ch3復(fù)變函數(shù)積分

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)和在局部弧段上任意取點, 極限為A終點為B的一條光滑的有向曲線.設(shè)函數(shù)w =f (z)定義在區(qū)域D內(nèi), ()kkfznk 10lim都存在且唯一，則稱此極限為函數(shù)Cf z dz( )記作沿曲線弧C的積分.( )f zABCkkz1kzkz若對C 的任意分割C為在區(qū)域D內(nèi)起點xyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)( )dCf zz( )dbaf zz(4) 一般不能把寫成的形式.( )f z( )dCf zz(1) 用表示沿著曲線C的負向的積分.( )d . Cf zz( )f z(2) 沿著閉曲線C的積分記作( )

2、( ),f zu x(3) 如果C是x軸上的區(qū)間, axb而則( )d( )d .bCaf zzu xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)CCzzfzzfd)(d)() iMzfCzfLC | )(|)(,)iv上滿足在長度為設(shè)曲線CCCzzgzzfzzgzfd)(d)(d)()()iii)( ;d)(d)()ii為常數(shù)kzzfkzzfkCCLMszfzzfCCd| )(|d)(則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)18 ,1Czdzz證明證明:證明其中 C 為正向圓周：12z 利用積分估值性質(zhì)，有11Czdzz11Czdsz122Czds 122Cz

3、ds2Cds8目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)定理定理:C 的參數(shù)方程為( )( )( )zz tx tiy t,:t則曲線積分存在, 且有連續(xù),( )wf z在有向光滑弧 C 上有定義且設(shè)函數(shù)Cf z dz( )CCudxvdyivdxudyf z t z tt ( ) ( )d ( ), ( ) ( ), ( )u x ty tiv x ty tx tiy t dt ( )( )Cuivdxidy()()目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)10()nCdzzz解解:計算oyx0:02iC zzre的正向圓周， 為整數(shù).n0zr10()nCdzzz

4、21(1)0ini niredre20inniedr其中 C 為以 中心，為半徑0zr202idi0,n 20(cossin )0niidr0,n 2, i0,n 0,0.n 0izzrez目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例3. . 解解: Re d , Cz z(1) 積分路徑的參數(shù)方程為( )(01),z ttitt Re, d(1)d ,ztzit于是Re dCz z10(1)dtit1(1);2i計算其中C為:(1) 從原點到點1+i的直線段;(2) 從原點沿 x 軸到點1,再到點1+i的折線段;i1y=xoyx1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)

5、-復(fù)變函數(shù)i1y=x(2) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x 軸上直線段的參數(shù)方程為( )(01),z ttt 1到1+i直線段的參數(shù)方程為( )1(01),z titt Re, dd ,ztzt于是 Re1, dd ,zzi t于是Re dCz z10d t t101 d i t1.2ioyx1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例4. . 解解: d , Cz z(1) 積分路徑的參數(shù)方程為( )(01),z ttitt d(1)d ,zit于是dCz z10()(1)dtititi計算其中C為:(1) 從原點到點1+i的直線段;(2) 從原點沿 x 軸到點1,再到點1+i

6、的折線段;i1y=xoyx1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)i1y=x(2) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x 軸上直線段的參數(shù)方程為( )(01),z ttt 1到1+i直線段的參數(shù)方程為( )1(01),z titt dd ,zt于是 dd ,zi t于是dCz z10d t t10(1) diti t12oyx112i i目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù). 0d)(CzzfB 內(nèi)內(nèi)任何一條封閉曲線任何一條封閉曲線 C 的積分的積分則則 f (z) 在在B內(nèi)內(nèi)(黎曼證明，把條件加強：假設(shè)黎曼證明，把條件加強：假設(shè) 連續(xù)連續(xù) .)( )fz假設(shè)在單連

7、通域 B 內(nèi), ( )f zuiv解析,( )fz連續(xù).BC如果函數(shù)如果函數(shù) f (z) 在在單連通域單連通域為零為零:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)因為( ),xxyyfzuivviu所以,xyxyuuvv,在B 內(nèi)連續(xù)， 且滿足C-R條件.任取B內(nèi)閉曲線C,則積分( )Cf z dz CCudxvdyivdxudy由格林公式得()0 xyCDudxvdyvud()0 xyCDvdxudyuvd所以. 0d)(Czzf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù). 0d)(Czzf函數(shù)函數(shù) f (z)在在單連通域單連通域 B 內(nèi)，內(nèi)，( )ABf z d

8、z與路徑無關(guān).BC函數(shù)函數(shù) f (z) B為為C的內(nèi)部，的內(nèi)部，C 為一條封閉曲線為一條封閉曲線, 在在B內(nèi)內(nèi)在在 上連續(xù)上連續(xù)BBC則則. 0d)(Czzf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)解：解：11d .23z zz123 z 由柯西定理由柯西定理, 有有11d0.23zzz1 z 計算積分計算積分因為函數(shù)因為函數(shù)在在內(nèi)解析，內(nèi)解析，目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2121d .(1)z izz z 211111,(1)2z zzzizi1 z2121d(1)z izz z 1211111d22z izzzizi 12zi 解：解：由柯西定理

9、由柯西定理, 有有計算積分計算積分因為函數(shù)因為函數(shù)都在都在上解析，上解析，和和1 zi目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)11122211111ddd22z iz iz izzzzzizi 01211d2z izzi 122i . i 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)Bxyo如果函數(shù) f (z)在單連通域與路徑無關(guān)與路徑無關(guān).B 內(nèi)處處解析, Czzfd)(則積分定理定理5處處解析,如果 f (z)在單連通域B內(nèi)則函數(shù)F (z) = f (z)必為B內(nèi)的一個解析函數(shù), 并且0z( )zF zf z dz( )0zz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)

10、學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.B zK證：證：為中心以z.KB內(nèi)的小圓作一含于充分取 z)()(zFzzFzzzzzff00d)(d)( , )( 的定義由zF , 內(nèi)在小使Kzz由于積分與路線無關(guān),0( )d zzzf0 zz先先取取到到 ，的積分路線可, zzz沿直線到然后從于是zz 0z, 內(nèi)任一點為設(shè)Bz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)0( )dd(zzzzzff()( )F zzF z0( )dzzf,d)(zzzf zzzzfd)( 因為 zzzzfd)(,)(zzf)()()( zfzzFzzF所以)(d)(1zffzzzzd)()(1zffzz

11、zz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù) ( ) , f zD因為在內(nèi)解析 ( ) , f zD所所以以在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), 0, 0 故 的一切使得滿足 z , 時即z,)()( zff總有由積分的估值性質(zhì), , 內(nèi)都在 K)()()( zfzzFzzFd)()(1zffzzzz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù))()()( zfzzFzzFd)()(1zffzzzzszffzzzzd| )()(|1.1zz, 0)()()(lim 0zfzzFzzFz于是).()( zfzF即 證畢證畢 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)如果在

12、區(qū)域 B 內(nèi)在區(qū)域 B 內(nèi)的原函數(shù)原函數(shù).F (z) = f (z) ,則稱 F(z) 為 f (z)f z( )在區(qū)域 B上的原函數(shù)全體不定積分, 記作F xC( )f x dx( )f z( )在 B上的稱為定理定理610zzf z dz ( )如果 f (z) 在單連通域 B 內(nèi)處處解析, 的一個原函數(shù), 則這里z0, z1為域 B 內(nèi)的兩點.G(z)為 f (z)10G zG z()(),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)解解:計算積分20(1)cosizz dz11(2)izze dz20(1)cosizz dz2201cos2iz dz22011sinsin2

13、2iz 11(2)izze dz1111izizzee dz111(1)izii eee1 iie目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)定理定理71i)( )d( )d ,;knkkCCf zzf zzCC與均取正方向是在 C 內(nèi)部的簡單閉曲線, 且 設(shè)C為多連通域 D 內(nèi)的互不包含也互不相交, 另外以C, C1, C2, . , Cn 為邊界的區(qū)域ii0f z dz)( ),如果 f (z) 在D內(nèi)解析, 則一條簡單閉曲線, C1, C2, . , CnD1CC2C1nCCC 全含于D.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)這樣區(qū)域D就被分為D1和D2兩考

14、慮只有兩條圍線C0, C1 的情況.區(qū)域，作輔助線段L1和L2連接 C0,和C1，D0C1C域, 而且 f (z) 在 內(nèi)解析, 12DD和由柯西積分定理，有,1( )0,Df z dz2( )0,Df z dz所以12( )0,DDf z dz1L2L2D1D顯然D1和D2都是單連通目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)12011212DDCCLLLL而+，所以12( )DDf z dz01( )( )CCf z dzf z dz11( )( )LLf z dzf z dz即01( )( )0,CCf z dzf z dz或01( )( ).CCf z dzf z dz22

15、( )( )0LLf z dzf z dzD0C1C1L2L2D1D目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)221,Czdzzz解解:計算oyx0,1zz的正向簡單閉曲線.包含圓周1z 1C1C2C為奇點.在C內(nèi)作互不相交，互不包含的12,C C1C只包含0,z 1,z 2C只包含其中 C 為圓周由復(fù)合閉路定理，得221Czdzzz12222121CCzzdzdzzzzz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)oyx1C1C2C221Czdzzz12222121CCzzdzdzzzzz1122111111CCCCdzdzdzdzzzzz4 i2 i02 i0目錄

16、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2,(1)Cdzz z 解解:計算其中 C 為正向圓周：32zi2(1)Cdzz z 1111122Cdzzzizi12022iii1122CCCdzdzdzzzizi目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)xyo121C2C解解: , 21圍成一個圓環(huán)域和CC, 處處解析在此圓環(huán)域和其邊界上函數(shù)zez圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,dzzez計算積分計算積分其中 為正向圓周2z和負向圓周 組成.1z. 0d zzez目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)定理定理1 如果 f (z) 在區(qū)域

17、D 內(nèi)處處解析, C 為 D 內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于 D, z0為 C 內(nèi)的任一點, 則0012Cf zf zzizz( )()dDC0z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)0( )().f zf z0,0, 當(dāng)當(dāng)00zz時，由于f (z) 在 連續(xù)，0z所以 在C內(nèi)部作圓周0:,KzzR 那么00( )( )CKf zf zdzdzzzzz0000()( )()KKf zf zf zdzdzzzzz000( )()2()Kf zf zif zdzzzDC0zR目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)0000( )()( )()KKf

18、zf zf zf zdzdszzzz而2KdsR即00( )()0Kf zf zdzzz001( )()2Cf zf zdzizz所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)1）柯西公式常寫作00( )2()Cf zdzi f zzz2）0:,iC zzRe若則20001()()2if zf zRed平均值公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)42sin,1CzIdzz解解:計算其中 C 為(1)正向圓周：11 2z (3)正向圓周：2z (2)正向圓周：11 2z 44sinsin112121CCzzIdzdzzz(1)1122(sin)242zIizi

19、 (2)1122( sin)242zIizi(3)11112( sinsin22424zzIizzi目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)(1), :1;izCedzCzizi2| | 2(2)(5)()zzdzzzi求下列積分的值求下列積分的值. .1(1)izz iedzzi 解：解：22izziieei目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2( )5zf zz22d(5)()zzzzzi(2) 注意到函數(shù)注意到函數(shù)2z 在在內(nèi)解析，而內(nèi)解析，而i2z 在在內(nèi)，由柯西積分公式得內(nèi)，由柯西積分公式得i21 253zziz 2| | 25dizzzzz目錄

20、上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2| 5371( )dzf zz 故得到故得到 ( )2 (67)fziz 1( )|( 1)2 6( 1)7= 12 2zifzfiiii 2| 5371( )dzf zz1 i( )|zfz 設(shè)設(shè) 根據(jù)柯西積分公式，得到22(371)|zi22 (371)izz解：解：求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2. 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)0101 22nnCnf zfzdznizz( )!( )()(, ,)()解析函數(shù) f (z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 其中 C 為在 f (z) 的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 z0 的任

21、何一條正向簡單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D.它的n階導(dǎo)數(shù)為:01021 2nnCf zidzfznnzz( )( )()(, ,)!()目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3cos,()Czdzzi解解:計算的正向閉曲線.zi其中 C 為繞3cos()Czdzzi22z iizcos!z iiz( cos )12iee ()目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)324cos.(1)zzIdzzz解解:計算在 內(nèi)有奇點：4z 0,1zz作圓周1211:,:1,23CzCz于是123232coscos(1)(1)CCzzIdzdzzzzz12II目錄 上頁 下

22、頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)20221zizzcos!()6i()1123cos1(1)CzIdzzz6 i2232cos1(1)CzIdzzz312coszziz所以12(12)IIIi 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系22220 xy在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏若二元函數(shù)x y( , )導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯（Laplace）方程則稱為區(qū)域 D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).x y( , )若 為解析函數(shù)，f zu x yiv x y( )( , )( , )則其實部 u和虛部 v 都是調(diào)和函數(shù).設(shè)設(shè) f (z)=u+iv

23、在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,則由則由C.-R.條件條件證：證：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),xvyuyvxu 得222222,uvuvxx yyy x 22220uuxy同理,22220vvxy即u及v都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).2vx y 2uy x 因 與 D內(nèi)連續(xù)，它們 必定相等， 故在D內(nèi)有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)設(shè)f zu x yiv x y( )( , )( , )則 v(x,y)必為 u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù).u(x,y),v(x,y)是是D內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，且滿足，且滿足C.-R.條件：條件：,xvyuy

24、vxu 則稱 v(x,y) 為 u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù).是區(qū)域 D 的解析函數(shù)，目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例1. 解解:已知arctan(0)yvxx是右半復(fù)平面的調(diào)和函數(shù)，求調(diào)和函數(shù) u，使 u 的共軛調(diào)和函數(shù)是 v.22,yxyuvxy 由C-R方程，得22,xyxuvxy( , )(1,0)x yxyuu dxu dy22101xyydxxxy221ln()2xy,xyduu dxu dy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例例2. 解解:已知323,uxxy驗證u是調(diào)和函數(shù)，并求以 u為實部實部的解析函數(shù) f (z),

25、 使 f (0) = i.2233,xuxy因為6,yuxy 6( 6 )0,xxyyuuxx 所以u是調(diào)和函數(shù).( )uufzixy22(33)6xyi xy23z33( )( )3f zfz dzz dzzC又 f (0) = i ，所以3,( )Cif zzi目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)Cf z dz( )CCudxvdyivdxudyf z t z tt ( ) ( )dCuivdxidy()()曲線C:( )( )( )zz tx tiy t,:t目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù), 0d)(Czzf函數(shù)函數(shù) f (z)在在單連通域單

26、連通域 B 內(nèi)，內(nèi)，( )ABf z dz與路徑無關(guān).1) 其中其中C是是 B 任意一條簡單封閉曲線任意一條簡單封閉曲線.2)解析, 并且0z( )zF zf z dz( )3)Fzf z( )( ).1100z10( )zzzf z dzG zG zG z( )()()4)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)1ii)( )d( )d ,;knkkCCf zzf zzCC與均取正方向iii0f z dz)( ),1nCCC i)( )d( )dCCf zzf zz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)00112Cf zf zzizz( )()d01021

27、22nnCnf zfzdznizz( )!( )()(, ,)()目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)5.調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)22220 xyxvyuyvxu,若 為解析函數(shù)，f zu x yiv x y( )( , )( , )則其虛部 v是實部 u 的共軛調(diào)和函數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù).10,d)1 (3的光滑閉曲線與是不經(jīng)過其中計算CzzzeCz解解: 分以下四種情況討論：則也不包含既不包含若封閉曲線, 10) 1C,)1 ()(3內(nèi)解析在Czzezfz. 0d)1 (3Czzzze由柯西定理得例例1.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程

28、數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)則而不包含包含若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得內(nèi)解析在,)1 ()(3CzezfzxyOC 1zzzezzzeCCzzd)1 (d)1 (3303)1 (2zzzei.2 i目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)則而不包含包含若封閉曲線, 01)3C,)(內(nèi)解析在Czezfz由高階導(dǎo)數(shù)公式得zzzezzzeCCzzd)1 (d)1 (33zzzeCzd) 1(3) 1 (! 22fi 132)22(zzzezzi. ie目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù), 01)4又包含既包含若封閉曲線C,0,1 , 021CC為半徑作圓以為圓心則分別以據(jù)復(fù)合閉路定理有Czzzzed)1 (321d)1 (d)1 (