高等代數(shù)(第三版)82

1、一、一、 矩陣的初等變換矩陣的初等變換三、三、 等價等價 矩陣矩陣 二、二、 矩陣的初等矩陣矩陣的初等矩陣四、四、 矩陣的對角化矩陣的對角化 矩陣的矩陣的初等變換初等變換是指下面三種變換是指下面三種變換: 矩陣兩行矩陣兩行（列）（列）互換位置互換位置； 矩陣的某一行（列）乘以非零常數(shù)矩陣的某一行（列）乘以非零常數(shù) c ；是一個多項(xiàng)式是一個多項(xiàng)式.( ) 矩陣的某一行矩陣的某一行（列）（列）加另一行加另一行（列）（列）的的 倍倍， ( ) 一、一、 矩陣的初等變換矩陣的初等變換定義定義：代表第代表第 行乘以非零數(shù)行乘以非零數(shù) c ； ( )i ci( ( )ij 代表把第代表把第 行行( (列列

2、) )的的 倍加到第倍加到第j( ) i為了書寫的方便為了書寫的方便，我們采用以下記號我們采用以下記號代表代表 兩行兩行( (列列) )互換；互換； , i j, i j注：注：行行( (列列).).將單位矩陣進(jìn)行一次將單位矩陣進(jìn)行一次矩陣的初等變換所得的矩陣的初等變換所得的 矩陣稱為矩陣稱為 矩陣的矩陣的初等矩陣初等矩陣. 二、二、 矩陣的初等矩陣矩陣的初等矩陣定義定義：注：注： 全部初等矩陣有三類：全部初等矩陣有三類：i行行 j行行 11011011 ( , )P i j 11( )( , ( ( )11p i j i 行行 j行行 11( ( )11p i cc i 行行 初等矩陣皆可逆

3、初等矩陣皆可逆. 1( , )( , )p i jp i j 11( ( )( ( )cp i cp i 1( , ( ( )( , ( )p i jp i j 對一個對一個 的的 矩陣矩陣 作一次初等行變換作一次初等行變換 sn ( )A 就相當(dāng)于在就相當(dāng)于在 在的左邊乘上相應(yīng)的在的左邊乘上相應(yīng)的 的初等矩的初等矩 ( )A ss 陣；對陣；對 作一次初等列變換就相當(dāng)于在作一次初等列變換就相當(dāng)于在 的右的右( )A ( )A 邊乘上相應(yīng)的邊乘上相應(yīng)的 的初等矩陣的初等矩陣.nn 為矩陣為矩陣 ，則稱，則稱 與與 等價等價.( )B ( )B ( )A 矩陣矩陣 若能經(jīng)過一系列初等變換化若能經(jīng)

4、過一系列初等變換化 ( )A 1) 矩陣的等價關(guān)系具有矩陣的等價關(guān)系具有: 反身性反身性: 與自身等價與自身等價. ( )A 對稱性對稱性: 與與 等價等價 與與 等價等價. ( )A ( )A ( )B ( )B 傳遞性傳遞性: 與與 等價等價, , 與與 等價等價( )A ( )B ( )B ( )C 與與 等價等價.( )A ( )C 三、等價三、等價 矩陣矩陣定義定義：性質(zhì)性質(zhì)：2) 與與 等價等價 存在一系列初等矩陣存在一系列初等矩陣 ( )A ( )B 11,StPP QQ使使11( )( ).StAPP BQQ 1.（引理）引理）設(shè)設(shè) 矩陣矩陣 的左上角元素的左上角元素 ( )A

5、 11( )0,a 且且 中至少有一個元素不能被它整除中至少有一個元素不能被它整除，那么一定那么一定( )A 可以找到一個與可以找到一個與 等價的矩陣等價的矩陣 ，它的左上它的左上( )A ( )B 角元素角元素 ，且且 . 11( )0b 1111( )( )ba 四、四、 矩陣的對角化矩陣的對角化證：根據(jù)證：根據(jù) 中不能被中不能被 除盡的元素所在的除盡的元素所在的( )A 11( )a 位置，分三種情形來討論位置，分三種情形來討論:i) 若在若在 的第一列中有一個元素的第一列中有一個元素 不能被不能被 ( )A 1( )ia 11( )a 除盡除盡，其中余式其中余式 ，且且 11( )(

6、)r xa ( )0r 對對 作下列初等行變換作下列初等行變換:( )A 11111( )( )( )1( )( )( )iaaAiqar 111( )( ) ( )( ),iaaqr則有則有 1, 11( )( ).( )irBa ( )B 的左上角元素的左上角元素 符合引理的要求符合引理的要求，( )r ( )B 故故 為所求的矩陣為所求的矩陣.ii) 在在 的第一行中有一個元素的第一行中有一個元素 不能被不能被 ( )A 1( )ia 11( )a 除盡除盡，這種情況的證明這種情況的證明i)與類似與類似.iii) 的第一行與第一列中的元素都可以被的第一行與第一列中的元素都可以被 ( )A

7、 11( )a 除盡除盡，但但 中有另一個元素中有另一個元素 ( )A ( ) (1,1)ijaij 被被 除盡除盡. 11( )a 對對 作下述初等行變換作下述初等行變換:( )A 1111( )( )( )( )( )jiijaaAaa 1111( )( )0.( )( ) ( ) .jijjaaaa 111( )( ) ( ).iaa 我們設(shè)我們設(shè) 1( )i 1111( )( )(1( )( )0( )( ) ( )ijjijjaaaaa 1( )A 矩陣矩陣 的第一行中的第一行中，有一個元素：有一個元素： 1( )A 1( )(1( )( )ijjaa 不能被左上角元素不能被左上角元

8、素 除盡除盡，轉(zhuǎn)為情形，轉(zhuǎn)為情形 ii) .11( )a 證畢證畢. 1i 2.（定理定理2）任意一個非零的任意一個非零的 的的 一矩陣一矩陣sn ( )A 都等價于下列形式的矩陣都等價于下列形式的矩陣 12( )( )( )00rddd 其中其中 1,( ) (1,2, )irdir 是首項(xiàng)系數(shù)為是首項(xiàng)系數(shù)為1的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式，且且1( )( ) (1,2,1).iiddir 稱之稱之為為的的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形形.( )A 證證: 經(jīng)行列調(diào)動之后經(jīng)行列調(diào)動之后，可使可使 的左上角元素的左上角元素( )A 11( )0a , ,若若 不能除盡不能除盡 的全部元素，的全部元素， 11( )a ( )A

9、由引理，可以找到與由引理，可以找到與 等價的等價的 ，且，且 ( )A 1( )B 由引理，又可以找到與由引理，又可以找到與 等價的等價的 ，且，且1( )B 2( )B 如此下去，將得到一系列彼此等價的如此下去，將得到一系列彼此等價的 矩陣：矩陣：左上角元素左上角元素 ，1( )0b 111( )( ) .ba 1( )B 若若 還不能除盡還不能除盡 的全部元素，的全部元素，1( )B 1( )b 左上角元素左上角元素 ， 21( )( ) .bb 2( )B 2( )0b 但次數(shù)是非負(fù)整數(shù)但次數(shù)是非負(fù)整數(shù)，不可能無止境地降低不可能無止境地降低. 因此在有限步以后因此在有限步以后，將終止于一

10、個將終止于一個 矩陣矩陣( )sB 它的左上角元素它的左上角元素 ，而且可以除盡而且可以除盡 ( )0sb ( )sB 的全部元素的全部元素 即即( ),ijb ( )( )( ),1,2, ;1,2, .ijsijbbqjisjn對對 作初等變換作初等變換:( )sB 12( ),( ),( ),.ABB 它們的左上角元素皆為零，而且次數(shù)越來越低它們的左上角元素皆為零，而且次數(shù)越來越低. 213121132 1(),3 1(),2 1(),3 1(),1( )000( )( )0sqqqqbBA 中中的的全部元素都是可以被全部元素都是可以被 除盡的，除盡的，1( )A ( )sb 因?yàn)樗鼈兌?/p>

11、是因?yàn)樗鼈兌际?中元素的組合中元素的組合. ( )sB 如果如果 ，則對于則對于 可以重復(fù)上述過程可以重復(fù)上述過程， 1( )0A 1( )A 進(jìn)而把矩陣化成進(jìn)而把矩陣化成 122( )000( ),00( )00ddA 其中其中 與與 都是首都是首1多項(xiàng)式多項(xiàng)式(與與 1( )d 2( )d 1( )d ( )sb 只差一個常數(shù)倍數(shù)只差一個常數(shù)倍數(shù)），），而且而且12( )|( ),dd2( )d 能除盡能除盡 的全部元素的全部元素.2( )A 如此下去如此下去， 最后就化成了標(biāo)準(zhǔn)形最后就化成了標(biāo)準(zhǔn)形.( )A 例例 用初等變換化用初等變換化 矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形.2232121( )11A23 1231211( )0