安保處人員工作評(píng)價(jià)考核辦法 Title

1、第二章 邏輯代數(shù)根底學(xué)習(xí)要求：掌握邏輯代數(shù)的根本概念，學(xué)會(huì)用邏輯函描述邏輯問題的根本方法。掌握邏輯代數(shù)的公理、根本定理和重要規(guī)那么；學(xué)會(huì)用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)； 熟練掌握用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。2.1 邏輯代數(shù)的根本概念邏輯代數(shù)是一個(gè)由邏輯變量集K，常量0和1以及“與、“或、“非3種根本運(yùn)算構(gòu)成的一個(gè)封閉的代數(shù)系統(tǒng)，記為L(zhǎng)=K, +, , -, 0, 1。它是一個(gè)二值代數(shù)系統(tǒng)。常量0和1表示真和假，無大小之分。該系統(tǒng)滿足以下公理：公理1交換律 A+B=B+A, A B=B A公理2結(jié)合律 (A+B)+C=A+(B+C), (A B) C=A (B C)公理3分配律 A+ ( B C ) =(A+B

2、) (B+C), A ( B+C ) =A B+A C公理401律 A+ 0 =A, A 1=A A+1=1, A 0=0，公理5互補(bǔ)律 A+ A =1, AA=02.1.1 邏輯變量及根本邏輯運(yùn)算邏輯變量：僅取值0或取值1的變量。這里0和1無大小之分，實(shí)際上代表著矛盾的雙方或事件的真假，例如開關(guān)的接通與斷開，電壓的高和底，信號(hào)的有和無，電燈的亮和滅等等。 只要是兩種穩(wěn)定的物理狀態(tài)，都可以用0和1這兩種不同的邏輯值來表征。一、或運(yùn)算如果斷定某一事件發(fā)生的多個(gè)條件，只要有一個(gè)或一個(gè)以上的條件成立，事件便可發(fā)生，這種因果關(guān)系稱之為或邏輯。在邏輯代數(shù)中，或邏輯關(guān)系用或運(yùn)算描述?；蜻\(yùn)算又稱邏輯加，其運(yùn)

3、算符為+或 ，兩個(gè)變量的或運(yùn)算可表示為:F=A+B 或者 F=AB讀作F等于A或B,其中A、B是參加運(yùn)算的兩個(gè)邏輯變量，F(xiàn)為運(yùn)算結(jié)果。意思是：只要A、B中有一個(gè)為1，那么F為1；僅當(dāng)A、B均為0時(shí)，F(xiàn)才為0。A B F0 0 00 1 11 0 11 1 1或運(yùn)算表A+uBF由“或運(yùn)算的運(yùn)算表可知“或運(yùn)算的法那么為：0+0=01+0=10+1=11+1=1實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算的邏輯電路稱為或門。二、與運(yùn)算如果斷定某一事件的發(fā)生的多個(gè)條件必須同時(shí)具備，事件才能發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為與邏輯。邏輯代數(shù)中與邏輯關(guān)系用與運(yùn)算描述。與運(yùn)算又稱邏輯乘，其運(yùn)算符為或。兩變量的與運(yùn)算可表示為FA B 或者 F=AB讀作F

4、等于A與B，意思是假設(shè)A B 均為1，那么F為1；否那么F為0。A B F0 0 00 1 01 0 01 1 1與運(yùn)算表+uABF由“與運(yùn)算的運(yùn)算表可知“與運(yùn)算法那么為：0 0 = 01 0 = 00 1 = 01 1 = 1實(shí)現(xiàn)“與運(yùn)算的邏輯電路稱為“與門。三、非運(yùn)算如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否認(rèn)，那么這種因果關(guān)系稱為非邏輯。非邏輯用非運(yùn)算描述。非運(yùn)算又稱求反運(yùn)算，運(yùn)算符為或. 非運(yùn)算可表示為F=A或F= A讀作F等于A非，意思是假設(shè)A0，那么F為1；反之，假設(shè)A=1, 那么F為0?！胺沁\(yùn)算表由“非運(yùn)算的運(yùn)算表可知“非運(yùn)算法那么為：A F0 11 0+uAF實(shí)現(xiàn)“非運(yùn)算的邏輯電路稱為“

5、非門。2.1.2 邏輯函數(shù)一、邏輯函數(shù)的定義設(shè)某一電路的輸入邏輯變量為A1, A2, , An , 輸出邏輯變量為F。如果當(dāng)A1, A2 , , An 的值確定后，F(xiàn)的值就唯一地被定下來，那么F稱為A1, A2, , An , 的邏輯函數(shù)，記為F=f (A1, A2, , An)邏輯電路的功能可由相應(yīng)邏輯函數(shù)完全描述。與普通函數(shù)概念相比邏輯函數(shù)有如下特點(diǎn)： 1邏輯變量與邏輯函數(shù)的取值只有0和1； 2邏輯函數(shù)與邏輯變量的關(guān)系由“或、 “與、“非運(yùn)算決定。 二、邏輯函數(shù)的相等設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù)F1=f1 (A1, A2, , An)F2=f2 (A1, A2, , An)假設(shè)對(duì)應(yīng)于A1, A2, ,

6、 An的任何一組取值, F1 和F2的值都相同, 那么稱函數(shù)F1和函數(shù)F2相等, 記作F1= F2亦稱函數(shù)F1與F2等價(jià)。2.1.3 邏輯函數(shù)的表示法一、邏輯表達(dá)式由邏輯變量、常量和邏輯運(yùn)算符構(gòu)成的合法表達(dá)式。 進(jìn)行非運(yùn)算可不加括號(hào), 如 與運(yùn)算符一般可省略, AB可寫成AB. 可根據(jù)先與后或的順序去括號(hào), 如：(AB)(CD)ABCD例：邏輯表達(dá)式書寫省略規(guī)那么：二、真值表真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格.例如：函數(shù) F=AB + AC 的真值表如右所示：A B C F0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 111 1 00

7、1 1 10三、卡諾圖卡諾圖是一種用圖形描述邏輯函數(shù)的方法。2.2 邏輯代數(shù)的根本定理和規(guī)那么2.2.1 根本定理定理1000101 011 111 0 0 0 1 0 0 0 1 01 1 1 推論： 1 = 0 0 = 1定理2(重疊律)AAAA A A 定理3(吸收律)AA BA A ( A +B)A定理4(吸收律) AA BA+BA ( A +B)A B定理5(對(duì)合律)AA定理6(德摩根定理) ABABA B AB 定理7 AB+ABA(A+B)(A+B)A定理8(包含律) AB+AC+BCAB+ACf (A1, A2, , An)f (A1, A2, , An)12.2.2 邏輯代數(shù)

8、的重要規(guī)那么一、代入規(guī)那么任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F，那么等式仍然成立。例如：給定邏輯等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，則該等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C由公理5(A+A=1)同樣有等式二、反演規(guī)那么F(A+B) (C+D)例如：已知FABCD，根據(jù)反演規(guī)可得到: 如果將邏輯函數(shù)F中所有的 變成+, +變成 , 0變成1, 1變成0, 原變量變成反變量，反變量變成原變量，所得到的新函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù)使用反演規(guī)那么時(shí), 應(yīng)注意保持原函式中運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序不變。例如：已知三、對(duì)偶規(guī)那么如

9、果將邏輯函數(shù)F中所有的 變成+, +變成 , 0變成1, 1變成0, 那么所得到的新邏輯函數(shù)F的對(duì)偶式F。如果F是F的對(duì)偶式，那么F也是F 的對(duì)偶式，即F與F互為對(duì)偶式。求某一函數(shù)F的對(duì)偶式時(shí)，同樣要注意保持原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。對(duì)偶規(guī)那么：假設(shè)兩個(gè)邏輯函數(shù)F的G相等，那么其對(duì)偶式F 和G 也相等。例: F = A+ B + C F=A+ B + C例: AB+AC+BC=AB+C 則 (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)C2.3 邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式與變換2.3.1 邏輯函數(shù)表達(dá)式的根本形式兩種根本形式：積之和表達(dá)式與和之積表達(dá)式.積之和：由若干個(gè)與項(xiàng)經(jīng)或運(yùn)算形成的表達(dá)式。例如：和之積

10、：由若干個(gè)或項(xiàng)經(jīng)與運(yùn)算形成的表達(dá)式。例如：既不是與或表達(dá)式也不是或與表達(dá)式。而2.3.2 邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式一、最小項(xiàng)如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的積項(xiàng)包含全部n個(gè)變量, 每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn), 且僅出現(xiàn)一次，那么這個(gè)積項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)。假設(shè)一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)所組成, 那么該函數(shù)表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式, 即最小項(xiàng)之和. 變量的各組取值A(chǔ) B C000001010011100101110111對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)及其編號(hào)最小項(xiàng)編 號(hào)三變量函數(shù)的最小項(xiàng)：=m2+ m3+ m6+ m7注意：變量的順序.即n個(gè)變量的所有最小項(xiàng)之和恒等于1。所以 = m(2, 3, 6, 7)最小項(xiàng)的性質(zhì)

11、：1當(dāng)函數(shù)以最小項(xiàng)之和形式表示時(shí)，可很容易列出函數(shù)及反函數(shù)的真值表在真值表中，函數(shù)所包含的最小項(xiàng)填“1 。2）當(dāng)時(shí)，。3n變量的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。相鄰項(xiàng)：只有一個(gè)變量不同以相反的形式出現(xiàn)。一對(duì)相鄰項(xiàng)可以消去一個(gè)變量。二、最大項(xiàng)如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的和項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，那么這個(gè)和項(xiàng)稱為最大項(xiàng)。假設(shè)一個(gè)函數(shù)完全由最大項(xiàng)組成，那么這個(gè)函數(shù)表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)和之積表達(dá)式。變量的各組取值A(chǔ) B C000001010011100101110111對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)及其編號(hào)最大項(xiàng)編 號(hào)三變量函數(shù)的最大項(xiàng)：注意：變量順序.與最小項(xiàng)類似，有例如：最大項(xiàng)的性質(zhì)：1

12、當(dāng)函數(shù)以最大項(xiàng)之積形式表示時(shí)，可很容易列出函數(shù)及反函數(shù)的真值表在真值表中，函數(shù)所包含的最大項(xiàng)填“0。2）當(dāng)時(shí)，。3n變量的最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。相鄰項(xiàng)：只有一個(gè)變量不同以相反的形式出現(xiàn)。一對(duì)相鄰項(xiàng)可以消去一個(gè)變量。三、兩種標(biāo)準(zhǔn)形式的轉(zhuǎn)換： 以最小項(xiàng)之和的形式表示的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)之積的形式，反之亦然。= m(2, 3, 6, 7)F(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)F(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5)同理且有即：最大項(xiàng)與最小項(xiàng)互補(bǔ)。例如：M3 = A+B+C = ABC = m32.3.3 邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換任何

13、一個(gè)邏輯函數(shù)，總可以將其 轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和及最大項(xiàng)之積的形式, 常用代數(shù)轉(zhuǎn)換法或真值表轉(zhuǎn)換法.一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)最小項(xiàng)之和的形式，一般分為兩步：第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成一般的與或式.第二步：反復(fù)使用X=X(Y+Y)將非最小項(xiàng)的與 項(xiàng) 擴(kuò)展為最小項(xiàng)。例：將F(A, B, C)=(AB+BC)AB轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和形式F(A,B,C) = m0+m1+m3+m6+m7=m(0,1,3,6,7)類似地，用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)最大項(xiàng)之積的形式，也可分為兩步：第一步：將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般或與式；如果給出的函數(shù)已經(jīng)是與或式或者是或與式，那么可直接進(jìn)行第二步。第二步：反復(fù)使用將非最大項(xiàng)的或項(xiàng)擴(kuò)展

14、成為最大項(xiàng)例：將F(A,B,C)=AB+AC轉(zhuǎn)換成“最大項(xiàng) 之積的形式。解： 1）F(A,B,C) =AB AC=(A+B)(A+C)2) F(A,B,C)=(A+B+CC)(A+BB+C)=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)(A+B+C)F(A,B,C) = M1 M3 M6 M7=M(1,3,6,7)二、真值表轉(zhuǎn)換法一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表與它的最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式均存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。函數(shù)F的最小項(xiàng)表達(dá)式由使F取值為1的全部最小項(xiàng)之和組成。函數(shù)F的最大項(xiàng)表達(dá)式由使F取值為0的全部最大項(xiàng)之積組成。和最大項(xiàng)之積的形式。解：A B C F0 0 000 0 110 1 000 1

15、 111 0 011 0 101 1 001 1 10注意：任何一個(gè)邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式唯一 .2.4 邏輯函數(shù)的簡(jiǎn)化一般來說, 邏輯函數(shù)表達(dá)式越簡(jiǎn)單, 設(shè)計(jì)出來的電路也就越簡(jiǎn)單。把邏輯函數(shù)簡(jiǎn)化成最簡(jiǎn)形式稱為邏輯函數(shù)的最小化, 有三種常用的方法, 即代數(shù)化簡(jiǎn)法、卡諾圖化簡(jiǎn)法和列表化簡(jiǎn)法。2.4.1 代數(shù)化簡(jiǎn)法該方法運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)那么對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)、變換而進(jìn)行化簡(jiǎn)，沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對(duì)公理、定理和規(guī)那么的熟練掌握及靈活運(yùn)用的程度。有時(shí)很難判定結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。一、與或式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)應(yīng)滿足的兩個(gè)條件：1 表達(dá)式中與項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；2 在滿足1的前提下, 每個(gè)與項(xiàng)中的變

16、量個(gè)數(shù)最少。二、或與式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)應(yīng)滿足的兩個(gè)條件：1 表達(dá)式中或項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；2 在滿足1的前提下, 每個(gè)或項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)最少。例：F = (A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)解：F = (A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)=（A+B)(A+B)(B+C)= A(B+C)例：F = (A+B)(A+B)(B+C)(A+C)解：F = AB+AB+BC+AC= AB+AB+(B+A)C=AB+AB+ABC=AB+AB+CF=(F )=(A+B)(A+B)C2.4.2 卡諾圖化簡(jiǎn)法該方法簡(jiǎn)單、直觀、容易掌握, 當(dāng)變量個(gè)數(shù)小于等于6時(shí)非常有效, 在邏輯設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。一、卡諾圖的

17、構(gòu)成n個(gè)變量的卡諾圖是一種由2n個(gè)方格構(gòu)成的圖形, 每一個(gè)方格表示邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng), 所有的最小項(xiàng)巧妙地排列成一種能清楚地反映它們相鄰關(guān)系的方格陣列。因?yàn)槿我庖粋€(gè)邏輯函數(shù)都 可表示成最小項(xiàng)之和的形式, 所以一個(gè)函數(shù)可用圖形中假設(shè)干方格構(gòu)成的區(qū)域來表示。mo m2m1 m3 0101ABAB 0101二變量卡諾圖mo m2 m6 m4m1 m3 m7 m500 01 11 1001ABC00 01 11 1001ABC三變量卡諾圖00 01 11 1000011110ABCD 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110AB

18、CD四變量卡諾圖定義：彼此只有一個(gè)變量不同，且這個(gè)不同變量互為反變量的兩個(gè)最小 項(xiàng)(或與項(xiàng))稱為相鄰最小項(xiàng)(或相鄰與項(xiàng)).相鄰最小項(xiàng)在卡諾圖中有三種特征，即幾何相鄰、相對(duì)相鄰和重疊相鄰。卡諾圖在構(gòu)造上具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：1n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格組成, 每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。2卡諾圖上處在相鄰、相對(duì)、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。二、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 將邏輯函數(shù)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)在卡諾圖的相應(yīng)方格中標(biāo)以1，剩余方格標(biāo)以0或不標(biāo)。1、與或式的卡諾圖表示.直接將表達(dá)式的與項(xiàng)或最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的方格標(biāo)以1. 00 01 11 1001ABC11111可表示為：例如：2、其它形式函數(shù)

19、的卡諾圖表示要轉(zhuǎn)換成與或式再在卡諾圖上表示。三、卡諾圖的性質(zhì)根據(jù)定理7有AB+AB=A, 它表明兩 個(gè)相鄰與項(xiàng)或最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，這一項(xiàng)由兩個(gè)與項(xiàng)中相同的變量組成，可以消去兩個(gè) 與項(xiàng)中不同的變量。在卡諾圖上把相鄰最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小方格圈在一起可進(jìn)行合并，以到達(dá)用一個(gè)簡(jiǎn)單與項(xiàng)代替假設(shè)干最小項(xiàng)的目的。這樣的圈稱為卡諾圈。 0101AB1 1 0101AB1 1 0101AB1 11二變量卡諾圖的典型合并情況00 01 11 1001ABC1 11 1AB 00 01 11 1001C1 1 1 11 1 1 101ABC00 01 11 10三變量卡諾圖的典型合并情況100 01 11 1000

20、011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1111111100 01 11 1000011110ABCD1111111111四變量卡諾圖的典型合并情況一個(gè)卡諾圈中的小方格滿足以下規(guī)律：1卡諾圈中的小方格的數(shù)目為2m, m為整數(shù)且mn;3 2m個(gè)小方格可用(n-m)個(gè)變量的與項(xiàng)表示, 該與項(xiàng)由這些最小項(xiàng)中的相同變量構(gòu)成。2 2m個(gè)小方格含有m個(gè)不同變量和(n-m)個(gè)相同變量;4當(dāng)m=n時(shí),卡諾圈包圍整個(gè)卡諾圖,可用1表示，即n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)之和為1。四、卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟：蘊(yùn)涵項(xiàng)：與或式中的每一個(gè)與項(xiàng)稱為函數(shù)的蘊(yùn)涵項(xiàng)；質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)：不被其它蘊(yùn)涵項(xiàng)所包含

21、的蘊(yùn)涵項(xiàng)；必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)：質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中至少有一個(gè)最小項(xiàng)不被其它蘊(yùn)涵項(xiàng)所包含。用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的一般步驟為：第一步：作出函數(shù)的卡諾圖；第二步：在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)；第三步：從全部質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中找出所有必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)；第四步：假設(shè)全部必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)尚不能覆蓋所有的1 方格，那么需從剩余質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)中找出最簡(jiǎn)的所需質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)，使它和必要質(zhì)蘊(yùn)涵項(xiàng)一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋。例：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯涵數(shù) F(A, B, C, D)=m(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15)100 01 11 1000011110ABCD11111111解：1100 01 11 1000011110ABCD1

22、11111100 01 11 1000011110ABCD1*1111*1*1*1*1*例：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) F(A, B, C, D)=m(2, 3, 6, 7, 8,10, 12)100 01 11 1000011110ABCD111111解：100 01 11 1000011110ABCD11111100 01 11 1000011110ABCD1*1111*1*1*1100 01 11 1000011110ABCD1*1*1*1*1例：用卡諾圖把邏輯函數(shù) F(A, B, C, D)= M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。100 01 11 1000011110ABCD