地基附加應力的計算

1、土力學與基礎工土力學與基礎工程程主講：郭國梁齊齊哈爾大學建筑與土木工程學院1、序 地基中的附加應力附加應力是由建筑物荷載在土中引起的應力增量應力增量。通過土粒之間的傳遞，向水平與深度方向擴散，如圖所示。 可以看出，隨著水平距離與深度的增加附加應力逐漸減小。附加應力的存在，會引起地基產(chǎn)生變形，導致沉降。 集中應力作用于地面處，圖左半部分表示各深度處水平面上各點垂直應力大小，圖右半部分為各深度處的垂直應力大小。2、豎向集中力作用下的土中應力計算 注意注意：在實際中是沒有集中力的，它只是理論存在的，但它在土的應力計算中是一個基本公式。 假定假定：土體是均勻的、連續(xù)的、各向同性的半無限彈性體。 目的目

2、的：計算半無限彈性體表面作用一個豎向集中力Q的情況下，半無限體內任意點M的應力。 1885年，布西奈斯克給出了彈性力學的解答(包括應力及位移的表達式)，稱為布西奈斯克布西奈斯克解解。2、豎向集中力作用下的土中應力計算 法向應力表達式：3532zQzR2222253331 2(2)23xQzxRRzzxRzRRRzRRz2222253331 2(2)23yQzyRRzzyRzRRRzRRz剪應力表達式：yxxy235)()2(32123zRRzRxyRxyzQzyyz253=2Q yzR2532zxxzQ xzR2、豎向集中力作用下的土中應力計算 X、Y、Z軸方向的位移分別為：zRRxRxzEQ

3、u2121331122QyzyERR Rz23112 12QzERR2、豎向集中力作用下的土中應力計算其中，我們最關心的是豎向法應力 ：z3532zQzR為了方便定位和計算。將 帶入，得到：22Rrz3532zQzR522231=21Qzrz2=Qz式中， 豎向集中力荷載作用下地基豎向附加應力系數(shù)，是(r/z)的函數(shù)，可制成表格查用，見表4-1。2、豎向集中力作用下的土中應力計算 例例 在地面上作用一集中荷載 Q=200kN，試確定： 1、在地基中 z=2m的水平面上，水平距離r =0、1、2、3和4m各點的豎向附加應力 值 ，并繪出分布圖； z2、豎向集中力作用下的土中應力計算解：解：z (

4、m)r (m)r/z(kPa)2000.477523.9210.50.273313.7221.00.08444.2231.50.02511.3242.00.00850.42Qzz2、豎向集中力作用下的土中應力計算 2、在地基中 r=0的豎直線上距地面 z=0、1、2、3和4m處各點的 值，并繪出分布圖；z解：解：z (m)r (m)r/z(kPa)0000.47751000.477595.53000.477523.94000.477510.65000.47756.02Qzz 思考：思考：在z=0，r=0處，豎向附加應力為什么是正無窮而不是200kPa？2、豎向集中力作用下的土中應力計算2、豎向

5、集中力作用下的土中應力計算 3、取 =20、10、4、2kPa，反算在地基中 z=2m的水平面上的 r值和在 r=0m的豎直線上的z值，并繪出相應于該4個應力值的 等值線圖。z解：解：z2、豎向集中力作用下的土中應力計算規(guī)律：規(guī)律： 集中力作用線上集中力作用線上 的分布的分布 值隨深度的增加而急劇減小，但是在集中力作用點處是不適用的，因為當R 0時，應力及位移均趨于無窮大，這時土已發(fā)生塑性變形，按彈性理論解得的公式已不適用。 同一水平線上同一水平線上 的分布的分布 距力的作用線愈遠， 值愈小，在集中力作用線上， 值最大。隨著深度的增加，集中力作用線上的 值減少，而水平面上應力的分布趨于均勻。

6、在不通過力作用線的豎線上在不通過力作用線的豎線上 的分布的分布 值隨深度增加而變化的情況是：先從零開始增加，到某一深度達到最大值，然后又減小。zzzzzzzzz3、豎向分布荷載作用下的土中應力計算目的：目的：若在半無限土體表面作用一分布荷載P(x,y)如圖所示，計算土中某點M(x,y,z)的豎向應力 值。z3、豎向分布荷載作用下的土中應力計算過程：過程：取元素面積 ，則均布荷載可等效為一個集中荷載 。按布西奈斯克公式 得：dddA ddyxpd),(Q 5323RQzz5323RdQzdz在基底面積范圍內進行積分求得：AAAzZzpzRdQzd5222353)-(y)-(x(dy)d(x,23

7、234、 圓形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算目的：目的：若在半無限土體表面，圓形面積上作用一均布荷載P0，如圖所示，計算土中某點M(x,y,z)的豎向應力 值。z過程：過程：取元素面積 ，則均布荷載可等效為一個集中荷載 。在圓面積范圍內求積分可得 值：rdrddArdrdPdApdQ00z005/222220300)z2r/cos-(r23plrdrdzpdcrAzz4、 圓形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 式中： 為均布的圓形截面任意點下的附加應力系數(shù)，它是關于( 、 )的函數(shù)，可制表備查。c0/z r0/l r5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 矩形面積中點O下土中豎向應

8、力 計算zzNblZcodAPYxzMP0目的：目的：在矩形面積表面作用均布荷載P0 ，求中點下深度z處M點的豎向應力 值。z過程：過程：將坐標原點取在矩形面積的中點處，建立坐標系，如圖所示。取元素面積 ，則均布荷載可等效為一個集中荷載 。在矩形面積范圍內求積分便可得到M點的豎向應力值 ：dddA 0Qdp d d z5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算zNblZcodAPYxzMP03532ZzAAzdQdR2202222222002182=arctan21414144mnnmpnmnmnmmnmp30222225-2232()lblbz pd dz 322253(x,y)d d2(

9、 (x- )(y- )Azpz 為應力系數(shù)，它是關于( 、 )的函數(shù)，可制表備查。0/z b/l b5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 矩形面積角點c下土中豎向應力 計算zzNblZcodAPYxzMP030225/2-222223=2b(- )(- )22lblbz pd dlz 22022222220122=arctan111cmnnmpnmnmmnnmmpzzAd 為應力系數(shù)，它是關于( 、 )的函數(shù)，可制表備查。c/z b/l b5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 矩形面積任意點

10、土中豎向應力 計算角點法角點法z思路：思路：把圖形分成若干個小矩形，使計算點成為各個小矩形的角點，然后利用疊加方法，將各個矩形內荷載在該點引起的應力疊加。注意：注意：計算附加應力時，l 總是代表長邊，b總是代表短邊。如圖4.18所示，在矩形面積abcd上作用均布荷載P，要求計算土中任意點 的豎向應力 。Mz5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 例例 有一矩形面積基礎 b=1m，l=2m，其上作用均布荷載p0=100kN/m2，計算矩形面積上角點A、邊點E、中點O及荷載面積邊緣以外F、G點下深度z=1m處的附加應力大小。 解：解：1、A點下的應力值 zA111zmb221lnb 查表得應

11、力系數(shù)=0.1999c00.1999 100=19.99zAcpkPa5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 2、邊點E下的應力值 zE111zmb111lnb 查表得應力系數(shù)=0.1752c0220.1752 100=35zEcpkPa2zEEADIEBCIEADI 3、中點O下的應力值 zO4zOEAJOOJDIOICKOEBKOJDI120.5zmb120.5lnb 查表得應力系數(shù)=0.1202c0440.1202 100=48.08zEcpkPa5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 4、邊點F下的應力值 zE120.5zmb2.550.5lnb求矩形FJDH的應力系數(shù)：=

12、0.1363c2()zFFJDHFGAJFKCHFGBKFJDHFGBK 查表得應力系數(shù)求矩形FJDH的應力系數(shù)：120.5zmb0.510.5lnb=0.084c 查表得應力系數(shù)2()=2(0.13630.084) 10010.46zFFJDHFGBKkPa5、 矩形面積上作用均布荷載時豎向應力的計算 5、邊點G下的應力值 zG111zmb2.52.51lnb求矩形GADH的應力系數(shù)：=0.2016cGzGADHGBCH 查表得應力系數(shù)求矩形GBCH的應力系數(shù)：120.5zmb120.5lnb=0.1202c 查表得應力系數(shù)G(0.2016-0.1202) 100=8.1zGADHGBCHk

13、Pa6、 矩形面積上作用三角形分布荷載時豎向應力的計算目的：目的：在矩形面積上作用三角形分布布荷載 ，求荷載為零的角點下某深度處M點的豎向應力 值。zxppb 過程：過程：將坐標原點取在荷載為零的角點上，z軸通過M點。xdQdxdybAddxdy取元素面積 ，則均布荷載可等效為一個集中荷載 。在矩形面積范圍內求積分得到M點的豎向應力值 ：z6、 矩形面積上作用三角形分布荷載時豎向應力的計算322250032( x)lbzzAxdxdyz pbdyz 212222212(1) 1tmnpmpmnmnm1t應力系數(shù)，是 和 的函數(shù)，可制成表備查。/z b/l b同理，可以求得荷載最大值邊的角點下深

14、度z處N點的豎向應力 的公式為：z2ztp2t應力系數(shù)，是 和 的函數(shù)，可制成表備查。/z b/l b6、 矩形面積上作用三角形分布荷載時豎向應力的計算7、 平面問題 若在半無限彈性體表面作用無限長條形的分布荷載，荷載在寬度的方向分布是任意的，但在長度方向的分布規(guī)律則是相同的，如圖所示。在計算土中任一點M的應力時，只與該點的平面坐標M(x,z)有關，而與荷載長度方向Y軸坐標無關，這種情況屬于平面應變問題。bl/ 工程上一般常把路堤、堤壩、擋土墻以及長寬比 10的條形基礎等，均視作平面應變問題計算。7、 平面問題 (1) 均布線荷載作用時土中應力計算均布線荷載作用時土中應力計算 目的：目的：在地

15、基土表面作用無限分布的均布線荷載P，計算土中任意點M的應力。 過程：過程：利用布西奈斯克公式求積分可得。335/22222223d22zzyz ppxyzxz22222zxzpxx22222zxpxzxz7、 平面問題 上式在彈性理論中稱為弗弗拉曼拉曼(Flalnant)解解。若用極坐標表示時，將 代入即得：0cos,zR0sinxR302coszpRsin2sin0Rpx0cossinxzpR7、 平面問題 (2) 均布均布條形條形荷載作用時土中應力計算荷載作用時土中應力計算 目的目的1：在地基土表面作用條形均布線荷載P，其分布寬度為b，計算土中任意點M(x,z)的豎向應力。 過程：過程：將

16、費拉曼公式在荷載分布寬度b范圍內積分求得：322222dbbzz pxz22222244411212=arctanarctan2244116umnmpnnpmmnmm7、 平面問題 應力系數(shù)，它是 及 的函數(shù)，可制表備查。u/nx b/mz b注意：坐標軸的原點是在均布荷載的中點處。7、 平面問題 (2) 均布均布條形條形荷載作用時土中應力計算荷載作用時土中應力計算 目的目的2：地基土表面作用條形均布線荷載P，其分布寬度為b，計算土中任意點M的主應力主應力。 過程：過程：采用極坐標表示，從M點到荷載邊緣的連線與豎直線的夾角分別為 和 ，兩條連線間的夾角以 表示，稱為視角視角。127、 平面問題

17、 規(guī)定規(guī)定： 和 從直線MN到連線逆時針轉時為正，反之為負。12 取元素荷載寬度dx，可知 。 其上的荷載用線荷載 代替。 利用極坐標表示的費費拉曼公式拉曼公式，在荷載分布寬度范圍內積分，即可求得M點的應力表達式。 ddcosRxcospRdpdxq7、 平面問題00112212121211sin2sin2sin()cos()22zpp（）)cos()sin(2121210）（px)sin()sin(21210pzxxz 確定了一點的3個應力分量后，可以用材料力學中有關主應力與法向應力及剪應力間的關系式計算，即：212001212003sin() =sin22xzxzxzpp（） 式中： 任意點M到均布荷載兩端點的夾角。07、 平面問題 為求最大主應力 的方向，令 與豎直線間的夾角為 ，根據(jù)材料力學公式可知：11122tan2=tanxzzx1212 結論：結論：最大主應力 的作用方向正好位于視角的等分線上，而最小主應力與最大主應力垂直；土中凡視角相等的點，其主應力也相等；土中主應力的等值線將是通過荷載分布寬度兩個邊緣