周一維諧振子問題

1、kl0 xmoAA 彈簧振子的振動(dòng)彈簧振子的振動(dòng)00Fx一一 經(jīng)典簡諧運(yùn)動(dòng)經(jīng)典簡諧運(yùn)動(dòng) 一維諧振子問題一維諧振子問題 在經(jīng)典力學(xué)中，簡諧振動(dòng)的定義：在經(jīng)典力學(xué)中，簡諧振動(dòng)的定義：任何物理量任何物理量 x 的變化規(guī)律若滿足方程式的變化規(guī)律若滿足方程式0dd222xtx 在經(jīng)典力學(xué)中，一維經(jīng)典諧振子問題是個(gè)基本在經(jīng)典力學(xué)中，一維經(jīng)典諧振子問題是個(gè)基本的問題的問題dxdVF 因因?yàn)闉榱孔恿W(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。運(yùn)動(dòng)的粒子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即平衡位置處于勢(shì)即平衡位置處于勢(shì) V = 0 V = 0 點(diǎn)，

2、則點(diǎn)，則Vkxdx所以0221Vkx 22012mxV2km因：2212Vmx 自然界廣泛碰到簡諧振動(dòng)，任何體系在平自然界廣泛碰到簡諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，衡位置附近的小振動(dòng)，（2）為什么研究線性諧振子）為什么研究線性諧振子分子振動(dòng)分子振動(dòng)晶格振動(dòng)晶格振動(dòng)原子核表面振動(dòng)原子核表面振動(dòng)輻射場(chǎng)的振動(dòng)輻射場(chǎng)的振動(dòng)axV(x)0V0 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxax2220)(!21axxVVax 20)(21axkV 22x aVkx其中：0)(0 axxVVaV0( )0 x aVV aVx例如雙原子分子，兩原例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)子間的勢(shì)V

3、是二者相對(duì)距是二者相對(duì)距離離x的函數(shù)，如圖所示。的函數(shù)，如圖所示。在在 x = a 處，處，V 有一極小有一極小值值V0 。在。在 x = a 附近勢(shì)附近勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：可見，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可見，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。 取新坐標(biāo)原點(diǎn)為取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a, V(a, V0 0) )，則勢(shì)可表示為，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：221)(kxxV axV(x)0V0 在微觀領(lǐng)域中，一維量子諧振子問題也是個(gè)基在微觀領(lǐng)域中，一維量子諧振子問題也是個(gè)基本的問題，甚至更為基本。因

4、為它不僅是微觀粒本的問題，甚至更為基本。因?yàn)樗粌H是微觀粒子子在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動(dòng)一類常見問題的在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動(dòng)一類常見問題的普遍概括普遍概括，而且更是將來場(chǎng)量子化的基礎(chǔ)。，而且更是將來場(chǎng)量子化的基礎(chǔ)。22221222ppHVmxmm經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子的哈密頓經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子的哈密頓上式用相應(yīng)算符代入，得上式用相應(yīng)算符代入，得22222122dHmxm dx是一維諧振子的哈密頓算符，是能量算符。是一維諧振子的哈密頓算符，是能量算符。)()(21dd222222xExxx一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程一維諧振子的能量本征值方程一維諧振子的能量本征值

5、方程)()(21dd222222xExxx為了簡潔起見，引入三個(gè)無量綱參量：為了簡潔起見，引入三個(gè)無量綱參量： Ex2,dd22 ( )()( )20 求解此方程，并考慮到束縛態(tài)條件，就可以得到一求解此方程，并考慮到束縛態(tài)條件，就可以得到一維諧振子的能量本征值和與其對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)。維諧振子的能量本征值和與其對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)。 此式是一變系數(shù)二階常微分方程此式是一變系數(shù)二階常微分方程0222dd2/22/122 ecec 所所以以先兩端，帶中間先兩端，帶中間原則，即當(dāng)原則，即當(dāng) 時(shí)時(shí)波函數(shù)波函數(shù)的行為。在此情況下，的行為。在此情況下， 1 1其解為：其解為：)2/exp()(2波函數(shù)有限性條件

6、：波函數(shù)有限性條件：0)1(2 HHH 2/2)()( eH將將() )表達(dá)式表達(dá)式代入方程得代入方程得 關(guān)于關(guān)于 待求函數(shù)待求函數(shù) H(H() ) 所滿足的方程：所滿足的方程：漸近形式，那么令：在無窮遠(yuǎn)處有的波函數(shù)為了使方程2/22220)(exdd其中其中 H() 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：條件。即： 當(dāng)當(dāng)有限時(shí)，有限時(shí)，H()有限；有限； 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，H()的行為要保證的行為要保證() 0。2. 滿足的方程滿足的方程)(H由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 決定所有角標(biāo)決定所有角標(biāo)k k為偶數(shù)的系數(shù)；為偶數(shù)的系數(shù)；

7、b b1 1 決定所有角標(biāo)決定所有角標(biāo)k k為奇數(shù)的系數(shù)。為奇數(shù)的系數(shù)。 因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè)因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè) 線性獨(dú)立解?？煞謩e令：線性獨(dú)立解?？煞謩e令：b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().kkbkkkb)2)(1(122 即：即：從而導(dǎo)出系數(shù)從而導(dǎo)出系數(shù) b bk k 的遞推公式：的遞推公式：2(1)(2)2(1)0kkkkkbkkkbb該式對(duì)任意該式對(duì)任意都都成立，故成立，故同次同次冪前的系數(shù)均應(yīng)冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，為零，則通解可記為：則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd

8、 + ce Heven e) exp-2/22(1)(2)2(1)=0kkkbkkkbb(II) 需要考慮無窮級(jí)數(shù)的收斂性需要考慮無窮級(jí)數(shù)的收斂性為此考察相鄰為此考察相鄰 兩項(xiàng)之比：兩項(xiàng)之比：22222)2)(1(12 kkkkbbkkkkk 考察冪級(jí)數(shù)考察冪級(jí)數(shù)expexp2 2 的的 展開式的收斂性展開式的收斂性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， H(H() )的漸近的漸近 行為與行為與expexp2 2 相同。相同。2222222222)1(1)!1()!()!()!1( kkkkkkkkk 相相繼繼兩兩項(xiàng)項(xiàng)之之比比：比較二級(jí)數(shù)可知：比較二級(jí)數(shù)可知：0)2)

9、(1(122 nnbnnnb 結(jié)論結(jié)論 基于波函數(shù)基于波函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的在無窮遠(yuǎn)處的 有限性條件導(dǎo)致了有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取能量必須取 分立值。分立值。 212 EE因因?yàn)闉?,nb ,2,1 ,0 )(21nnE于是最后得： expexpexpexp)()(2212212221H( )H( )H20,0nnbb210n )(exp221 nnnHN 022 nnnnHHH 0)1(2 HHH expexp) 1()(22nnnnddH由上式可以看出，由上式可以看出， 的最高次冪是的最高次冪是 n 其系數(shù)是其系數(shù)是 2n。歸一化系數(shù)歸一化系數(shù)附加有限性條件得到了附加有限性條件得到了 H

10、()的的 一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱為一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱為厄密厄密 多項(xiàng)式，記為多項(xiàng)式，記為 Hn()，于是總波，于是總波 函數(shù)可表示為：函數(shù)可表示為：封閉形式解：封閉形式解：) (nH)(nH022)(2111 nnnnnnHHHnHddH 應(yīng)應(yīng) 用用 實(shí)實(shí) 例例例：已知例：已知 H H0 0 = 1, H = 1, H1 1=2=2，則，則 根據(jù)上述遞推關(guān)系得出：根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H H2 2 = 2H = 2H1 1-2nH-2nH0 0 = 4 = 42 2-2-2基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)(x(x) )的的遞推關(guān)系：

11、遞推關(guān)系： )()2)(1()() 12()() 1()()()()()()2)(1()() 12()() 1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn 其中： )(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122 deHeHnnnnnnddnddNnddnNn)() 1()() 1(21122112deHdeHnddNnnddnddNnnnnnnn222112)() 1()() 1(1 !2 nnnN 所所以以deHdeHnnnnnnddddnN

12、nddnnN)()1()()1(211222!2!2) 1(2222ndennNnNnnnexpexp)1()(22 nnnnddH1 1。上式表明，。上式表明，H Hn n() )的最高次項(xiàng)是的最高次項(xiàng)是(2)(2)n n。所以：。所以： 當(dāng)當(dāng) n= n=偶，則厄密多項(xiàng)式只含偶，則厄密多項(xiàng)式只含的偶次項(xiàng)；的偶次項(xiàng)； 當(dāng)當(dāng) n= n=奇，則厄密多項(xiàng)式只含奇，則厄密多項(xiàng)式只含的奇次項(xiàng)。的奇次項(xiàng)。2. 2. n n具有具有n n宇稱宇稱)(!2)(2/22xHenxnxnn上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的 exp- exp-2 2/2/2是是的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，所以所以

13、n n的宇稱由厄密多項(xiàng)式的宇稱由厄密多項(xiàng)式 H Hn n() ) 決定為決定為 n n 宇稱。宇稱。 一維諧振子的能譜是一維諧振子的能譜是等間距等間距的，即相鄰兩能級(jí)的的，即相鄰兩能級(jí)的能量差是固定的；能量差是固定的；Eknann2222222212 3, , ,EEnnn(), , ,120 1 2能量的分立現(xiàn)象在微觀領(lǐng)域是普遍存在的！能級(jí)間距能級(jí)間距 = 一維諧振子的基態(tài)能量不等于零，即存在零點(diǎn)能。一維諧振子的基態(tài)能量不等于零，即存在零點(diǎn)能。210E 零點(diǎn)能是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)！)( xUoxAANME經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典物理學(xué)中的一維諧振子：經(jīng)典物理學(xué)中的一維諧振子

14、：.,經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典允許區(qū)；AxAxnnxnxNx( )()eH2 22量子力學(xué)中的一維諧振子：量子力學(xué)中的一維諧振子：,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx考慮一維諧振子的基態(tài)：考慮一維諧振子的基態(tài)：210E2221)(xxU=2x1諧振子的特征長度諧振子的特征長度按照經(jīng)典理論，按照經(jīng)典理論，.,11經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典允許區(qū)；xx按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，基態(tài)粒子處于經(jīng)按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，基態(tài)粒子處于經(jīng)典禁區(qū)中的概率為：典禁區(qū)中的概率為：%16d )()(d )()(110000 xxxxxx微觀粒子的隧道效應(yīng)微觀粒子的隧道

15、效應(yīng),)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx由圖可以看出，量子數(shù)由圖可以看出，量子數(shù)n較小時(shí)，粒子位置的概率較小時(shí)，粒子位置的概率密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)n的增的增大大, 概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論。例例4 4:求一維線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時(shí)概率最大的位求一維線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時(shí)概率最大的位置。置。 解解: 要求粒子在空間的概率的最大值，只要對(duì)概率密要求粒子在空間的概率的最大值，只要對(duì)概率密度求極大即可。度求極大即可。nnxnxNx( )()eH2 22量子力學(xué)中的一維諧振子：量子力學(xué)中的一維諧振子：,2)(2/41122xxex概率密度：概率密度：1122232xex0ddx1, 0 x零是個(gè)極小值，舍去；零是個(gè)極小值，舍去；故極大值處為故極大值處為x1.級(jí)數(shù)表示：220(1 )!()( 2)! (2) !nknknknHknk, 212, 2nnn式中厄米多項(xiàng)式有三種重要表示：3.微分表示：2.積分表示：22( )()nntnHitedt22( )( 1)nnnndHeed 厄米多項(xiàng)式具有如下性質(zhì)：1.遞推關(guān)系：2.微分性質(zhì)：111( )( )( )2nnnHHnH12( )ndHnHd3.正交歸一性