周一維諧振子問題

1、kl0 xmoAA 彈簧振子的振動彈簧振子的振動00Fx一一 經(jīng)典簡諧運動經(jīng)典簡諧運動 一維諧振子問題一維諧振子問題 在經(jīng)典力學(xué)中，簡諧振動的定義：在經(jīng)典力學(xué)中，簡諧振動的定義：任何物理量任何物理量 x 的變化規(guī)律若滿足方程式的變化規(guī)律若滿足方程式0dd222xtx 在經(jīng)典力學(xué)中，一維經(jīng)典諧振子問題是個基本在經(jīng)典力學(xué)中，一維經(jīng)典諧振子問題是個基本的問題的問題dxdVF 因因為為量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。運動的粒子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即平衡位置處于勢即平衡位置處于勢 V = 0 V = 0 點，

2、則點，則Vkxdx所以0221Vkx 22012mxV2km因：2212Vmx 自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，衡位置附近的小振動，（2）為什么研究線性諧振子）為什么研究線性諧振子分子振動分子振動晶格振動晶格振動原子核表面振動原子核表面振動輻射場的振動輻射場的振動axV(x)0V0 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxax2220)(!21axxVVax 20)(21axkV 22x aVkx其中：0)(0 axxVVaV0( )0 x aVV aVx例如雙原子分子，兩原例如雙原子分子，兩原子間的勢子間的勢V

3、是二者相對距是二者相對距離離x的函數(shù)，如圖所示。的函數(shù)，如圖所示。在在 x = a 處，處，V 有一極小有一極小值值V0 。在。在 x = a 附近勢附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：可以展開成泰勒級數(shù)：可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運動往往可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述?？梢杂镁€性諧振動來近似描述。 取新坐標(biāo)原點為取新坐標(biāo)原點為(a, V(a, V0 0) )，則勢可表示為，則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式：標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式：221)(kxxV axV(x)0V0 在微觀領(lǐng)域中，一維量子諧振子問題也是個基在微觀領(lǐng)域中，一維量子諧振子問題也是個基本的問題，甚至更為基本。因

4、為它不僅是微觀粒本的問題，甚至更為基本。因為它不僅是微觀粒子子在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動一類常見問題的在穩(wěn)定平衡位置附近作小振動一類常見問題的普遍概括普遍概括，而且更是將來場量子化的基礎(chǔ)。，而且更是將來場量子化的基礎(chǔ)。22221222ppHVmxmm經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子的哈密頓經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子的哈密頓上式用相應(yīng)算符代入，得上式用相應(yīng)算符代入，得22222122dHmxm dx是一維諧振子的哈密頓算符，是能量算符。是一維諧振子的哈密頓算符，是能量算符。)()(21dd222222xExxx一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程一維諧振子的能量本征值方程一維諧振子的能量本征值

5、方程)()(21dd222222xExxx為了簡潔起見，引入三個無量綱參量：為了簡潔起見，引入三個無量綱參量： Ex2,dd22 ( )()( )20 求解此方程，并考慮到束縛態(tài)條件，就可以得到一求解此方程，并考慮到束縛態(tài)條件，就可以得到一維諧振子的能量本征值和與其對應(yīng)的本征波函數(shù)。維諧振子的能量本征值和與其對應(yīng)的本征波函數(shù)。 此式是一變系數(shù)二階常微分方程此式是一變系數(shù)二階常微分方程0222dd2/22/122 ecec 所所以以先兩端，帶中間先兩端，帶中間原則，即當(dāng)原則，即當(dāng) 時時波函數(shù)波函數(shù)的行為。在此情況下，的行為。在此情況下， 1 1其解為：其解為：)2/exp()(2波函數(shù)有限性條件

6、：波函數(shù)有限性條件：0)1(2 HHH 2/2)()( eH將將() )表達式表達式代入方程得代入方程得 關(guān)于關(guān)于 待求函數(shù)待求函數(shù) H(H() ) 所滿足的方程：所滿足的方程：漸近形式，那么令：在無窮遠(yuǎn)處有的波函數(shù)為了使方程2/22220)(exdd其中其中 H() 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：條件。即： 當(dāng)當(dāng)有限時，有限時，H()有限；有限； 當(dāng)當(dāng)時，時，H()的行為要保證的行為要保證() 0。2. 滿足的方程滿足的方程)(H由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 決定所有角標(biāo)決定所有角標(biāo)k k為偶數(shù)的系數(shù)；為偶數(shù)的系數(shù)；

7、b b1 1 決定所有角標(biāo)決定所有角標(biāo)k k為奇數(shù)的系數(shù)。為奇數(shù)的系數(shù)。 因為方程是二階微分方程，應(yīng)有兩個因為方程是二階微分方程，應(yīng)有兩個 線性獨立解。可分別令：線性獨立解。可分別令：b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().kkbkkkb)2)(1(122 即：即：從而導(dǎo)出系數(shù)從而導(dǎo)出系數(shù) b bk k 的遞推公式：的遞推公式：2(1)(2)2(1)0kkkkkbkkkbb該式對任意該式對任意都都成立，故成立，故同次同次冪前的系數(shù)均應(yīng)冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，為零，則通解可記為：則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd

8、 + ce Heven e) exp-2/22(1)(2)2(1)=0kkkbkkkbb(II) 需要考慮無窮級數(shù)的收斂性需要考慮無窮級數(shù)的收斂性為此考察相鄰為此考察相鄰 兩項之比：兩項之比：22222)2)(1(12 kkkkbbkkkkk 考察冪級數(shù)考察冪級數(shù)expexp2 2 的的 展開式的收斂性展開式的收斂性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 當(dāng)當(dāng)時時， H(H() )的漸近的漸近 行為與行為與expexp2 2 相同。相同。2222222222)1(1)!1()!()!()!1( kkkkkkkkk 相相繼繼兩兩項項之之比比：比較二級數(shù)可知：比較二級數(shù)可知：0)2)

9、(1(122 nnbnnnb 結(jié)論結(jié)論 基于波函數(shù)基于波函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的在無窮遠(yuǎn)處的 有限性條件導(dǎo)致了有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取能量必須取 分立值。分立值。 212 EE因因為為0,nb ,2,1 ,0 )(21nnE于是最后得： expexpexpexp)()(2212212221H( )H( )H20,0nnbb210n )(exp221 nnnHN 022 nnnnHHH 0)1(2 HHH expexp) 1()(22nnnnddH由上式可以看出，由上式可以看出， 的最高次冪是的最高次冪是 n 其系數(shù)是其系數(shù)是 2n。歸一化系數(shù)歸一化系數(shù)附加有限性條件得到了附加有限性條件得到了 H

10、()的的 一個多項式，該多項式稱為一個多項式，該多項式稱為厄密厄密 多項式，記為多項式，記為 Hn()，于是總波，于是總波 函數(shù)可表示為：函數(shù)可表示為：封閉形式解：封閉形式解：) (nH)(nH022)(2111 nnnnnnHHHnHddH 應(yīng)應(yīng) 用用 實實 例例例：已知例：已知 H H0 0 = 1, H = 1, H1 1=2=2，則，則 根據(jù)上述遞推關(guān)系得出：根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H H2 2 = 2H = 2H1 1-2nH-2nH0 0 = 4 = 42 2-2-2基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)(x(x) )的的遞推關(guān)系：

11、遞推關(guān)系： )()2)(1()() 12()() 1()()()()()()2)(1()() 12()() 1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn 其中： )(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122 deHeHnnnnnnddnddNnddnNn)() 1()() 1(21122112deHdeHnddNnnddnddNnnnnnnn222112)() 1()() 1(1 !2 nnnN 所所以以deHdeHnnnnnnddddnN

12、nddnnN)()1()()1(211222!2!2) 1(2222ndennNnNnnnexpexp)1()(22 nnnnddH1 1。上式表明，。上式表明，H Hn n() )的最高次項是的最高次項是(2)(2)n n。所以：。所以： 當(dāng)當(dāng) n= n=偶，則厄密多項式只含偶，則厄密多項式只含的偶次項；的偶次項； 當(dāng)當(dāng) n= n=奇，則厄密多項式只含奇，則厄密多項式只含的奇次項。的奇次項。2. 2. n n具有具有n n宇稱宇稱)(!2)(2/22xHenxnxnn上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的 exp- exp-2 2/2/2是是的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，所以所以

13、n n的宇稱由厄密多項式的宇稱由厄密多項式 H Hn n() ) 決定為決定為 n n 宇稱。宇稱。 一維諧振子的能譜是一維諧振子的能譜是等間距等間距的，即相鄰兩能級的的，即相鄰兩能級的能量差是固定的；能量差是固定的；Eknann2222222212 3, , ,EEnnn(), , ,120 1 2能量的分立現(xiàn)象在微觀領(lǐng)域是普遍存在的！能級間距能級間距 = 一維諧振子的基態(tài)能量不等于零，即存在零點能。一維諧振子的基態(tài)能量不等于零，即存在零點能。210E 零點能是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)！)( xUoxAANME經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典物理學(xué)中的一維諧振子：經(jīng)典物理學(xué)中的一維諧振子

14、：.,經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典允許區(qū)；AxAxnnxnxNx( )()eH2 22量子力學(xué)中的一維諧振子：量子力學(xué)中的一維諧振子：,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx考慮一維諧振子的基態(tài)：考慮一維諧振子的基態(tài)：210E2221)(xxU=2x1諧振子的特征長度諧振子的特征長度按照經(jīng)典理論，按照經(jīng)典理論，.,11經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典允許區(qū)；xx按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，基態(tài)粒子處于經(jīng)按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，基態(tài)粒子處于經(jīng)典禁區(qū)中的概率為：典禁區(qū)中的概率為：%16d )()(d )()(110000 xxxxxx微觀粒子的隧道效應(yīng)微觀粒子的隧道

15、效應(yīng),)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx由圖可以看出，量子數(shù)由圖可以看出，量子數(shù)n較小時，粒子位置的概率較小時，粒子位置的概率密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)n的增的增大大, 概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論。例例4 4:求一維線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位求一維線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位置。置。 解解: 要求粒子在空間的概率的最大值，只要對概率密要求粒子在空間的概率的最大值，只要對概率密度求極大即可。度求極大即可。nnxnxNx( )()eH2 22量子力學(xué)中的一維諧振子：量子力學(xué)中的一維諧振子：,2)(2/41122xxex概率密度：概率密度：1122232xex0ddx1, 0 x零是個極小值，舍去；零是個極小值，舍去；故極大值處為故極大值處為x1.級數(shù)表示：220(1 )!()( 2)! (2) !nknknknHknk, 212, 2nnn式中厄米多項式有三種重要表示：3.微分表示：2.積分表示：22( )()nntnHitedt22( )( 1)nnnndHeed 厄米多項式具有如下性質(zhì)：1.遞推關(guān)系：2.微分性質(zhì)：111( )( )( )2nnnHHnH12( )ndHnHd3.正交歸一性