第1章 矢量分析2010

1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 12022-7-5電磁場與電磁波電磁場與電磁波Electromagnetic Fields & Magnetic Wave牛長hl_電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 22022-7-5一一 本課程的地位、作用與任務(wù)本課程的地位、作用與任務(wù)二二 電磁場理論的發(fā)展簡史電磁場理論的發(fā)展簡史 三三 電磁場理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域電磁場理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域四四 本課程的基本內(nèi)容與要求本課程的基本內(nèi)容與要求前前 言言電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 32022-7

2、-5一、本課程的地位、作用與任務(wù)一、本課程的地位、作用與任務(wù) 電子信息類本科各專業(yè)許多主要課程的核心內(nèi)容都是宏觀電磁現(xiàn)象在特定條件下的具體表現(xiàn)。同時，電磁場理論也是一些交叉學(xué)科和邊緣學(xué)科發(fā)展的理論基礎(chǔ)之一。 電磁場與電磁波課程是電子信息類本科各專業(yè)學(xué)生必修的一門核心基礎(chǔ)課，它所涉及的內(nèi)容是電子信息類本科學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的必要組成部分。 本課程的主要任務(wù)是：在大學(xué)物理（電磁學(xué)）的基礎(chǔ)上，進一步論述宏觀電磁場的基本概念和基本特性，要求學(xué)生建立場的觀念，學(xué)會運用場的觀點對電磁現(xiàn)象進行分析和求解。為進一步學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)課程奠定必要的理論基礎(chǔ)。電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 42

3、022-7-5 電磁學(xué)是研究電、磁和電磁的相互作用現(xiàn)象，及其規(guī)律和應(yīng)用的物理學(xué)分支學(xué)科。 電磁學(xué)的建立，實際上是人類對早期發(fā)現(xiàn)的一些電磁現(xiàn)象進行的物理解釋。二、電磁場理論發(fā)展簡史二、電磁場理論發(fā)展簡史 電磁場理論的早期研究電磁場理論的早期研究電磁作用的機制或者本質(zhì)是什么？也就是作用力是怎么傳遞的？電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 52022-7-5超距作用 與 近距作用l 超距作用：認為電荷之間存在“超距力”，這種力的傳遞不需時間，是一種能超越一無所有空間的作用力。l 近距作用：認為宇宙間充滿著一種不可見的流質(zhì)“以太”，起著力的傳遞作用。前言 在19世紀以前，電、磁

4、現(xiàn)象是作為兩個獨立的物理現(xiàn)象進行研究的，當時還沒有發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系。這些早期的研究為電磁學(xué)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。其中貢獻較大的有萊頓、富蘭克林、伏特、庫侖等科學(xué)家。電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 62022-7-5 18世紀末期，德國哲學(xué)家謝林認為，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他認為電就是宇宙的活力，是宇宙的靈魂；電、磁、光、熱是相互聯(lián)系的。 奧斯特是謝林的信徒，他從1807年開始研究電磁之間的關(guān)系。1820年，他發(fā)現(xiàn)電流以力作用于磁針（電流的磁效應(yīng)）。 宏觀電磁場理論的建立宏觀電磁場理論的建立前言電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 7

5、2022-7-5 安培 發(fā)現(xiàn)作用力的方向和電流的方向以及磁針到通過電流的導(dǎo)線的垂直線方向相互垂直，并定量建立了若干數(shù)學(xué)公式（Ampere定律），揭示了磁的本質(zhì)。 法拉第 奧斯特1820年發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)后，法拉第敏銳地意識到，電可以對磁產(chǎn)生作用，磁也一定能夠?qū)﹄姰a(chǎn)生影響。1831年他發(fā)現(xiàn)，當磁捧插入導(dǎo)體線圈時；導(dǎo)線圈中就產(chǎn)生電流。這表明，電與磁之間存在著密切的聯(lián)系（Faraday定律） 。前言電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 82022-7-5 麥克斯韋 1865年，英國物理學(xué)家麥克斯韋（J.C.Maxwell 1831-1879)在前人實踐和理論的基礎(chǔ)上，總結(jié)出宏

6、觀電磁現(xiàn)象的一般規(guī)律麥克斯韋方程組，并于1873年發(fā)表了詳述該理論的電磁學(xué)通論。其核心思想是：變化著的電場能產(chǎn)生磁場，與變化著的磁場產(chǎn)生電場相對應(yīng)。并預(yù)言了電磁波的存在。 在1888年赫茲用實驗方法證實了電磁波的存在后，麥克斯韋方程組成為經(jīng)典電動力學(xué)的公理，麥克斯韋成為宏觀電磁場理論的奠基人。前言電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 92022-7-5作為理論物理學(xué)的一個作為理論物理學(xué)的一個重要研究分支，主要致重要研究分支，主要致力于統(tǒng)一場理論和微觀力于統(tǒng)一場理論和微觀量子電動力學(xué)的研究量子電動力學(xué)的研究。電磁電磁場的場的主要主要研究研究領(lǐng)域領(lǐng)域 作為無線電技術(shù)的理論作

7、為無線電技術(shù)的理論基礎(chǔ)，集中于基礎(chǔ)，集中于三大類應(yīng)三大類應(yīng)用問題的研究用問題的研究。三、電磁場理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域三、電磁場理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 102022-7-5 電磁場（波）作為能量的一種形式電磁場（波）作為能量的一種形式，是當今世，是當今世界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電磁能量的界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電磁能量的產(chǎn)生、儲存、變換、傳輸和綜合利用。產(chǎn)生、儲存、變換、傳輸和綜合利用。 電磁波作為信息傳輸?shù)妮d體電磁波作為信息傳輸?shù)妮d體，成為當今人類社，成為當今人類社會發(fā)布和獲取信息的主要手段，主要研究領(lǐng)域會發(fā)布和獲取信息的主要手段

8、，主要研究領(lǐng)域為信息的產(chǎn)生、獲取、交換、傳輸、儲存、處為信息的產(chǎn)生、獲取、交換、傳輸、儲存、處理、再現(xiàn)和綜合利用。理、再現(xiàn)和綜合利用。 電磁波作為探測未知世界的一種重要手段電磁波作為探測未知世界的一種重要手段，主，主要研究領(lǐng)域為電磁波與目標的相互作用特性、要研究領(lǐng)域為電磁波與目標的相互作用特性、目標特征的獲取與重建、探測新技術(shù)等。目標特征的獲取與重建、探測新技術(shù)等。 三大類應(yīng)用問題三大類應(yīng)用問題電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 112022-7-5無線電通信無線電通信電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 122022-7-5雷達雷達氣象雷達氣

9、象雷達軍用雷達軍用雷達電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 132022-7-5電子對抗電子對抗美空軍美空軍E-3“哨兵哨兵”預(yù)警飛機預(yù)警飛機 中國空警中國空警2000預(yù)警機預(yù)警機 電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 142022-7-5高能武器高能武器電磁軌道炮電磁軌道炮高能微波武器高能微波武器美機載激光武器美機載激光武器電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 152022-7-5原子核物理原子核物理歐洲大型強子對撞機歐洲大型強子對撞機電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 162022-7-5受控

10、熱核聚變受控熱核聚變中國自行研制的全超導(dǎo)托卡馬克中國自行研制的全超導(dǎo)托卡馬克EAST核聚變實驗裝置核聚變實驗裝置 電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 172022-7-5射電天文學(xué)射電天文學(xué) 北京天文臺密云觀測站北京天文臺密云觀測站電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 182022-7-5航空、航天航空、航天 電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 192022-7-5遙感、遙測遙感、遙測 電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 202022-7-5磁懸浮列車磁懸浮列車電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方

11、工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 212022-7-5醫(yī)療醫(yī)療 電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 222022-7-5食品加工食品加工 電磁爐電磁爐微波爐微波爐電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 232022-7-5掌握宏觀電磁場的基本屬性和運動規(guī)律掌握宏觀電磁場的基本屬性和運動規(guī)律掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法了解宏觀電磁場的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理了解宏觀電磁場的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理掌握電磁波的概念及其傳播特性掌握電磁波的概念及其傳播特性培養(yǎng)用場的觀念分析問題、解決問題的能力培養(yǎng)用場的觀念分析問題、解決問題的能

12、力培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力獨立完成作業(yè)，做好課堂筆記獨立完成作業(yè)，做好課堂筆記精讀一本教學(xué)參考書精讀一本教學(xué)參考書四、本課程的基本內(nèi)容和要求四、本課程的基本內(nèi)容和要求電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 242022-7-5本課程的學(xué)時安排本課程的學(xué)時安排章節(jié)章節(jié)理論教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時理論教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時實驗學(xué)時實驗學(xué)時 0 0緒論及矢量分析緒論及矢量分析6 61 1靜電場靜電場10102 22 2恒定電場恒定電場2 23 3恒定磁場恒定磁場10102 24 4時變電磁場時變電磁場6 62 25 5平面電磁波平面電磁波6 62 2合計合計404

13、08 8電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 252022-7-5主要教學(xué)參考書主要教學(xué)參考書 教教 材：材：電磁場與電磁波電磁場與電磁波 劉文楷主編劉文楷主編 北京郵電大學(xué)出版社北京郵電大學(xué)出版社 2013 參考書參考書 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論，馮慈璋、馬西奎主編，高，馮慈璋、馬西奎主編，高等教育出版社，等教育出版社，2000. 電磁場與電磁波電磁場與電磁波（第三版），謝處方、饒克（第三版），謝處方、饒克謹編，高等教育出版社，謹編，高等教育出版社，2000. 工程電磁場原理工程電磁場原理，倪光正主編，高等教育出，倪光正主編，高等教育出版社，版社，2002電磁場與

14、電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 262022-7-5第一章第一章 矢量分析矢量分析1. 三種常用坐標系2. 矢量運算3. 標量場的梯度4. 矢量場的散度5. 矢量場的旋度6. 亥姆霍茲定理主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 272022-7-5 坐標變量（x ，y，z）xxyyzzAAA e A e A e A e一、直一、直 角角 坐坐 標標 系系其中：其中： 分別是矢量分別是矢量 在在 方向的方向的投影投影，稱，稱為矢量為矢量 的三個相應(yīng)的的三個相應(yīng)的坐標分量坐標分量。 分別表示坐分別表示坐標軸的三個方向，稱為標軸的三個

15、方向，稱為坐標單位矢量坐標單位矢量。 ,xyzA AAA,xyze e e A,xyze e e 坐標表示AxA 若矢量的大小和方向均與空間坐標無關(guān)，這種矢量稱若矢量的大小和方向均與空間坐標無關(guān)，這種矢量稱為為常矢量常矢量或常矢?；虺Ｊ?。1.1 1.1 三種常用坐標系三種常用坐標系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 282022-7-5x xy yz zdsds eds e ds e dsnzzyyxxedxdydsedxdzdsedydzdsdxdydzdv xyzldldxedyedzedle 體積元 線元 直角坐標系 面元 其中其中電磁場與電磁波電磁場與電磁波北

16、方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 292022-7-5 坐標變量 坐標表示 線元 面元 體積元 002 zzzAAA eA eA e A ezldlde de dze dl ez zdsds e ds e ds e dsn zzedddsedzddsedzddsdzdddv二、柱二、柱 坐坐 標標 系系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 302022-7-5 坐標變量 坐標表示 線元 面元 體積元 200r0rrAAA e A e A e A e r r dsds eds e ds e dsn 2rrdsr sinddedsrsindrdedsrdrderldldre

17、rde rsind edl edddrrdvsin2三、球三、球 坐坐 標標 系系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 312022-7-5 直角坐標系與柱坐標系的關(guān)系cossinxyzzoxz( , , )( , , )( , , )x y zMzr yzxry221112222sincosxyyyxtgxxyxyzz四、三種坐標系坐標變量之間的關(guān)系四、三種坐標系坐標變量之間的關(guān)系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 322022-7-5 直角坐標系與球坐標系的關(guān)系sincossinsincosxryrzroxz( , , )( , , )(

18、, , )x y zMzr yzxry22222112222221112222cossinsincosrxyzxyzxyzxyzyyxtgxxyxy三種坐標系坐標變量之間的關(guān)系三種坐標系坐標變量之間的關(guān)系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 332022-7-5 柱坐標系與球坐標系的關(guān)系sincosrzroxz( , , )( , , )( , , )x y zMzr yzxry22112222sincosrzzzz三種坐標系坐標變量之間的關(guān)系三種坐標系坐標變量之間的關(guān)系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 342022-7-5 直角坐標系與柱坐

19、標系的關(guān)系cossin0sincos0001xyzz eeeeeecossin0sincos0001xyzz eeeeee五、三種坐標系坐標單位矢量之間的關(guān)系五、三種坐標系坐標單位矢量之間的關(guān)系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 352022-7-5sin0coscos0sin010rz eeeeeesincos0001cossin0rzeeeeee 柱坐標系與球坐標系的關(guān)系三種坐標系坐標單位矢量之間的關(guān)系三種坐標系坐標單位矢量之間的關(guān)系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 362022-7-5sin cossin sincoscos cosc

20、os sinsinsincos0rxyz eeeeeesin coscos cossinsin sincos sincoscossin0 xryzeeeeee 直角坐標系與球坐標系的關(guān)系三種坐標系坐標單位矢量之間的關(guān)系三種坐標系坐標單位矢量之間的關(guān)系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 372022-7-5 標量標量: :只有大小沒有方向的物理量稱為只有大小沒有方向的物理量稱為標量標量。如：。如：時間、質(zhì)量、溫度、功等。時間、質(zhì)量、溫度、功等。 矢量矢量: :既有大小又有方向的物理量稱為既有大小又有方向的物理量稱為矢量矢量。如：。如：力、速度、力矩等。力、速度、力矩等。

21、一、矢量表示法一、矢量表示法矢量矢量A A的幾何表示是用一條的幾何表示是用一條有向線段有向線段來表來表示，線段的示，線段的長度長度表示矢量表示矢量A A的的大小大小，其，其指指向向表示矢量表示矢量A A的的方向方向。 幾何法幾何法1.2 1.2 矢量表示法與矢量的微積分矢量表示法與矢量的微積分電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 382022-7-5xxyyzzAA e A e A e 單位矢量單位矢量（unit vectorunit vector）：）： AAeAA的模值：的模值：222xyzAAAA方向余弦：方向余弦： AAcosAAcosAAcoszyxyxzAx

22、yzxyzAAAeeeecosecos ecos eAAA 分量法分量法或或AAe矢量表示法電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 392022-7-5 矢量加減法 xxxyyyzzzAB(AB )e(AB )e(AB )e二、矢二、矢 量量 代代 數(shù)數(shù) 矢量乘積 標量積（點乘積） ABcosB AzzyyxxBABABA兩矢量垂直的充要條件：標量積等于零。ABB A交換率：交換率：電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 402022-7-5矢量積（叉乘積）矢量積（叉乘積）zxyyxyzxxzxyzzyeBABAeBABAeBABA)()()(0A

23、BABsincx yzxyzxyzeeeAAABBB兩矢量平行的充分必要條件：矢量積等于零。交換率：ABBA電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 412022-7-5例例1-11-1：用球坐標表示的場：用球坐標表示的場 ，1 1）求在點（）求在點（3 3，4 4，5 5）處的）處的 和和 ，2 2）求）求 與矢量與矢量 構(gòu)成的夾角。構(gòu)成的夾角。rerA225AxAAzyxeeeB22解：解：1 1）5 . 0)5(4) 3(2525252222222zyxrAzzyyxxreAeAeAerA225zyxzyxrerzeryerxeeeecossinsincossinco

24、ssinrx 矢量代數(shù)電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 422022-7-5)(252532zyxrezeyexrerA2）896. 095015)2(423cos BABA6 .153212. 0502532532rrxAx矢量代數(shù)電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 432022-7-5l矢量函數(shù)矢量函數(shù) , , , ,xxyyzzx,y,zEx y zEx y zEx y zEe +e +el 矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對空間坐標的導(dǎo)數(shù) 三、矢三、矢 量量 微微 積積 分分, ,zzzEEE EeeezzEEEEE Eeeeee例如

25、例如zzEEEEEeee電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 442022-7-5dd22200eeedcossindcos dsin d022xy0022xy00 ee +eeecossinxye =e +e?矢量微積分 對時間的導(dǎo)數(shù) rrrrEEEEEEtttttEeeeeee電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 452022-7-5l場（field）是描述空間中所有點上的某一物理量的函數(shù)。 ),(zyxf),(tzyxf( , , )F x y z( , , , )F x y z t一、場的概念一、場的概念 靜態(tài)場 動態(tài)場 Static f

26、ield Time-varying field 標量場 矢量場 1.3 1.3 標量場的梯度標量場的梯度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 462022-7-5l等值面 空間內(nèi)標量值相等的點的集合所形成的曲面。l等值面方程 （C 為任意常數(shù)）二、標量場的等值面二、標量場的等值面( , , )U x y zC電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 472022-7-5l標量場在某點的方向?qū)?shù)表示標量場自該點沿某一方向的變化率。 llM0MU000()()|limMlu Mu Mdudll coscoscosduu dxu dyu dzdlx dly

27、dlzdluuuxyz計算：定義：三、方向?qū)?shù)三、方向?qū)?shù)電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 482022-7-5四、梯四、梯 度度 gradient l在無窮多個方向中沿哪個方向的變化率最大呢？ 這個最大的變化率又是多少呢？maxldugraduedl定義：標量場在某點梯度的大小等于該點的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向就是該點具有最大方向?qū)?shù)的方向，并記為gradu,即電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 492022-7-5 上式表明當矢量G與L方向一致時，方向?qū)?shù)有最大值，其值為： 可見矢量G就是梯度。coscoscoslxyzeeeexyzu

28、uuGeeexyz在直角坐標系中，令：則：coscoscoscosluuuuG eGxyzlGlumax梯度的計算梯度的計算電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 502022-7-5 標量場的梯度是一個矢量。在給定點，梯度的方向就是函數(shù)u變化率最大的方向，它的模值就是該點最大變化率的數(shù)值。 標量場u在給定點沿任意l方向的方向?qū)?shù)就等于函數(shù)u的梯度在l方向的投影。 任一點的梯度總是垂直于過該點的等值面（線），且指向函數(shù)u增加方向。梯度的物理意義梯度的物理意義電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 512022-7-5例1 三維高度場的梯度例2 電位場

29、的梯度高度場的梯度 與過該點的等高線垂直； 數(shù)值等于該點位移的最 大變化率； 指向地勢升高的方向。電位場的梯度 與過該點的等位線垂直； 指向電位增加的方向。 數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)； 三維高度場的梯度電位場的梯度梯 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 522022-7-5l哈密頓（Hamilton）算子 又稱那勃勒算子(nabla) xyzeeexyz ()xyzxyzuuuueee ueeexyzxyz graduu lugradu el梯 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 532022-7-5 例例1-2 1-2 求求 在在 點

30、沿點沿 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。222uxyz22xyzleee解：解：222zyxxxu222222zyxzzuzyxyyu21021000MMMzuyuxu2221cos3xxyzllll32cos32cos21coscoscos0zuyuxuluM0(1,0,1)M梯 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 542022-7-5例例1-31-3 求求 在在M M0 0（2 2，-1-1，1 1）點的梯）點的梯度及沿度及沿 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。32yzxyu22xyzleee解：解：232(2)3xyyxyzuuuueeey exyz eyz exyy 033M

31、xyyueee31coscoscos0zuyuxuluM002 2111, 3, 3,3 333MlMuu el 或者：梯 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 552022-7-5 矢量線是這樣的一些曲線，曲線上每一點的切線方向與該點的矢量場方向一致，曲線的稠密度正比于場量的大小。 0Fdl（矢量線的任一點的切向和平行） 矢量線方程：一、矢量場的矢量線一、矢量場的矢量線F1.4 1.4 矢量場的散度矢量場的散度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 562022-7-5l矢量在場中某一個曲面上的面積分，稱為該矢量通過此曲面的通量。 cossss

32、F dSF ndSFdS ssF dSF ndS 二、通二、通 量量 flow of flux對于閉合曲面有：電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 572022-7-5l通量可認為是穿過1S1面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；模1F1等于在某點與1F1垂直的單位面積上通過的矢量線的數(shù)目，故1F1又稱為通量面密度矢量。 0 0 (有正源) 0 0 (有負源) = 0= 0 (無源)通 量電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 582022-7-5l當閉合面S向某點無限收縮時，矢量F通過該閉合面的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限，稱為矢量場F在該

33、點的散度。定義：定義：sV0F dSdivFlimV 散度是通量對體積的變化率（單位體積內(nèi)所穿出的通量），所以散度又稱為通量源密度。 三、散三、散 度度 divergence電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 592022-7-5yxzFFFdivFxyzF 散度的計算散度的計算直角坐標系直角坐標系()11zFFFFz圓柱坐標系圓柱坐標系22(sin)()111sinsinrFFr FFrrrr球坐標系球坐標系電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 602022-7-5 矢量的散度是一個標量，是空間坐標 點的函數(shù)； 散度代表矢量場的通量源的分布特

34、性。 A A= 0 (無源） A A= 0 (負源) A A= 0 (正源) 在矢量場中，若A=0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處A A=0，稱之為無源場。散度的物理意義散度的物理意義電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 612022-7-5上式表明：任意矢量場的散度，在場中任意一個體積內(nèi)的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分 。四、高斯散度定理四、高斯散度定理SVF dSFdV散 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 622022-7-5 例例1-4 1-4 點電荷位于坐標原點，在離其點電荷位于

35、坐標原點，在離其r r處產(chǎn)生的電處產(chǎn)生的電通量密度為：通量密度為： 其中，其中， 34qrDrxyzrxeyeze求：任意點處電通量密度的散度；求：任意點處電通量密度的散度；r并求穿出以并求穿出以為半徑的球面的電通量為半徑的球面的電通量 。解：解： 222 3 24()xyzxxyyzzxeyezeqD eD eD exyzD222 3 2222222 3 2222 5 254()1334()()4xDqxxxxyzqxq rxxyzxyzr散 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 632022-7-5所以所以2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr同理

36、可得同理可得22225533,44yzDDq ryq rzyrzr 可見，除點電荷所在源點（可見，除點電荷所在源點（0r ）外，）外，空間各點的散度均為空間各點的散度均為0 0。34rSSqD dSr edSr qrrqdSrqS222444散 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 642022-7-522211sinsin0sinsin4rqDrDrrrr 221sinsinsinrFrFrFrFrr3244rrrqqDreD err或先變換為球坐標系：或先變換為球坐標系：222444SSqqD dSdSrqrr 散 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工

37、業(yè)大學(xué)Page 652022-7-5例例1-51-5 在 的矢量場中，假設(shè)有一個邊長為 ，中心在直角坐標系原點，各表面與三個坐標面平行的正六面體。試求從正六面體內(nèi)穿出的電場凈通量 ，并驗證高斯散度定理.3238xEx y ea2解：解：先用公式 計算通量 dsES 因為 只有 分量， 在六面體的上、下、左、右四個表面上和 垂直，面積分為零。 ExdsE散 度xzyosssE dSE dSE dS 前后電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 662022-7-5再用公式 計算通量 dVE V32223988Ex yx yx 2222799dd d dddd88aaaVVaa

38、aE vx yx y zxxyyzaddsVFsF V 所以 323233227338833ddd88xxxxssaaaaaaaax y ee dsx y ee dsa yydzayyza 前后散 度電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 672022-7-5水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流體做渦旋運動0，有產(chǎn)生渦旋的源矢量F F 沿空間有向閉合曲線L L 的線積分，定義為矢量F F 沿此閉合曲線的環(huán)量。例：流速場一、環(huán)一、環(huán) 量量 circulation1.5 1.5 矢量場的旋度矢量場的旋度LFd l電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)P

39、age 682022-7-5l 環(huán)量面密度環(huán)量面密度過點P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L。當S0時，存在極限0lsF dldlimdss 取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。二、旋二、旋 度度 rotation該極限稱為矢量F對于方向 的環(huán)量強度或環(huán)量面密度ne電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 692022-7-5l 旋度的定義旋度的定義旋度是一個矢量，其模值等于環(huán)量面密度的最大值；其方向為最大環(huán)量面密度的方向。它與環(huán)量面密度的關(guān)系為：drot F ndS在直角坐標系中xyzxyzxyzeeeFFFFl 旋度的計算旋度的計算rotFF 電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 702022-7-5l旋度與散度的區(qū)別旋度與散度的區(qū)別 矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)；矢量場的散度是一個標量函數(shù)。 旋度表示場中各點的場與漩渦源的關(guān)系； 散度表示場中各點的場與通量源的關(guān)系。 旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律 ;散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理()SlFdSF dlGauss 公式和Stockes公式是兩個非常重要的公式。電磁場與電磁波電磁場與電磁波北方工業(yè)大學(xué)北方工業(yè)大學(xué)Page 712022-7-50F 標量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零。 矢量函數(shù)的旋度的