǔn)備金n用這種原理確定責(zé)任準(zhǔn)備金的方法稱為前瞻方法()UtxtUx tx tV AE LE vPE aAPa前瞻虧損方差22 22 11 UtUUx tx tVar LVar vPaPVar vPAA 例6.2n已知：n利用前瞻方法確定完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)在未來(lái)任意時(shí)刻t的凈責(zé)任準(zhǔn)備金及前瞻損失的方差0.04,0.06例6.2答案22220.04,0.060.4,0.25,10,()0.040.4,10()()0()()10.25

4、xxxxx txx txtxx txx txtxxAAaP AAAaaV AAP AaP AVarLAA例6.3n已知n利率按6計(jì)算n求：100,0100 xlxx3535(1)()(2)() ,0,10,20,60(3)() ,0,10,20,60ttP AV AtVarLt例6.3答案3535356535353503535353535(1)1001/651/65,0650.258112.7333()0.02xttttttlxptptAvpdtAaAP Aa 例6.3答案35353535222353535()()()()1ttttttV AAP AaP AVarLAA例6.3答案00.000

5、00.1187100.05770.1001200.12890.1174300.22710.1073400.36190.0861500.55080.0508600.82140.009735()tV A()tVarLt用前瞻法確定常見(jiàn)險(xiǎn)種的凈責(zé)任準(zhǔn)備金完全連續(xù)場(chǎng)合完全離散場(chǎng)合（1）終身壽險(xiǎn)，終身繳費(fèi)()()txx txx tkxx kxx kfullycontinuousV AAP A afullydiscreteVAPa（2）n年定期壽險(xiǎn)，n年繳費(fèi)111:111:(),()0,0,x t n tx nx t n ttx nx k n kx nx k n kkx nfullycontinuousA

6、P AatnV AtnfullydiscreteAP aknVkn（3）n年兩全保險(xiǎn)，n年繳費(fèi):1:(),()1,(),1,x t n tx nx t n ttx nx k n kx nx k n tkkx nfullycontinuousAP AatnV AtnfullydiscreteAP AaknVkn（4）h次繳費(fèi)終身壽險(xiǎn):(),(),x thxhx t h ttxx tx khxx k h khkxx kfullycontinuousAP A athV AAthfullydiscreteAP akhVAkh（5）h次繳費(fèi)n年定期兩全保險(xiǎn):(),(),1,1,hx t n tx nx

7、t h thtx nx t n thx k n kx nx k h khkx nx k n kfullycontinuousAP AathnV AAhtntnfullydiscreteAPakhnVAhknkn （6）m年延期、m年繳費(fèi)的終身生存年金:(),(),(),xtxmtmxt mttxmxtxkxmkmxk mkkxmxkfullycontinuousaPaatmVaatmfullydiscreteaPakmVaakm責(zé)任準(zhǔn)備金的其它確定方法n保費(fèi)差公式（premium-difference formula）n責(zé)任準(zhǔn)備金等于剩余繳費(fèi)期內(nèi)保費(fèi)差的精算現(xiàn)值。n繳清保險(xiǎn)公式（paid-up

8、 insurance formula）n責(zé)任準(zhǔn)備金等于部分受益的精算現(xiàn)值。n后顧方法（retrospective method）n責(zé)任準(zhǔn)備金是已付保費(fèi)積累值與保險(xiǎn)成本積累值（accumulated cost of insurance）之差。保費(fèi)差公式推導(dǎo)n以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例:()()()()()tx nx t n tx nx t n tx t n tx nx t n tx t n tx t n tx nx t n tV AAP AaAP AaaP AP Aa繳清保費(fèi)公式推導(dǎo)n以完全連續(xù)n年定期兩全保險(xiǎn)為例:()()()1()1()tx nx t n tx nx t n tx nx t n

9、tx t n tx t n tx nx t n tx t n tV AAP AaP AaAAP AAP An后顧方法推導(dǎo)例子：終身人壽保險(xiǎn)xxAP a1100kkxkkxkkkvqPvp1kP令第k+1年的保費(fèi)收入為1=kx kPq令kK+1xq后顧方法推導(dǎo)n以完全連續(xù)n年定期兩全保險(xiǎn)為例:1:1:1:1:()=-()()()sxnx sn sx sn stx sx stx s t n s ttx sx stx s t n s ttx sx stx stx s t n s tx s t n s ttx ss tx stx stxnsxnx stx sts txnV AAPaAEAP aEaAP

10、aEAPaAPaEV AV APaAV A tx sE后顧方法推導(dǎo)1:1:1:()()特別0()0()其 中 :(cos)sx nx s tx s ts tx ntx ssx nxtxtttxx nxttxxttxtxV APaAV AEsV APaAV APskEAkaccumulatedt of insuranceE1:1:1:()11()()ttx ttxxxx tx ttx ttxx tx txx tx ttxtxlV AlPailAilvV APaAlPaAV AExx+t應(yīng)用前瞻公式和后顧公式的原則n在保障時(shí)間超出繳費(fèi)期的場(chǎng)合，前瞻公式更為便利。n在尚未提供受益的遞延期內(nèi)，后顧公式

11、更為方便。,()htxx tthV AA:,()()tmxxmx ttmVaPa s 例6.4n一種完全離散的保額為1000的3年期兩全保險(xiǎn)，已知：（1）i=6% (2) (3)n計(jì)算：年齡xx+1x+21000900810yl:31000332.51xP21:3:31000()xxVVxl例6.4答案n由后顧公式：11:3:3:1:31111:3:32:3210001000 ()1000 (1)1000 332.51 1.06 100280.519001000 ()(1)1000900 (332.51280.51) 1.06 1000 908 01 .16 0 8xxxxxxxxxxxxxx

12、VP skl PidllPVidVl例6.5n已知：n計(jì)算：20110:100.01212,0.01508,0.06942,0.1443xxxxPPPV2010 xV例6.5答案n后顧法20102010:101010:1020101020:1011:10:10:10:1020101020:10()1110.06942()0.1143(0.015080.01212) / 0.069420.15694xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVP skVP skVVPP sPssPVVPP s其它公式11 ()1 ()11 ()1111111x tx txtxx tx tx tx txxx tx

13、 txxxx txx tx tx ttxxxAaAVAPaP aaaaaaaaAAaaaAVaA 例6.6n計(jì)算在哪些時(shí)刻有n已知：n求哪些時(shí)刻t01013.1216.11112.815.81212.415.31311.9214.81411.3614.3x tax ta txtxVV 例6.6答案1x ttxxaVa t100.180.19110.20.21120.220.23130.250.26140.290.281x ttxxaVa 責(zé)任準(zhǔn)備金的含義n以完全離散終身壽險(xiǎn)為例n解釋：責(zé)任準(zhǔn)備金為未來(lái)的保險(xiǎn)責(zé)任的現(xiàn)時(shí)值減去未來(lái)保費(fèi)收入的現(xiàn)時(shí)值。1100jjhhjjx hx hjhjjx hjj

14、Vbvpqvp 遞推公式（一）n解釋n 為第年死亡受益， 為第年初繳付保費(fèi)。則第h1年為每個(gè)現(xiàn)存的被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備的責(zé)任準(zhǔn)備金加上每個(gè)現(xiàn)存的被保險(xiǎn)人繳付的保費(fèi)積累到年末正好可以為每個(gè)在這一年內(nèi)死亡的被保險(xiǎn)人提供 元的死亡賠付，并為在該年末存活的每位被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備 元責(zé)任準(zhǔn)備金。 1111()(1)hhhx hhx hVibqV p hbhhbhV遞推公式二n解釋n 稱為風(fēng)險(xiǎn)凈值，是指一旦這一年中有死亡發(fā)生，死亡受益超過(guò)責(zé)任準(zhǔn)備金部分的數(shù)額。n該遞推公式說(shuō)明每一位年初存活的被保險(xiǎn)人所繳保費(fèi)及年初所繳保費(fèi)與年初責(zé)任準(zhǔn)備金所產(chǎn)生的利息之和有兩個(gè)用途：一是彌補(bǔ)年末責(zé)任準(zhǔn)備金與年初責(zé)任準(zhǔn)備金的差值；二是彌補(bǔ)該

15、年死亡發(fā)生時(shí)而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)凈值。 11111() ()()hhhhhx hhhVVVqbV hhbV例6.7n已知：n計(jì)算：202023 1524 150.04 ,0.585 ,0.6iVV38p例6.7答案2023 15382024 1539202023 15383824 153838380.585()0.6()(1)0.585 1.04(1)0.60.979VAprospectiveVAprospectiveViqpVppp半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金的確定n以h次繳費(fèi)n年定期兩全保險(xiǎn)為例n其他險(xiǎn)種場(chǎng)合可以同理推導(dǎo)。半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金都可以轉(zhuǎn)換為完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金的函數(shù)。:1111:11:()()(),h

16、thxnx tn txnx tn thhx tn tx tn txnxnx tn tUDDhhttxnxnV AAP AaiiAAPPaiVVth一年繳m次保費(fèi)的責(zé)任準(zhǔn)備金的確定 n完全離散終身壽險(xiǎn)()()( )mmkxkxkVVm PV()( )mxkm PVextra reserve for lost premium ()()()()()()()()()()()()( ( )( )( )( )( ( )mmmkxkxx kxx kx kxx kmmxx kxx kmmxxx kx kmxmmxxxx kx kxxmxxxx kxxxVVAPaAP aP aPaPPaaPA aPam ama

17、AAm amPam aaA()()( )( )( )( )( )( ) 1kmx kxx kx kxmx kxxmaPm amm amaaPma()()()()()111( ) 1( ) 1( ) 1( )( )xxxxxxmmx kxxx kxmxx kx kmxx kx kmxkxAdaPdaaaPdaaPmPmaPdaPmdaPaPmAPaPm V一年繳費(fèi)m次的完全離散n年定期兩全保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金 n“損失保費(fèi)”部分形成的額外責(zé)任準(zhǔn)備金等于繳費(fèi)期內(nèi)每次繳納 元純保費(fèi)的純壽險(xiǎn)完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金 的一部分，比例為 ()()1:( )hmhmhkkhkx nx nx nx hVVmPV()1:

18、( )mhhkx nx hmPVextra reserve for lost premium():mhx nP():mhx nP1:hkx hV( )m :()():()():():():x k h kx k h kmhmhmkkhhx nx nx k n kx nx k n kx nx k h kmhmmmx nx nx hhhmx nx k h kx nx k h kx hhx nx hx nmx nhx nxVVAPaAP aPAaPaaPaa m amPaAAPa :()():():11x hx k h kx hhx nmmx k h kx k h khhx nx nx k h kx

19、k h kx hx hmhhx nx k h kx k h kxx ha m amaa m amAaaPmPmAdaaaPmAd aPa ():():1mx hnx k h kx k h kx hmhkx nx ndamAaaPmV分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金n近似方法1(1)(1),01(1)k skkxVsVsVs Pss Punearned premium 第二節(jié)修正責(zé)任準(zhǔn)備金費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金n凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金（受益責(zé)任準(zhǔn)備金）n保險(xiǎn)人將來(lái)的凈責(zé)任n費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金n由于保險(xiǎn)業(yè)的特殊性，第一年的費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于以后各年的費(fèi)用，所以分期繳付保費(fèi)場(chǎng)合，保險(xiǎn)人的費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金實(shí)際上一直是負(fù)的。n換言之，在保險(xiǎn)費(fèi)用

20、這一方面是保險(xiǎn)人先墊付了被保險(xiǎn)人的費(fèi)用，被保險(xiǎn)人用將來(lái)的分期付款逐期償還首年欠付費(fèi)用。例6.8n保險(xiǎn)計(jì)劃：向（x）發(fā)行每年年初繳費(fèi)的三年期兩全保險(xiǎn)n收支方式：完全離散n死亡率：n保險(xiǎn)金額：1000n費(fèi)用金額：見(jiàn)下一頁(yè)費(fèi)用明細(xì)表120.1,0.1111,0.5xxxqqq費(fèi)用明細(xì)表費(fèi)用類別時(shí)間第一年第二年保費(fèi)%固定量保費(fèi)%固定量推銷傭金10%2%營(yíng)業(yè)費(fèi)用4%31稅金、許可證費(fèi)用2%2%保單維持2%12%1發(fā)行與等級(jí)分類2%4總計(jì)20%86%2例6.8分析一、純(凈)保費(fèi)與凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算:3:3:3:3:3:3:3:3100010001000110001000 xxxxxtxx ttxx ttAAPdaAVAP a例6.8分析二、毛保費(fèi)和費(fèi)用年金的計(jì)算0:3:3:30:3:3:3:3:3:3:3xxxxxxxxxxGaAee aeaee aGaAGaPaGP a例6.8分析三、毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金與費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算:3:3:3:3:31000100