函數模型及其應用

1、3.2.13.2.1幾類不同增長的函數模型幾類不同增長的函數模型（1 1）人民教育出版社A版必修1 樊成河 蒲世吉返回導航 一、實例分析 投資回報和選擇獎勵模型兩個實例，讓學生對直線上升、指數爆炸與對數增長有一個感性的認識，初步發(fā)現當自變量變得很大時，指數函數比一次函數增長得快，一次函數比對數函數增長得快.（底數a0） 例1. 假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下： 方案一：每天回報40元； 方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番. 請問，你會選擇哪種投資方案？問1：在例1中，涉及哪

2、些數量關系？如何用函數描 述這些數量關系？問2：根據例1表格中所提供的數據，你對三種方案 分別表現出的回報資金的增長差異有什么認識？問3：你能借助計算器做出函數圖象，并通過圖象描 述一下三個方案的特點嗎？問4：由以上的分析，你認為應當如何做出選擇？ 分析：我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據. 解：設第x天所得回報是y元， 則方案一可以用函數y=40(xN*)進行描述； 方案二可以用函數y=10 x(xN*)進行描述； 方案三可以用函數y=0.42x-1(xN*)進行描述. 三個模型中，第一個是常數函數，后兩個都是遞增函數模型.要對三個方

3、案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析. 我們先用計算器或計算機計算一下三種方案所得回報的增長情況（表3-4）。x x/ /天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/y/元元 增加量增加量/ /元元 y/y/元元 增加量增加量/ /元元 y/y/元元增加量增加量/ /元元1 1404010100.40.42 240400 0202010100.80.80.40.43 340400 0303010101.61.60.80.84 440400 0404010103.23.21.61.65 540400 0505010106.46.43.23.2x/x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y

4、/y/元元 增加量增加量/ /元元 y/y/元元 增加量增加量/ /元元y/y/元元增加量增加量/ /元元6 64040606012.812.87 740400 07070101025.625.612.812.88 840400 08080101051.251.225.625.69 940400 090901010102.4102.451.251.2101040400 01001001010204.8204.8102.4102.4303040400 0300300101021474214748364.8364.8 8107374182.107374182.4 4再作出三個函數的圖象（圖3.2-

5、1）。 由表3-4和圖3.2-1可知，方案一的函數是常數函數，方案二、方案三的函數都是增函數，但方案三的函數與方案二的函數的增長情況很不同. 可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的. 從每天所得回報看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元.下面再看累計的回報數,通

6、過計算器或計算機列表如下：1 12 23 34 45 56 6一一40408080120120160160200200240240二二101030306060100100150150210210三三0.40.41.21.22.82.86 612.412.425.225.27 78 89 910101111一一280280320320360360400400400400二二280280360360450450550550660660三三50.850.8102102204.4204.4 409.2409.2 818.8818.8因此，投資16天，應選擇方案一； 投資7天，應選擇方案一或方案二； 投

7、資810天，應選擇方案二； 投資11天（含11天）以上，則應選擇方案三. 例2. 某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？問1：例2涉及了哪幾類函數模型？本例的本質是什么？問2：你能根據問題中的數據，判定所給的獎勵模型是否 符合公司要求嗎？問3：通過對三個函數模型增長差異的比較，你能寫出例 2的解答嗎？

8、 分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據這個模型進行獎勵時，獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司的總的利潤目標為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.于是，只需在區(qū)間10，1000上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函數圖象，通過觀察函數的圖象，得到初步的結論，再通過具體計算，確認結果. 解：借助計算器或計算機作出函數y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的圖象（圖3.2-2）200400600800 100012354687Oxyy=0.25xy=5y=log7x+1y=1.002x 觀察圖象發(fā)現，在區(qū)間10,1000上，

9、模型y=0.25x，y=1.002x的圖象都有一部分在直線y=5的上方，只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方，這說明只有按模型y=log7x+1進行獎勵時才符合公司的要求. 下面通過計算確認上述判斷. 首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬. 對于模型y=0.25x，它在區(qū)間10,1000上遞增，而且當x=20時，y=5，因此，當x20時，y5，所以該模型不符合要求； 對于模型y=1.002x，由函數圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內有一個點x0滿足 ，由于它在區(qū)間10,1000上遞增，因此當xx0時，y5，所以該模型也不符合要求；5002. 10 x 對于模型y=

10、log7x+1，它在區(qū)間10,1000上遞增，而且當x=1000時，y=log71000+14.555，所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.再計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x10,1000時，是否有25. 01log7 xxxy成立. 令f(x)=log7x+1-0.25x，x10,1000.利用計算器或計算機作出函數f(x)的圖象（圖3.2-3）200200400400600600800800 10001000 12001200-250-250-300-300-200-200-150-150-100-100-50-50Oxy 由圖象可知它是遞減的，因此

11、 f(x)f(10)-0.31670 即 log7x+1x2，有時2xlog2x.3說說函數y=2x，y=x2，y=log2x的增長差異.在區(qū)間(0,+)上，總有x2log2x；當x4時，總有2xx2.所以當x4時，總有2xx2log2x. 4一般的，在區(qū)間(0,+)上， 盡管函數y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函數， 但它們的增長速度不同，而且不在同一個檔次上，隨著x的增大， y=ax(a1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=xn(n0)的增長速度， 而y=logax(a1)的增長速度則會越來越慢.因此，總會存在一個x0，當xx0時，就有 logaxxn

12、x0時，總有xxyx2121log2 .), 0() 10(log),0(),10(上的衰減情況在區(qū)間最后探究axynxyaayanx在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,+)上，總存在一個上，總存在一個x0 0, ,當當xx0 0時，總有時，總有 xnaxloglogax（n0,00,0a0，且520-40 x0，即0 x13，于是可得 y=(520-40 x)x-200 =-40 x2+520 x-200，0 x1.2，所以，這個男生偏胖.建立函數模型解決實際問題的基本過程；收集數據畫散點圖選擇函數模型求函數模型用函數模型解釋實際問題檢驗不符合實際符合實際課堂練習課堂練習 1. 某公司生產某種產品的

13、固定成本為150萬元，而每件產品的可變成本為2500元，每件產品的售價為3500元. （1）分別求出總成本y1（單位：萬元），單位成本y2（單位：萬元），銷售總收入y3（單位：萬元），總利潤y4（單位：萬元）與總產量x（單位：件）的函數解析式； （2）根據所求函數的圖象，對這個公司的經濟效益作出簡單分析. 2. 某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數分別為52，61，68.為了預測以后各月的患病人數，甲選擇了模型y=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=pqx+r，其中y為患病人數，x為月份數，a,b,c,p,q,r都是常數.結果4月，5月，6月份的患病人分別為74，78，83，你認為誰選擇的模型較好？ 例3. 北京市的一家報刊攤點，從報社買進北京日報的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退回報社.在一個月（30天計算）里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？ 解：設每